Алгоритмы статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение............................................................5
Глава 1. Метод Г. Берда для статистического моделирования динамики разреженного газа......................................18
1.1. Алгоритм Г. Берда.......................................... 18
1.2. Обоснование алгоритма метода прямого статистического моделирования в пространственно однородном случае......... 21
Глава 2. Прямое статистическое моделирование кинетических процессов, основанное па использовании уравнений Колмогорова.................................................... 33
2.1. Основной марковский процесс................................ 33
2.2. Метод мажорантной частоты.................................. 36
2.3. О корреляционной функции двух частиц в методе прямого статистического моделирования в пространственно однородном случае 39
Глава 3. Метод локальных весов для моделирования пространственно однородной релаксации газа..............................51
3.1. Метод дополнительной переменной для уравнения Больцмана
в случае одпокомпоиентного газа.............................. 51
3.2. Метод дополнительной переменной для релаксации смеси химически нейтральных газов...................................... 59
Глава 4. Весовые методы Монте-Карло для приближенного
решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана ....68
4.1. Введение................................................... 68
4.2. Математическая модель стохастической кинетики многочастичной системы.......................................................... 70
4.3. Построение базового интегрального уравнения................ 72
4.4. Весовые оценки............................................. 75
4.5. Дисперсии оценок .......................................... 77
4.6. Параметрические оценки......................................78
4.7. Глобально-весовой метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана.......................................'.......79
2
4.8. Ценностные модификации весового статистического моделирования
для решения нелинейных кинетических уравнений.................. 96
Глава 5. Статистическое моделирование решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского............................ 108
5.1. Статистическое моделирование решения задачи Коши для нелинейного кинетического уравнения Смолуховского
с источником...................................................108
5.2. Статистическое моделирование решения задачи Коши для нелинейного кинетического уравнения Смолуховского
без источника................................................. 114
5.3. Весовой метод Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения коагуляции............................120
5.4. Ценностные модификации статистического моделирования для решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского..................................................... 138
Глава 6. Статистическое моделирование решения нелинейного уравнения Больцмана в пространственно неоднородном случае ...........................................................148
6.1. Введение..................................................... 148
6.2. Уравнение Колмогорова с переменным числом частиц для решения начально-краевой задачи для нелинейного уравнения Больцмана в пространственно неоднородном случае ....150
6.3. Интегральное уравнение и алгоритм прямого моделирования.......156
6.4. Регуляризация взаимодействия двух частиц по пространственным переменным........................................................ 161
6.5. О погрешности, вносимой регуляризацией взаимодействия частиц
по пространственным переменным.................................163
6.6. Приближенная минимизация трудоемкости алгоритма прямого моделирования..................................................... 166
6.7. Экономичные приближенные алгоритмы статистического моделирования, использующие дискретный шаг по времени 167
6.8. Алгоритмы реализации общей схемы ............................175
3
6.9. Приближенная схема моделирования..........................179
6.10. Асимптотические выражения для дисперсий оценок основных функционалов в методе прямого статистического моделирования
в пространственно неоднородном случае..................... 181
Глава 7. Применение разработанных алгоритмов к решению
задач динамики разреженного газа ............................. 198
7.1. Применение алгоритмов к расчету классических течений газа и к расчету трехмерного обтекания затупленного полуконуса
с крыльями................................................ 198
7.2. Расчет течения газа в MEMS................................203
Заключение........................................................209
Литература........................................................210
4
ВВЕДЕНИЕ
Метод прямого статистического моделирования является наиболее распространенным среди численных методов решения задач динамики разреженного газа. В настоящее время он практически вытеснил все иные подходы к решению прикладных задач в этой области. Более того, как показывают материалы международных симпозиумов по динамике разреженного газа [1,2,3], наметилась тенденция применения этого метода к расчету всего спектра течений — от сплошной среды до свободомолекулярного течения и с учетом физико-химических превращений в газе ( см. обзоры (4,5)).
В основе описания динамики разреженного газа и молекулярных процессов, протекающих в разреженном газе, лежит нелинейное кинетическое уравнение Больцмана. Для случая простого газа оно имеет вид:
£>/(<, г, у) сЩ г, у) = J(f /} dt дг
где /(£, г, v) — плотность числа частиц, то есть f(t. г. v)drdv — среднее число частиц в элементе физического пространства dr около точки г, обладающих скоростями в элементе пространства скоростей dv около точки v. В правой части уравнения находится интеграл столкновений
=j{f(t;r,v')f(L r,v',) - f(l., r,v)/(t,r. v,)} |v-vi|or(^, |v-Vi|)tZfitZv,.
Здесь <t(î9, |v — v11) — дифференциальное сечение рассеяния двух частиц со скоростями (v, Vi); di2 — телесный угол, в котором находится вектор относительной скорости частиц после рассеяния (в системе центра масс частиц);
О — угол поворота вектора относительной скорости частиц в плоскости рассеяния; (v. vj ) и (v'. vj) — скорости частиц до и после столкновения.
Часто используется другое, эквивалентное представление интеграла столкновений [69):
Af>f) = JJJ ^(v'i.va -> vb v2){/(v',, г)/(т/2, t)-f(vu t)f(v2, l)}dv[dv'2dv2;
»(v'bV', -> vllV2) = a(gu,m (<v»-v»)a^ (4+v^v',-.^ , где gi2 = (vj — vo\, и ô's — одно- и трехмерные дельта-функции.
5
Характерной особенностью этого уравнения является нелинейность правой части, которая описывает парные взаимодействия частиц газа.
Методы статистического моделирования для решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана появились в начале 60-х годов и сразу же привлекли к себе внимание своей физической наглядностью. Условно их можно разделить на три группы. К первой следует отнести метод пробных частиц [6|, который является естественным развитием классического метода Монте-Карло и основан на специальном итерационном процессе для нелинейного кинетического уравнения Больцмана. Ко второй группе относится метод (7) прямого моделирования разреженного газа конечным набором взаимодействующих модельных частиц. Численные алгоритмы в этом случае строятся, исходя из физической модели газа, лежащей в основе вывода нелинейного кинетического уравнения Больцмана. В [8| описан метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана, основанный на теории ветвящихся случайных процессов, который определяет третью группу методов. Однако он не получил широкое распространение, поскольку расчеты типичных задач динамики разреженного газа этим методом весьма трудоёмки.
Первоначально методы первой и второй групп основывались на эвристических представлениях, и их связь с нелинейным кинетическим уравнением Больцмана была недостаточно ясна. Метод пробных частиц получил теоретическое обоснование в [9|, где показана прямая связь процесса моделирования, предложенного в [6|, с соответствующим итерационным процессом (точнее, на каждом итерационном шаге) решения краевой задачи для нелинейного уравнения Больцмана. Реализация этого метода требует хранения в памяти ЭВМ значений решения в двух последовательных итерациях, что накладывает существенные ограничения па его практическое применение. Метод пробных частиц для модельного кинетического уравнения был построен в |10|, ого эффективный вариант для максвелловских молекул — в [11|.
Хорошо известно, что метод расщепления (дробных шагов) является эффективным численным методом решения многомерных задач математической физики [148). Для кинетических уравнений, в частности, линейного кинетического уравнения переноса нейтронов, в [149] впервые было предложено
б
расщепление по физическим процессам.
Для нелинейного кинетического уравнения Больцмана специальный вариант метода расщепления по физическим процессам можно представить следующим образом. На конечном промежутке времени [О, Т| вводится сетка £,• = гД£, г = 0,..., га и решение начально-краевой задачи для уравнения Больцмана заменяется последовательным решением следующих задач:
Условия на границах расчетной области и обтекаемого тела учитываются при решении задачи (0.1). 13 дальнейшем будем предполагать сходимость решения задачи (0.1), (0.2) при Д£ —> 0 к решению начально-краевой задачи для уравнения Больцмаиа.
По-видимому, впервые на такую двухэтапную аппроксимацию решения уравнения Больцмана из физических соображений указал Г.Трэд [150]. На малом временном шаге Л/. *С т\ ( тд — среднее время свободного пробега частиц в [’азе) он предложил разделить процесс решения на два этапа: решение задачи свободного молекулярного переноса (0.1) и затем задачи пространственно однородной релаксации (0.2).
В общем случае доказательство сходимости расщепленной задачи к решению уравнения Больцмана в настоящее время отсутствует. Если же полагать, что решение уравнения Больцмана существует и единственно при обычных предположениях [129,130], то, как доказано в [151], решение (0.1), (0.2) сходится к решению нелинейного уравнения Больцмана при АС —> 0. При этом имеется в виду, что каждая из расщепленных задач (0.1)^0.2) решается точно.
Л(г,у) = /С«, Г, V) I ;
(0.1)
(0.2)
/(£.', Г, V) = Г, V);
Д+|(г, V) = /(4г+1,г, V).
7
Использование метода расщепления для численного интегрирования уравнения Больцмана предложено в [152|. В частности, там построена консервативная схема расщепления: интеграл столкновений J(f.f) на шаге At вычисляется методом Монте-Карло, а для вычисления функции распределения используется конечно-разностная схема с коррекцией, обеспечивающей выполнение законов сохранения.
При численном интегрировании уравнения Больцмана с использованием метода расщепления, как видно из (0.1), (0.2), необходимо запоминать функцию распределения на каждом шаге At, что предъявляет высокие требования к ресурсам ЭВМ. В частности, при решении одномерных задач динамики разреженного газа необходимо помнить двумерную функцию распределения во всех точках разбиения пространственной переменной, а в случае двух пространственных переменных в узлах сетки необходимо запоминать трехмерный массив значений функции распределения. Дополнительная сложность также возникает в вычислении значений функции распределения в точках, не совпадающих с узлами сетки в скоростном пространстве, при вычислении интеграла обратных столкновений.
Несмотря на эти сложности, применение метода расщепления при прямом численном интегрировании уравнения Больцмана позволило получить численные решения ряда задач динамики разреженного газа [153, 154). Описанный метод, принадлежащий к первой группе методов продолжает развиваться.
В 1963 году Г. А. Берд ( G. A. Bird ) [114] предложил вероятностный подход для численного моделирования столкновительиых процессов в разреженном газе. Следующим этапом развития этого подхода было введение сетки в координатном пространстве (скоростное пространство остается непрерывным) и с введением принципа расщепления для моделирования физического движения частиц газа, то есть раздельного моделирования свободомолекулярного движения частиц и их столкновений. Введенный таким образом принцип расщепления отличается от описанного выше, тем, что здесь расщепляется не уравнение, а процесс статистического моделирования на шаге AL. Окончательное объединение принципа расщепления с моделированием столкновений
8
в ячейках по схеме "счетчик времени"(time counter scheme) было сформулировано в [12], где была прослежена связь предложенной методики с нелинейным уравнением Больцмана. 13 качестве критерия соответствия численных результатов моделирования по схеме "счетчик времен и "решению нелинейного уравнения Больцмана использовался критерий равенства частоты столкновений в модельном газе с ее теоретическим значением, соответствующем нелинейному уравнению Больцмана. Наиболее полное описание данного подхода приведено в [8G). В работе [13] также было введено разбиение физического пространства на ячейки, но для моделирования столкновений в ячейках использовалась схема "частота столкновений"114]. Данный метод относится ко второй группе методов.
Расщепление непрерывного процесса движения молекул и их столкновений в разреженном газе на два последовательных этапа на. временном шаге At впервые было предложено в [114,12]. Сформулируем основные положения этого метода.
Область течения разбивается на ячейки размером Ах так, что изменения параметров течения в каждой ячейке должно быть малым. Временной шаг At должен быть мал по сравнению с тд - средним временем между столкновениями молекул. На этом временном шаге At свободное движение молекул п межмолекулярные столкновения рассматриваются последовательно:
1. Все молекулы, находящиеся в области течения, перемещаются на расстояние, определяемое их скоростями в данный момент времени и шагом по времени At. Если в процессе этого перемещения молекула выходит за границу расчетной области, то она изымается из моделирования. Если в процессе движения молекула попадает на поверхность обтекаемого тела, то в соответствии с граничными условиями вычисляется ее новая скорость. На этом же шаге At производится генерация новых частиц, входящих в область течения, в соответствии с заданной па границах расчетной области функцией распределения.
2. В каждой ячейке физического пространства независимо проводятся столкновения частиц, принадлежащих только данной ячейке, т.е. столкновения частиц из соседних ячеек не рассматриваются. Так как изменение фуик-
9
ции распределения считается малым в данной ячейке, то при выборе пары частиц для расчета столкновений их относительное расстояние не учитывается. Скорости молекул после столкновения вычисляются в соответствии с законами сохранения импульса и энергии.
Параметры течения газа в моменты времени = k&t, где к — 0,1....??, определяются осреднением но L траекториям.
Для решения стационарных задач в (86| предложено использовать следующий вариант метода установления: прослеживается только одна траектории и после достаточно большого значения к. — ко параметры течения определяются осреднением НО /у выборочным значениям в моменты времени t = (/со + l)At. I = 1
Обычно реализация этапа свободномолекулярного переноса не вызывает принципиальных затруднений: каждая частица системы смещается на расстояние, пропорциональное ее скорости, и её новые координаты равны
г' = г -I- vAt.
Принципиальным моментом метода прямого статистического моделирования является реализация этапа столкновнтелыюй релаксации, который также имеет и самостоятельное значение мри решении пространственно однородных задач динамики разреженного газа.
Отметим различие в использовании принципа расщепления в методе прямого статистического моделирования и метода расщепления (дробных шагов) при численном интегрировании уравнения Больцмана, основанном на системе (0.1), (0.2). Использование указанной системы, как уже отмечалось выше, предполагает запоминание функции распределения на каждом шаге по времени, что, естественно, требует больших ресурсов ЭВМ. В методе же прямого статистического моделирования (и в этом его кардинальное отличие) не требуется вычисление функции распределения на каждом временном шаге. Состояние модельной системы частиц в каждый момент времени определяется значениями координат и скоростей всех частиц. Осреднение по //Траекториям такого N-частичного случайного процесса позволяет получать в заданные моменты времени различные функционалы от функции распределения.
Описанный выше феноменологический метод, использующий всроятност-
10
ныс представления для численного моделирования решения нелинейного уравнения Больцмана — метод прямого статистического моделирования — в основном сформировался в начале 70-х годов. Этот метод постоянно развивался и модифицировался. При своем развитии метод сохранил свою структуру и основные принципы, лежащие в его основе.
В основном, развитие метода шло но пути предложения различных вариантов моделирования столкновений в модельном газе |14-29|. Большинство этих численных схем моделирования проанализировано с точки зрения эффективности в [30]. Качественный анализ распространенных численных схем реализации прямого статистического моделирования был проведен в [311, где отмечен их общий характер, связанный с использованием А'’-части мной модели газа. Основное кинетическое уравнение, описывающее такую модель газа, на уровне Л''-части мной плотности распределения, хорошо известно [32-34|. Впервые связь между моделированием траектории модельной системы N частиц в ЗЛ^-мерном пространстве скоростей с моделью Каца [32| отмечалось в 116), где из физических соображений был предложен "основной"марковский процесс для численной реализации этой модели газа. Детальнее эта связь прослежена в работах [17-19|, где модель Каца введена феноменологически на основе постулированного вероятностного описания случайного процесса эволюции системы N частиц.
Приближенный алгоритм реализации модели Каца, основанный на схеме испытаний Бернулли с разными вероятностями успеха, был предложен в |17|. На основе этого алгоритма построена интегро-конечно-разностная схема основного кинетического уравнения. 13 [29,221-227] также постулируется вероятностное описание процесса эволюции системы частиц и на его основе выписывается интегральное уравнение.
Следует отметить общность всех подходов к построению численных схем второй группы методов. Все схемы используют принцип расщепления. Реализация столкновений в модельном газе производится следующим образом: сначала из некоторых представлений о столкиовителыюм процессе частиц в реальном газе постулируется случайных характер процесса эволюции модельной системы частиц и строится численный алгоритм прямого стати-
11
стического моделирования, в отдельных случаях, формулируется некоторое икинетическоенуравненис. Методы данной группы, как легко видеть, реализуют эволюцию конечного ансамбля взаимодействующих частиц, поэтому построение численных алгоритмов статистического моделирования должно основываться на "кинетических” ( управляющих ) уравнениях, которые описывают эволюцию этого ансамбля. Слово 11 кинетические"взято в кавычки, поскольку речь идет о численных алгоритмах, использующих такое количество частиц п искусственно введенное взаимодействие между ними, что говорить о кинетических уравнениях в классическом смысле |58, G8, 71, 75) не приходится. Эти управляющие Л'-чаетичноп моделью уравнения должны сопо-ставлятся нелинейному кинетическому уравнению. Такое сопоставление даст возможность получить необходимые соотношения между величинами, характеризующими нелинейные кинетические уравнения и модельные уравнения. По-видимому, исторически первыми, кто использовал модельные уравнения, описывающие эволюцию ансамбля с конечным количеством взаимодействующих частиц, для исследования кинетических уравнений, были для неоднородного но пространству случая — М. А. Леоитович |34) и для однородного - М. Кац [32). В обоих случаях это были уравнения Колмогорова, записанные для парного взаимодействия частиц в ансамбле, причем рассматривался ансамбль с конечным числом частиц.
Использование статистического моделирования для решения нелинейного уравнения коагуляции [35|, то есть уравнения Смолуховского |36|, базируется на аналогичных идеях, на которых строятся схемы прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа, причем применяется сходный математический аппарат (35-40). Поэтому целесообразно на основе единого подхода разрабатывать алгоритмы метода Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнений Больцмана и коагуляции.
В начале 80-х годов появляются методы прямого статистического моделирования для построения которых не используется принцип расщепления. Ю.Н. Кондюрин [25-28, 164] предложил новый подход к моделированию пространственно неоднородных течений разреженного газа, в котором использован ôiV-мерный непрерывный по времени марковский случайный процесс,
12
п предложен алгоритм реализации этого процесса [96-97]. 13 нем вводится "некоторая регуляризация больцмановского сечения столкновении'1*! при взаимодействии частиц учитывается их взаимное расположение. В |97| отмечается, что эволюция такой модели газа управляется линейным интегродиф-ференциальным уравнением Колмогорова - Феллера, и "если рассматривать моделируемую совокупность частиц как одну гипотетическую частицу в Дг-мериом фазовом пространстве то предложенный марковский процесс моделирования "аналогичен марковскому процессу известного метода статистического моделирования уравнения переноса"[8]. Для уменьшения трудоемкости моделирования времени свободного пробега частиц в такой модели газа было предложено использовать известный метод максимального сечения, и оценка трудоёмкости алгоритма, проведенная в (96|, показала, что для реализации каждого столкновения требуется ~ /V2 операций. В [221] введен аналогичный! случайный процесс, в котором использовалась другая модель взаимодействия частиц. Данный подходе введением случайного марковского процесса эволюции взаимодействующих частице последующим установлением связи о нелинейным уравнением Больцмана получил разви тие в работах [221-227].
Учет специфики А'-частичиой модели газа позволил в пространственно однородном случае сформулировать принцип мажорантной частоты [52,30], который сочетает в себе идеи метода максимального сечения [8] и метода дополнительной рандомизации [228] . В работе 1167] этот принцип был распространен на пространственно неоднородный случай, что позволило построить новые точную ( без дискретизации времени ) и приближенную ( с дискретизацией времени ) экономичные схемы моделирования, исходя непосредственно из основного кинетического уравнения Леонтовича [34].
В [169.170] построены и обоснованы весовые модификации метода прямого статистического моделирования (ПСМ) для приближенного решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана. Следует отметить, что ранее уже были построены модификации ПСМ, в которых отдельным частицам присваивались веса, связанные с искусственным перераспределением типов частиц в начальный момент времени [86,54,178]. Соответствующие весовые
13
оценки не являются статистически эквивалентными оценкам ПСМ. Их состоятельность, т. е. асимптотическая (по числу взаимодействующих частиц)
эквивалентность оценкам ПСМ. достигается путем специальной рандомнза-
й
цпи па основе физических соображений баланса. В работе [54] рассмотрена наиболее общая и в значительной степени обоснованная весовая модификация ПСМ такого типа под названием метода дополнительной переменной. С точки зрения общей теории весовых статистических методов решения интегральных уравнений (179, 180) эта модификация также является методом прямого моделирования для модифицированного интегрального уравнения (54), определяющего математическую модель эволюции ансамбля взаимодействующих частиц.
Для построения и обоснования алгоритмов ПСМ с цслыо нахождения приближенного решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана может быть использовано линейное интегральное уравнение 1167), которое эквивалентно N-частичному уравнению Леонтовича (34), с регуляризованным по пространственным переменным эффективным сечением парных столкновении |181). Однако использовать это уравнение непосредственно для построения стандартных весовых модификаций прямого моделирования невозможно, так как его ядро представляет собой сумму взаимно сингулярных слагаемых. Работе [170) это затруднение преодолевается путем введения номера взаимодействующей пары частиц в число координат фазового пространства системы, в результате чего в ядре остается лишь один сингулярный сомножитель. Для такого ядра оказывается возможным построение алгоритма с глобальным весом, который после каждого элементарного перехода в моделируемой цепи Маркова домножается на. стандартный [179, 180) весовой множитель. Это позволяет распространить хорошо разработанную теорию весовых методов 1179, 180) на рассматриваемый класс задач и. в частности, дает возможность оценивать параметрические производные от решения, что особенно важно при численном исследовании влияния различных параметров на решение нелинейного уравнения Больцмана.
Дальнейшее развитие этого направления |]71-177) позволило построить эффективные ценностные модификации для приближенного решения нсли-
14
не иных кинетических уравнений Больцмана и Смолуховского.
13 настоящей диссертационной работе используется подход, предложенный в [41-42], согласно которому в качестве уравнений, описывающих эволюцию модельного газа, выбираются уравнения Колмогорова ( вслед за Кацем, по шире ). Решение нелинейного кинетического уравнения при этом рассматривается как линейный функционал, заданный на решении соответствующей задачи для уравнения Колмогорова. При таком подходе к решению нелинейных кинетических уравнений уравнения Колмогорова играют роль вспомогательных. Для установления соответствия между построенным специальным образом линейного функционала на решении вспомогательной задачи с решением соответствующего нелинейного кинетического уравнения используется известное условие молекулярного хаоса [32-33). Вопросы, связанные с исследованием этого условия в диссертации не рассматриваются. В частном случае, если в качестве вспомогательного уравнения использовать уравнение Каца, которое в данном случае является уравнением Колмогорова, то данный подход совпадает с подходами (25-28,32].
Диссертация посвящена построению н обоснованию алгоритмов статистического моделирования для приближенного решения нелинейных кинетических уравнений больцмаповского типа.
Первая глава дпссертатиции посвящена обоснованию известного метода Берда для пространственно однородного случае. Показано, что в рассматриваемом случае он является приближенным методом решения уравнения Каца.
Результаты главы 1 опубликованы в работах ]30, -19, 53).
Бо второй главе на основе уравнения Каца выведен алгоритм моделирования для приближенного решения уравнения Больцмана известный как "основной марковский процесс". Основываясь на идеи метода, "максимального сечения"и учитывая специфику уравнения Каца для эволюции Ы-частичиой модели газа, получен алгоритм "мажорантной частоты". Показано, что он имеет линейную но числу модельных частиц трудоемкость. В пункте 2.3. данной главы получено асимптотическое по времени выражение корреляционной функции двух частиц.
15
Результаты второй главы опубликованы в работах |30, 48, 50-53. 56,57, 137, 138, 144).
В третьей главе представлен метод дополнительной переменной для решения уравнения Больцмана в пространственно однородном случае и его обобщение на смеси химически нейтральных [’азов. Приведено его обоснование.
Результаты главы 3 опубликованы в работах [41, 42, 54, 55, 209|.
В четвертой и пятой главах на основе уравнений Колмогорова производится построение весовых п ценностных модификаций, используемых в методе статистического моделирования для решения уравнений Больцмана и Смолу ховско го.
Результаты четвертой и пятой глав опубликованы в работах |43-46, 169-177, 191, 208,|.
В шестой главе описан метод прямого моделирования для решения уравнения Больцмана в пространственно неоднородном случае. Рассмотрены вопросы, связанные с регуляризацией по пространственным переменным взаимодействия двух частиц. Получены приближенные экономичные алгоритмы, использующие дискретный шаг по времени.
Результаты шестой главы опубликованы в работах [102, 167, 168, 206, 207, 230).
В седьмой главе приведены результаты применения полученных алгоритмов к решению прикладных задач.
Результаты седьмой главы опубликованы в работах [102, 167, 229 |.
Настоящая работа выполнена в учреждении Российской академии наук. Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук, г. Новосибирск (ИВМиМГ СО РАН). Изложенные в ней результаты были представлены и докладывались наследующих конференциях. VII всесоюзная конференция ’Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике’, Новосибирск. 1985: Всесоюзная конференция ’Актуальные проблемы вычислительной и прикладной.математики Новосибирск, 1987; Третья республиканская конференция ’Интегральные уравнения в прикладном моделировании, Одесса, 1989; Актуальные проблемы статистического моделирования и его прнло-
16
жеиия, Ташкент. 1989; VIII всесоюзная конференция ’Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике*, Новосибирск, 1991; Международная конференция ЛМСА-95, Новосибирск, 1995; .Математические модели и численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1996: The 2nd St. Petersburg Workshop on simulation, St. Petersburg. 1996; GAMM Annual Meeting, Regens- burg Germany. 1997; The 3rd St. Petersburg Workshop on Simulation. St. Petersburg. 1998; SiblNPRiM- 2000, Новосибирск, '2000; Международная конференция по вычислительной математике 1ССМ-2002, Новосибирск, 2002; The International Conference он Computational Science 1CCS-2003, St. Petersburg, Russia, 2003; Международная конференция по вычислительной математике ICCM-2004, Новосибирск, 2004; SIAM Conference on Computational Science and Engineering, Orlando. USA, 2005; Всероссийская конференция no вычислительной математике ICCM-2007. Новосибирск, 2007;
Результаты регулярно, начиная с 1984 года, докладывались н обсуждались на семинарах отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН. Выражаю благодарность и признательность основателю новосибирской школы методов Монте-Карло и многолетнему руководителю отдела СМФ члену-корреспонденту Российской Академии наук Г.Л.Михайлову, д.ф.-м.н. профессору М.С. Иванову (ИТПМ СО РАН), а также всем сотрудникам отдела за поддержку и создании творческой атмосферы.
17
Глава 1
Метод Г. Берда для статистического моделирования динамики разреженного газа
1.1. Алгоритм метода Г. Берда
В 1963 году Г. А. Берд ( G. Л. Bird ) предложил вероятностный подход для численного моделирования стапкновитсльиых процессов в разреженном газе. Следующим этапом разви тия этого подхода было введение сетки в физическом пространстве (скоростное пространство остается непрерывным) и принципа расщепления по физическим процессам, то есть раздельного моделирования свободомолекулярного движения частиц и их столкновений. Введенный таким образом принцип расщепления отличается от описанного выше. тем что здесь расщепляется не уравнение, а процесс статистического моделирования на шаге At. Окончательное объединение принципа расщепления с моделированием столкновений в ячейках по схеме "счетчик времени'^ time counter scheme ) было сформулировано в [12], где была прослежена связь предложенной методики с нелинейным уравнением Больцмана. В качестве критерия соответствия численных результатов моделирования по схеме "счетчик времени "решению нелинейного уравнения Больцмана использовался критерий равенства частоты столкновении в модельном газе с ее теоретическим значением, вытекающим из нелинейного уравнения Больцмана. Наиболее полное описание данного подхода приведено в [86].
Расщепление непрерывного процесса движения молекул п их столкновений в разреженном газе на два последовательных этапа на временном шаге At, впервые было предложено в [114]. Сформулируем основные положения этот метода.
Область течения разбивается на ячейки размером Ах так, что изменения параметров течения в каждой ячейке должно быть малым. Временной шаг At должен быть мал но сравнению с т,\ — средним временем между столкновениями молекул. На этом временном шаге At свободное движение молекул
18
и межмолекуляриые столкновения рассматриваются последовательно:
1. Все молекулы, находящиеся в области течения, перемещаются па расстояние, определяемое их скоростями в данный момент времени п шагом по времени Д/,. Если в процессе этого перемещения молекула выходит за границу расчетной области, то она изымается из моделирования. Если в процессе движения молекула попадает на поверхность обтекаемого тела, то в соответствии с граничными условиями вычисляется ее новая скорость. На этом же шаге Д£ производится генерация новых частиц, входящих в область течения, в соответствии е заданной на границах расчетной области функцией распределения.
2. В каждой ячейке физического пространства независимо проводятся столкновения частиц, принадлежащих только данной ячейке, т.е. столкновения частиц из соседних ячеек не рассматриваются. Так как изменение функции распределения считается малым в данной ячейке, то при выборе пары для расчета столкновений их относительное расстояние не учитывается. Столкновения в ячейке, содержащей /V частиц производятся следующим образом.
1) разыгрывается пара (г. у') в соответствии с распределением где А = £ £ а сої, = — , аш — f а(д, |у -
і=1 .7=іЧ і 0
2) Счетчик времени £ т(: увеличивается на величину тилЛ —
ІІ— 1
Скорости молекул после столкновения вычисляются в соответствии с законами сохранения импульса и энергии.
Эти действия производятся до тех пор. пока. £ т* не станет больше АС
А;=1
Состояние каждой частицы будем характеризовать вектором координат г * и скоростей V*. Состояние всей системы из N частиц описывается 6ЛГ-мерпым вектором (ГI. V1. . . . . Г/у, У^у). Процесс эволюции такой системы можно представить как скачкообразное движение точки в 6іУ-мерном фазовом пространстве.
Построение траектории случайного процесса эволюции іУ-частіш ной системы состоит в следующем. Расчетная область разбивается на ячейки. Каждой ячейке присваивается номер і. 1 < і < М, и в каждую ячейку, в соответствии с начальной функцией распределения /(0, г. V), помещается Л'у(О) ча-
19
стмцсо скоростями СД0) = (у1; Vлгдо))и координатами ЯДО) = (гь ..., гдгдоД, принадлежащими данной ячейке. Полное число частиц в расчетной области в момент времени Ь = 0 равно
л/
*(о) = £>,(<)),
.7=1
и состояние модельной системы характеризуется вектором
{•Я(О). С(0)} = {|Д1(0),С'1(0)1!...,[йЛ/(0))Си(0)1}.
Состояние системы {Я(к 4- 1), С(к Ч* 1)} получается из состояния {Я,(к). С(к)} в соответствии с принципом расщепления в два этапа:
Первый — расчет пространственно однородной столкновитедыюй релаксации независимо в каждой ^-и ячейке подсистемы из А^(к) частиц, т.е. переход подсистемы в состояние [ЯДА;), СДА; ч- 1)].
Второй — свободно-молекулярный перенос частиц со скоростями СД/с -}-1). ^ = 1,.... М. Вычисление значений УУДк 4- I). у = 1,М.
Необходимо отметить, что на втором этапе частицы могут как выходить из расчетной области, так и входить, в нее. Поэтому в общем случае полное число частиц в системе в моменты времени і к = кАі, к — 1,2,...,
N{1;) = £ АДА;)
7=1
может быть переменным.
Параметры течения газа в моменты времени ^ определяются осреднением но Ь траекториям.
Для решения стационарных задач в |86] предложено использовать следующий вариант метода установления: прослеживается только одна траектория I = кАі, {Я(к)} С(к)} и после достаточно большого значения к = ко параметры течения определяются осреднением по Ь выборочным значениям в моменты времени Ь = (ко -І- I = 1,..., Ь.
Обычно реализация этапа свободномолекулярного переноса не вызывает принципиальных затруднений: каждая частица системы смещается на расстояние, пропорциональное ее скорости, и новіле координаты равны
г ДА; 4- 1) = гДА:) -І- Уі(к 4- 1 )А1.
20
Принципиальным моментом метода прямого статистического моделирования является реализация этапа стол к повитель ной релаксации, который также имеет и самостоятельное значение при решении пространственно однородных задач динамики разреженного газа.
1.2. Обоснование алгоритма метода прямого статистического моделирования в пространственно однородном случае
Метод прямого статистического моделирования решения нелинейного кинетического Больцмана, предложенный Бердом [7.12], исходя из соображений прямой аналогии N-чаетичиой модели газа реальной физической системе, получил широкое распространение для численного решения различного рода задач динамики разреженного газа. Этот эвристический метод существует на описательном уровне и в виде алгоритмов, составленных по этому описанию. Ясной математической основы метод Берда не имеет. Эвристические соображения, лежащие в его основе и приведенные Бердом в [86], в действительности повторяют известный физический вывод уравнения Больцмана в кинетической теории разреженных газов [71]. Фактически первое исследование этой схемы, на качественном уровне, было выполнено в [72], где был проведен анализ частоты столкновений в модельном газе.
В данном параграфе излагается один из возможных вариантов теории метода Берда. С помощью построенной теории удалось показать, используя условия применимости метода Берда, непосредственную связь этого метода с уравнением Больцмана в пространственно однородном случае.
Пусть D(G) — пространство финитных бесконечнодифференцируемых функций в G = П.3 х (—оо;Т][73|, причем (p(vyT) = 0. v Е R3 для c^(v.t) Е D(G).
Определение. Будем говорить, что функция /(vi.t) из Li(G), обращающаяся в нуль при L < 0, удовлетворяет обобщенной задаче Коши, если для любой <p(v\Л) Е D(G) справедливо равенство
-(/>» =
- (JIfw(v'i’v2 “> vi,v2){/(v/l,i)/(v/2,t) - h
+(/o(vi)J(£)>¥>).
(1.1)