Теоретико-игровые модели формирования коалиционных структур

Содержание
Введение 3
Обзор литературы 9
1 Одномерное множество значений параметра 15
1.1 Формальная модель....................................... 15
1.2 (Регулярные) равновесия Нэша............................ 19
1.3 Исследование устойчивости............................... 28
1.3.1 Локальная устойчивость............................ 31
1.3.2 Коалиционное равновесие........................... 36
1.3.3 Неравномерное распределение игроков............... 43
2 Многомерный случай: п > 1 47
2.1 Формальная модель случая многомерного политического
пространства и однородной популяции..................... 48
2.2 Политика коалиции....................................... 49
2.3 Равновесия Нэша ........................................ 51
2.3.1 Равновесные структуры с «вогнутой» границей ... 55
2.3.2 Равновесия с равными размерами коалиций........... 56
2.4 «Прямоугольная структура»............................... 57
2.5 Устойчивость............................................ 61
2.5.1 Устойчивость к локальному объединению............ 63
2.5.2 Устойчивость к локальному расколу.................68
2.6 Устойчивость к произвольным объединениям................ 76
3 Неоднородная популяция агентов 81
3.1 Модель с вертикальной дифференциацией игроков...... 81
3.2 Равномерное распределение агентов в случае квадратичных функций выигрыша 82
3.3 Равномерное распределение агентов в случае функций выигрыша общего вида......................................123
3.4 Отрезок агентов с новой функцией выигрыша................136
Заключение 144
2
Введение
В настоящей работе изучается проблема формирования коалиций в большой неоднородной популяции индивидов, каждый из которых описывается своей идеальной точкой в некотором множестве. Вся популяция характеризуется распределением на множестве идеальных точек. В общем случае это множество является подмножеством п-мерного Евклидового пространства. Каждое измерение соответствует некоторой альтернативе или положению в пространстве. Например, в применении к политической конкуренции, одно из измерений может соответствовать социальной политике, другое - международной политике, третье - вопросам защиты окружающей среды и т.д. Предполагается, что та или иная альтернатива представляет собой вещественное число (например, бюджетные расходы на те или иные направления, ставка налога, допустимый уровень загрязнения или же вероятности, с которыми агенты склоняются к одной из двух альтернатив, соответствующих концам отрезка [0,1)). Таким образом, идеальная точка агента - вектор из политик по каждому вопросу. Непрерывное распределение но идеальным точкам описывает вес население.
В данной работе мы предлагаем следующую теоретико-игровую модель формирования коалиций. Игроками являются индивиды из данной популяции, характеризуемые своими идеальными точками из некоторого множества X. Есть достаточно большой набор меток: «Коалиция 1», «Коалиция 2»,..., «Коалиция М» (например, в случае формировании политических партий это социалисты, демократы, либералы и т.д.). Каждый из агентов выбирает метку и становится членом соответствующей коалиции, или же решает воздержаться и не вступает ни в одну из ко-
3
алиціїй. Политика (стратегия) коалиции - точка из того же множества, положение которой определяется но некоторому фиксированному правилу в зависимости от состава коалиции (в частности, как медианная идеальная точка агентов, входящих в коалицию). Размер коалиции равен доле агентов, выбравших соответствующую метку. Таким образом, профиль стратегий агентов определяет множество непустых коалиций /, их размеры и политики. Выигрыш агента зависит от факторов: размер коалиции и расстояние от идеальной точки агента до политики коалиции. По первому параметру выигрыш возрастает, по второму - убывает.
Для данной игры мы исследуем известные теоретико-игровые понятия решения игры: равновесие Нэша (PH) и различные коалиционные равновесия и находим коалиционные структуры, соответствующие равновесному профилю стратегий.
В литературе, посвященной проблеме эндогенного формирования политических структур, существует два основных направления исследовании. Одно из направлений изучает проблему формирования индивидами, расположенными на некоторой географической плоскости или линии, юрисдикций (муниципалитетов или регионов, см. [1, 2], [3], [4, 5]). Они формируют коалиции для того чтобы обеспечить себя необходимыми общественными благами: школами, больницами, библиотеками. Каждая коалиция создаст’ центр, который включает в себя все указанные общественные институты. В литературе рассматривается несколько правил определения положения центра коалиции в зависимости от расположения ее членов: правило медианы (the median rule) рассматривается в [6, 7, 8], правила Ролса (the Rawisian rule) используется в [9], правило среднего (the mean voter rule) подробно изучено в статье |10].
4
Функция выигрыша агента в этом случае представляет собой сумму двух отрицательных членов: общие издержки на постройку центра, деленные на размер коалиции, и индивидуальные транспортные издержки агента, пропорциональные расстоянию от места расположения агента до центра коалиции. Таким образом, агенты сталкиваются с выбором: либо присоединиться к большой коалиции, где удельная стоимость строительства центра на одного члена коалиции ниже, чем в относительно небольшой коалиции, но можно оказаться достаточно далеко от центра, или принять па себя более высокие издержки на строительство центра в коалиции небольшого размера, но оказаться ближе к нему. Авторы рассматривают эту модель как коалиционную игру с побочными платежами н исследуют ядро игры. В статьях |6. 7|, [8] авторы изучают равновесие Нэша и различные коалиционные равновесия для схожих игр без побочных платежей и с малым количеством игроков. В данных статьях получены некоторые результаты относительно существования, единственности и поиска этих равновесий. Однако, данные модели не подходят для описания свойств равновесий в больших популяциях.
Другое направление в литературе посвящено вопросам эндогенного формирования политических партий. В статьях [11], [12], [13, 14] рассматриваются модели в предположении о непрерывном распределении идеальных точек агентов на политическом пространстве. Важное отличие данных работ от настоящей состоит в том, что в указанных работах число партий фиксировано и выигрыш агента не зависит от размера партии. Последнее является достаточно сильным ограничением, поскольку размер партии представляется достаточно существенным фактором. Также данные условия не позволяют определить количество партий в
5
равновесии. Данные модели лучше описывают распределение избирателей но уже существующим партиям, чем процесс формировании партий.
Таким образом, следующие положения отличают базовую модель, рассматриваемую в настоящей работе от других моделей из данной области:
• отсутствие побочных платежей;
• общий вид зависимости выигрыша агентов от размера коалиции и расстояния до политики коалиции;
• некооперативные принципы решения игры.
Глава 1 посвящена исследованию модели в базовом случае ~ случае однородной популяции (в смысле вида функции выигрыша) и одномерного множества идеальных точек. В данной главе приведено формальное описание модели, рассмотрены различные принципы устойчивости: равновесие Нэша, регулярное равновесие Нэша, локальная устойчивость, коалиционное равновесие и основные свойства соответствующих им коалиционных структур.
Глава 2 рассматривается обобщение базовой модели на случай многомерного множества предпочтений. /Данная глава посвящена исследованию равновесных по Нэшу структур на многомерном множестве. Выясняется связь устойчивости равновесных коалиционных структур с размерностью множества идеальных точек.
В главе 3 исследуется моделі» в случае, когда в исходной популяции агентов возникает группа агентов с функцией выигрыша отличной от функции выигрыша агентов «старого» типа. Рассматривается два варианта распределения идеальных точек группы агентов «нового» типа
6
относительно идеальных точек агентов «старого» типа: идеальные точки распределены равномерно или формируют отдельный сегмент (внутренность которого нс содержит идеальных точек агентов «старого» типа). В данной главе проводится полное исследование существования и устойчивости равновесных коалиционных структур для этой модификации базовой модели.
Научная новизна результатов, полученных в главах 1-3, состоит в следующем.
• Для базовой теоретико-игровой модели с игроками, равномерно распределенными на одномерном множестве идеальных точек, для функции выигрыша обобщенного вида найдено множество регулярных равновесий Нэша. Получены необходимые и достаточные условия, обеспечивающие локальную устойчивость этих равновесий, то есть устойчивость к объединению соседних коалиций и расколу одной из существующих коалиций. Установлены также достаточные условия на параметры модели, при которых понятие локальной устойчивости эквивалентно понятию коалиционного равновесия, то есть коалиционной структуры, в которой невозможно образование новой коалиции, обеспечивающей большие выигрыши всем своим членам.
• В случае, когда множество значений параметра имеет размерность п > 2, множество регулярных равновесий Нэша описано в форме системы уравнений и неравенств, позволяющей установить свойства соответствующих коалиционных структур. Найдены уравнения гиперповерхностей, разделяющих множества идеальных точек игроков, относящихся к различным коалициям. При определенных
7
ограничениях показано, что регулярному равновесию соответствуют структуры, задаваемые равномерной прямоугольной решеткой в множестве значений параметра. Найдены условия, гарантирующие существование равновесия, устойчивость к расколу и как необходимое, так и достаточное условия локальной устойчивости равновесий.
• Описана игра с двумя типами игроков ("конформисты"и "индивидуалисты"), различающихся параметрами функции выигрыша. Для этой игры описан новый вид равновесных структур, в которых границы разбиения на коалиции не совпадают для разных типов игроков. Исследована зависимость множества равновесий от соотношения численностей двух типов игроков. Для регулярных равновесий с одинаковыми границами получены необходимые и достаточные условия, обеспечивающие локальную устойчивость, а также указаны условия на параметры модели, при которых понятие локальной устойчивости эквивалентно понятию коалиционного равновесия. Проанализировано соотношение условий равновесия для игр с одним и двумя типами игроков.
8
Обзор литературы
Литература, научающая эндогенное формирование коалиционных структур, делится на два основных направления. Одно из направлений занимается исследованиями в «области горизонтальной дифференциации продуктам («horizontal product differentiation»). В подобных моделях агенты характеризуются параметром из политического или географического пространства и разбиваются на коалиции, при этом определяя политику коалиции (например, расположение общественного проекта). Каждый участник проекта несет издержки, связанные с участием в проекте: издержки на реализацию проекта (возможно зависящие от численности участников проекта) и индивидуальные издержки агента. В данной области исследователи изучают проблему существования и устойчивости эффективного (с точки зрения максимизации общего благосостояния участников) разбиения на проекты. Причем, как правило, предполагается, что допустимы «побочные платежи» («side-payments», «transferable utility») - существует возможность перераспределения издержек между участниками проекта для компенсации индивидуальных «транспортных» издержек. Таким образом, поиск оптимального решения сводится к построению компенсационных схем (см. [1, 2, 3, 4, 5, 15]).
Большая часть работ из этой области ([1, 2, 3, 4, 5, 16, 17]) изучает формирование юрисдикций то есть государственных образований или регионов, районов внутри страны. Агенты, характеризующиеся географическим распределением в некотором пространстве, формируют юрисдикции, обеспечивающие их необходимыми общественными благами. Центры, предоставляющие эти блага, включают государственные учреждения, больницы, библиотеки и т.н. Центры размещаются согласно опреде-
9
ленному правилу внутри каждой юрисдикции. Выигрыш аген та зависит от двух факторов: 1) постоянные издержки, связанные с производством общественных благ, делятся между жителями данной юрисдикции; 2) индивидуальные транспортные издержки агента прямо зависят от расстояния между местом его проживания и центром юрисдикции. При формировании юрисдикций агенты сталкиваются с дилеммой: создать большую юрисдикцию и тем самым снизить индивидуальные инвестиции на производство общественных благ, но при этом с ростом размера юрисдикции выигрыш агентов, находящихся вблизи границы юрисдикции снижается. В упомянутых работах формирование юрисдикций исследуется в рамках теории кооперативных игр. При этом предполагается возможность побочных платежей между агентами, то есть допускается нерерасщю-деление общих издержек между участниками коалиции для компенсации индивидуальных транспортных издержек. Изучаются эффективные и устойчивые структуры, например, соответствующие элементам С-ядра указанной игры. Исследованы вопросы существования и описаны устойчивые структуры для одномерного пространства.
Предположение о возможности осуществления «побочных платежей» может быть оправдано далеко не во всех случаях (например, данное предположение кажется неправдоподобным применительно к политической конкуренции). Примерами исследований, не допускающих побочные платежи, могут служить работы [б, 7, 8) и которых исследуется вопрос существования равновесий Нэша и устойчивость этих равновесий к образованию новых коалиций в дискретной модели в зависимости от числа агентов и их расположения на одномерном пространстве. Однако эти результаты плохо описывают свойства равновесий в больших популяциях.
10
Большинство работ, посвященных формированию коалиций, исследуют данную проблематику на одномерном множестве идеальных точек. К исключениям относятся работы [13, 16, 17|.
Другое направление в литературе изучает проблему эндогенного формирования политических партий. При этом выделяется два основных типа партий: оппортунистические и идеологические. Оппортунистические партии стремятся победить на выборах (набрать наибольшую долю голосов), выбирая свою политику (идеологию) исходя из этих целей, в то время как идеологические партии представляют интересы конкурирующих групп общества и имеют предпочтения в пространстве политик.
В работах [18, 19, 20, 21| изучаются модели с оппортунистическими партиями. Полученные в работах результаты характеризуют равновесия Нэша для соответствующих игр. Так, например, если две оппортунистические партии участвуют в выборах, то они стремятся предложить политику, совпадающую с идеальной точкой медианного избирателя, и как следствие склонны к сближению политических программ. Если в выборах участвует более двух оппортунистических партий, то равновесных по Нэшу политических структур может не существовать.
В работах [22, 23, 24] авторы изучают игры с идеологическими партиями. Предполагается что у партий (кандидатов) есть предпочтения на политическом пространстве (с единственным максимумом - идеальной точкой). Выигрыш партий в этом случае зависит от расстояния между ожидаемой итоговой политикой и идеальной точкой партии. Также предполагается, что вероятности того, что выдвигаемые партиями политические платформы будут в конечном итоге приняты, пропорциональны долям полученных на выборах голосов (либо итоговая политика рас-
11
сматривается как линейная комбинация с весами, пропорциональными долям набранных партиями голосов).
Поскольку не только стратегии (типы) партий влияют на исход выборов, но и поведение (мотивы) самих избирателей на выборах оказывает сравнимое по силе влияние на их исход (а также на стратегии самих партий), в научной литературе выделяют достаточно большое число типов избирателей. Убежденными называют избирателей, имеющих предпочтения на политическом пространстве. В работах [18, 19, 20, 25, 26] авторы среди числа убежденных избирателей выделяют искренних избирателей, которые голосуют за партию (или кандидата), предлагающего наиболее близкую им политику. Авторы показывают, что присутствие искренних избирателей приводит к некоторому сближению политических программ в случае участия на выборах двух партий. В работе [27] предполагается участие в выборах стратегически голосующих избирателей, заинтересованных только в том, какая будет реализована итоговая политика и безразличных по отношению к тому насколько близка им политическая платформа кандидата, выдвигаемого его партией (политика партии). В работе показано, что участие данной группы избирателей в голосовании способствует расхождению политических программ партий в случае, когда в выборах принимают участие две партии. Заметим, что предположение о стратегическом поведении избирателей подразумевает их большую осведомленность, в том числе и о распределении предпочтений всего электората. Получение такой информации, особенно в странах с переходной экономикой, требует значительных затрат, возможно превышающих выигрыш от участия в выборах. Данный вывод подтверждает большое число эмпирических исследований ([28, 29, 30, 31, 32, 33, 34])
12