Содержание
Введение 3
1 Разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей 8
1.1 Формальные разложения .................................... 8
1.2 Частный случай формулы для остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева............................................22
1.3 Формула для остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева в общем случае..................... . . . 16
1.4 Равномерные оценки остаточных частей разложения Бергстрема-Чебышева ......................................................21
2 Неравномерные и квазинеравномерные оценки для разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей 28
2.1 Неравномерная оценка для короткого разложения Бергстрема-Чебышева............................................28
2.2 Квазинеравномерные оценки.................................36
3 Некоторые обобщения и дополнения 46
3.1 Обобщение разложения Бергстрема-Чебышева на многомерный случай.............................................46
3.2 Разложение Бергстрема-Чебышева для функций распределения 51
3.3 Разложение Бергстрема-Чебышева для решетчатых случайных величин........................................................57
3.4 О связи разложения Бергстрема-Чебышева с разложениями Грама-Шарлье и Эджворта-Крамера .....................................61
2
Введение
Асимптотические разложения 15 центральной предельной теореме впервые появились в работе П. Л. Чебышева ”0 двух теоремах относительно вероятностей” 1887 года (см. (15]). В этой работе им был выписан следующий формальный ряд1
Мх),ФЫ+±т?т.(«і) п5
Здесь рп(х) - плотность (если она существует) распределения нормированной суммы {Х\ 4- Хч + ... 4- Хп)п~* независимых случайных величин Xj, j Є 1, n, с нулевым средним, единичной дисперсией и общим распределением Р, ф(х)
- плотность стандартного нормального закона, Г/(гг, Р) - некоторые многочлены степени 3/, зависящие от первых / + 2 моментов распределения Р и не зависящие от п.
Позже Шарлье, по видимому не зная об упомянутой работе Чебышева, использовал возможность разложения произвольной функции в формальный ряд по ортогональным с весом ф(х) многочленам, которые сейчас называют многочленами Чебышева-Эрмита, чтобы приближать такими рядами неизвестную плотность распределения (см. [7]). Для рп{х) этот ряд имеет вид
Рп(х) = ф(х) + Щ^-Ні(х)ф(х). (0.2)
/=1
Здесь Hi(x) — І — 0,1,... - многочлены Чебышева-Эрмита,
/00
Hi(x)pn{x)dx
•00
- моменты Чебышева-Эрмита плотности рп(х), Рп обозначает распределение, соответствующее ПЛОТНОСТИ Рп(х)-
Ф. Эджворт также изучал асимптотические разложения в ЦПТ (см. [26]) и, вслед за П. Л. Чебышевым, вновь получил ряд (0.1). Все перечисленные исследователи ограничивались поиском формальных разложений, и только в 1920-х годах Г. Крамер получил первый строгий результат о скорости сходимости остаточных частей разложения (0.1) для функций распределения. Начиная с 50-х в след за Г. Крамером асимптотические разложения активно изучались другими исследователями. Упомянем Г. Бергстрема, который, получил ряд (0.1), используя следующее асимптотическое разложение
1 Вообще говоря, П. Л. Чебышев получил ряд для вероятностей. Нам же будет удобно вести изложение в терминах плотностей распределений.
3
Рп{х) = ^2СпФ1-1(х) * СР1(х) - Ф^)У{1\
/=о
называемое теперь разложением Вергстрема (см. [21]). Здесь * - операция
свертки распределений, ф1_±(х) - плотность нормального распределения с
п . ___________________
нулевым средним и дисперсией 1 — р\(х) = \/пр(у/пх), где р(х) - неко-
торая плотность распределения с нулевым средним и единичной дисперсией. Отметим отдельно известную работу Л. В. Осипова (10], в которой он выписал оценку скорости сходимости асимптотического разложения в ЦПТ. Ссылки на других авторов, занимавшихся этой тематикой можно найти в [1], [3], [4], 16], [9]. [11] .
Исследователи периода 50-х - 70-х годов получили важные результаты, обладавшие, однако, одним существенным недостатком: оценки остаточных частей разложений давались в формах, не позволяющих получать явные оценки погрешностей. Первая явная оценка для остаточных частей асимптотических разложений, известная автору, получена Р. Шимицу (см. [30]) в 1974 году. Долгое время после этого никаких обобщений работы [30] не было. Лишь в последние годы появились явные оценки остаточных частей асимптотических разложений. Упомянем работы В. Добрича и Б. К. Гоша [25], А. Е. Кондратенко и В. В. Сенатова [8].
Основные результаты по исследованию явных оценок асимптотических разложений в ЦПТ были получены В. В. Сенатовым. В. В. Сенатов предложил для аппроксимации плотности рп(х) использовать следующее разложение
Рп{х) = ф(х) + £ в-Ур±Н,(х)ф(х) + °&^Н1{х)ф{х) + Ят, (0.3)
/=3 1—Щ+2
1фЪт-\
где 0\т\рп) - квазимоменты распределения Рп, которые зависят от моментов распределения Р порядка не выше т-го к вычисляются по формулам
4т) (рп) .. V п! ( 6>з (_0щ_\кт
1'- ъ+кз£'+кт=п,к«'-кз'---кт'-
Зк$+'"-\-ткт—1
/оо
НАх)Р((Ь)Л = 3,4,...,
•оо
где /со, /сз,..., кт ~ произвольный набор неотрицательных целых чисел, лишь бы выполнялись равенства ко 4- /сз 4- • • • 4- кт ~ п, 3/сз 4- • • • 4- ткт = /,
4
Ятп - остаточная часть разложения, которая при некоторых условиях на распределение Р есть О » Другие обозначения определены выше. Им были
получены явные равномерные оценки остаточных частей разложения (0.3) и остаточных частей некоторых модификаций этого разложения (см. [8], [19], [29] ), однако эти оценки являются довольно громоздкими, некоторые из них содержат десятки слагаемых. Поэтому задача поиска разложений с простыми оценками остаточных частей является достаточно актуальной. Кроме того известные асимптотические разложения для рп{х) с явными оценками остаточных частей обладают недостатком, который состоит в том, что эти оценки являются равномерными по х, то есть в них не учитывается, что точность аппроксимации, которую гарантируют асимптотические разложения, должна увеличиваться при |гс| —> оо. Задача поиска явных неравномерных оценок, или, хотя бы, оценок у которых некоторые их части неравномерны по х, а другие части быстрее убывают при п —> ос также актуальна.
Остановимся на содержании диссертации.
Диссертация посвящена асимптотическим разложениям в ЦПТ, названным разложениями Бергстрема-Чебышева2. Основное внимание в работе уделено развитию методов, с помощью которых можно получать явные неравномерные и квазинеравномерные оценки остаточных частей разложения Бергстрема-Чебышева для плотности Рп(х) (если она существует) распределения нормированной суммы (А^Ч-А^-К ..+Хп)п~* независимых одинаково распределенных случайных величии Е 1,п, с нулевым средним и единичной
дисперсией. Поясним, что под квазинеравномерными оценками для остатков разложений подразумеваются такие оценки, которые представляют собой суммы величин, некоторые из которых равномерны по х, но при росте п убывают быстрее, чем (оптимальные) равномерные оценки остатков, а другие неравномерны по х.
В первых трех параграфах первой главы диссертации дается определение формального разложения Бергстрема-Чебышева для плотности рд(х), приводится его формальный вывод, даются примеры нескольких его первых членов. Затем выписываются формулы для остаточных частей разложения Бергстрема-Чебышева. Поскольку полученные формулы достаточно громоздки и при их выводе используются новые технические приемы, сначала строится такая формула для разложения Бергстрема-Чебышева плотности Рп{х) такой, что у исходного распределения Р конечен шестой момент. Затем приводится обобщение формулы для остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева на случай, когда у распределения Р конечен момент порядка т + 3,т 6 N. В четвертом параграфе первой главы формулируются четыре теоремы о явных равномерных оценках остаточных частей разло-
2Предложенное название объясняется тем, что техника получения этих разложений использует работу с многократными сверткам, которая появилась в работе Г. Бергстрема [21], а разложения, в которых используются производные нормального закона, естественно спязать с именем П. Л. Чебышева.
5
жсния Бергстрема-Чебышева. В этих теоремах рассматриваются разложения для плотностей распределений нормированных сумм независимых одинаково распределенных случайных величин и используется условие, гарантирующее существование этих плотностей. Одна из этих теорем дает оценку остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева плотности рп{^) в общем случае, когда у исходного распределения Р конечен момент порядка га + З, т € N. Три другие теоремы это частные случаи общей теоремы. В них предполагается существование четвертого, пятого, шестого моментов соответственно. Сначала проводится отдельное доказательство теоремы с условием конечности шестого момента, затем доказывается общий случай.
В первом параграфе второй главы доказывается теорема, содержащая явную неравномерную оценку короткого разложения Бергстрема-Чебышева. В теореме предполагается конечность четвертого момента и плотность рп(х) аппроксимируется ее разложением Бергстрема-Чебышева ф(х)
(3)
Здесь ф - плотность стандартного нормального закона, ф\_± - третья произ-
п ,
водная плотности нормального закона с нулевым средним и дисперсией 1 —
Аз - третий момент распределения Р. Остаточная часть разложения теоремы
имеет порядок О при п, х —* оо.
Во втором параграфе второй главы получены три явные квазинеравно-мерные оценки точности аппроксимации плотности рп{х) ес асимптотическими разложениями Бергстрема-Чебышева. Эти оценки формулируются в виде трех теорем. В теоремах 2.2 и 2.3 предполагается конечность четвертого момента распределения Р. В оценках теорем 2.2, 2.3 одна часть слагаемых имеет порядок О при гг, |х| —> оо. а другая есть О п оо. Заметим,
что оптимальная равномерная оценка остатка асимптотического разложения при условии конечности четвертого момента имеет порядок О (Д), п —> оо. Теорема 2.3 отличается от теоремы 2.2 тем, что она уточняет оценку теоремы 2.2 при больших х. Теорема 2.4 является обобщением теоремы 2.2 при условии конечности пятого момента Р. Оценка теоремы 2.4 такова, что одна
часть слагаемых имеет порядок О ( -V— ) при п. Ы —> оо, а другая есть
\«*М8/
О (Д?), п —► оо. Оптимальная равномерная оценка остатка асимптотического разложения при условии конечности пятого момента, имеет порядок О (Д*),
71 —► ОО.
В первом параграфе третьей главы дается определение разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей распределений из с1 е N. Выписана рав-
номерная оценка остаточной части разложения Бергстрема-Чебышева для плотностей в случае, когда у исходного распределении Р конечен момент порядка т + 3, т Е N. Во втором параграфе третьей главы диссертации дается определение разложения Бергстрема-Чебышева для функций распределения.
6
- Київ+380960830922