Емкостные свойства равномерно совершенных множеств и конденсаторов

\
Оглавление
Введение 4
>
1. Основные понятия и обозначения 19
1.1. Общая терминология и обозначения.......................19
1.2. Конформная емкость обобщенного конденсатора............26
1.3. Заполнение конденсаторов и сходимость кольцевых областей . 37
1.4. Трансфинитиый диаметр и трансфинитный модуль...........42
2. Равномерно-совершенные множества и их свойства 52
2.1. Определения равномерно совершенного множества..........52
2.2. Теоремы сходимости для равномерно совершенных множеств . 08
2.3. Метрическая связность равномерно совершенного множества . 75
3. Конформная емкость равномерно-совершенных конденсаторов 99
3.1. Конденсаторы с равномерно совершенными пластинами .... 99
3.2. Экстремальная функция для конформной емкости...........111
3.3. Непрерывность конформного модуля по равномерно совершенной пластине конденсатора...................................126
3.4. Нижние оценки конформной емкоегги равномерно совершенных конденсаторов...........................................135
4. Приведенный модуль равномерно-совершенного множества 145
4.1. Определение приведенного модуля и его связь с другими понятиями теории потенциала...................................145
4.2. Нижняя и верхняя оценки приведенного модуля............159
2
\
4.3. Непрерывность приведенного модуля в классе равномерно совершенных компактов.....................................162
4.4. Непрерывность приведенного модуля относительно сходимости к ядру..............................................169
D. Дополнения 173
D1. Дополнение к главе 1......................................173
D2. Дополнение к §3.2 главы. II...............................175
D3. Дополнение к §4.1 главы IV................................187
Список литературы 192
Глоссарий 203
3
Введение
Главным объектом исследований, представленных в данной работе, служит конформная емкость пространственных конденсаторов и свойства приведенных модулей компактных множеств в пространстве. Использование конформной емкости в теории пространственных квазиконформных отображений, начавшееся в середине прошлого вока с работ Ф. Геринга и 10.Г. Решетника, наряду с применением мощного метода модулей семейств кривых (Б. Фюгледе, Б.В. Шабат, В.А. Зорич, Ю. Вяйсяля, И.П. Митюк, В.М. Ми-клюков, A.B. Сычев, П.М. Тамразов, В.А. Шлык и др.)» Ужс доказавшим свою эффективность в решении экстремальных задач терии однолистных аналитических функций (Дж. Дженкинс, Г.В. Кузьмина, В.Н. Дубинин и др.), способствовало созданию современной теории квазиконорфных, ква-зирегулярных и квазимероморфных отображений, находящей многообразные приложения в смежных областях топологии (теория клейновых групп и многообразий - Л. Альфорс, А. Вердон, Ф. Геринг, Б. Ананасов, A.B. Тетенов и др.), геометрии (теория минимальных поверхностей - В.М. Ми-клюков, теория орбифолдов - А.Д. Медных, АЛО. Веснин и др.), математического анализа (анализ на группах Карно и Каратеодори - С.К. Водопьянов, П. Коскела и др.), дифференциальных уравнений эллиптического типа (В.Г. Мазья, Ю.Г. Решетняк, В. Боярский, Т. Иванец и др.). Теорема.о равенстве конформной емкости конденсатора и модуля семейства кривых, соединяющих его пластины, доказанная в самой общей форме В.А. Шлыком в 1993 г., устанавливает эквивалентность методов, основанных на применении емкости конденсаторов и модулей семейств кривых. В настоящее время эти методы играют важную роль в теории соболевких функциональ-
4
ных классов на достаточно общих метрических пространствах (П. Хайлаш, М. Громов, С.К. Водопьянов, П. Коскела, Ю. Хейнонеи и др.).
Приведенный модуль - асимптотика конформного модуля конденсатора с вырождающейся пластиной - играет важную роль в теории аналитических функций на протяжении всего XX века, и его пространственный аналог, введенный в работах И.П. Митюка, находит применение', в теории квазиконформных отображений и емкостной томографии. Мощный импульс развитию терии и приложениям приведенных модулей дали работы В.Н. Дубинина и его учеников, по изучению более общего понятия приведенного модуля в системе точек.
Важнейшую роль в теории конформной емкости конденсаторов и теории приведенных модулей играют методы получения оценок для этих величин и свойство непрерывности рассматриваемых емкостных характеристик компактных множеств и конденсаторов относительно топологической сходимости. Известные нижние оценки для конформной емкости конденсатора и верхние оценки для приведенного модуля были получены в литературе только для конденсаторов со связными пластинами и, соответственно, для связных компактов. В тех же условиях были установлены и теоремы сходимости для этих характеристик. Рассмотрение свойства непрерывности конформной емкости для конденсаторов с разрывными пластинами было начато в работах П.М. Тамразова и продолжено исследованиями В.В. Асеева, в которых условие связности пластин конденсатора было заменено условием их равномерной совершенности. Понятие равномерно совершенного множества, введенное на плоскости (Л. Альфорс и А. Берлинг, Ч. Помме-ренке), и его обобщение на случай произвольных метрических пространств (П. Тукия и К). Вяйсяля, II. Ярви и М. Вуоринен) оказалосг> весьма плодотворным метрическим аналогом топологи ческой связности и. как пока-
зано в данной диссертации, позволяет получить в классе конденсаторов с равномерно совершенными пластинами такие же результаты, какие были получены ранее для конденсаторов со связными пластинами (нижние оценки конформной емкости, верхние оценки приведенного модуля, теоремы сходимости конформной емкости и приведенного модуля относительно топологической сходимости и относительно сходимости к ядру).
В первой главе диссертации дано описание используемой символики и основных понятий из теорети ко-множествен ной топологии, метрической топологии и теории отображений и, в частности, определения конформной емкости и конформного модуля конденсаторов. Приведены с указанием источников основные теоремы о свойствах конформной емкости, и, в том числе, теорема Геринга о непрерывности конформного модуля кольцевых областей относительно топологической сходимости. Приведено общее определение и свойства трансфинитного диаметра и трансфинитного мо/1уля в иолумстрических пространствах. Эта глава не содержит новых результатов и имеет вспомогательный характер.
Глава II посвящена описанию основных метрических свойств равномерно совершенных компактов в пространстве ЯП1. В § 2.1 этой главы проведен подробный сравнительный анализ различных вариантов определения равномерной совершенности (Бсрдои, Поммеренке, Ярви и Вуоринен и др.), близкого к ним понятия однородной плотности подмножеств метрического пространства (Тукиа, Вяйсяля) и понятия //-плотности (Ибрагимов). Отмечается связь между числовыми характеристиками в этих определениях и дается краткий обзор тех свойств равномерно совершенных множеств, которые оказались существенно важными для использования их в задачах теории потенциала и фактически послужили мотивировкой появления самого понятия равномерной совершенности. В этом же параграфе четко
б
отмечена основная концепция применения равномерно совершенных множеств: во многих теоремах теории потенциала и теории отобраоюений свойство континуальности может быть успешно заменено свойством равномерной совершенности, что приводит к существенному усилению ряда классических результатов.
В § 2.2 семейство НОр(Х) всех /^-однородно плотных компактов (с фиксированным параметром /3 Е (0,1)) в компактном метрическом пространстве X рассмотрено как подмножество гиперпространства Сотр(Х) всех непустых компактных подмножеств, снабженного метрикой Хаусдор-фа. Доказано (теорема 2.2.5), что объединение НЕ)р(Х) с семейством всех одноточечных подмножеств является компактным множеством в ги-перпространстае Сотр(Х). Аналогичное утверждение (теорема 2.2/1) доказано и для семейства 1/Ра (с фиксированным параметром а > 0) всех а-равномерно совершенных компактов в пространстве Ёп. Обе теоремы служа!' аналогом известной теоремы Зоретти о компактности семейства всех континуумов в компактном метрическом пространстве, что подкрепляет аналогию между равномерно совершенными множествами и континуумами.
Содержательным смысловым ядром главы II является § 2.3, в котором рассмотрено характерное метрическое свойство равномерно совершенных множеств, аналогичное свойству дугообразной связности континуумов в общей топологии. Замена в обычном определении дугообразной связности класса жордановых дуг - «соединителей» на класс /^-квазиконформных образов классического канторова множества, естественно приводит к новому понятию канторовой /^-квазиконформной связности подмножеств пространства Яп, инвариантному относительно мебиусовых преобразований. Возникающее при этом понятие метрической связности градуировано чис-
7
ловой характеристикой К и может привести в дальнейшем к интересным результатам в применении к метрической мебиусово-инвариантной классификации областей в пространстве Ёп. Основной результат этой главы теорема 2.3.9, утверждающая, что любое а-равномерпо совершенное множество в Я71 является катпорово К-квазиконформно сошным с оценкой для К, зависящей только от пит.
2.3.9. Теорема. Пусть 0 < Ро < 1 и компактное множество Е С Яп является ро-однородно плотным. Пусть р = пип{1/2, Д>}* Тогда для любой пары различных точек а,Ь Е Е существует такое квазиконформное отображение / : Ёп —> Кп, что его внутренний коэффициент квазиконформности имеет оценку
т < ^(»+2+1б,+8
(А — 3/32\2 / 4 — З/?2 \
П\А-2р) + ( 4 - 2р2) + П
п/2
(2.3.9.1)
и образ /(Сап( 1/3)) классического канторова множества, располооюен-ного на отрезке [0,е], где |е| = 1, содержится, в множестве Е, причем о = /(0), Ь= /(е).
Верно и обратное (теорема 2.3.10): любое катпорово К -квазиконформно связное множество является а-равномерпо совершенным с оценкой для а, зависящей только от К и п.
2.3.10. Теорема. Пусть компактное множество Е С Яп, содеро/са-щее не менее двух различных точек, таково, что для. любой пары различных точек хо, х\ £ Е имеется квазиконформное отображение / пространства Йи на. себя с внешним, коэффициентом квазиконформности Ко[1] < К0, такое, что /(С7агг(1/3)) С Е, /(0) = хо, /(е) = х\, где Сап(1/3) - классическое канторово множество, располоо/сеппое на пря-
8
молипейном отрезке [0,е] С Яп, |е| = 1. Тогда множество Е является Р-однородно плотним с константой Р, заоиящей только от Ко и п.
Доказательство теоремы 2.3.9 конструктивно: для заданной пары точек а, Ь в равномерно совершенном множестве Е С Яп непосредственно строится квазиконформный автоморфизм пространства Й71, переводящий классическое капторово множество на координатной оси в канторову дугу 7 С Е с концами в заданных точках. Теорема 2.3.9 является существенным (и довольно трудоемким) уточнением на случай пространства Яп аналогичною результата, полученного Ибрагимовым (2002 г.) для равномерно совершенных множеств в произвольном метрическом пространстве с использованием квазимебиусовых вложений канторова множества в это пространство.
Глава III посвящена изучению емкостных свойств конденсаторов с равномерно совершенными пластинами в пространстве Я’1 с основным упором на получение нижних оценок конформной емкости таких конденсаторов, выраженных через метрические мебиусово-инвариантные характеристики. связанные с относительными размерами пластин и их удалением
і
друг от друга. При этом дается обобщение на равномерно совершенный случай нижних оценок, известных для конформной емкости конденсаторов со связными пластинами.
В § 3.1 отмечены некоторые важные емкостные свойства равномерно совершенных конденсаторов в Яп, включая полученную Асеевым (1999 г.) нижнюю оценку конформной емкости конденсатора с равномерно совершенными пластинами, соединяющими граничные сферы достаточно толстого шарового слоя. Здесь же (теорема 3.1.2) дано доказательство простой, но теоретически важной теоремы о том, что равенство нулю конформной емкости обобщенного конденсатора (#~, Е+\ В) с пластинами Е~УЕ+ С £> равносильно тому, что хотя бы одна из этих пластин является множеством
9
нулевой емкости. Этот факт, кажущийся вполне очевидным, не вытекает непосредственно из элементарных свойств множеств нулевой емкости, и его доказательство (даже в простейшем случае £> = &п) отсутствует в имеющейся доступной литературе по этим вопросам.
Параграф § 3.2 посвящен вопросам существования экстремальной допустимой функции для конформной емкости обобщенного конденсатора (Е~, Е+; Я) с равномерно совершенными пластинами Е~, Е+ С О. Приведен краткий обзор результатов из работ Ладыженской, Уральцевой и Мазьи, Хавина по задаче Дирихле для квазилиненого уравнения эллиптического типа в дивергентной форме, связанного с этой проблемой в случае О = Яп. Основным результатом этого параграфа является теорема 3.2.10 о равностепенной непрерывности на компактах в области П С Яп любого семейства таких допустимых функций для ообощенного конденсатора (Е",Е+:И) с равномерно совершенными пластинами Е~УЕ' С Я, которые имеют равномерно ограниченный интеграл Дирихле и монотонны в области V в смысле Асеева-Сычева. Большая общность этого результата по сравнению с имеющимися аналогами (например, в работах Мартио) для случая П = Яп заключается в том, что в краевых условиях соответствующей задачи Дирихле в случае обобщенного конденсатора (Е~, Е['\ £)) присутствует дГ) - ’’свободная” часть границы поля конденсатора, на которой допустимые функции не связаны никакими условиями. Из теоремы 3.2.10 выводится обычным способом теорема 3.2.12 о существовании экстремальной функции для обобщенного конденсатора. В замечании отмечено, что если дБ является (п — 1)-мерным многообразием класса С1, то аналогичную теорему можно получить для обобщенного конденсатора (£?■", Е+\Б) с равномерно совершенными пластинами Е~,Е+ С Ё, и экстремальная функция будет при этом непрерывна в 5. В конце параграфа отмечены
10
некоторые специальные свойства экстремальной функции.
Основной результат третьей главы содержится в § 3.3 - это теорема 3.3.3 о равностепенной непрерывности (в метрике Хаусдорфа) конформного модуля конденсатора {Е, К) в пространстве Кп но его а-равномерио совершенной пластине Е относительно произвольного выбора второй пластины К из семейства компактных множеств ненулевой емкости (не обязательно равномерно совершенных), содержащихся в некотором шаре.
3.3.3. Теорема. Пусть в пространстве Ёп задано непустое компактное множество К ненулевой емкости. Пусть а-равномерпо совершенные множества Е и И таковы, что
сИагПд(Е) = д\ > 0; (1гат(1{Е) = д.2 > 0; йч[К, Е и Е) = > 0.
Если для хаусдорфова расстояния между множествами Е и Е выполняется оценка
<3-3-31'
то
1
П— 1
■ (33'32)
где ко/ютанта С(п, а) > 0, зависящая только от п и а, ?па о/се. что и в теореме 3.1.5.
Здесь (1\, <3-2 хордовые диаметры пластин Е\, Е2; дЫд(Е\, Е2) - хаусдор-фово расстояние меж.лу этими множествами, а К - произвольный компакт ненулевой емкости, находящийся от Е\ и Е2 на хаусдорфовом удалении ^з. Полученная верхняя оценка не зависит от К и стремится к нулю при Ео) —»• 0; при этом сами конформные модули могут быть сколь угодно большими величинами. Эта теорема является существенным уточнением теоремы Асеева (1999 г.) о непрерывности конформной емкости в
11
классе конденсаторов с равномерно совершенными пластинами. Она эффективно используется в следующей главе для доказательства свойства непрерывности логарифмической емкости «-равномерно совершенных компактов в Rn.
В § 3.4 решается задача о получении нижних оценок конформной емкости конденсатора (Е~,Е~) с a-равномерно совершенными пластинами. Показано, почему обычные методы симметризации, используемые для получения таких оценок в случае конденсаторов со связными пластинами, не дают содержательных оценок в случае равномерно совершенных пластин типа канторовой пыли. Главные требования к искомым оценкам - их мебиусовая инвариантность и зависимость только от геометрических характеристик конденсатора, связанных с диаметром пластин и расстоянием между ними. Образцом для этих оценок должны были служить известные нижние оценки конформной емкости конденсаторов со связными пластинами, указанные в монографии Вуоринена. Решение поставленной задачи представлено двумя теоремами этого параграфа, дающими нижнюю оценку конформной емкости Cap(i£-,Æ+), выраженную через мебиусово-инвариантную геомегрическую характери стику
|аі - а2\\Ь{ - b21
q = max r — -----------------------
abo2 <=£-;&!,&2€£+ [ai — c?i||a2 — o21
конденсатора E~, E+. При этом первая оценка (теорема 3.4.2) содержательна при больших значениях g, а вторая оценка (теорема 3.4.3) эффективна при малых значениях q.
3.4.2. Теорема. Пусть пластины конденсатора (Е~, Е+) в пространстве Яп являются а-равномерно со в ершенными множествами, и пусть
q > 1 + 2еЛ. (3.4.2.1)
Тогда
12
Сар[Е , Е+) > С{п, а)Ьп у, (3.4.2.2)
где С (ті, а) - положительная констант а, зависящая только от п и а.
3.4.3. Теорема. Пусть пластини конденсатора (Е~,Е+) являются а-равпомерпо совершенными множествами в ІІп. Тогда
Сар(Е~, Е>)> 1 |а(а,„), , (3.4.3.2)
где 62(0,71) - положительная константа, зависящая только от п и а .
Однако оценка конформного модуля, указанная в теореме 3.4.3, содержит множитель, который препятствует ее применению для исследования асимптотики конформного модуля при стягивании в точку одной из пластин конденсатора. В этой ситуации оказывается полезной верхняя оценка конформного модуля равномерно совершенного конденсатора, которая получена в теореме 3.4.4.
3.4.4. Теорема. Пусть в пространстве Ёп задан конденсатор (Е", Е~) с а-равномерно совершенными пластинами. Пусть
Г _ пйп{сІ.п(Е-,Е-), (Ііатп(Е~)} ~ _ тіїЕ+), (Нат^Е*)} , ч
0 4(1 + 2еа) ' ’ 1 4(1 + 2еа) * I3*4'4*1)
Тогда
і
п-1
мо<Е-^)<2[смш-;{1+2еа)) +
+2 (3.4.4.2)
V
Эта оценка не имеет известных аналогов и ее вывод основан на использовании теоремы 3.3.3 - основной теоремы этой главы.
В главе IV изучаются свойства приведенного модуля равномерно совершенных множеств в пространстве Йп. Понятие приведенного модули
13
плоской области в се внутренней точки возникло в геометрической теории функций в исследованиях Тейхмюллера (1938 г.( и, начиная с 50-х годов прошлого века, широко используется в теории аналитических функций и теории квазиконформных отображений. Распространение этого понятия на случай пространственных областей связано, в основном, с работами Митю-ка и его учеников. Особый интерес к теории приведенного модуля наблюдается в последнее десятилетие в связи с новыми методами, разработанными Дубининым и его учениками, основанными на введенным Дубининым новым понятием приведенного модуля в системе точек.
В первом параграфе главы IV дается краткий исторический обзор развития понятия приведенного модуля и его применений в теории функций; описана его связь с другими понятиями - конформным радиусом области, логарифмической емкостью компакта и трансфинитным диаметром. Для удобства терминологии, вводится определение приведенного модуля тр(Е]х) компактного множества Е в метрическом пространстве (X,р) в точке а £ Е, которое в случае евклидова пространства Яп совпадает с классическим приведенным модулем области - той связной компоненты дополнения к Е, которая содержит точку а. Это обобщение позволяет наряду с евклидовым приведенным модулем т(Е\ х) рассматривать и хордовый приведенный модуль тч(Е\ х), вычисленный в хордавой метрике пространства Ёп. Отмечены некоторые преимущества такого подхода и указаны формулы, отражающие связь между евклидовой и хордовой версиями приведенного модуля. В этом же параграфе введено понятие трансфиттитного приведенного модуля, получаемое использованием трансфинитного модуля конденсатора в метрическом пространстве вместо конформного модуля.
4.1.9. Теорема. Пусть в метрическом пространстве (Х,р) задано компактное мпооісество Л ненулевого трапсфипитиого диаметра,
14
А»(Л) > 0 (см. определение 1.4-3) и некоторая точка £ X \ А. Тогда для любой последовательности. {7,-} компактных мпооюеств ненулевого трапсфииит,пого диаметра, таких, что таху^ъ р(у, го) —> 0 при ) —>■ оо, существует предел
1
тр(А]2го) := Пт
3->со
Мд(А, 7?) — £?г-
(4.1.9.1)
Ах>Ы.
не зависящий от выбора такой последовательности {7/}. Величину тр(А]го) мы будем называть трапсфипитным приведенным, модулем, множества А в точке го.
С использованием теоремы Бэгби, утверждающей совпадение на плоскости трансфинитного и конформного модуля конденсатора, получено (следствие 4.1.10) существенно повое свойство классического приведенного модуля, показывающее, что мы получим ту же самую величину, если в определении приведенного модуля т(Е;го) последовательность шаров В (га, '/7) с г] —> 0 заменим на произвольную последовательность {77} компактов ненулевой емкости, стягивающихся при у —>• оо к точке го, а вместо радиуса 77 этих шаров будем использовать трансфинитный диаметр т(7у).
4.1.10. Следствие. Пусть А - собственное компактное подмножество в расширенной комплексной плоскости С, не явллюъцесся лтоэюе-ством пулевой емкости. Пусть го Е С \ А. Тогда для любой последовательности компактных множеств 7у С С ненулевой емкости, стягивающихся к точке го, то есть таких, что шаху€ъ q(y, го) —> 0 при ) —сю, справедливо равенство
1
т„(А\го) = Пт
j-> оо
Мод(А, 7у) — Ьп
ТчШ.
(4.1.10.1)
Также отмечено ( следствие 4.1.11), что евклидов приведенный модуль т(Е; га) на плоскости совпадает с логарифмом величины, обратной
15
к трансфинитному диаметру множества Е, вычисленному в полуметрике р(х, у) = \х- у\/{\х - го| • \у - г0|).
В § 4.2 дается простая нижияя оценка приведенного модуля в Яп и отмечается, что в общем случае не существует верхних оценок приведенного модуля компакта т(Е;го), выраженных черев его диаметр и расстояние до точки г0: аналогичных известным оценкам для случая континуума Е. Однако, в случае а-равномерпо совершенного компакта Е С Йп для приведенного модуля тч(Е\а) получена (теорема 4.2.2) верхняя оценка, выраженная через диаметр множества Е и расстояние от точки а до этого множества.
4.2.2. Теорема. Пусть Е есть а-равпомерпо совершенное миооісество в пространстве В!1 и а Є Яп \ Е. Половшим
гпіп{с1д(а, Е), (Иатч(Е)}
* ” 4(1 + 2еп) '
Тогда для хордового приведенного модуля мнооісества Е в точке а справедлива оценка
тч{Е\ а) < 2 ^ і;((і + 2е«)) +
+ Щ1^1 + 2е°'>СІ^а’ + : (4.2.2.1)
5
где С(п,оі) - константа из теоремы 3.1.9, зависящая лишь от п и а.
Эта теорема существенно использует теорему 3.3.3 третьей главы и является основным результатом в § 4.2.
Следующий § 4.3 содержит один из главных резутьтатов диссертации -теорему 4.3.4 о непрерывности (хордового) приведенного модуля тч(Е\а) как вещественной функции на семействе а-равномерно совершенных компактов относительно топологической сходимости:
16
4.3.4. Теорема. Пусть в пространстве Rn задана последовательность се-равномерно совершенных компактных множеств {Tj}, имеющая топологический предел Т = Lmij^^Tj. Тогда для любой точки а € Rn\T справедливо равенство
mq(T\a)= lim mq{Tj\ а). (4.3.4.1)
j->oо
В качестве следствия из этой теоремы дли множеств на плоскости получено (следствие 4.3.6) свойство непрерывности трансфинитного диаметра в классе а-равномерно совершенных компактов.
4.3.6. Следствие. Пусть последовательность {Tj} компактных а-равномерно совершенных множеств па плоскости С топологически сходится к компактному множеству Т С С. Тогда имеет место сходимость (евклидовых) трапсфипитпых диаметров
lim r(Tj) = т(Т). (4.3.6.1)
j—>00
В последнем параграфе главы IV доказанное выше свойство непрерывности приведенного модуля в классе а-равномерно совершенных компактов распространяется на случай сходимости компактов к ядру. Здесь используется теория сходимости к ядру в пространстве конденсаторов, разработанная Асеевым и Сычевым. В частности, применяется доказанная ими в общем случае теорема о том, что если на некотором семействе конденсаторов, замкнутом относительно операции заполнения и топологической сходимости, задана вещественная функция инвариантная относительно операции заполнения и непрерывная относительно топологической сходимости конденсаторов, то она будет непрерывная и по отношению к сходимости к ядру. Основу для применения этой теоремы к приведенному модулю дает
17
теорема 4.3.4 о его непрерывности относительно топологической сходимости а-равномерно совершенных компактов.
Доказательство некоторых вспомогательных утверждений и лемм, но имеющие признаков несомненной новизны, вынесены в отдельную главу И. Дополнения.
В конце диссертации помещен список основных терминов, использованных в тексте, с указанием на то место, где они впервые встречаются.
18