Содержание
Обозначения ............................................... 3
Введение 5
Глава 1. Наилучшее продолжение алгебраических
многочленов с единичной окружности 18
§ 1.1. Постановка задачи........................................ 18
§ 1.2. Структура класса ПП(РП) ................................. 21
§ 1.3. Оценка снизу для случая г > 1 22
§ 1.4. Оценка сверху для случая г > 1........................... 24
§ 1.5. Оценка снизу для случая 0 < г < 1........................ 33
§ 1.6. Оценка сверху для случая 0<г<1 34
Глава 2. Точное неравенство между равномерными нормами алгебраического многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости 37
§2.1. Постановка задачи......................................... 37
§ 2.2. Неравенства для тригонометрических полиномов............. 39
§2.3. Неравенства для алгебраических многочленов................ 44
§2.4. Интерполяционная формула.................................. 47
Список литературы................................................ 51
2
Обозначения
N = {1,2,...} - множество натуральных чисел;
R = (—оо, -Ьоо) - множество вещественных чисел;
С = {а + 6г: а Є R, 6 € R} - множество комплексных чисел;
ГГ - окружность радиуса г > Ос центром в начале координат плоскости;
С[а,Ь\ - пространство вещественнозначных функций, непрерывных на отрезке [а,Ь\, с равномерной нормой ||/||с[а,ь] = max |/(®)1;
’ a<x<b
C(Tr) - пространство вещественнозначных функций, непрерывных на окружности Гг, с равномерной нормой;
Рп - множество алгебраических многочленов
Рпі^іУ) = ^ ] Qk,m% У
к,т>0, ктт<п
от двух вещественных переменных (х,у) Є R2 степени не выше п > О по совокупности переменных с вещественными коэффициентами;
фп - множество многочленов Рп € Рп, равномерная норма которых на единичной окружности не превосходит единицы:
ІІ^пІІс(Гх) < 1;
7їп - множество гармонических многочленов от двух переменных степени не выше п, т.е. многочленов Нп Є Ря со свойством Д#п = 0;
Vn - пространство алгебраических многочленов
п
рп(^) = 53^, ск Є С,
А*=0
комплексного переменного г степени не выше п>0 с комплексными коэффициентами;
3
V* - подкласс многочленов из Рп с вещественным свободным коэффициентом, Т.е. Со € К.
4
Введение
Общая характеристика работы
В диссертационной работе изучаются две взаимосвязанные экстремальные задачи для алгебраических многочленов: о наилучшем в смысле равномерной нормы продолжении многочлена с единичной окружности на концентрическую окружность в плоскости К2 и о неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости.
Актуальность темы
Точные неравенства для алгебраических многочленов на единичной окружности и родственные задачи для тригонометрических полиномов являются классическим разделом теории функций. Впервые подобные неравенства широко изучались С.Н. Бернштейном, М. Риссом, Г. Сеге, Л. Зигмундом и др. К настоящему времени данной тематике посвящено большое количество работ, в том числе работы С.Н. Бернштейна, Г. Сеге, А. Зигмунда, С.Б. Стечкина, Л.В. Тайкова, В.В. Арестова.
В частности, Л.В. Тайков исследовал неравенство между равномерными нормами тригонометрического многочлена и его сопряженного на концентрических окружностях. Задача о точном неравенстве между равномерными нормами многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях является естественным продолжением данных исследований.
Построенная в диссертации интерполяционная формула для оператора вида Бернштейна обобщает некоторые интерполяционные формулы, построенные ранее для исследования неравенств. Кроме того, необходимые и достаточные условия С.Н. Бернштейна интерпретируются в терминах
коэффициентов интерполяционной формулы.
Задача о наилучшем продолжении алгебраического многочлена с единичной окружности является интересным и естественным распространением данной тематики. Очевидно, что норму алгебраического многочлена Рп(х,у) двух переменных на окружности радиуса г ф 1 невозможно оценить через его норму на единичной окружности. Достаточно в качестве примера рассмотреть многочлены Рп(х,у) = А(х2 + у2 — 1), где А - сколь угодно большое число. ГІа. окружности единичного радиуса эти многочлены равны нулю, а значит и ||Яп||с(Гі) = 0 ; норма же на окружности радиуса Я > 1 равна ||Рп||(7(Гд) = \А(П? — 1)|. Поэтому естественной представляется задача наилучшего (в смысле нормы) продолжения многочленов.
В силу сказанного, тема исследования данной диссертации является актуальной.
Цель работы:
— изучение величины наилучшего продолжения алгебраического много-
члена двух вещественных перменных с единичной окружности плоскости на концентрические окружности большего и меньшего радиусов;
— изучение точной константы в неравенстве между равномерными норма-
ми многочлена и его вещественной части на концентрических окружностях комплексной плоскости;
— построение интерполяционной формулы для линейных операторов вида
Бернштейна па пространстве тригонометрических многочленов заданной степени.
6
- Київ+380960830922