Задачи дискретной геометрии шарнирных конструкций и схем

Введение
Конструкции из стержней, соединённых шарпирами изучаются двумя инженерными дисциплинами: теорией механизмов, когда такие конструкции допускают непрерывное взаимное движение стержней (изгмбгюмы), и строительной механикой — в противном случае (неизгибаемости). Всплеск математических исследований, связанных с шарнирными конструкциями, приходится на девятнадцатый век, век паровых двигателей и ферм железнодорожных мостов. Тогда исследованиями напряжений в шарнир- . ных фермах занимались такие учёные как Л.Кремона и Д.К.Максвелл. Луиджи Кремона ввёл понятие верёвочного многокголышка и написал курс графической статики[1]. Джеймс Клерк Максвелл доказал теорему об условиях существования положительных внутренних напряжений в плоской шарнирной конструкции (1864)[2, 3]. Шатунные кривые исследовал известный геометр и алгебраист А.Кзли (1875)[4). Исходя из практической потребности получения наиболее точного прямолинейного движения с помощью простейших механизмов, знаменитым русским аналитиком П.Л. Чебышевым была создана теория многочленов наименее уклоняющихся от нуля на заданном промежутке. П.Л.Чебышев также придумал множество различных механизмов, в том числе и механизм с парадоксальными свойствами [5]. Из результатов общего характера следует назвать теорему А.Б.Кемне (187С)[50) о возможности вычерчивания по частям любой плоской алгебраической кривой с помощью нлоского шарнирного механизма. Подобную же теорему относительно вычерчивания алгебраических поверхностей в трёхмерном пространстве несколько позднее установил Г.Кёниге (1897) [6].
13 двадцатом веке тема математического исследования шарнирных механизмов стала казаться чем-то устаревшим и перестала привлекать внимание математиков. Автор монографии ^Кинематическая геометрия
1
механизмов” (1978г.) К.Х. Хапт в предисловии к этой книге даже сетует по этому поводу. Авторы книги [9] в связи с проблемой "различных сборок” шарнирных механизмов также отмечают недостаток разработок общетеоретического характера. Во второй половине двадцатого века интерес к вопросам кинематической геометрии в известной степени возродился в связи с развитием робототехники. При исследовании пространственных кинематических цепей были применены дуальные числа и так называемое винтовое исчисление, возникшее в 19 веке и развивавшееся в работах А.П.Котельникова [7] и Э.Штуди [8]. Касаясь математических оснований науки о механизмах, К.Х. Хант [51] писал: "Сами по себе эти понятия и законы не обязательно дают непосредственные практические результаты, хотя подчас и дают; более важное их значение — в указании плодотворных путей для дальнейших исследований, и, с другой стороны, — в отсечении заведомо бесплодных направлений.” Общие теоретические сведения по кинематике механизмов приведены в фундаментальной монографии О. Боттемы и Б.Рота (1979)[10].
Начало математи чес кому изучению явления неизгибаемости положила знаменитая теорема О.Коши (1813)[13] об определённости с точностью до изометрий выпуклого мпогогранлика, мыслимого составленным из нсизгибаемых граней, соединённых между собой рояльными петлями. Вех;ши в этом направлении являются открытие Р.Брикаром (1897)[14] изгибаемых самоперссекающихся октаэдров. Доказательство А.Б. Пого-рсловым (1949)(15] определённости с точностью до изометрий, а следовательно, неизгибаемости выпуклых замкнутых поверхностей с сохранением выпуклости. Построение Р.Коннелли (1978) [16] примера изгибаемого многогранника, гомеоморфного сфере. Доказательство И.X.Сабитовым (1996) [17] нсизмсппости объёма, ограниченного изгибаемым многогранником. Других! важнейшим понятием строительной механики является (статическая) жёсткость конструкции, то есть, возможность уравновешивания внутренними напряжениями в ней любых внешних нагрузок. Неизгибаемая конструкция не обязательно жестка. Доказательство жесткости строго выпуклых многогранников связано с именами Г.Вейля, М.Дена, А.Д.Александрова. Исследование жёсткости многогранников и поверхностей естественным образом расностранилось и на шарнирные фермы, а также на вантовые конструкции ("tensegrifcy frameworks” по Р.Коннелли). В этом напргшлении начиная с работы Поллячск - Гсйрин-гер (1927)[39j, впервые установившей необходимые и достаточные усло-
2
вкя жёсткости плоских реализаций общего положения графов, шарнирная конструкция рассматривается как тонка многомерного пространства параметров, координатами в котором являются координаты всех свободных шарниров. Начиная с семидесятых годов предыдущего века этот подход был р.ивит рядом канадских, американских и японских исследователей. В частности, результат Поллячек-Гейрингер был переоткрыт Ламаном (1970)[40], однако, найти подобный критерий для графа шарнир ник а в трехмерном пространстве до сих пор не удалось. Введение многомерных пространств параметров имеет мало смысла без рассмотрения их отображения, сопоставляющего положениям свободных шарниров квадраты длин рычагов шарнирника. Этому отображению, назва-ному Б.Ротом и В. Уайтли (1981)[18] ’’edge function”, а, впоследствии, Р.Коннелли — ’rigidity mapping”, автор присваивает термин ’рычажное отображение”, по его мнению более отвечающий природе объекта. Несмотря па то, что рычажное отображение да каждом шагу возникает в работах по жёсткости и неизгибаемости, работ посвящённых систематическому его изучению в литературе автору не встречалось. На взгляд автора это объясняется малоизученностью квадратичных отображений в многомерном случае, а также сложностью получепия достаточно содержательных общих результатов. Примеры таких, пока ещё не доказанных утверждений, касающиеся устойчивости и связи устойчивости с однозначной собираемостью шарнирных ферм, приведены в данной диссертации. Стоит отметить, что некоторые общие результаты, касающиеся рычажных отображений были получены в рамках так называемой геометрии расстояний (’’distance geometry”). В качестве примера приведём результат А.Барвинка [45] о том, что если незакреплённую шарнирную конструкцию с k рычагами можно собрать в каком либо (/-мерном евклидовом пространстве, то сс можно собрать и в евклидовом пространстве числа измерений равного
В последнее время появился ряд работ: Б.Ягги (1993)[19], Д.Звонкин (1995)[20], Г.Кинг (1998), М.Калович и Д.Миллсон (1998), И.В.Изместьсв (2000)[4G], М.Фарбср [21] в которых с точки зрения топологии и алгебраической геометрии изучаются конфигурационные пространства шарнирных механизмов. В частности, в работах Киша [47, 48], а также М.Каповича и Д.Миллсона [49] уточняется на языке алгебраической геометрии и усиливается старый результат Кемпе. Эти работы также связаны с анализом рычажного отображения, хотя какого либо особого на-
3
звания авторы ему не присваивают. На самом деле, основным объектом изучения в этих работах является ” конфигурационное пространство реализаций” ("moduli space”), в нашей терминологии — конфигурационное пространство кинематической шарнирной схемы.
Отметим, наконец, недавнее решение задачи ”о линейке плотника”, полученное Г.Ротом, Р.Коннелли и Э.Демайном [22], а потом более простым способом И.Стрейню [23]. В этой, оказавшейся весьма интересной, задаче о рапрямлении плоской шарнирной ломаной существенно отсутствие самопересечений, от чего мы отвлекаемся в наших рассмотрениях.
В данной диссертации автор, отталкиваясь от понятия рычажного отображения, предлагает единый подход к изучению геометрии как шарнирных механизмов, так и ферм. Этот подход придает точный математический смысл понятиям структурной и кинематической схем шарнирного механизма из теории механизмов и позволяет использовать эти попятия и для шарнирных ферм. Из нет вытекает общая классификация шарнирных устройств и их схем по геометрическим свойствам. В работах автора положено начало систематическому изучению рычажных отображений, им поставлен ряд вопросов относительно свойств этих отображений, некоторые из них решены. Предложенный подход в перспективе позволит полностью изучить явление устойчивости шарнирных конструкций и кинематических схем.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Первая глава начинается с анализа понятий шарнирного механизма и его кинематической схемы. Отправной точкой является нечеткость понятия различных сборок шарнирного механизма. Чтобы получить чёткую картину, в §2 формализуются понятия структурной и кинематической схем шарнирного механизма в простейшем случае плоских механизмов. Впрочем, их обобщение по размерности не вызывает затруднений. Структурная схема (шарнирная стуктурная схема — ШСС) определяется как связный граф без нетель и кратных рёбер с вершинами двух сортов. Вершины одного сорта отвечают закреплённым в плоскости шарнирам (крестики), другого — свободным (незакреплённым) шарнирам (кружочки). Рёбра ШСС отвечают рычагам механизма. Закреп-
Л
р 1
Рис. 1:
ленная шарнирная схема (ЗШС) получается приписыванием закреплённым шарнирам ШСС определённых положепий в плоскости. Кинематическая шарнирная схема. (КШС) есть ЗШС с приписанным каждому её рычагу вещественным числом. Хотя это число имеет смысл квадрата длины рычага, мы не требуем его неотрицательности. КШС для которой хотя бы одно из этих чисел отрицательно называется несущественной, в противном случае — существенной. Задание ЗШС конструкции с т незакреплёнными шарнирами и г рычагами в плоскости порождает два евклидовых пространства параметров: 2га-мсрнос пространство В?т положепий т свободпых шарниров и пространство 7£г, где координатами являются квадраты длин г рычагов. Естественным образом возникает отображение Г первого из этих пространств во второе, сопоставляющее каждой паре шарниров, соединённых рычагом, квадрат длины этого рычага. Это отображение, называемое нами рычажным, имеет ключевое значение для геометрии шарнирных устройств. На рисунке 1 изображена простейшая ЗШС с двумя закрепленными в точках р2 — (0,0) и р3 = (1,0) и одним свободным шарниром, имеюшим координаты р1 = (х,у). Отвечающее ей рычажное отображение Г задается формулами: Л12 = х2 -Н у2, с113 = (х — I)2 + у2.
Точку р из пространства Я2т мы называем (плоским) шарнирником. Шарнириик — это либо шарпирпая ферма, либо положение шарнирного механизма. Кинематической шарнирной схеме, представляющей собой
5
точку с! € 7£г, отвечает полный прообраз ^-1(с1) С Я2т, называемый конфигурационным пространством КШС. Шарнирпым механизмом мы называем нсодноточечную компоненту К связности конфигурационного пространства КШС. Одноточечную же компоненту связности называем фермой. Таким образом, при условии задания КШС шарнирный механизм отождествляется с множеством всех его положений, то есть, с его конфигурационным пространством. Полученные модели естественно называть геометрическими механизмами и фермами. Они, естественно, не учитывают никаких '’люфтов“ и деформаций и допускают какие угодно пересечения рычагов и шарниров между собой. Геометрические шарнирные механизмы и фермы мы называем шарнирными устройствами.
В §3 рассматривается расширение этой плоской конструкции. Во-первых, она обобщается на евклидово пространство произвольного числа Л > 0 измерений. Во-вторых, к этой конструкции можно в определённом смысле свести и идеальные шарнирные механизмы не только с вращательными, но и с другими низшими кинематическими парами, например, с поступательными парами.
В §4 даются начала классификации шарнирных схем и шарнирни-ков, построенные на основе классификации точек при рычажном отображении. В частности, правильной (или изостатической) называется шарнирная ферма р € К1™ для которой Иапк ^Я(р) = с1т = г. Шарнирный механизм называется правильным, если 11апкЛР(р) = т < (1т, для всех точек р € К. Устойчивой называется КШС, являющаяся внутренней точкой образа С = Р(11(1т) рычажного отображения. Множество С мы называем множеством существенных КШС, оно лежит в неотрицательном ортанте С} стандартной декартовой системы координат в 71г (в этой системе координаты — квадраты длин рычагов). Устойчивость КШС означает возможность собрать шарнирные устройства, отвечающие любой КШС, полученной достаточно малым возмущением исходной. Устойчивые КШС отвечают лишь правильным ЗШС, то есть таким, для которых (1ш1 С — шах Волк (1Р — г. Классификация проводится в мере необходимой для изложения в следующем параграфе нескольких ближайших выводов из предпринятых построений. Подробная классификация отложена до §1 главы II.
В §5 приводятся три простейших следствия предпринятой формализации. Первые два из них касаются всей совокупности шарнирников с заданной ЗШС и не встречались автору в литературе. Это факт отсутствия
6
для правильной ЗШС таких неустойчивых КШС, чтобы и все близкие КШС были неустойчивы. Он вытекает из размерностной однородности множества С.
Второе следствие — теорема следующего содержания
Теорема 2. Пусть КШС (Iо € 'Ш отвечает правильная шарнирная ферма ро € П?т, тогда с1о отвечает, кроме этой фермы, по крайней мере еще одно шарнирное устройство. Если же КШС <4о отвечают лишь правильные, фермы, то их число четно.
Доказательство её основано на существовании и равенстве нулю степени рычажного отображения. Собственность рычажного отображения достаточная для корректности определения степени устанавливается здесь же в лемме 1.
Третье следствие — пример шарнирного механизма с переменным числом степеней свободы, не являющийся чем-либо неожиданным с точки зрения геометрии конфигурационного пространства. Автор пришёл к нему самостоятельно, и только нозднее узнал о том, что механизмы с таким свойством (кинсматропии) уже были рассмотрены в работе Вундерлиха [34]. Однако, построенный пример оказался новым. Недавно К. Вольхарт (К. ХУоЫЬги^;) построил на основе этого примера кинсмато-тропные механизмы с числом степеней свободы, изменяющимся от 1 до произвольного натурального к.
Во второй главе в §1 подробно проводится общая классификация шарнирных схем и устройств. Закреплённая шарнирная схема (ЗШС) в IV* называтся правильной, изостатической, если ей отвечает хотя бы один правильный (т. е. с В.апк^(р) = г), изостатичсский шарпирпик р. Отметим, что в случае правильной (изостатической) ЗШС множество особых (неправильных или нсизостатичег.ких) шарпирников является алгебраическим подмножеством пространства параметров Я*71. Шарнирную структурную схему (ШСС) в Я4 мы будем будем называть правильной, изостатической, если ей отвечает хотя бы одна правильная, соответственно, изостатическая ЗШС в Пг. Для строительной механики и теории механизмов представляет известный интерес возможность определения правильности (изостатичности) ШСС в Я2 и в Я3 по её строению. Подобный вопрос для незакрепленных погружений связного графа в плоскость был решён в работах многих авторов, первыми из которых были Поллячек-Гейрингер [39] и Ламан [40] Для незакреплённых шарнирных схем в трёхмерном пространстве аналогичный вопрос
7
...________ _ ...._T~1 ... ______ I _ ... . « П1ТГЛ ...________
АЮ 1.ИА nop lie решен, и ДИО,Ср1(»ЦИИ AV-LH OJljnrtX ююолои о ixt о jro-fanotwien
критерий правильности родствсппый известным.
Теорема 3 Шарнирная структурная схема правильна a R2 тогда и только тогда, когда соответствующий ей граф G' обладает следующим свойством:
(С) для произвольной совокупности (пусть q > 0 штук) его ребер число Ь инцидентных им вершин удовлетворяет неравенству q < 26—3.
Кинематическая шарнирная схема d называется правильной, если каждый шарнирник р из её конфигурационного пространства F_1(d) правилен. КИЮ называется вырожденной, если среди шарнирников р € F-1(d) есть вырожденные, то есть такие на которых ранг рычажного отображения надает (RankdF(p) < тахр6Лл„ Rank dF(p) = q). KIIIC d называется исключительной если все шарнирники из F-1(d) вырож-денны. Если КШС неисключительна, а её ЗШС правильна, то эта КШС устойчива. Естественно также, учитывая ”шевеления” закрепленных шарниров, рассмотреть семейство всех существенных КШС (у, d) с различными ЗШС у 6 R?n, отвечающими одной ШСС в Rd. Существенная КШС (у0, do) называется вполне устойчивой. если все КШС (у, d), достаточно близкие к ней, как точки пространства Rdn+r = Rdn ©7Zr, существенны.
Утверждение 4. Если КШС (уо, do) устойчива и неисключительна, то она вполне устойчива.
Однако, не ясно — существуют ли устойчивые но не вполне устойчивые КШС?
Кроме устойчивости КШС интересными её свойствами являются непрерывность и вполне непрерывность. Непрерывной называется существенная КШС d, конфигурационное пространство которой непрерывно, то
есть lim />(F_1(d0), F~l(d)) = 0, d G C. где p(A, D)— хаусдорфово pac-<1-kJo
стояние между множествами А и В.
Пусть F-1(у, d) — конфигурационное пространство КШС (y,d). Существенная KIIIC (yojdo) называется вполне непрерывной, если
lim n(i?-1(y,d),P-1(yo!do)) = 0 (v.<9-♦(»>.<*>)
при условии, что (y,d) — существенные КШС. Справедлива
Теорема 4. Всякая невырожденная КШС непрерывна, всякая оке правильная КШС (уо, do) вполне непрерывна.
Устойчивость КШС подробнее исследуется в главе III.
8
Шарнирный механизм называется невырожденным, если на его кон-фигуранионном пространстве ранг рычажного отображения максималеп для данного отображения. Конфигурационное пространство К невырожденного шарнирного механизма является замкнутым (дт — г/)-морным гладким подмногообразием пространства параметров Я6т. Если же шарнирный механизм правилен (г] = г), то К еще и ориентируемо. Вопрос существования шарнирных механизмов с нсориентируомым конфигурационным пространством недавно решён в положительном смысле. Ответ вытекает из теоремы, которая в нашей терминологии имеет следующую формулировку: Пусть М — произвольное компактное вещественно алгебраическое подмногообразие Ят. Тогда найдется такая кинематическая шарнирная схема с1, что ее конфигурационное пространство аналитически изоморфно объединению конечного числа непере-секающихся копий многообразия М.
Эта теорема была практически одновременно установлена в работах Кинга [48] и Каповича и Милсона [49]. Отметим, одпако, что примера механизма с неориентирремым конфигурационным пространством до сих пор не указано. Если следовать методу работы Кинга, то по его оценкам пример плоского механизма с конфигурациониым пространством гомео-морфпым проективной плоскости должен содержать около 1300 шарни-ров.
Однородным называется шарнирный механизм, на конфигурационном пространстве которого ранг дифференциала рычажного отображения постоянен. Пока неизвестны примеры однородных механизмов с конфигурационным пространством, не являющимся топологическим многообразием. Хотя, для произвольных полиномиальных отображений подобное явление возможно. Шарнирное устройство Ко С Я?т с КШС с! называется устойчивым, если для любого числа е > 0 шшдется такое 6 > 0, что для всех (1, удовлетворяющих условию |с1 — <40| < 8, имеется шарнирное устройство К(с1), для которого хаусдорфово расстояние р(К(6), /Г(с1о)) < е. В противном случае шарнирное устройство Ко будем называть неустойчивым. Принимая во внимание возможность ^шевслс-ния” точек закрепления ЗШС введём следующее понятие:. Шарнирное устройство Ко С Яат с КШС (уо, с!0) назовем вполне устойчивым, если для любого е > 0 найдется такое 8 > 0, что как только |у — у0| < ^ и |с1 — с1о| < 8, то КШС (у, с1) отвечает шарнирное устройство К(у, с!), для которого р(К{у. (1), Ка) < е. При любых достаточно малых ошибках в
9
размерах, допущенных при изготовлении вполне устойчивого шарнирного механизма с одной степенью свободы, траектории всех его шарниров изменяются мало. Справедливо
Утверждение 8. Каждое правильное шарнирное устройство вполне устойчиво.
С другой стороны, шарнирный механизм, имеющий конфигурационным пространством кривую с точкой возврата, построенный Коннелли и Серватиусом[53], вполне устойчив, хотя и не является правильным. Вопрос о возможности существования устойчивого но не вполне устойчивого шарнирного устройства остается открытым.
В §2 второй главы приведены некоторые необходимые сведения об общих квадратичных отображениях, то есть отображениях F : К1 —> 'Яг евклидовых пространств, задающихся многочленами второй степени от декартовых координат точки. Ядерпым многообразием е центром р0 мы называем линейное многообразие L[po) С R1, состоящее из точек р, для которых векторы р — ри принадлежат ядру дифференциала отображения F в точке р0, то есть dF(pu)(j) — ;>о) = 0 € Яг■ Поверхностью вырождения В отображения F называем множество точек из II1 в которых Rank dF < т/. Здесь установлено условие того, что точка является особой точкой поверхности вырождения В, и условие касания образа ядорного многообразия с образом поверхности вырождения. Получено также необходимое и достаточное условие собственности квадратичнош отображения. Отмстим важное для теории шарнирных конструкций следствие, вытекающее из одного простою свойства общих квадратичных отображений:
Следствие Пусть pi и рг изометричные изостатические (а значит жесткие) шарнирные фермы, тогда шарнирник р, каждый шарнир которого лежит посередине между соответствующими шарнирами зт.их ферм не является жестким.
В §3 подробно рассмотрены примеры рычажных отображений для простейших изостатических ЗШС с двумя и тремя свободными шарнирами в плоскости, а также пример отображения, отвечающего плоскому шарнирному четырехзвеннику. Отталкиваясь от этого примера, вводится понятие областей типа КШС как компонент связности множества C\F(B). Различным КШС из одной области типа отвечают одинаковые наборы шарнирных устройств.
§4 посвящен свойствам рычажного отображения и его образа С в це-
10
лом. Об общих свойствах образа С = F(Rd,n) пространства всех шар-нирников при рычажном отображении известно немного. Множество С является полу алгебраическим, связным, замкнутым, неограниченным и имеет в каждой своей точке одинаковую местную размерпость равпуго шах Rank dF. Кроме тот здесь установлено необходимое и достаточное условие принадлежности образа рычажного отображения некоторой плоскости пространства 71т. а также следующее свойство
Теорема 8. Если ЗШС в Rd, (d > 1) умеет более одного рычага, то множество С не содержит разделяющих точен.
Установлена также близость в определённом смысле множества С, отвечающего ЗШС у, и множества С~, отвечающего приведённой ЗШС у" = О, полученной сведением всех закреплённых шарниров в начало координат. Отсюда выводится возможность наличия в изостатическом случае бесконечной полости в множестве С, и, как следствие, отсутствие в общем случае такого направления в 71Г. вдоль которот граница множества С проект и (ювалась бы взаимно-однозначно на какое-либо г—1-мсрнос подпространство.
В этом параграфе также вводятся в рассмотрение распрямлённые шарнирные схемы и шарнирники. Распрямленной называется ЗШС в R линейная оболочка закрепленных шарниров которой представляет собой плоскость Р размерности 1 < к < d. Если и все спободпые шарниры шарнирника с такой ЗШС лежат в плоскости Р, то этот шарнирвнк также называется распрямлённым. Распрямленные шарнирники в плоскости обладают следующим замечательным свойством.
Теорема 10. Два различных изометричных (то есть обладающих одной и той же КШС) шарнирника р и р', все шарниры которых лежат на одной прямой, являются различными положениями одного шарнирного механизма.
Будем считать, что в Rd выбрана декартова система координат {xj} с первыми h осями, лежащими в плоскости Р. Тогда множество Н распрямлённых шарнирников представляет собой km-мерное координатное подпространство Xj = О, I < j < к, 1 < г < пь пространства параметров RJ,n. Пусть L подпространство пространства Rdm ортогонально-дополнительное к Н. Множество М = Fji(H) = F{H) называется направляющим множеством, а конус JC — Д(Ь), где Т — квадратичная часть отображения F, — образующим конусом отображения F. В случае распрямлённой ЗШС множество С можно представить как объединение
11
конусов, полученных параллельным перенесением конуса К. вершиной в точки множества М.
В §5 обсуждаются общие свойства конфигурационных пространств шарнирных механизмов. Особое внимание обращено на то какими могут быть малые движения шарнирного механизма с одной степенью свободы. В частности, например, для неправильного механизма возможен излом траектории, отвечающий переходу точки р с одной ветви аналитической кривой, являющейся конфигурационным пространством механизма, па другую её ветвь.
Третья глава посвящена исследованию локальных свойств рычажных
и квадратичных отображений. В §1 рассматриваются понятия конуса отображения, контингенции а также порядка жёсткости отображения
в точке. Понятие конуса отображения можно ввести для произвольного непрерывного отображения / : Л? -> 7£г. Пусть при таком отобра-
жении (I = /(]>)■ Рассмотрим всевозможные последовательности точек р' € Rl,i = 1,2,..., сходящиеся к точке р, для которых с/,- = /(р*) ф d. Таким последовательностям отвечают последовательности лучей c/J, € ‘Ttr.
Множество Кр С 7£г всех предельных для последовательностей {ddi} лучей называется (касательным) конусом отображения / в точке р 6 R1. В случае полиномиального отображения / конус Кр можно построить, рассмотрев всевозможные аналитические кривые в R1, проходящие через точку р. Множество лучей, касательных к образам этих кривых в точке d = f(p) совпадает с конусом Кр. Волос того, достаточно рассмотреть лишь кривые, имеющие полиномиальные параметризации, степени которых ограничены некоторой постоянной, зависящей лишь от отображения /•
Пусть F = f(p) + df(p) + 1/2cPf{p) суть (неоднородная) квадратичная часть аналитического в точке р отображение /. Допустим, для квадратичного отображения F в точке р ядерное многообразие L(p) не пусто, а Т(р) есть образ линейного отображения d/(р). Конус Кр — J-(L(p) — р), (J7 = 1/2<Рf) назовем составляющим конусом, а конус QP = fCp + Т(р) — составным конусом отображения / в точке р.
Теорема 11. Если F квадратична па любом линейном подпространстве и fCp П 1ш dF(p) = 0, то конус Кр аналитического отображения } совпадает с Qp.
Шарнирпик р в Лл называется жестким, если Rank<i.F(p) = dm. Закрепленный шарнирник р называется пеизгибасмым (в инженерной
12
терминологии фермой) если он представляет собой одноточечную компоненту связности полного прообраза Р-1(Р(р)) своей КШС. Неизгнбас-мый шарнирник нельзя непрерывно двигать, не меняя длин его рычагов и положений закрепленных шарплроп. Жесткий шарнирник неизгибаем, однако, ненэгибаемый шарнирник может быть не жестким. Таковым, например, является шарнирник рисунка 2, если все три его шарнира лежат па одной прямой. Понятие порядка жесткости возникло как показатель отклонения от жесткости шарнирников, многогранников и поверхностей. В случае шарнирников оно обсуждалось в работе Коннелли и Серватиуса [53], удовлетворительное его определение в случае поверхностей, включающее в себя и случай шарнирников, дано в работе Сабитова [74]. В ди-сертации дано иное по форме определение, приспособленное к изучению шарнирников и применимое к любому аналитическому отображению.
Пусть <£(£) = Л + ... — образ аналитически параметризованной
кривой г(£) = рф г„£а + ..., при аналитическом отображении / с естественно возникшей при этом отображении параметризацией. Мы считаем, что <1 = /(р), а,/? — натуральные числа (начальные степени параметризаций), а га,(1р — ненулевые векторы. Величину /:(г) = £ называем степенью замедления кривой г(£) в точке р при отображении /.
Определение 3. Величину х — лир к(г) } где точная верхняя грань взята по всем аналитически параметризованным кривым г = г(£), начинающимися в точке р, назовем порядком жесткости точки р при отображении /.
Для произвольного полиномиального отображения / порядок жестхос-ти точки, если он конечен, является не меньшим единицы рациональным числом, которое можно считать несократимой дробью. Если же он бесконечен для точки 7>, то как следует из одной теоремы Артина, точка р лежит на некоторой кривой, принадлежащей f~1(f(p))^ Если в качестве отображения / взять рычажное отображение Р, то роль точки играет шарнирник р. и мы говорим о порядке жесткости шарнирника р. В этом случае цри х = оо шарнирник р является положением шарнирного механизма, то есть принадлежит неодноточечной компоненте связности множества Р_1(Р(р)). Такой шарнирник р называют изгибаемым (иногда его называют механизмом, но точнее говорить о нём как о положении шарнирного механизма).
Справедлива следующая
Теорема 12. Пусть Р : Яг —> IV правильное квадратичное ото-
13
брожение, и пусть (НгаКег<1Р(р) = 1, тогда конус Кр отображения Р в точке р представляет собой либо осе пространство 'ТС, либо его полупространство, либо г — 1-мсрную плоскость. Причем первые два случая возможны лишь когда р суть изолированная точка множества F“1 Р(р), а последний имеет место в противном случае. Более того, для построения конуса Кр достаточно рассмотреть кривые с младшей степенью параметра параметризации равной I. И эти же кривые достаточно рассмотреть для установления порядка жесткости точки р при отображении Б , который в случае своей конечности натурален.
Необходимым условием устойчивости шарнирника р € Я1*"1 является равенство Кр = Я**"4. Для анализа устойчивости КШС вместо касательного конуса отображения К необходимо рассмотреть касательный конус или контингенцию К<| множества С = Р(Я<1т). Конус множества С в его предельной точке <3 представляет собой множество предельных лучей последовательностей лучей <3<1„ где {<3,} — всевозможные последовательности точек <3; € С, <1,- ф <3, сходящиеся к точке с1. Необходимым условием устойчивости КШС Д является совпадение конуса с пространством ТС. До сих нор не известно примеров неустойчивых шарннрника или КШС, для которых бы выполнялись эти необходимые условия устойчивости. В случае рычажного отображения имеет место следующая связь контингеннии с хонусом отображения.
Лемма 11. Справедливо равепапво Ка = иКр, где объединение берется по всем прообразам точки <1 при рычажном отображении.
В §2 изучается устойчивость шарнирников и КШС. Строится ряд примеров с необычными свойствами. Среди них пример неустойчивой но устойчивой по любому достаточно малому изменению длины каждого из рычагов в отдельности КШС. Пример исключительной и устойчивой КШС. Л также пример механизма с переменпым числом степеней свободы и правильной ЗШС. имеющего неустойчивые положения. Ставятся вопросы о связи устойчивости с другими свойствами.
ВОПРОС 1. Возможна ли устойчивая КШС(1 , для которой каждый шарнирник р € Г-1 (с!) неустойчив?
Кратностью КШС <3 называется количество точек в щюобразе ^_1(с1); КШС однократна, если ей отвечает всего лишь один шарнирник — с необходимостью ферма.
ВОПРОС 2. Возможна ли однократная и устойчивая КШС?
Здесь же вводится определение устойчивой собираемости шарнир-
14
Рис. 2:
никои и КШС. Шарнирник р называется неустойчиво-собираемым., если имеется такая его е-окрестность {/(р,е) С И.4*"', что для V8 > 0 в ^-окрестности (<!,£) точки с! •— Р(р) найдется КШС сГ С <2, И' ^ Р([}(р, с)). На обыденном языке это означает, что если мы хотим собрать шарнирник р , то немного ошибившись в размерах при изготовлении его рычагов мы, возможно, не сумеем собрать шарнирника близкого к р. Для устойчиво же собираемого шарнирника любая достаточно малая ошибка в размерах его рычагов не помешает собрать шарнирник близкий к нему. Существенная КШС с! называется нсустойчиво-собираемой, если для Уе > 0 в ^-окрестности точки а найдется точка £ С}, но а# <1 С. Для нсустойчиво-собираемой КШС возможно сколь угодно малое изменение квадратов длин рычагов, оставляющее их неотрицательными и приводящее к несущественной КШС. Понятие устойчивой собираемости шире понятия устойчивости, рассмотренного выше. Например, КШС шарнирного четыре хзвепника (рисунок 2), у которого два свободных шарнира совпадают между собой и не лежат на прямой, соединяющей закрепленные шарниры, неустойчива но устойчиво-собираема как и сам этот шарнирник. Неустойчивыми но устойчиво-собираемыми могут быть лишь КШС, лежащие на границе ортанта ф. Устойчивая собираемость в случае изостатической ЗШС в Л* при (I > 1 оказывается равносильной устойчивости.
Из вопросов 1 и 2, заменив устойчивость па устойчивую собираемость, можно получить вопросы 1' и 2'. Пусть V множество ЗШС в 11**, (I > 1, граф (7 которых представляет собой дерево с всего лишь одной вершиной, отвечающей закреплённому шарниру. Для ЗШС из множества V ответ на вопрос 2' утвердителен.
15
Теорема 13. Вопрос 2' для множества ЗШС 3£ V о В.'1 при произвольном б > 1 равносилен вопросу 2 для множества всех ЗШС в ДЛ
В четвёртой главе строятся два примера, расширяющих наши представления о свойствах шарнирных конструкций. Оба эти примера (§3 и §4) представляют собой распрямлённые фермы в плоскости с одной и той же изостатической ЗШС. Первый из них — пример устойчивой шарнирной фермы, все шарниры которой лежат на одной прямой. Второй — пример неустойчивой фермы, устойчивой, однако, относительно произвольного достаточно малого изменения длины каждого рычага в отдельности. Примеры содержат по четыре свободных и четыре закреплённых шарнира (см. рисунок 2 а), в)). Эти шарнпрники сильно вырождены, ранг рычажного отображения в них снижается на 4 единицы. Для изучения рычажного отображения в подобных точках сильного вырождения в §1, 2 этой главы развит метод изучения устойчивости, основанный на анализе степени отображения (р. Отображение <р определяется следующим образом. Пусть подпространство С 7£г дополнительно к касательному многообразию Т(р). И пусть 7г;у — отображение проектирования на подпространство У/ вдоль многообразия Т(р), а отображение (р : Ь —> V/ суть наложение 7Гуг^ь {3~ь — ограничение второго дифференциала рычажного отображения на ядерное многообразие в точке р). Установлено следующее достаточное условие устойчивости распрямлённых шарнир-ников
Теорема 16. Если отображение (р собственное и его степень ненулевая, то шарнирник р устойчив.
Определение степени отображения <р в наших примерах было проделано путем решения систем четырёх квадратных уравнений с четырьмя неизвестными. Для этого был применён пакет Мар1е V. версии IV. Находились в точном виде все 16 решений этой системы. После чего эти решения высчитывались приближённо с достаточной степенью точности, проверялось неравенство пулю якобианов в точках, отвечающих им, и искалась сумма знаков якобианов.
Обоснование устойчивости шарнирной фермы при изменении длины отдельного её рычага во втором примере зиждется на теореме 17 относительно решений системы квадратичных уравнений, имеющей довольно длинное доказательство, использующее метод сжимающих отображений.
В пятой главе исследуется задача восстановления шарнирника по его внутренним напряжениям и её связь со свойствами образа рычажного
16
отображения. Условие равновесия сил. приложенных к г-ому свободному шарниру шарнирника со стороны остальных его шарниров, имеет вид
Е«у(р;-Л) = О,
3
где суммирование проводится по всем шарнирам, смежным с р,-, т.с. соединенным с ним рычагом, а = и/# — внутреннее напряжение рычага 1>{Ру Если в И1 задан шарнирник р = (р!,... ,рт+„), то его внутренние напряжения определяются как нетривиальные решения одпородпой системы линейных уравнений
^2^з(Рз -Л-) = 0, 1 < г < т.
з
Таким образом, множество внутренних напряжений заданного шарнир-ника вместе с нулевым напряжением нредставляет собой линейное подпространство IV(р) евклидова пространства 1УГ, г = \Е\, всех мыслимых для данной ШСС напряжений. Когда это подпространство нульмерно, множество внутренних напряжений пусто и мы говорим, что данный шарнирник не допускает напряжений. Шарнирники, не допускающие внутренних напряжений, возможны лишь для правильных ЗШС.
Если задана ЗШС в а также набор внутренних напряжений, то предыдущую систему уравнений можно переписать так:
\
Ц ш'з № “ 23 ш'зРз = 23 ш<зРз> 1 < г < т. (1)
{ 13
\ «.«/бв / »;а^€В] «,-«>,•бВа
Здесь неизвестные — радиус-векторы свободных шарниров — содержатся в левой части уравнений. Матрица 12 этой системы является симметрической. Основной «онрос: в каких случаях исходный шарнирник р° восстанавливается однозначно по подпространству Щр0) € \УГ при заданной ЗШС? (Здесь важно расположение подпространства относительно стандартной системы координат (о»у) в \УГ.) Иными словами, если р(д>) = (р1(и;), ... ,рт(д>)) есть множество всех решений системы линейных уравнений 1 при некотором {<*;#} = из 6 И^р0), то когда
П pH = Р° ?
軈^(а)
17
Очевидное условие <le:fc ft(a>) ф 0, где и — какой-либо ненулевой вектор из Ж(р°), является достаточным для восстановимости шарнирника р° по пространству его напряжений. В случае одномерного пространства W(р°) это условие является и необходимым. В главе 5 исследуется вопрос его необходимости в общем случае. Кроме того, исследуются условия геометрического характера на шарннрник р° и его ЗШС, а также на подпространство Ж(р°) С Wr, позволяющие ответить на вопрос о восстановимости этого шарнирника без вычисления dctS2(u>). Примером такого условия является положительность напряжений всех рычагов шарнирника. Она влечёт восстановимость шарнирника по такому напряжению. Шарнирнмки, допускающие набор положительных напряжений, исследовались в работе Коннелли [85], где они были названы spider webs. Мы их называем паутинными.
В §2 этой главы доказывается необходимое и достаточное условие восстановимости несократимого (то есть со всеми рычагами ненулевой длины) шарнирника на прямой. Допустим, что у его ЗШС есть совпадающие между собой закрепленные шарппры. Отождествляя друг с другом эти совпавшие шарниры, мы получим новую ЗШС 3? называемую сокращенной. Если сокращенная ЗШС имеет более одного закрепленного шарнира: Vm+1,..., vrn+n, то. добавив к се графу ребра vm+iv„l+2,...,vm+iVTn+n, соединяющие первый из закрепленных шарниров с остальными, мы получим граф G'(V. Е'), называемый дополненным графом исходной ЗШС. Вершину v 6 G1 назовем разделяющей, если при удалении сс вместе с инцидентными ей ребрами из графа G' получается несвязный граф.
Теорема 18. Для восстановимости несократимого шарнирника р° на прямой по его подпространству W(р°) С Wr внутренних напряжений необходимо и достаупочно выполнения следующих двух условий:
1) графС приведенной ЗШС шарнирника имеет более одного закрепленного хиарнира;
2) дополненный граф G' ЗШС не содержит разделяющих вершин.
В §3 устанавливается теорема, влекущая следующее достаточное условие невосстановимости шарнирника по своему пространству внутренних напряжений:
Пусть множество V шарниров шарнирника р так распадается па три кеперссскиющисся части Уг, V3, где V\ - непустое множество, состоящее лишь из свободных шарниров, V? - непустое множество, содержащее k < d шарниров, среди которых могут быть как свобод-
18
ные так и закрепленные, У3 - возможно, пустое множество, могущее содержать свободные и закрепленные шарниры; что не существует рычагов, соединяющих шарниры из множества V* с шарнирами множества Уз. И пусть все к шарниров множес7пва У? находятся в общем положении, а их аффинная оболочка не содержит всех шарниров множества У\. Тогда шарнир ник р невосстановим по своему пространству напряжений.
Пусть ш = {о>у} — допустимое для выбранной ЗШС напряжение. Множество шарнирников, допускающих это напряжение, определяется как решение соответствующей системы (??) и представляет собой либо точку, либо линейное многообразие Ьш С положительной размерности. В §4 исследуются геометрические свойства образа этого множества, а также образа С рычажного отображения. В частности, установлены следующие факты.
Лемма 20. Если образ Р(р) ишрпирники р лежит па границе дС множества С, то шарнирник р допускает внутреннее напряжение. Бо-лсс того, если -плоскость Пц,; = с> г^е с = соп5^, локально
опорпа либо касается С в точке с!0 € ОС, то множество Р-1(с10) ?ге-пусто и каждый шарнирник из этого множества допускает напряжение со = {со,;}.
Утверждение 20. Множество С имеет не более одной локально опорной либо касательной плоскости Д, произвольно заданного направления со.
Лемма 27. Яусть о точке с! € ОС имеется касательная либо опорная к С плоскость Пы и пересечение Д* П С ограничено. Тогда <1 -однократная точка отображения Р и имеется лишь один шарнирник, допускающий напряжение ш.
§5 иосвящёы доказательству необходимого и достаточного условия на ЗШС, обеспечивающего существование несократимых паутинных шарнирников.
Теорема 23. Приведенной ЗШС в В?, д>\, тогда и только тогда отвечает хотя бы один несократимый паутинный шарнирник, когда выполнены два условия теоремы 18.
В §б положительно решается вопрос существования восстанавливающего напряжения для произвольного шарнирннка на прямой, восстановимого по своему пространству внутренних напряжений. В §0 также изучаются свойства рычажного отображения, связанные с множеством
19
шарнирников, восстановимых по единственному внутреннему напряжению. Во-первых, получено необходимое и достаточное условие неограниченности этого множества. Оно состоит в наличии у ЗШС по крайней мерс двух закреплённых в различных точках шарниров. Отдельно рассматривается множество Я паутинных шарнирников. Ото .множество представляет собой так называемый минимум Парето отображения. Для рычажного отображения оно всегда ограничено. Сужение рычажного отображения на множество Я оказывается гомеоморфизмом. Более того, справедлива
Теорема 29. Если ДапксЯ^р) = г — 1 на множестве II, то множество Р(П) представляет собой гладкую строго выпуклую шапочку, гомеоморфную открытому (г — 1 )-мсрному шару. Эта шапочка обращена выпуклостью к началу стандартной системы координата в 7£г и взаимно-однозначно проектируется вдоль координатных осей на координатные плоскости.
В случае падения ранга дифференциала на множестве Я оно может оказаться негомеоморфным шару. Точкам р падения ранга отвечают угловые точки множества С, и для этих точек справедливы выводы §7, в котором приведены геометрические достаточные условия существования и несуществования восстанавливающего напряжения.
В §8 получены оценки минимального ранга дифференциала рычажного отображения, зависящие от ЗШС. Выдвинуты две гипотезы. Одна о наличии в множестве минимгшьного ранга рычажного отображения шарнирника с рычагом нулевой длины. Другая — о неограниченности множеств постоянного ранга рычажного отображения в случае их положительной размерности. В некоторых случаях эти гипотезы доказаны.
Шестая глава посвящена формулировке и доказательству критерия структурной группы Ассура в случае плоского шарнирно-рычажного устройства. Критерий имеет прикладное значение для структурного анализа механизмов.
В §1 обсуждается история вопроса, а также дастся определение структурной группы Ассура с точки зрения развиваемой автором математической модели. Группой Ассура в теории механизмов принято называть кинематическую цепь, степень подвижности которой относительно ”внешних” кинематических пар (связанных со стойкой или ведущими звеньями) равна пулю, и не содержащую меньших цепей с теми же свойствами. И.И.Артоболевским была развита классификация структурных
20