Корректность задач тепломассопереноса в неоднородных средах

Оглавление
Введение 6
ЧАСТЬ I. КОРРЕКТНОСТЬ МОДЕЛЕЙ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ 19
1 Основные сведения о базовых одномерных моделях 20
1.1 Задача затвердевания бинарной смеси................. 20
1.1.1 Построение модели............................. 20
1.1.2 Теорема о существовании решения задачи затвердевания бинарного сплава................................ 25
1.2 Об алгоритме численного решения задачи затвердевания.бинарного сплава........................................ 35
1.3 Монотонность свободной границы в двухфазной задаче Стефана 38
2 Задача Стефана с переохлаждением 41
2.1 "Переохлажденная"задача Стефана с нулевым потоком на
известной границе................................... 42
2.2 "Переохлажденная" задача Стефана с условием
1-го рода на известной границе...................... 45
3 Модель жидкостной эпитаксии 57
3.1 Построение модели и постановка задач................ 57
3.2 Прямая задача в ограниченной области................ 59
3.3 Прямая задача на полубесконечном интервале.......... 69
4 Модель тепломассопереноса в парафинонефтяной смеси 76
4.1 Постановка задачи................................... 76
4.2 Классическое решение одномерной задачи.............. 79
2
Оглавление 3
4.2.1 Формулировка теоремы............................. 79
4.2.2 Формулировка модифицированной задачи............. 81
4.2.3 Формулировка вспомогательной задачи.............. 83
4.2.4 Разрешимость вспомогательной задачи
и построение оператора.......................... 84
4.2.5 Разрешимость модифицированной задачи............ 86
4.2.6 Доказательство теоремы 4.2.1.................... 87
4.3 Автомодельное решение.................................... 88
4.3.1 Постановка задачи............................... 88
4.3.2 Простейший случай ........................‘. . . 90
4.3.3 Общий случай ...................................... 91
Основные результаты части I 94
ЧАСТЬ II. ДВИЖЕНИЕ ЭМУЛЬСИИ В ПОЛЕ МИКРО-УСКОРЕНИЙ И ТЕРМОКАПИЛЛЯРНЫХ СИЛ 95
5 Постановка задачи и ее простейшие решения 96
5.1 Уравнения модели......................................... 96
5.2 О простейших решениях..................................... 99
6 Автомодельное решение одномерной задачи 104
6.1 Постановка автомодельной задачи и решение асимптотической автомодельной задачи .........................104
6.1.1 Постановка задачи...............................104
6.1.2 Автомодельное решение асимптотической задачи ... 105
6.2 Вспомогательная краевая задача........................... 106
6.3 Существование автомодельного решения
основной задачи .........................................111
6.4 Примеры численных расчетов...............................114
7 Корректность начально-краевых задач одномерного движения эмульсии 117
7.1 Основная начально-краевая задача.........................117
7.1.1 Постановка задачи...............................117
7.1.2 Построение оператора........................*. . . 121
7.1.3 Доказательство локальной разрешимости задачи . . . 124
Оглавление
4
7.1.4 Единственность решения ........................... 129
7.2 Другие краевые задачи.................................... 131
8 Линеаризованная задача Коши для движения эмульсии в пространстве 135
8.1 Постановка задач..........................................135
8.2 Единственности решения задачи Коши
для линейной системы 1.................................. 137
8.3 Существование решения задачи Коши для линейной системы
1........................................................ 143
8.4 Существование и единственность решения
задачи Коши для линейной системы 2....................... 148
9 Начально-краевая задача движения эмульсии в пространстве 154
9.1 Постановка задачи.........................................154
9.2 Единственность классического решения задачи...............156
9.3 Построение оператора..................................... 163
9.4 Разрешимость задачи (9.3.1)-(9.3.7)...................... 171
9.5 Основной результат...................................... 174
Основные результаты части II 175
ЧАСТЬ III. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ СОСТАВОМ МАТЕРИАЛА В ПРОЦЕССАХ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ 176
10 Управление составом растущей пленки 177
10.1 Постановка задачи.........................................178
10.2 Теоремы о разрешимости обратных задач 1 и 2...............180
10.3 Автомодельные решения обратных задач жидкостной эпитаксии ....................................................... 183
10.3.1 Автомодельное решение задачи 1................... 183
10.3.2 Автомодельное решение задачи 2................... 184
11 Задачи управления составом бинарного сплава 186
11.1 Задача определения начальной концентрации примеси (обратная задача I) ............................................. 187
11.1.1 Постановка задачи..................................187
Оглавление
5
11.1.2 Разрешимость задачи І ............................. 190
11.1.3 Автомодельная обратная задача I.....................196
11.2 Задача определения граничного температурного режима (обратная задача II).............................................. 198
11.2.1 Постановка задачи............................. . . 198
11.2.2 О "точном" решении задачи II........................201
11.2.3 Экстремальная формулировка задачи II................207
11.2.4 Автомодельная задача определения граничного температурного режима..........................................209
12 Задача управления составом эмульсии в процессе затвердевания 211
12.1 Модель затвердевания эмульсии..............................211
12.2 Условия разрешимости прямой и обратной задач...............214
12.3 Специальные решения прямой и обратной задач................219
12.3.1 Случай теплового режима в виде бегущей волны . . . 219
12.3.2 Автомодельное решение...............................221
12.4 Задача управления составом затвердевшей эмульсии посредством выбора температурного режима..............................224
Основные результаты части III 226
ЛИТЕРАТУРА
227
Введение
Общеизвестно, что практически все материалы, встречающиеся в повседневной жизни, как естественные (почвы, камни и биологические ткани), так и полученные в результате некоторого технологического процесса, неоднородны и многокомпонентны и являются смесями твердых, жидких газообразных веществ с различными механическими и физикохимическими свойствами. Соответственно большинство естественных и технологических процессов, таких как движение суспензий и пузырьков в жидкостях, растворения и осаждения, горения топлива, образование кокса, сажи и дыма, поведение зерновой и угольной пыли, движение нефти, эмульсий и аэрозолей описываются моделями динамики неоднородных сред.
Разнообразная природа процессов и явлений затрудняет выработку единого подхода к многофазному моделированию. В настоящее время разработаны и используется большое количество моделей многофазных смесей. Проблеме моделирования динамики неоднородных сред посвящены монографии Р.И. Нигматулина (1987), K.L. Rajogopal и L.Tao (1995), R. S. Subramanian и R. Balasubramanian (2001) и многие другие.
Р.И. Нигматулин в своей монографии пишет, что изучение движения гетерогенный смесей с учетом исходной структуры и физических свойств фаз связано с привлечением новых параметров и решением уравнений более сложных, чем те, с которыми приходится иметь дело механике однородных сред, поэтому необходимы рациональные схематизации, приводящие к обозримым и решаемым уравнениям.
Тем не менее, существующие модели многофазных сред являются весьма сложными не только с теоретической точки зрения, но и в отношении использования для решения конкретных задач. Имеется огромное число прикладных задач для этих моделей. ("International Journal of multiphase flow" и.т.д) Постановка корректных начально -краевых задач для моделей
G
Введение
7
движения гетерогенных сред занимает центральное место в математических исследованиях таких моделей.
Тепломассопереиос в неоднородных средах имеет свои особенности но сравнению с однородными средами, находящие отражение и в математическом описании основных механизмов - диффузионном и конвективном. Процессы с фазовым переходом в неоднородных средах заслуживают особого внимания, что было отмечено В.И. Юдовичем в статье ’’Одиннадцать великих проблем гидродинамики"|90|.
Проблема моделирования фазовых переходов актуальна как для природных, в том числе и биологических и экологических, так и для технологических процессов, таких, как выращивание кристаллов, наращивание пленок, расчет течения парафинированной нефти и осаждения парафинов настенках нефтепроводов. Базовой моделью здесь является задача Стефана. Под задачей Стефана, возникновение которой относится к 1889, когда появились работы И. Стефана о фазовых превращениях, "в широком смысле понимают сейчас класс математических моделей, описывающих тепловые, диффузионные, и даже термодиффузионные процессы, сопровождающиеся фазовыми превращениями среды и поглощением или выделением скрытой теплоты "((21]). Наиболее характерной особенностью таких процессов, из-за которой соответствующие математические модели нелинейны, является наличие неизвестной заранее поверхности раздела фаз или целой многофазной области.
Построению и исследованию моделей фазовых переходов в неоднородных средах, как неподвижных, так и учитывающих движение, посвящено огромное количество работ, из которых отметим (13, 23, 32, 41,102, 104-106, 109, 120, 121].
Из возможных гетерогенных смесей дисперсные смеси, к которым относятся эмульсии, наиболее подробно изучены благодаря своей сравнительно регулярной структуре; при этом существует множество моделей их поведения, приводящих к разным классам нелинейных задач.
Тсрмоканиллярное движение является одной из наиболее важных форм движения капель и пузырьков в слабых силовых полях. Модель термокапиллярного движения эмульсии как двухфазного континуума под действием микроускорений и термокапилляриых сил была предложенная В.В. Пухначевым и О.В. Воиновым в 1995 году ([132, 133]). В отличие от обычной гидродинамики двухфазных сред, такое движение характеризуется от-
Введение
8
сутствием межфазного взаимодействия при относительном движении фаз.
Изучение двухфазного континуума такого рода началось в 1980 г., когда была предложена модель термокапиллярного движения газожидкостной смеси [15]. Авторы модели газожидкостной смеси пренебрегали массой, теплопроводностью и теплоемкостью газа. Одномерное движение и вопросы устойчивости простейших решений для газожидкостной смеси изучались в [15, 30]. Картина поведения среды становится значительно богаче в случае эмульсии. Модель термокапиллярного движения эмульсии была сформулирована в [132, 133] и уточнена в [16].
Своеобразие модели термокапиллярного движения эмульсии заключено в виде замыкающего уравнения системы, выражающего относительную скорость движения дисперсной фазы в виде суммы двух слагаемых - скорости, вызванной термокапиллярным эффектом и пропорциональной градиенту температуры, и скорости, вызванной микрогравитацией. Это уравнение является суперпозицией формулы Адамара-Рыбчинского для относительной скорости движения капли в гравитационном поле и формулы Янга-Гольштейна-Блока |146] движения капли в неоднородном температурном поле. Следствием замыкающего уравнения является тот факт, что система нелинейных управляющих уравнений не имеет определенного типа, при этом ||пара6оличеекие,'уравнения сохранения энергии и импульса и "гипсрболичсскиеиуравнения, являющиеся следствиями закона сохранения массы, связаны в главных членах. Это затрудняет использование известных результатов по исследованию моделей движения гетерогенных сред, например, теорем А.И. Вольперта и С.И. Худяева [17] и существенно усложняет постановку корректных начально-краевых задач, причем, не только в многомерном, но и в одномерном случае движения эмульсии с плоскими волнами.
Особый интерес в последнее время привлекают к себе обратные задачи и задачи управления процессами тсггломассопсрсноса. Отметим, что A.A. Самарский и П.Н.Вабищевич в книге [76] среди важнейших классов прикладных задач выделили именно эти задачи. Разнообразные обратные задачи теплопроводности, в том числе и с фазовыми переходами рассматривались, в частности, в книгах [5, 18, 37, 70] и статьях [3, 4. 19, 93, 145, 147].
Обратным задачам затвердевания бинарного сплава посвящено значительное число публикаций как в математических, так и в физико-техиических журналах [83, 84, 115, 116, 147). К этому классу относится
Введение
9
целый ряд разнообразных проблем, наиболее популярные из которых - это задачи управления формой фронта затвердевания и скоростью его продвижения [115, 116, 147] при помощи различных параметров. Заметим, что постановка и решение задачи, которую можно назвать простейшей обратной задачей Стефана, принадлежит самому И.Стефану [140].
Метод зонной плавки, предложенный У. Пфанном в 1952 году [74] для получения германия высокой степени чистоты в специальном контейнере, широко применяется для очистки сплава от примесей. Эффективность этого метода в первую очередь зависит от коэффициента распределения примеси, определяемого фазовой диаграммой двухкомпонентного вещества.
Исследование задачи управления составом вещества, получаемого в процессе затвердевания обеспечивает теоретическую основу применения подобных методов и позволяет выбрать режимы управления с необходимой точностью. Аналогичная задача для термокапиллярного движения эмульсии дает теоретические предпосылки получения в условиях орбитальных станций композитных материалов, характеризующихся значительным отличием плотности компонент. С этой задачей связана также проблема очистки смесей от газовых и жидких включений. Поскольку лабораторные эксперименты со смесями, плотности которых существенно различаются, весьма ограничены, возрастает роль аналитического и численного исследования задач движения эмульсии.
Проблема управления составом вещества при помощи температурного режима в ряде случаев сводится к задаче граничного управления в виде нехарактериетической задачи Коши. Теоретическому и численному исследованию задач граничного управления для параболических уравнений посвящена обширная литература (например: [3, 4, 5,115-118, 139]), и сведение задачи управления составом материала к изученному типу задач позволяет использовать разработанные в литературе методы решения.
В первой работе, посвященной задаче Стефана - статье Г. Ламе и В.П. Клайперона (1831) было установлено, что толщина твердой фазы пропорциональна коршо квадратному от времени, последующие в 1889 г. работы И. Стефана также были посвящены автомодельным постановкам, как с автомодельностью вида х/уД, так и типа "бегущая волна". Автомодельное решение задачи затвердевания бинарного сплава можно найти в работах [2, 32].
Автомодельные решения имеют ясный физический смысл, они являют-
Введение
10
ся аттракторами для других решений и применяются при тестировании численных алгоритмов. Кроме того, нахождение точных решений в задачах темломассопереиоса в неоднородных средах является интересной и нетривиальной задачей теории нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Исследуемые в диссертации модели нелинейны и представляют собой сложные системы дифференциальных уравнений в частных производных. В случае моделирования фазовых переходов в неподвижных средах это параболические системы со свободной границей для которых при исследовании корректности начально-краевых задач существенно используются результаты о разрешимости начально-краевых задач для параболических систем общего вида (отметим в этой связи работы [10, 81, 89]) и необходима проверка условия дополнительности Лопатинского.
В модели термокапиллярного движения эмульсии система нелинейных управляющих уравнений не имеет определенного типа, при этом ’'параболическое" уравнение сохранения энергии и импульса и "гиперболические" уравнения, являющиеся следствиями закона сохранения массы, связаны в главных членах, что существенно усложняет постановку корректных начально-краевых задач и затрудняет использование известных результатов по исследованию моделей движения гетерогенных сред.
Найденные и исследованные в диссертации автомодельные решения имеют ясный физический смысл, они являются аттракторами для других решений и применяются при тестировании численных алгоритмов.
Целями диссертационной работы являются: исследование корректности неклассических одномерных задач со свободными границами, возникающих при моделировании фазовых переходов в неоднородных средах; постановка начально-краевых задач для модели движения эмульсии в иоле микроускорений и термокапиллярных сил и доказательство их классической разрешимости; построение и исследование корректности модели затвердевания эмульсии; постановка и исследование задач управления составом материала в процессах с фазовым переходом.
Методы исследования. Используются методы функционального анализа и дифференциальных уравнений в частных производных, в частности априорные оценки, теоремы вложения, теоремы о неподвижных точках, преобразование Фурье, а также методы теории оптимального управления.
Введение
11
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются оригинальными как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.
Исследованы вопросы разрешимости на произвольном интервале времени для задачи Стефана с переохлаждением и условием 1-го рода на известной границе и задачи жидкостной эпитаксии из тройного раствора. Впервые доказано существование классического решения в малом по времени для задачи со свободной границей для системы уравнений, описывающей перенос примеси в парафинированной нефти и для задачи управления составом пленки в процессе сс роста из тройного раствора. Построены автомодельные решения этих задач. Впервые проведено исследование корректности начально-краевых задач для системы уравнений, описывающей движение эмульсии в поле термокапиллярных сил и микрогравитации. Впервые сформулированы задачи управления составом эмульсии в процессе затвердевания; для задачи граничного управления составом бинарной смеси при затвердевании предложен способ редукции к серии хорошо изученных задач.
Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что:
— исследованы вопросы разрешимости на произвольном интервале времени задачи жидкостной эпитаксии из тройного раствора;
— доказано существование классического решения в малом по времени для моделей переноса примеси в парафинированной нефти;
—предложены постановки начально-краевых задач для модели движения эмульсии под действием термокапиллярных сил и микрогравитации и найдены классы их корректности;
—сформулированы задачи управления составом материала в процессе фазового перехода (рост пленки, затвердевание бинарной смеси и затвердевание эмульсии) и исследована их разрешимость как в точной, так и в вариационной постановках;
— для всех рассмотренных задач построен ряд новых точных решений, имеющих физическую интерпретацию.
Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на следующих международных и Всероссийских конференциях:
— V-th International Conference on numerical Analysis of Semiconductor Devices and Integrated Cicuits (Dublin, 1987);
Введение
12
- VII Всесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений (Барнаул, 1989);
- международной конференции ’’Лаврентьевские чтения” (Новосибирск, 1990. 2005, 2010);
- Сибирском конгрессе "ИНПРИМ-98” (Новосибирск, 1998);
- международной конференции ’’Nonlinear Partial Differential Equations”(Lviv, 1999);
- Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых ’’Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения” (БиЙск, 2002, 2005, 2008);
- международной конференции ’’Обратные и некорректные задачи математической физики” (Новосибирск, 2007);
- International Conference on 21st Century Mathematics (Lahore -Pakistan. 2007);
- международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений"(Новосибирск, 2008);
- Всероссийской конференции ’’Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение” (Новосибирск, 2009);
- Всероссийской конференции ’Успехи механики сплошных сред”, (Владивосток, 2009);
- международной конференции ’’IV International Topical Team Workshop on two-phase systems for ground and space applications” (Новосибирск, 2009);
а также на следующих научных семинарах:
-семинаре Института математики "Uliss Dini"университета Флоренции (1991, 2001);
-семинаре Института математики Римского университета (2003); -семинарах Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск) иод руководством чл.-корр. РАН профессора В.В. Пухначева (неоднократно);
Введение
13
- семинаре Института математики СО РАН (Новосибирск) под руководством чл.-корр. РАН профессора В.Г. Романова (2010);
- семинаре Института математики СО РАН (Новосибирск) под руководством профессора B.C. Белоносова и д.ф.-м.н. М.В. Фокина (2010);
- семинаре Университета Восточной Англии (Норидж) 2010;
- городском семинаре "Задачи индустриальной и прикладной математики11 (Барнаул) 2009, 2010;
- семинарах кафедры дифференциальных уравнений Алтайскою государственного университета, (Барнаул).
Структура и объём работы. Диссертация состоит ив введения, трех частей, разделенных на 12 глав и списка литературы. Текст изложен на 240 страницах, включая рисунки. В списке литературы содержится 147 наименований.
Первая часть диссертации посвящена корректности моделей с фазовым переходом в неоднородных средах.
В главе 1 приведены основные сведения об одномерных моделях, которые используются в следующих главах.
В первом параграфе главы на примере процесса затвердевания бинарной смеси, рассматриваются подходы к построению моделей с фазовыми переходами в неоднородных средах; далее подробно излагается доказательство локальной по времени разрешимости задачи затвердевания бинарного сплава, поскольку приемы, используемые в нем, будут неоднократно встречаться в дальнейшем при доказательстве локальной по времени разрешимости начально-краевых задач для систем уравнений со свободными границами. Во втором параграфе описывается экономичный алгоритм численного решения задачи затвердевания е явным выделением фронта. Третий параграф посвящен доказательству теоремы о монотонности свободной границы в одномерной двухфазной задаче Стефана. Достаточные условия монотонности, полученные в теореме, используются в третьей части диссертации.
Вторая глава диссертации посвящена "переохлажденной11 задаче Стефана, которая может быть записана в виде
ихх — Щ = 0,0 < х < s(£); u(s(t), I) = 0, ux(s(t), t) = -s(t)\
s(0) = 1, u(x, 0) = щ(х), 0 < x < 1; u(0,t) = f(t) (ux(0,t) = 0) (0.0.1) где начальное распределение щ(х) функции u(x, t) неположительно. Для
Введение
14
такого варианта задачи, в зависимости от начальных и граничных условий для решения, если оно существует, возможно как продолжение на произвольный интервал времени, так и градиентная катастрофа. Задачи "с переохлаждением" встречаются в многочисленных приложениях, в частности, одна из первых работ в этом направлении, принадлежащая В.В. Пухначеву [72] (1976), относится к возникновению особенности в модели электрического взрыва проводников. В диссертации к задачам такого класса приводит моделирование роста пленки из тройного раствора и изучение обратных задач фазового перехода. Задача (0.0.1) в случае нулевого потока на известной границе была подробно исследована Л. Фазано и М. Примичерио [101]. В диссертации проведено исследование задачи (0.0.1) с неположительной кусочно-непрерывной функцией f(t), задающей значение искомой функции на известной границе и неположительной непрерывной функцией uq(x), играющей роль начального распределения.
В третьей главе исследуется математическая модель роста пленки методом жидкостной эпитаксии из раствора, состоящего из жидких бинарных соединений АС и ВС в растворителе С [9, 92], представляющая собой одномерную, однофазную задачу Стефана с начальным переохлаждением для системы двух уравнений диффузии, связанных условиями на свободной границе. На фиксированной границе могут быть заданы как условия первого рода для концентраций, так и поток концентрации. В этом смысле соответствующие задачи близки к задачам главы 2: область решения сужается со временем, таким образом, мы попадаем в класс задач Стефана с переохлаждением. Локальная но времени теорема о разрешимости доказывается при помощи теоремы Шаудера о неподвижной точке. Исследованы задачи как в ограниченной, так и неограниченной области. Найдены достаточные условия существования классического решения на интервале (0, Т), где Т — время окончания процесса, и достаточные условия градиентной катастрофы. Построены автомодельные решения задач.
В четвертой главе исследуется модель тепломассопереноса в неизотермическом частично насыщенном растворе нефть-нарафин, предложенная
А. Фазано и М. Примичерио [102]. Приводится постановка задачи в трехмерной области и определение обобщенного решения в случае известной температуры процесса. Далее рассматривается одномерная постановка задачи в общем случае, когда распределение температуры находится в процессе решения, и доказывается локальная по времени теорема о существо-
Введение
15
вании классического решения. Исследуется также автомодельная одномерная задача.
Вторая часть посвящена исследованию модели движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил, предложенной О.В. Воиновым и В.В. Пухначевым [132. 133].
Глава 5, открывающая эту часть, носит вспомогательный характер. В ней приводятся и обсуждаются определяющие уравнения модели, простейшие решения и их устойчивость. Также рассматривается система уравнений, соответствующая одномерному движению с плоскими волнами.
В главе б для одномерного термокапилляриого движения эмульсии исследуется вопрос существования автомодельного решения нелинейной задачи относительно переменной х/л/1. Доказываются теоремы его существования и исследуются свойства в зависимости от знака разности А/А,/—ршАт, где рл,Рт— плотности, Лг/, Лт— теплоемкости дисперсной и несущей фаз соответственно. Строится также автомодельное решение асимптотической относительно малой концентрации дисперсной фазы задачи. В последнем параграфе приводятся численные результаты, иллюстрирующие различия в характере поведения профиля концентрации в зависимости от входных данных и проводится сравнение решений полной и асимптотической задач.
Глава 7 посвящена постановке и исследованию разрешимости начальнокраевых задач для систем, описывающей одномерное движение эмульсии в поле микроускорсний и термокапиллярных сил. Изучение начинается с постановки простейшей начально-краевой задачи, когда область точения эмульсии имеет непроницаемые для обеих компонент стенки, которая названа основной. Особенностью этой задачи является необходимость задавать также условие для концентрации на одной из границ, на какой именно - зависит от наклона характеристик для вспомогательной функции, главным членом которой является производная концентрации. Отметим, что подобная начально-краевая задача для газожидкостной смеси в частном случае отсутствия силы тяжести и независимости коэффициента теплопроводности от концентрации исследовалась О. В. Воиновым и В.В. Пухначевым [15]. Особенности модели в трехмерном случае приводят к формулировке начально-краеиой задачи с нулевой среднеобъемной скоростью на границе области и нулевым тепловым потоком через эту границу. При помощи теоремы Тихонова-Шаудера о неподвижной точке, примененной к оператору, построенному в результате последовательного решения се-
Введение
16
рии линейных задач: начально-краевой для уравнения теплопроводности, начально-краевой для системы Стокса с непостоянными коэффициентами и задачи Коши для гиперболической системы, доказывается локальная по времени разрешимость поставленной задачи. Кроме того, доказывается единственность классического решения на всем промежутке его существования.
В третьей части рассматриваются задачи управления составом материала в процессах с фазовым переходом.
Глава 10 посвящена задачам управление составом растущей пленки. В отличие от остальных задач этой части, задача управления составом пленки посредством выбора температурного режима процесса не принадлежит к классу некорректных. Математически она близка к задаче затвердевания бинарного сплава, в ней также неизвестны значения концентраций на свободной границе, на которой, помимо условия Стефана для закона продвижения свободной границы, ставится алгебраическое условие, связывающее значении концентраций двух веществ.
Задача управления составом рассматривается в двух вариантах: жидкая фаза занимает ограниченную область (задача 1) и жидкая фаза занимает полубесконечный интервал (задача 2). Локальная по времени разрешимость в Гельдеровских классах функций этих задач устанавливается с использованием теоремы Шаудера. При разумных ограничениях на входные данные строятся также автомодельные решения задач 1 и 2, соответствующее постоянному составу пленки при постоянной температуре процесса. В случае задачи 1 автомодельной переменной является £ = х/у/Т — £, свободная граница ищется в виде б-(£) = у/Т — Ь, где Т -время окончания процесса (исчезновения жидкой фазы). Для более традиционной задачи 2 автомодельная переменная имеет вид £ = х/уД, свободная граница задается уравнением $(£) = руД, температура процесса и состав растущей пленки постоянны.
В главе 11 в рамках классической модели затвердевания бинарного сплава при отсутствии диффузии в твердой фазе рассматриваются две обратные задачи: задача определения начальной концентрации примеси в жидкой фазе (задача I) и задача определения температурного режима на одной из границ (задача II) по известному постоянному распределению в твердой фазе в конце процесса. Постоянство концентрации в затвердевшей части позволяет "развязать" систему уравнений для температуры и кон-
Введение
17
центрации. Задача I формулируется как задача минимизации функционала и доказывается существование ее решения. Задача II сводится к последовательности трех задач, первая из которых относится к типу "переохлажденных11 (см. п. 2.1 и 2.2), вторая является начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности в области с известной подвижной границей, а последняя имеет вид нехарактеристической задачи Коши. Эта последняя задача исследуется в двух постановках: "точной" и вариационной. Кроме того, исследуются автомодельные варианты задач I, II, и строятся их точные решения.
В последней, 12-той главе, исследуются задачи получения вещества желаемого состава в процессе затвердевания эмульсии, движущейся в поле микроускорепий и термокапиллярных сил. В первом параграфе главы на основе уравнений модели движения эмульсии выводится асимптотическая по малой концентрации примеси модель затвердевания. Модель построена совместно с В.В. Пухначевым. Далее для этой модели проводится аналитическое исследование: ставятся начально-краевые задачи, прямая - нахождения концентрации дисперсной фазы в затвердевшей части, и обратная - определения начального распределения дисперсных включений по заданной концентрации их в затвердевшей части. Находятся условия разрешимости, исследуются возможности очистки или обогащения эмульсии в процессе затвердевания и приводятся некоторые специальные решения. Последний параграф главы посвящен наиболее интересной с точки зрения приложений задаче управления составом эмульсии в процессе затвердевания при помощи температурного режима на известной границе.
Каждая из трех частей завершается формулировкой основных результатов.
На защиту выносятся следующие основные положения:
• Теоремы о классической разрешимости
- в целом по времени для одномерной однофазной задачи Стефана с начальным переохлаждением и условием первого рода на известной границе;
- в целом но времени для задач жидкостной эпитаксии из тройного раствора;
- в малом по времени для системы уравнений, описывающей тепло-
Введение
18
массоперснос в парафинированной нефти.
• Постановки начально-краевых задач для системы уравнений движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил, теоремы о локальной по времени разрешимости задач в гельдеровских классах функций и о единственности классического решения на всем промежутке времени существования
-для одномерного движения с плоскими волнами;
-для движения в ограниченной области трехмерного пространства в отсутствие силы тяжести
• Теорема существования и единственности решения задача Коши для линеаризованной системы уравнений движения эмульсии в пространстве под действием термокапиллярных сил и микроускорений.
• Постановка и исследование задачи управления составом вещества, получаемого в результате затвердевания
- бинарного сплава посредством выбора граничного температурного режима в "точной” и вариационной постановках;
-эмульсии посредством выбора начальной концентрации дисперсных включений или выбора граничного температурного режима.
• Построение и исследование автомодельных решения всех рассмотренных одномерных прямых и обратных задач.
Результаты диссертации опубликованы в 20 статьях [9, 20, 20. 31, 43, 52-55, 57-59, 68, 92, 110, 124, 125, 127, 130, 134], монографии [56] и материалах конференций [6, 27-30, 60-67, 111, 126, 129]
Автор искренне благодарен члену- корреспонденту РАН профессору
В.В. Нухначеву за внимание к работе и плодотворное сотрудничество.
ЧАСТЬ I КОРРЕКТНОСТЬ МОДЕЛЕЙ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ
Первая часть диссертации посвящена корректности моделей с чисто диффузионным механизмом тепломассопереноса.
Первая глава содержит некоторые варианты постановки задачи затвердевания бинарного сплава, доказательство локальной теоремы о существовании классического решения одномерной равновесной задачи и достаточные условия монотонности свободной границы в двухфазной задаче Стефана - эти результаты опубликованы в работах [49, 50] и здесь приведены в качестве вспомогательного материала. Предлагается экономичный алгоритм численного исследования задачи затвердевания бинарного сплава, разработанный автором диссертации совместно с учениками Ю.В. Турковым и Е.Н. Журавлевой и реализованный в [20, 25].
Далее исследуется переохлажденная задача Стефана; результаты, относящиеся к задаче с условием 1-го рода, за исключением теорем 2.2.1 и 2.2.2, принадлежащих автору диссертации лично, получены совместно с D. Tarcia и С. Turner [127].
В рамках модели жидкостной эпитаксии их тройного раствора [9, 92], исследуется разрешимость задач роста пленки в ограниченной и неограниченной областях, строятся автомодельные решения. Результаты аналитического исследования принадлежат автору диссертации и опубликованы в [9, 58, 124].
Завершает раздел исследование задач тепломассопереноса в парафинированной нефти [102] в классической одномерной постановке. Теорема о классической разрешимости и результаты, относящиеся к автомодельной задаче [110, 111] принадлежат автору диссертации.
19
Глава 1
Основные сведения о базовых одномерных моделях
В первом параграфе главы на примере процесса затвердевания бинарной смеси рассматриваются подходы к построению моделей с фазовыми переходами в гетерогенных средах; далее подробно излагается доказательство локальной по времени разрешимости задачи затвердевания бинарного сплава [49], поскольку приемы, используемые в нем, будут неоднократно встречаться в дальнейшем при доказательстве локальной по времени разрешимости начально-краевых задач для систем уравнений со свободными границами. Во втором параграфе описывается экономичный алгоритм численного решения задачи затвердевания с явным выделением фронта. Третий параграф посвящен доказательству теоремы о монотонности свободной границы в одномерной двухфазной задаче Стефана [50]. Достаточные условия монотонности, полученные в теореме, будут неоднократно использованы в дальнейшем.
1.1 Задача затвердевания бинарной смеси
1.1.1 Построение модели
Базовой моделью будет являться модель фазового перехода в неподвижной бинарной смеси. Будем иаюльзовать следующие обозначения:
5— индекс твердой фазы; I— индекс жидкой фазы;
Ох— температура, сконцентрация примеси в ьтой фазе, г — 5, / (г = 1,2); 0*— температура фазового перехода чистого вещества; а]— коэффициент температуропроводности в ьтой фазе;
20
Глава 1. Основные сведения о базовых одномерных моделях
21
А— коэффициент диффузии примеси в кгой фазе;
частное от деления коэффициента теплопроводности в ьтой фазе на произведение плотности и скрытой теплоты фазового перехода;
771^— коэффициент наклона солидуса; гщ— коэффициент наклона ликвидуса; К = ггц/тг^— коэффициент распределения примеси; х, £— пространственные переменные, £, Т, т— время; х — $(£)— уравнение свободной (фазовой) границы;
= {х : 0 < х < = {х : 5(£) < х < 1},
АСО = {(х, 0 : ж € П,-(*)Д € (0,Т)}(7 = 5,/); С?т = (ОД) х (0,Т); а€ (ОД).
В тех случаях, когда физическая природа задачи не важна, будем обозначать неизвестные функции буквами и/и т.д. При этом свободная граница в одномерных задачах всю;;у обозначена 5(0 или 5(0, или 5(т).
Прежде чем перейти к построению модели, сделаем некоторые замечания о физической природе задачи. Во многих технологических процессах (производство полупроводников, кристаллизационная очистка методом направленной кристаллизации) используются такие физико-химические системы, компоненты А и В которых неограниченно растворимы как в жидком, так и в твердом состоянии. Это системы с непрерывным рядом твердых растворов. Диаграммы фазового равновесия (графическое выражение связи между агрегатным состоянием вещества и условиями, в которых оно находится, а также его составом) таких систем представлены на рисунке
1.1.
а)
Рис. 1.1
ь)
Глава 1. Основные сведения о базовых одномерных моделях
22
Рис. 1.1: Ь - лилия ликвидуса, выше которой система находится в однофазном жидком состоянии, ниже - в двухфазном, представляющем смесь кристаллов и жидкости. Б - линия солидуса, ниже которой система находится в твердом состоянии.
Эти диаграммы различаются тем, что наличие примеси либо понижает (рис. 1.1, а), либо повышает (рис. 1.1, Ь) температуру плавления чистого вещества. Диаграмма рисунка 1.1, Ъ) характерна, например, для системы медь с примесью железа; вид 1.1, а) типичен для таких полупроводниковых систем, как германий, легированный галлием; кремний, легированный алюминием.
Задачи фазового перехода в чистом веществе хорошо изучены [2, 42, 70, 77, 86, 95—101, 103, 107, 121, 141, 144). Существует два основных подхода к моделированию фазовых переходов в бинарных системах: классический, предполагающий существование поверхности раздела жидкой и твердой фаз, и обобщенный, допускающий существование целой области, где температура равна температуре плавления. Одними из первых математическое обоснование обобщенной постановки термодиффузионной задачи предложил А.М. Мейрманов (42), теорема существования доказана для одномерной стационарной задачи И. Гетцем, и ее можно найти в книге |42). Другой подход к обобщенной постановке, доказательство теоремы существования и метод численного решения предложены в книге [2]. Обобщенная постановка в некоторых случаях более адекватно отражает реальную физическую ситуацию, однако она приводит к сильно нелинейной системе.
Задача кристаллизации бинарного сплава сложна прежде всего потому, что поверхность раздела заранее неизвестна и должна определяться вместе с решением. Эти трудности усугубляются нелинейностью и высоким порядком определяющих уравнений.
Всюду в первой части диссертации используется классический подход, т.е. полагаем, что существует гладкая граница раздела фаз.
Равновесная модель
Предполагаются, что теплопередача в жидкости описывается законом Фурье, т.с. тепловые потоки за счет конвекции отсутствуют. Это верно при малых перегревах, когда законы теплопроводности в жидкости близки к характерным для твердого тела. Таким образом, температурное ноле в