Вербальные вложения и сплетения групп

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ Вербальные вложения групп Основные результаты Апробация результатов Публикации и тексты статей Структура диссертации
Подробное описание работы: результаты и техника
ГЛАВА 1. Нормальные вербальные вложения групп
1. Введение и содержание главы
2. Обозначения и определения нормальных и субнормальных вложений
групп
3. Задача Хайнекена о нормальных вербальных вложениях групп 4 Критерий нормальной вербальной вложимости для групп
5. Простой пример: нормальные К-всрбальные вложения симметричских
групп
6. Нормальная вербальная вложнмость классов групп
7. Обобщение теоремы Бернсайда о нормальных вложениях ^-групп в
коммутанты групп
8. Конструкция группы И7(О, В, А)
ГЛАВА 2. Субнормальные вербальные вложения групп
9. Введение
10. Субнормальная вербальная вложнмость для любой группы и для любого нетривиального множества слов
11. Конструкция субнормального вербального вложения
12. О дефекте субнормальных вложений, случай нормальных вложений 13 «Экономичные» вербальные вложения разрешимых групп в
разрешимые группы
5
5
5
8
9
9
9
17
17
18
19
20
24
25
28
29
33
33
34
36
40
42
ОГЛАВЛЕНИЕ
14. О вербальных вложениях конечных групп в конечные группы
15. Проблема явного вложения группы <0> в 2-иорожденную группу
16. Опредслеиние полного порядка над группами, и связанные с этим понятия
17. Вложения вполне упорядоченных групп
ГЛАВА 3. Вложения счетных обобщенных разрешимых и обобщенных нильпотентных групп
18. Введение
19 Обозначения и определения
20. Теорема Ковача и Ноймана, вложения обобщенных разрешимых и обобщенных нильпотентных групп 21 Основные теоремы о вложениях обобщенных разрешимых групп
22. Основная конструкция вложения
23. Случай нормальных вложений, связь с проблемой Хайнекена, примеры
24. Примеры групп не вложимых в 2-порожденые группы
25. О вложениях 5Л-групп
ГЛАВА 4. Многообразия порожденные сплетениями абелевых групп
26. Основная задача
27. Результаты Хигмена и Хоутона, примеры
28. Общий критерий для случая сплетения любых абелевых групп
29. Общий критерий для случая любых множеств абелевых групп
30. Структура доказательства
31. Дискриминирующие множества групп
32. Некоторые специальные обозначения для абелевых групп
33. Сплетения множеств групп и произведения многообразий групп
34. Случай многообразий, порожденных сплетениями конечных абелевых групп. Теорема Хоутона.
35 Редукция к случаю бесконечных множеств счетных абелевых групп конечных экспонент
36. Случай множеств абелевых р-групп
Д
3
43
46
т
51
52
54
54
55
56
53
60
69
71
73
74
74
75
76
77
78
79
80
82
85
90
95
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
37. Случай множеств абелевых групп X и 2) конечных составных
экспонент 100
38. Общий критерий, примеры для нильпотентных и разрешимых групп 105
39. Некоторые иллюстрации и приложения 10"
40. Критерий для сплетений типа А \Уг (В 0 В) 113
ГЛАВА 5. Групповые конструкции основанные на
вербальных вложениях групп 110
41. Введение и основные результаты 116
42. Конечно-порожденные разрешимые нехоифовы группы 117
43. Вложение 2-порождснных групп в 3-порожденные нехопфовы
группы 121
44. Континуум 2-иорожденных групп, порождающих попарно
различные многообразия групп, вложения в 2-порожденные группы 120
45. Заключительные доказательства 138
46. Вопрос Плоткина о 2-порожденных группах 140
47. Первое доказательство, основанное на бесконечных сплетенных
степенях 142
48. Второе доказательство, основанное на геометрическом подходе 145
49. Сравнение аргументов и другие приложения метода 156
50. О локально неразрешимых 5/*-группах 158
ЛИТЕРАТУРА 161
1
ВВЕДЕНИИ Вербальные вложения групп
Вложения групп, существование вложений с определенными заданными свойствами являются одними из самых интересных и продуктивных тематик исследований в теории групп. Можно сказать, что мотав вложений проходит через всю теорию групп начиная с ее зарождения. Причем вложения групп часто сами оказываются очень полезными инструментами для решения задач в других областях теории групп: с их помощью сгроят примеры фупп с заданными свойствами, решают алгоритмические вопросы и т. д..
Цель настоящей работы - разработать методы вербальных нормальных и субнормальных вложений групп, другие методы связанные со сплетениями групп, и с их помощью решить ряд проблем и обобщите известные результаты в теории многообразий групп, обобщенных разрешимых и обобщенных нильпотентных групп, вложений групп в группы с заданными свойствами, хопфовых групп и по близким вопросам.
Вложение (мономорфный гомоморфизм) (р : Н —> С группы И в групп)' С с образом Н = Н = Н* < (7 называется нормальным или субнормальным, если Н нормальная или, соответственно, субнормальная подгруппа в С. Пусть К С ^ - множество слов. Назовем эго вложение V-вербальным (или просто вербальным) если Н лежит в вербальной подгруппе У (в), где У{ С) = (ъ{ди ...,рп)|г/ = у(хи...}хп) е У;ди...,дп € <?). Очевидно понятие вербального вложения есть обобщение таких широко используемых в литературе понятий как «вложение в коммутант группы», «вложение в 7*-ый член нижнего центрального ряда группы» и т. д..
Основные результаты
Ниже в этом Введении будет дано подробное описание глав работы, и техники использованной в них (стр. 9-16). Но для удобства обзора кратко приведем основные результаты. Работа состоит из пяти глав.
5
б ВВЕДЕНИЕ
В Главе 1 решается проблема Хайнекена о нормальной вербальной вложимости групп: когда для данной группы Н и данного множества слов V существует группа С. допускающая нормальное вербальное вложение Н в О? Этот вопрос был решен Хайнекеном для всех конечных р-групп в [45]. Айк в [31, 32] решила вопрос для случая всех конечных групп. Полный ответ для случая любой группы II был дан в нашей совместной работе с Хайнекеном [2] (см. Теорему 1 в Параграфе 4 настоящей работы). В Главе 1 также рассматриваются нормальные вербальные вложения «с дополнительными условиями», и с их помощью дается одно обобщение теоремы Бернсайда о вложениях конечных р-групп.
В Главе 2 обсуждаю гея субнормальные вербальные вложения групп. Доказывается, что в отличии от нормального случая, субнормальная вербальная вложимоегь имеет место всегда: По пункту А Теоремы 10 в Параграфе 10, для любой группы II и для любого нетривиального множества слов V всегда существует группа <2, допускающая субнормальное К-вербалыюс вложение И в <7. Более того, можно получить усиления ряда известных теорем о вложениях счетных групп, в частности, знаменитой Теоремы Хигмена и Нойманов о ало-жимости любой счетной группы в 2-порожденную группу [46, 74]. По пункту В Теоремы 10 в Параграфе 10, каждая счетная группа для любого нетривиального множества слое V вербально вложима в 2-порожденную группу, причем ото вложение может быть субнормальным. Далее, в качестве иллюстрации метода, решается один из пунктов Проблемы 14.10 деля Арпа и Бридсона из Коуровской Тетради [53] о явной вложимости аддитивной группы рациональных чисел в конечно-порожденную группу. Положительный ответ был дан в [11] (см. Параграф 15). Глава 2 заканчивается рассмотрением вложений вполне упорядоченных групп.
В Главе 3 рассматриваются субнормальные вложения счетных групп с дополнительными условиями. Основная цель - изучение случаев, когда счетная группа данного класса (ниль-потентная группа, обобщенная разрешимая группа и г. д.) вложима в 2-порожденную группу того же класса. Параллельно рассматривается когда это вложение может быть вербальным, сохраняющим отношение порядка на группах, и т. д... В частности, по Теореме 16 и Теореме 15 в Параграфе 21, и по Теореме 18 в Параграфе 25, если счетная группа II является разрешимой группой. ЭАТ*-группой. 81*-группой. 5N-группой. 5/-группой. 5'АГ- группой. 81-группой или же Б О-группой, то для любого нетривиального множества слов V существует 2-порожденная группа (7 и субнормальное V-вербальное вложение И в
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 7
некоторую группу (2, причем группу й можно выбрать в том же из выше перечисленных классов, что и II. Приводятся контрпримеры, показывающие, что подобное утверждение не верно дня классов абелевых групп, нилмютентных групп, £Л-групп или уУ-групн (см. определения и Парафафе 19).
V
В Главе 4 обсуждаются многообразия, порожденные сплетениями абелевых фупп и сплетениями множеств абелевых групп. Находятся критерии, классифицирующие все случаи, когда дня данных множеств абелевых групп .X и 2) их декартово сплетение X \\Т 2) = {X \Чт У | X £ X, У € 2)} или их прямое сплетение Х\уг2) = {Х\угУ|Х € X, У £ 2)} порождают произведение уаг (X) уаг (2)) многообразий порожденных данными множествами групп X и 2). В частности, когда множества X и 2) состоят каждая из одной группы: X = {Л} и 2) = {£?}, мы получаем критерии, классифицирующие все случаи, когда уаг (А \\,т1 В) = уаг (А) уаг (В) и гаг (А \уг В) = уаг (Л) уаг (В). Эти результаты обобщают известные факты о выполнении таких равенств в частных случаях. Например, результат Хоутона, изучившего случай циклических групп А = С7П} В = Сп: равенство уаг (Ст \уг Сп) = уаг (Ст) уаг (Сл)4'-21 „,21п имеет место тогда и только тогда, когда т и п взаимно просты [75].
В Главе 5 мы используем (вербальные) вложения фупп для построения групп и классов фупи с различными свойствами. Например, в Теореме 37 в Парафафе 42 доказывается, что существует континуум 3-порожденных разрешимых нехопфовых групп, порождающих попарно различные многообразия групп. Длина разрешимости этих групп не более девяти. Там же дана одна иллюсфация к Проблеме 16 Ханны Нойман [75] и к результат Гроувза [35]. Далее в Главе 5, в Парафафах 46 - 49 дана геометрическая конструкция иллюстрирующая известную концепцию бесконечных сплетенных степеней Ф. Холла, и с их помощью дан ответ на один вопрос Плоткина: Существует ли 2-порожденная группа <7 = (х, у) такая, что С не разрешима (поэтому, она и не локально-разрешима), но нормальное замыкание (х)с элемента гс о 6? есть локально разрешимая подгруппа? Глава 5 закрывается примерами локально-неразрешимых £/*-групп. Мы строим континуум примеров таких фупп, все лежащие в 91 • ((Яр П (£„) и (05 П 93втг)) *
8
ВВЕДЕНИЕ Апробация результатов
Результаты диссер!ации начиная с 1997 г. неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах, международных конференциях и воркшопах. В их числе можно отметить:
• XXII Международный математический конгресс в Берлине, Германия, 1998. '
• Объединенный алгебраический семинар университетов Фрайбурга, Нюрнберга и Вюрцбурга, Германия, 1998.
• Бнместр памяти Рейхолда Бэра в Университете Неаполя, Италия, 2002 (два часовых доклада).
• Международная конференция по теории групп и групповых колец в Гливице, Польша, 2003.
• Международная алгебраическая конференция в Москве к 250-летнему юбилею Московского государственного университета, и к 75-лстиему юбилею кафедры алгебры Московского государственного университета, Москва, Россия, 2004.
• Международная конференция но комбинаторной и геомегрической теории ipynn в Уж:' всрситете Bai щербил ьдг, Нэшвиль, США, 2005.
• Международная конференция к 80 юбилею профессора Бориса Плоткина, Иерусалим, Израиль, 2006.
• Псрпая международная конференция по алгебре и геометрии в Армении, Ереван, 2007.
• Семинар но теории групп кафедры высшей алгебры Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия, 2011.
• Кафедральный семинар кафедры высшей алгебре Московского пюударственного университета им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия, 2011.
Большинство результатов диссертации включены в опубликованные тезисы эт-их конференций.
Работа автора Subnormal embedding theorems for groups (J. London Math. Soc., 62 (2000), 398-406) была удостоена Первой международной премии имена Эмиля Артина в 2001 г. (см. Notices of the American Mathematical Society 2001, 48, 8, c. 834): http ://www.ams.org/notices/200108/people.pdf
ПОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ РАБОТЫ- РЕЗУЛЬТАТЫ И ТЕХНИКА 9
Публикации 11 тексты статей
Результаты работы представлены в статьях [1]-[16]. Основные из полученных результатов приведены в этой работе полностью, вместе с доказательствами и техническими деталями. Остальная часть материала статей приводится без доказательств, но со ссылками на соответствующие части публикаций. Ниже в основном тексте будут даны все необходимые специальные определения и обозначения. А в этом Введении ограничимся лишь несколькими определениями, чтобы не отсылать читателя к другим парафафам слишком часто. См. так&е обзор основных результатов в [10].
Структура диссертации
Диссертация состоит из Введения, из 5 плав (разбитых на параграфы) и из списка ли-терагуры. Нумерация параграфов, теорем, лемм, определений и т.д. - сквозная. Полный объем диссертации 167 страниц, бнблиофафия включает 87 наименований, из которых 16 -публикации автора по теме диссертации.
Подробное описание работы: результаты и техника
1. Нормальные вербальные вложения групп
Стартовой точкой для работы над вербальными вложениями д;ш нас послужила проблема Хайнекена о нормальных вербальных вложениях, т. е. о классификации тех случаев, когда заданная группа Н для заданного множества слов V нормально и вербально вложима в какую-либо группу С [45] (как ранее было неоднократно отмечено в литературе, есть фуппы Н и множества V для которых такие группы С не существуют). Нормальным вербальным вложениям посвящена Глава 1
Вот предыстория проблемы и основные результаты. В 1912 Бернсайд доказал, что неабе-
•
лева фуппа с циклическим центром, или неабелева фуппа, индекс коммутанта которой есть р2, не может быть коммутантом (или вложенным в коммутант) какой-либо р-группы [28, теоремы па стр. 241 и 242]. С другой стороны Блэкбурн нашел все 2-порождснные р-группы, которые являются коммутантами (или мщу! быть вложены в коммутанты) р-групп [23]. Хайнекен поставил вопрос шире, и рассмотрел вместо коммутанта или члена нижнего центрального ряда случай вербальных подгрупп для любого слова у € Роо. Он показал, что
Ю ВВЕДЕНИЕ
конечная р-грунпа нормальна в некоторой (конечной) p-над группе G, и лежит в ее вербальной подгруппе w(G) тогда и только тогда, когда v(L) Э Inn (Я), где L есть некоторая силовская р-подгруппа в фуппс автоморфизмов Aut (Я) [45]. Им же был поставлен вопрос описания как можно более широких классов ф)лш и множеств слов, для которых имеет место нормальная вербальная вложимость в какую-либо фуппу. Айк в [31, 32] решила эгот вопрос для случая любой конечной группы Я и любого слова и £ F^. Ингерсс к нормальной вложимости связан и с алгоритмическими, вычислительными задачами [32] (в частости, в компьютерной системе GAP).
Полный ответ дня случая любой фуппы Я и для любого нетривиального множества слов V был дан в нашей совместной работе с Хайнекеном [2j. Теорема 1 в Парафафе 4 описывает ситуацию: Для данного нетривиального множества слов V и для данной группы Я существует группа G и нормальное V-вербальное вложение <р : Н —* G тогда и только тогда когда имеет место:
V(Ant(B)) Dhin(B).
И если Н - конечная (конечно-порожденная) группа, то G тоже может быть выбрана конечной (конечно-порождеююй). В качестве простого примера применения этого критерия дается описание всех случаев нормальной вербальной виожимости для всех (конечных или бесконечных) симметрических групп.
Далее в Главе 1 рассматриваются нормальные вербальные вложения «с дополнительными условиями»: т. е. когда можно выбрать ipyiiny G абелевой (нильпотенгной, разрешимой и т. д.) для ^-вербального вложения фуппы Я, если фуипа Я сама является абелевой (шшь-потентной, разрешимой и т. д.). С помощью полученного критерия в Парафафе 7 даегся одно обобщение теоремы Бернсайда о вложениях конечных р-групп. Глава 1 заканчивается иллюстрацией использованной техники: определением одной консгрукции «близкой» к конст-
ч-
рукнии сплетений фупп.
2. Субнормальные вербальные вложения групп
Глава 2 посвящена результатам о субнормальных вербальных вложениях фунп - eciec-твенным продолжениям результатов Главы 1 о нормальных вербальных вложениях групп. В отличии от нормального вербального случая, субнормальная вербальная вложимость фупп имеет место всегда: По пункту А Теоремы 10 в Парафафе 10, для любой группы Н и для
ПОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ РАБОТЫ: РЕЗУЛЬТАТЫ И ТЕХНИКА 11
любого нетривиального множества слов V всегда существует группа С?, допускающая субнормальное вложение \р : Н —+ (7, которое вербально: <р(Н) < V ((7).
Более того, в случае субнормальных вложений полученные методы вербальных вложений имеют приложения к более широкому кругу задач. Например, ограничиваясь лишь счетными группами, можно получить усиления ряда известных теорем о сложениях счетных групп, в частности, знаменитой Теоремы Хигмена и Нойманов о вложимости любой счетной группы в 2-порождснную группу [46, 74]. По пункту В Теоремы 10 в Пара1рафе 10, каждая счетная группа для любого нетривиального множества слов V вербально вложима в 2-порожденную группу, причем это вложение может быть субнормальным.
Ранее в литературе были доказаны теоремы о таких вложениях счетных групп в 2-порожденные группы, которые на самом деле являются вложениями даже в коммутант или во второй коммуганг 2-порожденной группы (что есть частные случаи вербальных подгрупп) [74, 71]. Так что Теорема 10 обобщает сразу несколько теорем такого рода. Более подробно о вложениях счетных групп будет сказано п Главе 3.
Далее в Главе 2 рассматривается один из пунктов Проблемы 14.10 де ля Арпа и Бридсона в Коуровской Тетради [53]: существует ли явное вложение аддитивной группы рациональных чисел О в конец]ю-порожденую группу? В [11] мы дали положительный ответ: такое явное вложение построено. Болес того, эта конечно-порожденная группа может быть 2-иорожденной (см. Параграф 15). Глава 2 заканчивается рассмотрением вложений вполне упорядоченных групп в Параграфе 16 и Параграфе 17.
3. Вложения счетных обобщенных разрешимых и обобщенных нипъпотентных групп
Известная теорема о вложимости любой счетной группы в 2-порожденную группу1 [46, 74] стала началом обширных исследований о вложениях счегных групп в 2-порожденные группы (или, вообще, в конечно-порожденные группы) с дополнительными условиями. Краткий перечень ссылок на эти результаты дан в Параграфе 10 ниже. Основная цель Главы 3 - изучение случаев, когда счетная группа данного класса (нильпотептная группа, обобщенная разрешимая группа и г. д.) вложима в 2-порожденную группу того же класса. Параллельно рассматривается когда эго вложение может быть вербальным, сохраняющим отношение порядка на группах, и т. д...
’Эта теорема Хигмена и Нойманов в учебнике Робинсона [83] названа «быть может самой знаменитой из всех теорем о вложениях».
12 ВВЕДЕНИЕ
В частности, по Теореме 16 и Теореме 15 в Парщрафе 21, п по Теореме 18 в Па-рафафе 25, если счетная группа Н является разрешимой группой, 5./V*-группой, 31*-группой, ЗХ группой, 3/-группой. ЗЛг-группой, ЗГ-группой или же ЗО-группой (см. определения и обозначения в Параграфе 19), то для любого нетривиального множества слов V существует2-порожденная группа (7 и субнормальное V-вербальное вложение <р . И —* С, причем группу С можно выбрать в том же из выше перечисленных классов. которому принадлежит исходная группа Н.
Более того, если группа Н вполне упорядочена, то группу С можно выбрать вполне упорядоченной так, что порядок на ней продолжает порядок изомо/хрной копии группы
Н.
Такие угверждения имеют место не для всех классов фупп, конечно. Например, не все счетные абелевы группы вложимы п 2-порожденные абелевы группы (очевидный факт), не все счетные нильпотентные группы вложимы в 2-порожденныс нильпотентные группы (факт следует из того, что в конечно-порожденной нилыютентной группе все подгруппы тоже конечно-порожденные). Еще два примера мы приводим в Ппрафафс 24: такими классами обобщенных нииыютентных фупп, счетные фуппы из которых не всегда М01уг быть вложены в 2-порожденные группы того же класса, являются классы ХА-группы и /У-фуппы (см. определения в Парафафе 19).
4. Многообразия порожденные сплетениями абелевых групп
Глава 4 посвящена многообразиям порожденным сплетениями абелевых фупп и сплетениями множеств абелевых групп. Хотя полученные в этой главе результаты не всегда касаются вербальных вложений фупп, чем не менее техника примененная здесь (особенно сплетения фупп) тесно связана с методами, используемыми в других главах.
Основная задача главы - найти эффективные критерии, классифицирующие все случай, когда для данных множеств абелевых групп X и 2) их декартово сплетение
X\Vr2J = {X\¥гУ\Х € X, К 6 2})
ПОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ РАБО ТЫ: РЕЗУЛЬТАТЫ И ТЕХНИКА IUI11 их прямое сплетение
Sfwr® = {XwrY [X € X,Y е 2)} порождают произведение многообразий порожденных данными множествами групп
var (X) var (2)).
Б частности, когда множества X и 2) состоят каждая из одной группы: X = {Л} и 2) мы получаем критерии, классифицирующие все случаи, когда
var (А Wr В) = var (А) var (В)
и
var (А wr В) = var (А) var (В).
Эти результаты обобщают известные факты о выполнении таких равенств в частных случаях (см. в частности результата Хоутона или Хигмена, упомянутые ниже). В Главе 4 мы попутно
приведем и другие результаты в смежных вопросах.
\ •
Используем обозначение С для й циклической группы, и обозначение Сп для циклической группы порядка п. Первый результат о многообразиях, порожденных сплетениями абелевых групп (Лемма 4.5 и Пример 4.9 в [48^ или 24.65, 54.41 в [75]) принадлежит Хигмену, который показал, что если Ср и Сп конечные циклические группы порядков рип (р - простое число не делящее п), тогда сплетение Cv wr Сп порождает произведение 21 р21п, где, как обычно, 21п = var(C,n) есть многообразие всех абелевых групп конечных экспонент, делящих п. Результат Хоутона описал все случаи с А — Ст и В = Сп. Именно, равенство
var (Ст wr Сп) = var (Ст) var (Сп) = 2lm2l„
имеет место тогда и только тогда, когда т и п взаимно просты [75].
Для удобства изложения нашего критерия дадим его сначала для случая сплетения абелевых групп АиВ,-л не множестгв групп. Обозначим через Вр так называемую р-примарную компоненту абелевой группы В конечного порядка (т. е. подгруппу группы В, состоящую из элементов порядки которых есть степени простого числе р). По Теореме Прюфера каждая абелева группа конечной экспонента, в частности и р-примарная компонента Вр фуппы. 5, есть прямая сумма конечных циклических групп порядки которых есть степени простых
X и 2):
и
14 ВВЕДЕНИЕ
чисел:
СрЬі •
Обозначим через к' самую высокую из этих экспонент к>. Тогда, по Теореме !9 в Па-раграфе 28 Для любых абелевых групп А и. В равенство var (A Wr В) — var (Л) var (В) выполняется тогда и только тогда, когда:
(1 ) если хотя бы одна из этих групп А и В не имеет конечную экспоненту;
(2) или если ехр Л = т и ехр В — п обе конечные, и для любого простого делителя р чисел 771 и тг, р-примарная компонента
Bp = J2Cp-4, (p*-|n,i€/)
!<=/
группы В содержит бесконечно много слагаемых порядка ph>. где ]/' есть наивы сшая степень р делящая п.
Так как декартово и прямое сплетения любых двух групп всегда порождают одно и то же многообразие, аналог этого утверждения имеет место и для прямых сплетений.
Когда А к В конечные группы, наше условие просто означает, что var (A Wr В) = var (Л) var (В) выполняется тогда и только тогда, когда их порядки т и п взаимно проспи.
А дня случая сплетений множеств абелевых ipynn имеет место Теорема 20 в Пара-графе 29: Для любых множеств абелевых групп X и 2) равенство
var (X Wr2)) = var (X) var (2))
выполняется тогда и только тогда, когда:
(1) если хотя бы одно из множеств X и 2) не имеет конечную экспоненту;
(2) или если ехр X = тп и ехр 2} = п обе конечны и для любого проспюго делителя р чисел ТП un, и для любого положительного целого числа s множество Я) содержит группу В (s) такую, что р-примарная компонента
S(s)p= (р*=-|п, і є I {s))
*C/(s)
группы В(s) содержит не менее s прямых слагаемых Ср*' порядка рк . где наивы сшая степень числа р делящая п.