Функциональные инварианты в задачах локальной аналитической классификации

Оглавление
0 Введение 9
1 Одномерная динамика 37
1.1 Аналитическая классификация ростков конформных отображений (С, 0) —> (С, 0) с тождественной линейной частью ... 37
1.1.1 Классы А и Ап- Теорема об аналитической классификации ростков класса Л2 37
1.1.2 Формальная классификация ........................... 39
1.1.3 Квазиконформные отображения......................... 40
1.1.4 Основная лемма...................................... 42
1.1.5 Аналитическая классификация отображений из Л2- Построение модулей 46
1.1.6 Аналитическая классификация отображений из Ач- Реализация 52
1.1.7 Простейшие следствия................................ 58
1.2 Скрытая динамика. Постановка задач. Результаты............. 61
1.2.1 Пары инволюций...................................... 65
1.2.2 Задача о распаде симметрии ......................... 67
1.2.3 Огибающая семейства плоских кривых.................. 69
2 Многомерная динамика 76
2.1 Многомерная динамика: ростки отображений.................. 77
2.1.1 Содержание и структура раздела...................... 77
I
2.1.2 Ростки голоморфных отображений с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликаторами ..................................................... 83
2.1.3 Орбитальная аналитическая классификация ростков голоморфных векторных полей с неизолированными особыми точками и постоянными характеристическими показателями ................................................... 90
2.1.4 Гиперповерхности в симплектическом пространстве . . 93
2.1.5 Вырождения почти симплектических и почти контактных структур..................................................102
2.2 Формальная классификация ростков класса В\....................105
2.2.1 Ростки полуформальных отображений.....................105
2.2.2 Теорема о формальной классификации ростков класса
Вч.....................................................106
2.2.3 Гомологическое и вспомогательное уравнения............108
2.2.4 Существование формальной нормализующей замены . 109
2.2.5 Единственность нормированной формальной нормгиш-зующей замены.................................................110
2.2.6 Теорема о формальной классификации ростков класса
Д7, А..................................................111
2.3 Секториальные решения гомологического уравнения ..............113
2.3.1 Секториальные решения вспомогательного уравнения . 113
2.3.2 Оценка ядра ..........................................116
2.3.3 Оценка еекториального решения вспомогательного уравнения ........................................................117
2.3.4 Секториальные решения однородного вспомогательного
уравнения..............................................118
2.3.5 Асимптотические ряды .................................120
2
2.3.6 Теорема о секториальных решениях гомологического
уравнения.............................................121
2.3.7 Примеры .............................................123
2.4 Теорема о секториальной нормализации для класса В\ .... 127
2.4.1 Формулировка и схема доказательства..................127
2.4.2 Один шаг метода последовательных приближений . . . 128
2.4.3 Доказательство теоремы 2.4.1.........................130
2.4.4 Асимптотические ряды секториальной нормализующей
замены................................................132
2.5 Теорема о функциональных инвариантах для класса В\. ... 134
2.5.1 Нормализующий атлас..................................134
2.5.2 Системы функций перехода.............................136
2.5.3 Функциональные инварианты. Теорема В\................138
2.5.4 Эквивалентность и эквимодальность....................140
2.5.5 Реализация функциональных инвариантов................140
2.5.6 Аналитическая зависимость от параметра...............145
2.5.7 Локальное множество когомологий-отображений на фактор-
пространстве .........................................145
2.5.8 Класс покрытий Ш4 ...................................147
2.5.9 Замечания о терминологии.............................148
2.6 Нетривиалыюсть пространства модулей для класса В\ .... 150
2.6.1 Субгармоническая лемма...............................150
2.6.2 Лемма об аналитическом продолжении...................150
2.6.3 Простые и специальные склейки...................... 151
2.6.4 Примеры нетривиальных склеек.........................154
2.6.5 Замечания............................................155
2.7 Ростки отображений, сохраняющих дополнительные структуры 156
2.7.1 Структуры ...........................................156
2.7.2 Определения и обозначения............................157
3
2.7.3 5 - нормализующие атласы.............................159
2.7.4 Основная теорема В[..................................160
2.7.5 Согласованные структуры и их комбинации..............161
2.7.6 Примеры нетривиальных 5 - склеек.....................162
2.7.7 Замечания и дополнения ...............................164
2.8 Пространства Вя, ВЯу\, Вя и В*х (общий случай)..............166
2.8.1 Класс Вя. Теорема Вя ................................166
2.8.2 Класс Вя. примеры....................................167
2.8.3 Класс В\.............................................167
2.8.4 Пары вещественно-аналитических инволюций, сохраняющих почти симплектическую структуру.......................168
2.8.5 Классы ВЯу\ и В* х. Теоремы ВЯу\ и В*х ..............169
2.9 Теорема Дарбу-Уитли. Реакция к общей классификационной задаче. Формулировки результатов......................171
2.9.1 Постановка задачи....................................172
2.9.2 Параметризованный расширенный ласточкин хвост А
и А-диффеоморфизмы....................................173
2.9.3 Л-формы..............................................174
2.9.4 Л-симплектические структуры и их А -эквивалентность. 176
2.9.5 След А-симплектической структуры на расширенной
линии самопересечения.................................176
2.9.6 Вещественные варианты теоремы Дарбу-Уитии............178
2.9.7 Комплексный случай...................................179
2.10 Внутренняя геометрия Л и теоремы о продолжении с Л. ... 180
2.10.1 Кольца и модули, связанные с А.......................180
2.10.2 Основная лемма и ее следствия........................181
2.10.3 Доказательство теоремы 2.9.2.........................184
2.10.4 Теоремы о продолжении Л-форм.........................185
2.10.5 Теоремы о Л-симплектических стуктур..................186
4
>
2.11 Теоремы о следах Л-симплектичсских структур..................188
2.11.1 Полу нормализующие замены.............................188
2.11.2 Доказательство леммы 2.9.1............................191
2.11.3 Доказательство теоремы 2.9.7..........................191
2.11.4 Доказательство теоремы 2.9.8..........................193
Векторные ноля 195
3.1 Резонансные седла. Постановка задачи. Результаты..............195
3.1.1 Эквивалентность и орбитальная эквивалентность. Формальные нормальные формы v\tC и vPyqa.........................195
3.1.2 Орбитальная аналитическая классификация ростков класса Vp}q,a.....................................................197
3.1.3 Аналитическая классификация ростков из V\yC............198
3.1.4 Геометрическое описание модулей орбитальной аналитической эквивалентности......................................198
3.1.5 Геометрическое описание модулей аналитической классификации.....................................................200
3.1.6 Простейшие приложения..................................200
3.1.7 Организация............................................202
3.2 Формальная эквивалентность седловых резонансных ростков. 203
3.2.1 Доказательство теоремы 3.1.1...........................203
3.2.2 Предварительная нормализация ростков класса V\yC аналитической заменой координат..................................204
3.2.3 Формальная группа симметрий ростков класса V\yC■ • • 205
3.3 Редукция задачи об аналитической классификации ростков векторных полей к задаче аналитической классификации преобразований £-монодромии..........................................206
3.3.1 Преобразование £-мотюдромии. Теорема о редукции. . . 206
3.3.2 Лемма об аналитическом продолжении. Оценки решений.208
3.3.3 Лемма о пересечении с трансверсалыо....................209
3.3.4 Отображение ^-соответствия..............................210
3.3.5 Доказательство первого утверждения теоремы 3.3.1. . . 212
3.3.6 Доказательство второго утверждения теоремы 3.3.1. . . 212
3.3.7 Реализация..............................................213
3.3.8 Аналитическая зависимость от параметра..................219
3.4 Аналитическая классификация 2-сдвигов из пространства £\с. 219
3.4.1 Предварительные сведения о резонансных ростках одномерных отображений..........................................219
3.4.2 Инварианты аналитической классификации 2-сдвигов.
Теорема об аналитической классификации..................222
3.4.3 Доказательство лемм 3.4.1 и 3.4.2.......................225
3.4.4 Доказательство второго утверждения теоремы 3.4.1. . . 227
3.4.5 Доказательство третьего утверждения теоремы 3.4.1. . 229
3.4.6 Преобразование Борсля. Доказательство леммы 3.4.3. . 234
3.4.7 Сюрьективность отображения Ьт...........................235
3.4.8 Доказательство леммы 3.4.4..............................237
3.4.9 Доказательство леммы 3.4.5..............................237
3.5 Седлоузлы. Постановка задачи. Определения и формулировки. 239
3.5.1 Формальная классификация. Классы УрДа и У^д>а . . . 240
3.5.2 Секториальная нормализация..............................242
3.5.3 Аналитическая классификация.............................243
3.6 Доказательство теоремы о секториальной нормализации . . . 245
3.6.1 Схема доказательства....................................245
3.6.2 Гомологическое уравнение................................246
3.6.3 Редукция гомологического уравнения к вспомогательному уравнению ...............................................247
3.6.4 Существование и единственность решения вспомогательного уравнения................................................248
3.6.5 Оценки решений вспомогательного уравнения ..............249
6
3.6.6 Свойства выпрямляющего отображения А. Стандартные области 250
3.6.7 Решение гомологического уравнения в области . . 251
3.6.8 Предварительные оценки..............................254
3.6.9 Оценки оператора 7£.................................255
3.6.10 Сжимаемость оператора 5. Существование решения Ь системы (3.57) 257
3.6.11 Доказательство второго утверждения теоремы 3.5.3 . . 258
3.6.12 Окончание доказательства теоремы 3.5.3..............258
3.7 Доказательство теоремы об аналитической классификации сед-
лоузлов.......................................................259
3.7.1 Схема доказательства................................259
3.7.2 Нормализующий атлас и его функции перехода .... 261
3.7.3 Пространство модулей КТ.............................263
3.7.4 Построение биекции Щ : ИТ —¥ Л4Р)\..................267
3.7.5 Доказательство теоремы 3.5.4........................270
4 Теорема о жесткости и Проблема Тома. 272
4.1 Определения и формулировки....................................272
4.1.1 Классы Уп. Орбитальная аналитическая и орбитальная
формальная эквивалентность..........................272
4.1.2 Раздутия. Классы Е„....................................273
4.1.3 Оснащенные сферы. Классы Е^ и Е(£о).................275
4.1.4 Группа монодромии ростка класса Е(То)..............276
4.1.5 Сепаратрисные множества................................277
4.1.6 Теорема о жесткости.....................................278
4.1.7 Теорема о реализации....................................279
4.2 Доказательство теоремы о жесткости............................280
4.2.1 Орбитальная эквивалентность невырожденнх особых точек 280
7
4.2.2 Схема доказательства теоремы 4.1.2....................282
4.2.3 Доказательства лемм 4.1.1 - 4.1.6.....................283
4.2.4 Вспомогательное слоение...............................285
4.2.5 Структура слоений вблизи кривых касания...............288
4.2.6 Группы монодромии формально орбитально эквивалентных ростков..................................................290
4.2.7 Доказательство теоремы 4.1.2..........................294
4.2.8 Доказательство леммы 4.2.6............................296
4.3 Доказательство теоремы о реализации..........................297
4.3.1 Схема доказательства..................................297
4.3.2 Редукция к лемме о факторизации.......................298
4.3.3 Нормированные решения задачи о факторизации. . . . 301
4.3.4 Доказательство леммы 4.3.1............................304
5 Заключение. 307
8
Глава О
Введение
Величайшим открытием Ньютона был тот факт, что огромное количество окружающих нас эволюционных процессов описывается дифференциальными уравнениями. Однако в первой половине девятнадцатого века стало ясно, что большинство дифференциальных уравнений не решается в квадратурах. В 1880-х годах Пуанкаре [123], [124) предложил двоякую стратегию преодоления этой трудности. Во первых, он поставил задачу исследования свойств дифференциального уравнения непосредственно по его правой части. Так возникла качественная теория дифференциальных уравнений. Во вторых, Пуанкаре сформулировал следующий принцип: дифференциальные уравнения нужно не решать (всё равно это в большинстве случаев невозможно), а выбирать систему координат, в которой уравнение имеет по возможности простой вид. Так родилась теория нормальных форм.
Предлагаемая работа относится к теории нормальных форм дифференциальных уравнений и отображений, а также приложениям этой теории к исследованию особенностей отображений и родственным задачам локального анализа.
Опишем кратко историю развития теории нормальных форм. Первый вопрос, поставленный этой теорией и сохранивший актуальность до наших дней: в какой мере векторное поле или отображение в окрестности точки покоя похоже на свою линейную часть в этой точке? Первые достаточные
условия эквивалентности векторного поля своей линейной части дал Пуанкаре 1124]. Они состояли в отсутствии резонансов и малых знаменателей. Прошло 60 лет прежде чем были преодолены трудности, связанные с малыми знаменателями: Зигель доказал, что седло аналитически эквивалентно своей линейной части, если её собственные значения образуют так называемый Диофантов набор, [36]. Дальнейшие крупные продвижения в этой задаче связаны с работами Брюно [16] и Йоккоза [147]. Отметим, что статья [147] вошла в список работ, за которые Йоккоз был удостоен Филдсовской медали в 1994 году.
Необходимым условием аналитической эквивалентности векторного поля (отображения) своей линейной части является условие линейности формальной нормальной формы. В случае нелинейной формальной нормальной формы, аналитическая классификация векторных полей и отображений до начала 1970х годов не была развита даже в размерностях 1 для отображений и 2 для векторных полей.
Фундаментальный результат в аналитической теории нелинейных нормальных форм был получен Брюно [16]. Брюно указал необходимые и достаточные условия на нормальную форму резонансного векторного поля (отображения), при выполнении которых формальная нормальная форма может быть выбрана сходящейся и нормализующее преобразование также аналитично. Тем самым была полностью решена задача о соотношении аналитической и формальной классификаций векторных полей и отображений. Однако вопрос об аналитической классификации резонансных векторных полей и отображений оставался открытым. Этот вопрос можно сформулировать так: при каких условиях ростки двух векторных полей (отображений) аналитически эквивалентны? Другими словами, какова полная система инвариантов, совпадение которых необходимо и достаточно для аналитической эквивалентности двух ростков?
В 1981 году ответ на этот вопрос для простейшего класса так называе-
10
мых одномерных параболических ростков отображений был дан и^зависи_ мо: автором [20], февраль; Экаллем [80|, май; Мальгранжем [101], ноябрь. Оказалось, что аналитическая -классификация ростков конформизма: от.об-раоїсений
z м- z + az2 + bz3 + 0 (і)
имеет функциональные модули. После этого функциональные модули были обнаружены во многих других классификационных задачах: задаче
о классификации особых точек голоморфных слоений (седлоузлы [104] и резонансные седла [105]) на плоскости, Мартине-Рамис; в аналогично^ задаче для векторных полей([144], [30], [25], [26], [141]); в задаче о классификации исключительных разрешимых конечно порожденных групп ростков одномерных голоморфизмов |83], [149], и в других задачах (см. [22], [45], [74]....).
Описанию функциональных модулей в задачах аналитической классификации резонансных векторных полей и отображений посвящены первые ТрИ главы диссертации. Одномерные отображения рассматриваются г* первой главе; во второй главе изучаются многомерные отображения, а в Третьей -векторные поля на плоскости.
В диссертации обсуждаются также приложения полученой классификации к задачам теории особенностей. В конце 1970х годов В.И.Арнольд заметил, что в ряде локальных задач присутствует „скрытая динамика“. Это значит, что существует геометрические объекты, но которым инвариантным образом можно построить локальную динамическую систему. Арнс>лЬд уКа_ зал несколько таких задач (задачу о парах инволюций, задачу о распаде симметрии, задачу об огибающей плоской кривой, и др.), с которыми инвариантным образом связаны ростки отображений (1). Таким образом? в этих задачах аналитическая эквивалентность геометрических объектов влечет аналитическую эквивалентность соответствующих „скрытых Динамических систем“. Автором были решены перечисленные выше задачи и, тем самым, найдены функциональные инварианты в задачах теории особенно-
11
стей. Результаты эти излагаются во второй половине первой главы.
В.И.Арнольд указал также, что определенные инвариантным образом пары ростков (многомерных) инволюций встречаются и в других задачах теории особенностей, например, в задаче об обходе препятствия [11], или в так называемой задаче Дарбу-Уитни (задаче об одновременной нормализации симплектической структуры и гиперповерхности с особенностями), см.[11), |4], [3]. В этих задачах, возникающих в случаях малой коразмерности, инволюции имеют общее зеркало, так что их композиция является ростком отображения, неподвижные точки которого образуют гладкую гиперповерхность. Систематическому исследованию таких „сильно вырожденных“ ростков отображений посвящена вторая глава диссертации. Оказалось, что в этой классификационной задаче также возникают функциональные модули. В качестве приложения этих результатов, здесь же приводится решение задачи Дарбу-Уитни в аналитическом и гладком случаях (формальное решение было получено ранее В.И.Арнольдом [4]). В дальнейшем выяснилось, что полученные во второй главе диссертации результаты могут быть использованы и в других классификационных задачах (см. [9]), например, в задаче Виркхофа о классификации пар гиперповерхностей симплектическо-го пространства. На возможность приложения этих результатов при исследовании вырождений почти симплектических и почти контактных структур (см. [146]) указал автору М.Я.Житомирский. Обширный список возможных приложений результатов второй главы приводится в Заключении диссертации.
Стандартный способ исследования особой точки векторного поля состоит в рассмотрении соответствующего ей преобразования монодромии (отображения Пуанкаре, отображения последования, first return map). Это позволяет понизить размерность задачи: орбитально эквивалентные векторные поля имеют эквивалентные преобразования монодромии, и наоборот, см. [33]. Именно с использованием этой схемы Мартине и Рамис [105| (см. также [42])
12
построили аналитическую классификацию седловых резонансных особых точек голоморфных слоений на плоскости. Однако для исследования аналитической (неорбитальной) классификации особых точек векторных нолей информации о поле, которую содержит соответствующее полю преобразование монодромии, недостаточно. Автором было предложено вместо преобразования монодромии рассматривать „преобразование ^монодромии“ (надстройку над классическим преобразованием монодромии, показывающую, за какое время точка из трансверсали возвращается па трансверсаль). Классификация таких „надстроек“ (называемых ниже Подвигами) приводится в третьей главе. Эта классификация (в резонансном случае) также имеет функциональные модули (легко описываемые в терминах из первой главы). На основе этой классификации, в третьей главе получена аналитическая классификация (типичных) седловых резонансных особых точек голоморфных векторных полей на плоскости. Тем самым, получен аналог результата Мартине-Рамиса (для седел). В этой же главе получен аналог и другого результата Мартине-Рамиса (для седлоузлов, [104]), но-с использованием другой техники (дело в том, что не все „формально подходящие“ ^сдвиги „подходят аналитически“). По этой причине функциональные инварианты для седлоузлов строятся с помощью так называемых „нормализующих атласов“; в частности, здесь доказана теорема о секториальной нормализации, обобщающая известный результат Хукухара, Кимура и Матуда [90].
В случае общего положения, (локальная) аналитическая и формальная классификации совпадают: типичное векторное поле (отображение) в окрестности его особой (неподвижной) точки эквивалентно линейному. При наличии резонансов, формальная нормальная форма, вообще говоря, нелинейна, а формальная и аналитическая классификации могут совпадать ( резонансы в области Пуанкаре) или не совпадать (появляются функциональные инварианты - в случае резонансов в области Зигеля). В случаях более высокой коразмерности (нулевой спектр линеаризации поля в особой точке, например)
13
уже формальная классификация необозрима (имеет функциональные модули). Оказалось, что, удивительным образом, в этой вырожденной ситуации аналитическая и формальная классификации вновь, как правило, совпадают. Результаты такого рода (формальная эквивалентность влечет аналитическую) принято называть теоремами о жесткости. Первая (нетривиальная, т.е., с нетривиальной формальной классификацией) теорема о жесткости была доказана для неразрешимых групп ростков одномерных отображений (см. [74],[125]; этот результат можно также получить из свойств нормализующих атласов, см. [83]; топологическая жесткость доказана в [58] ). Результатам о жесткости посвящена четвертая глава диссертации.
Перейдем теперь к подробной формулировке результатов.
В первой главе, как уже говорилось выше, рассматриваются задачи, связанные, в основном, с одномерной динамикой.
В первом разделе главы 1 рассматривается задача об аналитической классификации ростков конформных отображений (С, 0) —У (С, 0) с тождественной линейной частью.
Пусть / : 2 »->■ г+... — росток голоморфного отображения (С, 0) —> (С, 0) с тождественной линейной частью, Л — множество всех таких /. Ростки /, д Е Л будем называть эквивалентными, если найдется локальная замена координат /&, сопрягающая их:
/ О }ь = Н о д
Соответственно виду замены к будем различать аналитическую и формальную эквивалентность ростков из Л. Формальная классификация ростков из Л достаточно проста, и хорошо известна (см. [113], [94]). Также довольно давно было известно (это следует, например, из результатов работы [122|, опубликованной в 1916 году), что аналитическая и формальная классификации ростков из Л не совпадают. Аналитическая классификация (типичных) ростков из Л будет получена ниже.
14
Пусть Ач —класс всех ростков из А вида (1).
Пусть Ф±(£) = £ + 52к>оске±2іпк*і ряды сходятся при некотором Лг > О в областях {£ : ±1т£ > М} соответственно. Рассмотрим множество Мч всевозможных наборов /х = (Ф+, Ф_) такого типа и отношение эквивалентности на Мч'. Ц эквивалентно /х — (Ф+, Ф_), если и только если Ф±(£ + щ) = Ф±(£ + сч) для некоторых Сі, Сч Є С, ±1т£ > А^х, для некоторого Лгь Множество Мч классов эквивалентности т = [р] наборов /х Є Мч и есть пространство модулей аналитической классификации ростков из Ач■ Именно, справедлива следующая теорема:
Теорема 1 (теорема 1.1.1) (об аналитической классификации ростков класса Ач.) Можно каоїсдому / Є Ач таким образом сопоставить т/ Є Мч, что
1)(эквивалентность и эквимодальность) / эквивалентно д если и только если ту = тд;
2)(реализация) для каждого т Є Мч найдется / Є Ач такое, что т = т/.
Этот результат является основным результатом раздела. Соответствие / га/ строится в пп. 1.1.4, 1.1.5 по следующей схеме. В п. 1.1.4 доказывается теорема о выпрямлении для одномерных отображений: конформное отображение Е : и и на односвязной области С/ С С аналитически эквивалентно сдвигу на единицу (Основная лемма, п. 1.1.4). С помощью основной леммы в п. 1.1.5 для ростка / Є Ао на проколотой окрестности его неподвижной точки строится выпрямляющий атлас (пара отображений А1 : из —> С, у = 1,2, сопрягающих / со сдвигом на единицу). Функции перехода выпрямляющего атласа и доставляют искомый представитель /х/ модуля га/ (необходимость дополнительной факторизации Мч/ ~ объясняется неединственностью выпрямляющего атласа). В этом же пункте доказывается первое утверждение теоремы (теорема 1.1.5). Второе утверждение доказано в п. 1.1.6 (теорема 1.1.6).
15
Замечание 0.0.1. Из построений разделов 1.1.4 и 1.1.5 следует, что соответствие / н* га/ является непрерывным (и даже „аналитическим“, см.
. замечание 1.1.7) в некотором естественном смысле.
Замечание 0.0.2. Коротко утверждение теоремы можно сформулиро-. вать так: „Пространство М2 есть пространство модулей в задаче аналитической классификации ростков из .А2“. Ниже такие краткие формулировки будем понимать в том смысле, что справедливыутверждения об эквивалент-, ности и эквимодальностиv о реализации, а также (см. предыдущее замена-1 ...ние) и об аналитической:зависимости.. '
В качестве простейшего приложения теоремы 1. в конце раздела рассматриваются три классические задачи теории функциональных уравнений од-• ной. переменной: задача о включении (отображения в поток), задача об извлечении (итерационного) корня и задача об описании централизатора (для : ростков класса Лг)- Этими задачами (также как и „основной“ задачей о клас-. сификаци и ростков класса А, или „задачей о сопряжении“) занимались,, в разное время;1 Абель, Фату, Сцзекер, Эрдёш, Жаботинский, Адамар, Бэкер,
.. Кимура, Рэй, Ливерпуль, Кучма, Виркгоф, Лё, Бэбидж, и др. (так, задача об итерационных корнях рассматривалась в работе Бэбиджа [63] 1815-го года.:.), см. обзор результатов в монографии [94]. Однако полное решение; этих трех задач (причем достаточно простое, см. п.1.1.7) удается получить . только в терминах построенных в теореме 1 модулей.
. . Остальные разделы г.1 посвящены решению классификационных задач. со „скрытой динамикой“. Именно, рассматриваются следующие задачи:
Ъ Задача о парах инволюций. Конформное отображение I : (С, 0) —У : • (С, 0) называется ипволюциещ если I ф id и loi = id. Пусть X — множество всех инволюций и S = Т2. Две пары.инволюций (/, J) и (Д, J\) из 5. будем называть эквивалентными, если существует сопрягающая их голоморфная замена координат Н : (С, 0) —> (С, 0):
16
)
/1 О я = Я О 7, Д о я = Я О .7
Требуется дать классификацию пар инволюций из 5.
2. Задача о распаде симметрии. Пусть 7о(г) = —г — симметрия, Я аполитично в (С, 0), Я(0) = Я'(0) = 0, Я"(0) ф 0 и 71 — множество всех таких Я. Спрашивается, к какой нормальной форме Я можно привести отображение Я аналитическими заменами К. Я:
ЯоЯ = ЯоЯ при условии, что замена Я сохраняет симметрию 7(р
77 о 70 = 70 о Я
3. Задача об огибающей семейства плоских кривых. Следуя [5], семейством кривых на плоскости будем называть диаграмму
(С,0) <Г^— (С?, 0) -£->• (С2,0).
Семейства («7, Я) и (рьЯх) будем называть эквивалентными, если можно найти такие голоморфные замены Л, Я и К что диаграмма
(С,0) <г^— (€2,0) -А- (СЯ.О)
Ь Iя 1
К
(с, о) <Л- (<с2,о) (С2,0)
коммутативна. Пусть Т> — множество семейств (#, Я) таких, что К — складка, линейная часть отображения д невырождена и линия уровня (7“](0) касается ядра отображения Я*. Требуется дать аналитическую классификацию семейств из Я.
Задача о парах инволюций есть простейший пример задачи о классификации так называемых исключительных (см. [83], [149]) разрешимых (неа-бслевых) конечнопорождепных групп ростков одномерных голоморфизмов. Полная классификация таких групп была получена позже в работе [83].
17
Задача о распаде симметрии является частным случаем (эквивалентным, впрочем, общему) задачи о классификации расходящихся диаграмм, см. [78] или п. 1.1 ниже.
Задача об огибающей поставлена В.И.Арнольдом, и рассматривалась в работе [5].
Было известно (см. [78], [5]), что в каждой из этих трех классификационных задач, в вещественном гладком (и, конечно, формальном) случае классификация ,дочти“ тривиальна: все обшие элементы попарно гладко (формально) эквивалентны. Аналогичный результат несложно получить и в формальном комплексном случае. А вот в аналитическом случае, оказалось, классификация типичных элементов в каждой из этих задач - нетривиальна (и, в частности, не совпадает с формальной. Первым, по-видимому, предположил расходимость нормализующих рядов в задачах 2,3, а также и в других родственных задачах, см. п. 1.1, Дж.П. Дюфур). Точная формулировка результата об аналитической классификации приводится ниже.
Пусть с?2, 77.2, Т*2 — подмножества "общих элементов"пространств «9, 77., V (требования общности положения состоят, фактически, в формальной эквивалентности некоторой простейшей нормальной форме, и явно указаны в разделах 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 соответственно).
Пусть Ф±(£) = £ + ^2к>оске±27ггк^> РЯДЫ сходятся для некочорого N в областях {£ : ±1т£ > АГ} соответственно. Пусть М!2 — множество всех таких пар (Ф+,Ф_), что Ф+(0 = — Ф1Х(£). (Ф+,Ф_) и (Ф+,Ф_) будем называть эквивалентными в М2, если Ф±(£) = Ф(£ + с) + с для некоторого с Є С при всех £, таких, что ±1т£ > N для некоторого N. Пусть М2 — множество классов эквивалентности пар из М!2.
Пусть [62], [772], [Т>2] — множество классов эквивалентности элементов 52, 77-2, Т>2. Тогда справедлива следующая классификационная теорема (сформулированная здесь в соответствии с замечанием 0.0.2):
Теорема 2 (теорема 1.2.3) М2 есть пространство модулей в задачах об
18
аналитической классификации для каждого из пространств <S2,7£2 и Т>2:
[62] = [Пг] = [Щ = М' .
Фактически здесь сформулированы три теоремы: для <S2, 7Z2 и Х>2; доказываются они, соответственно, в разделах 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 (теоремы 1.2.4,
1.2.5, 1.2.6).
Задача о парах инволюций сводится к задаче о классификации ростков из Л2 естественным образом: каждой паре т = (/, J) G S2 ставится в соответствие росток fT = Ioj£ Л2. Симметричность (т.е., принадлежность классу М^) соответствующего ростку /г инварианта т/т следует из симметричности пространства орбит ростка /т: инволюция I переставляет орбиты /т: IofT = /-1 о I.
Задача о распаде симметрии легко сводится к задаче о парах инволюций: у нас уже есть инволюция /о, а по одномерной складке F G R2 инвариантно определяется вторая инволюция Jpy переставляющая прообразы точек при отображении F.
Редукция задачи об огибающей к задаче о парах инволюций несколько сложнее, и, геометрически, может быть описана так. Пусть (g, F) - семейство из Х>2. Для складки F инвариантно определена (двумерная) инволюция I = 1р, переставляющая прообразы точек при отображении F. Рассмотрим слоение Т окрестности нуля на линии уровня ростка g, Т = {д = const}, и симметричное ему слоение Т = 1(F) = {д о I — const'}. Пусть кривая I состоит из точек касания слоев слоения Т и слоев слоения Т\ ясно, что кривая I /—симметрична: 1(1) = /. Тогда на кривой I (инвариантно) определены две (одномерные) инволюции: первая из них есть просто сужение на I симметрии /; вторая переставляет точки касания с кривой I слоев слоения Т. Полное описание редукции (в несколько иной терминологии) см. в пункте 1.2.3; технически, задача оказалась достаточно тяжелой (редукция занимает 7 страниц текста).
Во второй главе рассматриваются задачи многомерной динамики. Основ-
19
ной объект исследования этой главы — ростки голоморфных отображений (Сп,0) -* (Сп,0), удовлетворяющие следующим двум условиям:
1°. Неподвижные точки ростка образуют гладкую гиперповерхность в
(С",0).
2°. Мультипликаторы (собственные значения линеаризации ростка в особой точке) постоянны вдоль гиперповерхности неподвижных точек. .
. Каждое из этих условий налагает на коэффициенты тейлоровского разло-. жения ростка в нуле бесконечно много ограничений; однако, как это будет показано ниже, ростки указанного вида естественным образом, возникают в некоторых геометрических задачах в случаях конечной коразмерности. Собственно говоря; именно ради этих приложений и было предпринято исследование классификации ростков отображений в рассматриваемом случае, имеющем бесконечную коразмерность.
Именно, В.И.Арнольд показал , как в простых геометрических задачах (см. 1.1) возникает скрытая динамика (инвариантно определенная, пара од-
- • V % • , • . . . ’ . . ' • *'* ' 4 •* •'
номерных инволюций). В дальнейшем в этих задачах были обнаружены функциональные модули аналитической классификации: Далее, во время беседы с автором, Владимир Игоревич предположил, что аналогичное явле-.ние имеет место и в более сложных (многомерных) задачах. Одной из таких задач являлась исследовавшаяся им ранее так называемая задача Дарбу-Уитпи (см. ниже п. 2.1.4). В этой задаче также возникает пара инволюций :(их, видимо, уместно будет называть инволюциями Арнольда). Композиция инволюций Арнольда как раз и удовлетворяет сформулированным выше двум жестким условиям (отягощенным еще и „резонансностыо“: линейная часть композиции во всех её неподвижных точках тождественна). Так что в основе всех исследований этой главы , фактически, лежит упомянутое выше замечание В.И. Арнольда.
Аналитическая и формальная классификации ростков указанного вида рассматриваются в разделе 2.1.2.
Пусть В — пространство обратимых ростков голоморфных отображений (Сп,0) —> (Сп,0), п > 2, неподвижные точки которых образуют гладкую гиперповерхность в (Сп,0), а мультипликаторы постоянны вдоль гиперповерхности неподвижных точек. Из теоремы Пуанкаре-Дюлака [2] несложно получить (см. пп. 2.1.2, 2.2), что каждый росток из Б формально эквивалентен либо ростку линейного отображения, либо ростку вида
Fq,а : (#, у, z) м- (Arc, у + re9, z), х, у 6 С, z в С7*-2, q в N, A G С
такому, что X2 = 1.
Аналитическая классификация формально линеаризуемых ростков из В в точности аналогична одномерному случаю, см. 2.1.2, теорема 2.1.3. Однако для приложений, о которых говорилось выше, более интересны формально нслинеаризусмые ростки.
Пусть B'qX - класс ростков из Б, формально эквивалентных ростку Fq% Несложно проверить, (см. лемма 2.1.1), что каждый росток из Bq А голоморфной заменой координат можно привести к виду
(х, у, z) F9]a(x, у, z) + о(х?) (2)
Поэтому задача об аналитической классификации ростков класса B'qX сводится к такой же задаче для класса B4iд, состоящего из ростков вида (2). Решение этой последней задачи дается следующей теоремой (и является основным результатом второй главы):
Теорема 3 ( теорема 2.1.5) Аналитическая классификация ростков класса BQy\ имеет, функциональные модули: существуют, бесконечномерное (функциональное) пространство Mq,\ и отобраоюение Ф : F тр 6 Мъ\ такие, что:
1. ростки F,G Е BQt\ аналитически эквивалентны, если и только если тр = тпе;
21
2. для любого т Є М.ч%\ существует F € BQtд такой, что т. = тр;
3. для любого аналитического семейства ростков {і^} С Bq,\ селіейство mpt является аналитическим.
Опишем коротко функциональное пространство Mq,\ и соответствие F *-> тр.
Полуформальным рядом (отображением) будем называть степенной ряд но переменной х, коэффициенты которого являются (вектор-) функциями, голоморфными в некоторой окрестности нуля в С”"1, одной и той же для всех коэффициентов. Оказывается, формальная нормализующая замена Н для ростка класса Вд>д, нормированная условиями Н(х, 0) = (х, 0), DH(x, 0) = Е, существует, единственна, и являются полуформальным отображением (теорема 2.1.2).
Далее, область V вида
{х € С : 0 < \х\ < R, а < arg а; < ß} х {ги Є С71"1 : \w\ < R}
будем называть векториальной областью радиуса R, направления [a,ß] и раствора ß — а.
Полуформальное отображение H(x,w) = YlkLбудем называть асимптотическим в U С С” для голоморфного отображения Н : U —> Сп, если 0 Є U, и
т
Н(х, w) — ^ Hk(w)xk = о(хт)
к=0
для любого т Є N при (х, гн) Є U, х —> 0.
В работе показано (теорема о секториальной нормализации 2.1.4), что для любого F Є Bq,\ и любой секториальной области U данного направления, раствора, меньшего |, и достаточно малого радиуса найдется голоморфное в U отображение Я, сопрягающее (на U) отображение F с его формальной нормальной формой FQtд; при этом (полуформальное) нормированное
/ч
нормализующее отображение Н является асимптотическим для Н на и.
22
Пространство модулей МЧуд и соответствие ^ ь-» тпр строится далее в соответствии со схемой, описанной выше (и уже использовавшейся в первой главе). Именно, возьмем конечное число секториал^ных областей малого радиуса и раствора, меньшего покрывающих окрестность нуля в (Сп,0), из которой удалены неподвижные точки ростка I*1 £ На этих областях в соответствии с теоремой о векториальной нормализации построим нормализующие росток .Р замены координат. Полученный объект назовем 7юр-мализую'ш;им атласом ростка Система функций-перехода этого атласа состоит из отображений, коммутирующих с и имеющих тождественное-отображение асимптотическим. '■
*. : - Назовем 1-коциклом любую систему отображений, обладающих этими
• двумя свойствами, и-пусть М^\ — пространство всех 1-коциклов. Назовем 0-коцепью произвольный нормализующий атлас формальной нормальной
• формы Отображения, составляющие 0-коцепь, коммутируют, с Fqy\\ про-
• странство (ростков) 0-коцепей является группой с операцией суперпозиция.
• На пространстве 1-коциклов естественным образом определяется действие группы.0-коцепей. Орбиты этого действия и являются элементами пространства МдХ, модуль тр ростка Р £ ВЧу\ есть орбита, содержащая систему функций перехода некоторого нормализующего атласа этого ростка.
Доказательство теоремы 3 (т.е:, теоремы 2.1.5) приведено в разделе 2.5 (для случая Л = 1, Теорема В\) и в пунктах 2.8.1 (Теорема Д^), 2.8.5-. (Теорема Дд ). Теорема о сскториальной нормализации доказывается с использованием техники операторов конечного порядка из [2]. Доказательство теоремы о реализации модулей основано на теореме Ныолендера-Ниреиберга [115] о почти комплексных структурах.
Замечание 0.0.3. Пространство модулей из теоремы 3. выглядит
намного сложнее по сравнению с пространством модулей М% из теоремы
1.1.1. Однако оно действительно является „функциональным“ (содержит подмножества, которые можно „отождествить“ с пространством всех функ-
ций, голоморфных в некоторой области). Бесконечномерность пространства, модулей (т.е., его „функциональность“) доказывается в разделе 2.6 (для случая <? = Л = 1) и пунктах 2.8.2 и 2.8.5 (общий случай).
Замечание 0.0.4. В определениях 0-коцепей и 1-коциклов выше, все отображения коммутировали с формальной нормальной формой ГПу\. Поэтому естественным является желание профакторизовать все рассматриваемые там области по действию .Р7)а, и работать на полученных фактор-пространствах. В результате мы получим другую, несколько более компактную, модель для пространства модулей, см. и. 2.5.7. Т.к. наши построения в точности сооветствуют схеме построения когомологий со значениями в пучке некоммутативных групп (см. [48], с.40), построенную таким образом модель для пространства модулей будем называть локальной группой когомологий-отображений на (фактор-пространстве.Это (пространство модулей в задаче об аналитической классификации ростков, формально эквивалентных данному ростку /о, совпадает с локальной группой когомологий-отображений фактор-пространства Гас/0 окрестности нуля с удаленными из нее неподвижными точками ростка /о, по действию /о), возможно, и есть универсальный ответ в задачах аналитической классификации. Отметим, наконец, что (обычную, см.[53]) (первую) группу когомологий на фактор-'5 пространстве Гаср{гА можно трактовать как „касательную“ к построенной нами локальной группой когомологий-отображений, см. замечания в п. 2.5.9. Т.к. на многообразиях Штейна первая группа когомологий тривиальна, то нетривиальность аналитической классификации следует ожидать в задачах, для которых соответствующее пространство Гас]0 не штейново. Во всяком случае, для рассматриваемых здесь задач это так: в задаче о классификации параболических ростков из г.1 для фактор-пространства .Рас/0,/о € Л2 нарушается условие голоморфной отделимости (оно даже не хаусдорфово!), а Гаср^ не является псевдовыпуклым, см.замечание 2.6.5.
Следующие три раздела первой главы имеют иллюстративный харак-
24
тер, и, фактически, посвящены „доказательству“ актуальности рассматриваемой задачи. Именно, оказалось, что, помимо задачи Дарбу-Уитни, ростки отображений указанного вида естественным образом возникают (в случаях малой коразмерности!) и в других задачах аналитической классификации. Эти задачи (вместе со вспомогательной задачей об орбитальной классификации векторных полей, преобразованиями монодромии которых и являются ростки отображений рассматриваемого типа) рассматриваются в п. 2.1.3-
2.1.5.
Далее, оказалось, что (как и в первой главе при исследовании пар инволюций) отображения класса ВЧг\, возникающие в прикладных задачах, обладают некоторыми дополнительными свойствами типа сохранения некоторых дополнительных структур (и классифицировать их надлежит также по действию группы замен координат, сохраняющих эти структуры). Поэтому, для нужд приложений, во второй главе приводятся также решения и соответствующих классификационных задач, отягощенных дополнительными структурами. Именно
1. Геометрической структурой в (Сп, 0) будем называть (при четном п) (почти) симплектическую структуру
ак = хк+1с1х А (1у + (1г\ А (1гг ... 4- <1гп-з А (1гп-2 ху у € С, г €. Сп_2 (а также и от* = ± <*/.-)
2. Симметрией (стандартной) будем называть инволюцию
/о : (я. 2/, 2) (~х,у,г), х, у £ С, г € С"-2;
3. Аптиимметрией (стандартной) будем называть антиголоморфную инволюцию „комплексное сопряжение“:
а : (х, у, г) (я, у,г), х,у е С, г е С71-2;
25
Эти три структуры будем называть элементарными структурами. Структурой будем называть любой набор элементарных структур.
Соответственно трем элементарным структурам определим пространства состоящие из всех ростков ^ : (Сп,0) —> (С”, 0) класса ВЯ)\, согласованных с соответствующей структурой 5 в следующем смысле:
1. К*ак = а*;
2. /0 О ? = О /0, где 6 =
3. СГ О р = Р о СТ.
Пусть, далее, группа ИЩ9 состоит из всех локальных голоморфных замен координат Н в (Сп,0), сохраняющих структуру 5 в следующем смысле:
1. Н*ак = ак\
2. /0 о Н = Н о /0
3. а о Н — Н о а.
Для неэлементарной структуры 5, пространства В^х и ИЩ8 определим как пересечения пространств, соответствующих элементарным структурам струкуры .9.
Требуется: получить классификацию ростков класса ВдХ по действию группы 1Х]ф8 (соответствующая формальная классификация тривиальна: любой росток из непустого класса ВдХ формально ^-эквивалентен Т^д, см. пункт 2.8.5 ).
Теорема 4 (Теорема 2.1.6) Классификация ростков класса В*х по действию группы .Ог/Р имеет (в случае В* х ф$) функциональные модули.
Обозначим через Мд Х пространство модулей из теоремы 4. Это пространство строится точно так же, как и пространство Л4д>\: надо только дополнить
26
определения 1-коциклов и 0-коцепей соответствующими условиями сохране-
г
ния структуры 5. Как и в теореме 3, пространство модулей в теореме 4 бесконечномерно (является „функциональным“).
Полное доказательство теоремы 4 (2.1.6) проводится, в случае у = А = 1, в разделе 2.7, и в общем случае - в пунктах 2.8.3 и 2.8.5.
Последние три пункта второй главы посвящены так называемой задаче Дарбу-Уитни.
Ласточкиным хвостом называется (см. [4]) поверхность с особенностями Г, состоящая из всех точек (А, В, С) <Е Кг, таких, что уравнение .г4 + Ах2 + Вх + С = 0 имеет кратные корни; произведение Л = Г х I С I4 называется расширенным ласточкиным хвостом.
> Симплектической структурой в (М4,0) называется росток в нуле невы-
рожденной замкнутой 2 - формы с вещественно-аналитическими коэффициентами. Две симплектические структуры называют эквивалентными (гладко, аналитически, формально), если одну из них можно перевести в другую локальным диффеоморфизмом (соответственно гладким; аналитическим или формальным).
Теорема.(Формальная теорема Дарбу-Уитни, [4, 11]) Симплектическая структура общего полоэюения (= невырожденная на плоскости В=С~0) приводится к стандартному виду
• шо = дА'А (И) + 6С А дВ
формальным диффеоморфизмом, сохраняющим расширенный ласточкин хвост.
Замечание 0.0.5. Этот результат можно понимать и как утверждение о возможности одновременной нормализации симплектической структуры (“по Дарбу“) и гиперповерхности с особенностями (“но Уитни“), что и объясняет название задачи.
Пусть (Ясак — пространство типичных симплектических структур из формальной теоремы Дарбу-Уитни. А - диффеоморфизмом будем называть росток замены координат Н : (Е4,0) —» (М4,0), переводящий росток в нуле
27
г
расширенного ласточкина хвоста в себя. Задачей Дарбу-Уитни будем называть задачу о классификации симплектических структур из вруу по действию группы А - диффеоморфизмов; при этом будем рассматривать фор-. мальный, гладкий и аналитический варианты задачи, (а также и её комплексную версию) .
Формальное решение задачи Дарбу-Уитни (в вещественном случае) дается сформулированной выше теоремой. Ясно, что аналогичный результат справедлив и в комплексном случае. Решение аналитической задачи Дарбу-
• Уитнн дается следующей теоремой ’ • ' ' •• • ’
Теорема 5 (Теорема 2.9.9,2; теорема 2.9.10)(Аналитическая теореліа Дарбу-Уитни.) Аналитическая задача Дарбу-Уитни имеет, функциональные мо- ■ дули; пространством модулей является пространство М^, при = 5, и ' структурами $ = (/о,<то,«о) 6 вещественном (и в = (/о,ао) * 6 кдмплекс-•'ном) случаях .*'•••.•/ •• '• :* ..: ■ :'Л/
Замечание 0.0.6. В качестве следствия вещественной вереи и* этой теоремы.(точнее; из существования соответствующих 5—нормализующих атласов)-легко получить, что в вещестенном случае все симплектические структупы из Орщ гладко А-эквивалентны, см. теорему 2.9.9,1. : ‘
Схему редукции задачи Дарбу-Уитни к соответствующей классификационной задаче для классов В*х, предложенную В. И. Арнольд ом, можно грз'бо описать так. Пусть 7 - линия самопересеченияласточкинахвоста.Г (она состоит из точек (А, В, С); соответствующих уравнениям с двумя кратными корнями),' И -7 = 7ХІ - расширенная литія самопересечения Пересечение •
• малой окрестности точки р Е 7,р^ 0 с А состоит из двух „листов“. Первая
• инволюция Арнольда переставляет эти листы (и действует она на пространстве 7 пар (точка из 7, „лист“в этой точке)). Далее, характеристики (= инт тегральные кривые поля ядер сужения симплектической структуры на А) ■ уходят с 7 по одному листу, и возвращаются на 7 по другому; это определяет на 7 вторую инволюцию Арнольда. Композиция инволюций Арнольда и
есть соответствующее симплектической структуре отображение класса Вч.
Точное описание редукции и полная схема решения задачи Дарбу-Уитии приводятся в п. 2.9, „доказательной „ части посвящены последние два раздела главы.
В третьей главе исследуется аналитическая классификация резонансных седел и седлоузлов. .
Пусть V - класс ростков голоморфных векторных полей в (С2,0) с нсвы-. рожденной; особой точкой 0..Два ростка из V называются аналитически (формально) эквивалентными, если один росток можно перевести в другой локальною голоморфной (формальной) заменой координат.
■ . Два ростка из V называются аналитически ((формально) орбитальпо эк-; бивалентными, если один росток можно перевести в другой локальной голоморфной (формальной) заменой координат с последующим умножением на обратимый росток голоморфной функции (формальный степенной ряд с ^ненулевым свободным членом). : ‘' •/ ;
; :. Росток и Е V называется седловым (седловым резонансным), если отношение собственных значений его линеаризации в нуле есть отрицательное вещественное (отрицательное рациональное) число.
Через V^ и И5?’,обозначим класс седловых ростков из У. и* класс сед-, ловых резонансных ростков из V, соответственно. Известно, что типичный росток из У5\У5Л можно линеаризовать голоморфной заменой координат. Из теоремы Пуанкаре-Дюлака следует, что типичный росток класса нелинеаризуем (даже формально), однако его можно значительно упростить • формальной заменой координат (см. [2)). Более того,!несложно проверить (см. п.3.2), что типичный росток из У5Я'формально эквивалентен одному •• ИЗ ростков ‘
* Л д
' У\}С = \1Х(1 + и)— + \2у{1 + С1и + С2и2) — , ..
где А-— (АьАг), ^ р, д € N5 2 - несократимая дробь, и = х(]ур,