2
Содержание
0 Введение 4
1 Глава 1. Нелинейные краевые задачи на собственные значения 18
1.1 Постановка краевой задачи на собственные значения
для системы уравнении Максвелла (ТЕ-поляризация) . 18
1.2 Сведение к нелинейной краевой задаче на собствен-
ные значения для дифференциальных уравнений (ТЕ-поляризация)........................................ 20
1.3 Постановка краевой задачи на собственные значения
»
для системы уравнений Максвелла (ТН-поляризация) . 22
1.4 Сведение к нелинейной краевой задаче на собствен-
ные значения для дифференциальных уравнений (ТН-поляризация) ....................................... 22
2 Глава 2.Исследование разрешимости задач на собственные значения 24
2.1 Функция Грина и ее свойства......................... 24
2.2 Сведение краевой задачи к нелинейным интегральным
уравнениям.......................................... 25
2.3 Теоремы о существовании и единственности решений
интегральных уравнений.............................. 28
2.4 Теорема о непрерывной зависимости решения от спектрального параметра...................................... 30
2.5 Теоремы о существовании решений дисперсионного
уравнения и задачи на собственные значения.......... 32
2.6 Формулировка итерационного метода решения интегрального уравнения...................................... 37
2.7 Теорема о сходимости итерационного метода.......... 37
2.8 О некоторых оценках параметров..................... 39
3 Глава 3.Комплекс программ и результатов расчетов 44
3.1 Алгоритм решения задачи на собственные значения в нулевом и первом приближениях........................... 44
3.2 Алгоритм полного решения задачи на собственные значения .................................................. 46
4 Заключение 49
б Приложение 1. О точных решениях нелинейных дифференциальных уравнений. 51
6 Приложение 2. Численные результаты. 55
7 Список литературы
76
Введение
4
Задачи распространения электромагнитных волн в различных средах были и остаются актуальными в связи с их широким практическим применением. Необходимость теоретического исследования существования и свойств собственных волн диктуется практической потребностью передачи энергии поля на большие расстояния с минимальными потерями. Успехи в разработке данного направления электродинамики привели к построению различных классов волноведущих структур.
Распространение электромагнитных волн в волноводах с заполнением линейной средой (то есть когда диэлектрическая и магнитная проницаемости не зависят от электромагнитного поля) -тема классической электродинамики [9], [28], [29], [30].
В случае волновода кругового сечения и постоянных электрической и магнитной проницаемостей уравнения Максвелла решаются в цилиндрических координатах, при использовании метода разделения переменных появляется линейное обыкновенное дифференциальное уравнение, называемое уравнением цилиндрических функций или уравнением Бесселя, решение которого является комбинацией цилиндрических функций. Собственные функции и собственные значения определяются как решения краевых задач с дополнительными условиями на контуре для решений и их первых производных [9]. С появлением нелинейной оптики предметом изучения в электродинамике стали сильные волновые поля, в которых начинает проявляться нелинейность сред. Качественно новыми эффектами нелинейной оптики стали порождение средой высших гармоник, а также
5
самовоздействие волнового процесса, распространяющегося в нелинейной среде [9]. При распространении через жидкость или газ волны, создаваемой лазером, учитывают нелинейность поляризации среды, вызываемую целым рядом факторов [9]. Помимо поведения электронов в сильном электромагнитном поле существенно механическое воздействие поля на вещество: возникает давление, пропорциональное средней мощности волны, в результате чего в областях сгущения увеличивается диэлектрическая проницаемость. При распространении резко неоднородной волны - луча лазера -можно сказать, увеличивается оптическая плотность среды в области сильного поля. Иными словами, в определенных условиях волновому процессу сопутствует образование канала, направляющего его энергию - нечто вроде диэлектрического волновода. Это называется самоканализацией, если канал сужается, наступает так называемая самофокусировка [9].
Исследования данной тематики претерпели значительную эволюцию в течение последних 50 лет, с того времени, как было обнаружено явление самофокусировки электромагнитного поля в нелинейной среде. Впоследствии основным предметом исследователей стали волноводы различных конфигураций и с различным заполнением среды. Эффекты самофокусировки используются в лазерах и оптоэлектронных приборах, для построения устройств обработки сигнала или блокировки моды в волоконных лазерах.
Квантовая теория самофокусировки была разработана Талановым для плазмы и группой американских ученых R.Y.Chiao, Е. Garmire, С.Н. Townes [22] для твердых тел в 1964 году, где исследуются условия, при которых электромагнитный луч может распространяться без затухания в средах с диэлектрической
6
проницаемостью, возрастающей пропорционально интенсивности электромагнитного поля, и постоянной в его отсутствие. В работе [22] представлено теоретическое объяснение самофокусировки. Если при воздействии электромагнитного поля диэлектрическая постоянная обуславливает критический угол внутреннего отражения, превышающий дифракционный угол отклонения луча, то рассеяние путем дифракции не будет иметь места. Таким образом, при мощности луча (уменьшающейся пропорционально квадрату длины волны), выше некоторого критического уровня этот луч может быть сфокусирован при любом произвольном радиусе. В обычных диэлектрических материалах для достижения самофокусировки достаточно мощности обычного лазерного
о
светового луча, т.е. порядка 10 Вт.
Авторами [22] получено точное решение волнового уравнения в форме линейно поляризованного плоского светового луча и в форме цилиндрически поляризованного луча кругового сечения с поперечной составляющей электромагнитного поля .
Исследование [22] вызвало большой интерес и послужило толчком к началу многочисленных исследований. Так, например, в работе [26] советских авторов Д.И. Абакарова, A.A. Акопяна и
С.И.Пекара рассматривается новый вид самофокусирующегося луча, на этот раз с поперечным сечением произвольной формы и поперечными размерами, значительно превосходящими длину световой волны. Применение численных методов в этом случае в нулевом приближении дает результат [22], а в более высоком приближении констатируется появление продольного электромагнитного поля.
Расслоение среды на области, в одних из которых электромагнитное поле поперечно, а в других появляется также и
- Київ+380960830922