О некоторых задачах многомерной теории приближений разных метрик

Содержание
Введение......................................................3
Глава 1. О прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой...........................................36
1.1 Вспомогательные утверждения..............................36
1.2 Об одномерной обратной теореме теории приближений в пространствах Лоренца...................................................43
1.3 О многомерных прямых и обратных теоремах теории приближений с заданной мажорантой...........................................59
1.4 О многомерных прямых теоремах теории приближений с заданной мажорантой в пространстве Бесова................................76
Глава 2. Неравенства типа Бернштейна, Джексона - Никольского и некоторые теоремы вложения..............................91
2.1 Вспомогательные утверждения..............................91
2.2 Неравенства типа Бернштейна, Джексона-Никольского........99
2.3 Порядковые оценки производных А - ядра Дирихле..........112
2.4 О некоторых теоремах вложения Я и Е - классов...........120
2.5 О необходимости условий для вложения Е - классов........131
Глава 3. Об эффективности алгоритмов численного интегрирования на классах типа 5- классов Никольского, Бесова и Соболева.......................................................139
3.1 Оптимальные коэффициенты и равномерно распределенные сетки Коробова.......................................................139
Вспомогательные утверждения.................................146
3.2 Об эффективности алгоритмов численного интегрирования на классах типа 5 - классов Никольского, Бесова и Соболева............154
3.3 Об эквивалентных условиях равномерной распределенности сеток Коробова.......................................................163
4 Выводы....................................................168
Список использованных источников............................170
2
ВВЕДЕНИЕ
Пусть 7Га = [—7Г, Я^-в-МврНЫЙ Куб, Ь>’(жа) (1 < р < Оо)-М!ЮЖССТВО
всех измеримых 27Г- периодических по каждой из в переменных функций /(ж) = /(*,, таких, что
= (2тг)
-3
J \f(x)\pdx\
< оо. 1 < р < оо,
/ = -угаг sup |/(a;)| <00, р = оо,
/> х€тт9
пусть также
LSK) = < / е Lv(irs) : J f{x)dXj = 0 (j = 1,s )
-7Г
Для подмножества В евклидова пространства Я3 через Во и Вл. обозначим множества, состоящие из всех элементов х — (х\) ...ух3) Є В, каждая компонента которых неотрицательна и положительна соответственно.Через 2*, как обычно, обозначим целочисленную решетку Я3. Для гг € 2+
положим
гг
= щ + ... + п5, 2-” = (2-Ml,..., 2~Пя).
Для / е s) определен смешанный модуль гладкости порядка к €
z+ = zi
t)„ = Qk(f; <1, t,)p = sup || д£/(ж)||,, (t e [0, i]s),
где Д*/(*) = Д* ...д*/(ж), Al = Д^Д*;1),
^/1jfi^) “ /(®1. *•*» •••» Д*ь •••» •••» •
При s = 1 также обозначим
wA?(/i t)p =
Для данных чисел 1 < p < оо, 0 < n < ... <rs класс Никольского SHpl,'"'r* состоит, по определению, из всех функций / € LP{ns) таких, что для смешанного модуля гладкости порядка к > rs выполнено
w, t.)P < п *?•
3=1
(1)
3
Более тонкая классификация функций по гладкости в метрике 1^(тг5) состоит в замене в этом определении функций на общие функции тина модуля гладкости
И, наконец, наиболее естественный обгций случай состоит в замене мажорантной функции в правой части (1) на функцию типа, смешанного модуля гладкости П(£) = П(£ь.- непрерывной на [О, I]3 функции, являющейся функцией типа модуля гладкости порядка к по каждой из переменных при фиксированных остальных (здесь и в дальнейшем, выражение "при фиксированных остальных переменных "будет означать, что константа в соответствующем определении не зависит от этих переменных); полученный при этом класс функций / € Ьр(тт3) обозначим через 5#^.
р
ние (в Ьр) функции / полиномами из Т(С7), где £ - конечное множество точек Zs^ а
В нашей работе спектр С будет задан посредством непрерывной на [0,1]* функции А(£) = Л(£і,..., £«,), неубывающей по каждой переменной при фиксированных остальных и такой, что Л(£) > 0 и Л(£) = 0 смотря
по тому П ^ > О ИЛИ П = 0. В связи с этим определим следующие
7=1 7=1
множества (Аг > 0):
Основными понятиями теории приближений являются понятия наилучшего приближения и модуля непрерывности (гладкости), отражающие соответственно конструктивные и структурные свойства функции.
В одномерном случае взаимоотношения между этими принципиально различными характеристиками функций впервые были установлены Д.Джексоном и С.Н.Бернштейном.
Именно, Д.Джексон [1] доказал, что 2тг- периодическую функцию от одной переменной, имеющую непрерывную производную порядка г, можно приблизить тригонометрическими полиномами £п(гс) так, что отклонение
обозначают наилучшее ириближе-
Т(О) = і(х) : і(х) = ("'х> >.
пес
Г(А, АГ) = {п Є : А(2_п) > £} , Г^(А, АТ) = \ Г(А, ІУ) ,
р(п) = [т = (7Лі, ...,т5) Є %8 : 2П>-1 < \т3\ < 2П^} (га Є ZSЛ),
О(Л,А0= и р{п).
п€Г(Л,ЛГ)
4
удовлетворяет неравенству
С.Н.Бериштейном [2] было доказано, что если 2тт- периодическая непрерывная функция / такова, что при заданных числах г-целом неотрицательном п а, 0 < а < 1, для некоторого > 0 и всякого п > щ > О существует тригонометрический полином Ь„(х) порядка п такой, что
где 1р{х)- непрерывная 2тг-периодическая функция, имеющая непрерывную
Чтобы получить аналогичный результат в случае а; = 1 , необходимо, как это впервые заметил Л.Зигмунд [3] , перейти к модулю непрерывности (гладкости) 2-го порядка.
В дальнейшем, оценки наилучших приближений функции (в некоторой метрике) через ее модуль гладкости (в той или иной метрике)- прямые теоремы теории приближений или теоремы типа Джексона, и оценки модуля гладкости функции (в некоторой метрике) через ее наилучшие приближения (в той или иной метрике) тригонометрическими полиномами -обратные теоремы теории приближений или теоремы типа Бернштейна, были объектом исследований многих поколений математиков (см.,напр.,[4 - 8) и имеющуюся в них библиографию; обзор некоторых результатов в рамках подхода П.Л.Ульянова и связанная с ней обширная библиография даны также в работе Ы.Темиргалиева [9]).
Все эти исследования относились к случаю прямых и обратных теорем теории приближений в одной метрике. Известные случаи разных метрик (в определенном смысле) не были окончательными (см.[10], [5], [11]).
Классические неравенства Джексона и Бернштейна соответственно на случай разных метрик в определенном смысле неулучшаемым образом были перенесены М.А.ЖайнибековоЙ [12] (как комбинация неравенств П.Л.Ульянова и Д.Джексона) и автором [13]: если I<P<C<7<00 и/ 6 Ар(0,2тг), то
/0*0 = *ч0(Х) + <Р(Х)
производную р(г\х) ,ири этом
1
_т=гИ-1
5
и (к = 1,2,...)
+ ]Г ш0-2)ед)р (П = 1,2,...).
(3)
_т=п-М
Окончательность сформулированных выше в (2) и (3) прямых и обратных теорем теории приближений в рамках подхода П.Л.Ульянова [14] следующим образом выражается в терминах теорем вложений (1 < р < д < оо) :
где Л = {Л„} положительная, убывающая к нулю последовательность.
Заметим, что полученный М.Л.Жайнибсковой [12] критерий (4) позже обобщен на случай производных H.A. Ильясовым [15], аналогичный (5) результат, но в несколько иной постановке независимо от нас получен им же в [16].
Первая, основная, задача данного исследования состоит в получении неусиляемых прямых и обратных теорем теории приближений в случае функции многих переменных - ей посвящен первый раздел диссертации.
Тем самым, речь идет’ о распространении неравенств (2) и (3) на многомерный случай.
Общеизвестно, что исследование задач, связанных с приближением функций s (а > 2) переменных, продвинуто не так далеко, как в одномерном случае. В первую очередь этот' факт имеет место для задач экстремального характера, таких, как нахождение точных оценок приближения на классах
Нр С Е,(А) <=► J2 (4)
, . 7Т1
_т=п-И
И
Ер(А) С Н? <=>
(5)
где
Ер(Х) = {/(.г) Є Щщ) : £„(/),. = 0(А„) (п -> оо)}
6
функций, отыскание точных значений поперечников и квазипоперечников в банаховых пространствах, нахождение оптимальных кубатур и т.д. Поэтому в многомерном случае возникло много новых 'грудных задач в зависимости от выбора приближающего агрегата и разностных характеристик изменения функции.
В качестве иллюстрации к сказанному приведем один результат но тригонометрической системе (см.ниже теорему 1.3.1 )
sup EQ(A,N)(f)q
NSH?
-1 1
ч
^2 2Wl(?-1)n?(2-n)
_пеГ-‘-(Л,А0
Обсудим данное соотношение.Пусть дано нормированное пространство Y числовых функций, определенных на измеримом множестве Is С Rь и пусть F С У. Для п- мерного подпространства Мп пространства У,
Iюследователыю положим
£(/; М„)у = ini ||/ — s||r,
ff€Mn
E(F; Mn)Y = sup E{}\ Mn)Y, (7)
feF
dn(F; Dn)y = inf E(F; M„)Y, (8)
MneDn
где {M„} есть множество всех возможных 7г-мерпых подпространств У,
a С {АД}. В случае А = {АД} - величина (8) есть поперечник
по Колмогорову, если же множество А составлено из подпространств, натянутых на всевозможные п тригонометрических функций е27Г(т(1)’г\ е2*(т(п),аО _ тригонометрический ПОПеречНИК.
Изучению различных видов поперечников посвящена обширная литература. Вместе с тем, изучение величин вида (7), как это, в частности, следует из (б), является самостоятельной задачей, отвечающей на ряд содержательных вопросов, и потому естественной и перспективной задачей.
Действительно, в двусторонней оценке (6) содержится большая информация.
Во-первых, здесь содержится точная количественная информация об аппроксимативных возможностях полиномов с достаточно произвольным Л- спектром относительно функций данного класса
Именно,каждая функция Л определяет класс конечных подмножеств Z*: набор спектров, конкретизация которых в виде Q(A,N) осуществляется посредством параметра N. Тогда для данного класса F = SHj} -
7
обобщенного класса Никольского с ограниченной сметанной разностью в (7) получен точный порядок наихудшей (и тогда остальные не хуже)из наилучших приближений функций этого класса тригонометрическими полиномами со спектром из <3(Л, М) в метрике 1г*,тем самым, определены аппроксимативные возможности агрегатов приближения данного типа в данной метрике данного класса функций.
Также отметим, что соотношение (6) имеет один и тот же вид для всех размерностей в, влияние которых проявляется опосредованно через кратность ряда и количество переменных в определяющих спектр и класс функциях Л и П.
Во-вторых, она позволяет при заданном числе точек спектра вычислить геометрию Л- спектра с наилучшими аппроксимативными возможностями и, одновременно, вычислить точный порядок оптимальной Л-аппроксимации. Для этого достаточно по заданной функции 12 выделить спектр ’’больших слагаемых’’ряда в правой части (б):
££={пб2;: 2Мі(И)п«(2-,г) > «г > о|, (9)
поскольку если из данной суммы неотрицательных чисел нужно удалить заданное число слагаемых таким образом, чтобы оставшаяся часть имела наименьшее значение, то, разумеется, надо убрать самые большие по значению.
Для иллюстрации остановимся на конкретизации (6) в модельном случае:
Я
Пі(*і,*й,...Л) = П*5 (г>°)> ^ = 2* (* = 1,2....). (10)
3=1
Тогда, согласно (9), имеем є = 2“*, к = 1,2,..
Ес = Ак = {га Є 2*: 2™п|І1(?-1)2-«гІМІі > 2~к > о| =
= {га Є : ||га||і (г? - | + і) < *} •
Желательно, чтобы Л- спектр был достаточно широким, для обеспечения теоретико-множественного равенства Аь = Г(А,2Л). Легко видеть, что это равенство выполнено в случае
я
Аі(іі, = ТТ*уі Р-ГЧ-- + 1>0,
7=і р
8
при этом соответствующий экстремальный спектр есть
<Э(ЛЬ 2*0 = {тег1; 2">-> < \т.]\ < 24» {] = 1....в),
||п||, < | (п є 2Ц} -
ступенчатый гиперболический крест с числом точек М, М ж 2^А^Я-1).
Возникающая при этом погрешность имеет порядок
7м = ^(ЗЯрг;(?(Ль21))£П!15)ж £ 2-11"М х
нь>|
1
я
іє2:і>£ л:|Н|і=/
в пересчете на число гармоник,
что в свою очередь соответствует порядку ортопоперечника, вычисленного В.Н.Темляковым [17].
Таким образом, в соответствующих известных случаях оптимальные порядки А-аппроксимации совпадают с известными результатами о тригонометрических и иных поперечниках, имеющих длительную историю развития.
В-третьих, получен ответ на вопрос "Как хорошо частичные суммы тригонометрического ряда Фурье с наперед заданным А- спектром приближают функцию / 6 £Нр по сравнению с максимально возможным?".
В-четвертых, соотношение (6) представляет собой ггсулучшаемую прямую теорему теории приближений разных метрик.
И, наконец, в - пятых, соотношение (б) в качестве многомерного случая с точными порядковыми соотношениями естественным образом вписывается в общую задачу (4), также имеющую респектабельную историю возникновения и развития. Впервые в 1937 г. в одномерном случае Фавар [18] и Ахиезер-Крейн |19] получают точные равенства
/€1
т и °° / ічЛ-ґг-П
С[0,2*]
(и)
а С.М.Никольский [20) в 1946 г. - асимптотическое равенство
где E\(f)c есть наилучшее приближение функции /(не обязательно периодической) при помощи алгебраических многочленов степени п — 1 на отрезке [—1,1].
В дальнейшем, точные одномерные результаты по задаче (6) получены другими математиками, главным образом в научной школе II.П Корнейчука (см.[21] и имеющуюся в ней библиографию). Как правило, точные и асимптотические равенства тина (11) и (12) получают в одномерном случае, а в многомерном, за редким исключением типа гильбертовых пространств - порядковые. Соотношение (6) относится к последнему.
Тем самым, задача (7) имеет самостоятельное значение и свою историю, не всегда сводяитуюся к задаче (8). Более того, поперечники по Колмогорову но всегда совпадают с тригонометрическими и тому подобными поперечниками (например, это следует из результатов Б.С.Кашина [22] по вычислению поперечников одномерных классов Соболева).
В цели настоящей диссертации не входит исследование поперечников (8), вместе с тем не исключено, что во всех случаях функций П, а не только в степенном случае (10), выбор (9) "больших слагаемых1^ (6) дает значение соответствующего тригономегрического поперечника и искомого экстремального спектра.
Следует также отметить, что теория приближений составляет обширную область исследований, значение которой возрастает в связи с развитием компьютерных технологий. Разнообразие исследований определяется выбором агрегата аппроксимации и топологии, в терминах которой оценивается уклонение или, что то же самое, погрешность приближения. Так наряду с классическими агрегатами приближения - по тригонометрической системе (см., напр.,[23-27]), по системе Хаара (см., иапр.,[28]), по системе Уолша (см., напр.,[29-30]), в последнее время активно развивается теория всплесков (см., напр.,[31] ) и теория аппроксимаций Паде (см., напр.,[32-34]), смотри также [35-38] и имеющуюся в них библиографию.
В первой главе диссертации, изучаются приближения периодических функций многих переменных тригонометрическими полиномами. Спектр приближающих полиномов содержится в множествах, порожденных поверхностями уровня функции Л(£). Именно, для Q(t) и Л(£), подчиненных некоторым условиям регулярности, при 1 < р < q < оо получены оценки наилучших приближений функции (в Lq ) через ее смешанный модуль
10
гладкости (13 IP) - прямые теоремы теории приближений или теоремы типа Джексона разных метрик, и оценка смешанного модуля гладкости функции (в Lq) через ее наилучшие приближения (в IP ) тригонометрическими полиномами - обратные теоремы теории приближений или теоремы типа Бернштейна разных метрик.
Приведем основные результаты главы 1, чему предпошлем некоторые необходимые определения.
По С.Н.Бернштейну (см., напр.,(39|), функция <p(t) называется почти возрастающей (почти убывающей) на [0,1], если существует постоянная С > 0 такая, что <p(ti) < C<p(t2) (v?(£i) > C(p(t2)) для всех 0 < t\ < t2 <
1.
Нам также потребуются некоторые ограничения на мажорантные функции £2(£) (заметим, что разные типы таких ограничений представлены в
[40]).
Функция одного переменного (р(т) > 0 удовлетворяет условию («S'0) ((б«)) при а > 0, если <р(т)/та почти возрастает (почти убывает) на (0,1]. Так же вводится условие (S) на <р(т) как выполнение условия (5°) для некоторого а, 0 < а < 1, и в этом смысле (5) = (J (^а)-
0<а<1
Будем говорить, что Q(£) = £2(£i, ...,£s) удовлетворяет условиям (SQ) и (Sa) при а = (с*1, ...,ав), если соответственно при каждом j = функция £l(t) удовлетворяет условиям (S*3) И (Sa}) по переменной tj при фиксированных остальных.
Также всюду ниже мы будем пользоваться обозначениями < Л и А х В. При положительных Aw В запись А будет означать В < С(а, /3, ...)• А , где С(а,Р,...) некоторые положительные постоянные, зависящие лишь от указанных в скобках параметров, а запись А ж В означает А В А. Вообще говоря, всюду ниже параметры а,/?,... однозначно определяются по смыслу утверждений, поэтому, в целях сокращения записей, их указывать не будем.
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1.3.1. Пусть 1 < р < q < оо, к— целое положительное число и A(t)- непрерывная, неубывающая по као/сдой переменной \на [0,1]*
S
функция такая, что A(t) > 0 и А(£) = 0 смотря по тому П Ь > 0 или
j=1
S
Yltj=0.M пусть 12(£)— функция типа смешанного модуля гладкости
j=1
порядка к, удовлетворяющая условиям (Sn) и (Sp) при некоторых а = (aci0 < оц < 1 и Р = ft) 0 < А < к (г = 1,
11
соответственно. Тогда для того, чтобы имело место влоэюепие
БНр 'С Ь^К), (13)
необходимо и достаточно, чтобы
2||П||1(И)П5(2-") < оо, (14)
причем, при выполнении неравенства (13) справедливо соотношение (ЛГ > О, константа в (15) зависят лишь от р, </, П, Л)
5ир Е<з(ц,м)(Лч
/Є5//П
^ 2И,Ї(?“1)П9(2~?1)
пеГх(Л,Лг)
(15)
Теорема 1.3.3.Пусть 1 < я < р < оо, р > 2, к— целое положительное число и Л(£)- непрерывная, неубывающая по каждой переменной на [О, I]3 функция такая, что Л(£) > 0 и Л(£) = 0 смотря по тому
8 5
П ^ > 0 или = 0. И пусть £}(£)— (функция типа смешанного
3=1 .7=1
людуля гладкости порядка к , удовлетворяющая условиям (5Л) и (Яр) при некоторых ос = (он, ...,а„), 0 < а* < 1 и (3 = (Д,...,Д),0 < Д < к (і = 1,..., 5) соответственно. Тогда ^ > 0)
эир Ея^){ф)я
/Є5Я«
Е п2(г")
_п<= Г-*-(Л,Я)
Сравним теоремы 1.3.1 и 1.3.3 с аналогичными результатами из работ
[41] и [42] Н.Н.Пустовойтова.
Во-первых, в частном случае Л(£) = П Ь °Денки сверху в (15) совпа-
.7=1
дают с утверждением теоремы 3 из [41], носящими характер достаточного условия. Во-вторых, в работе [42] изучается только случай Л(£) = П(£), т.е. случай, когда спектр приближающих полиномов жестко связан с заданной мажорантой £2(£), в то время как в нашем случае Л(£) и П(£) независимы. Как показывает сравнение нашей теоремы 1.3.3 с теоремой 1 из [42], это обстоятельство существенным образом отражается на самом виде окончательного результата. В-третьих, теорема 1.3.1 применима при менее стеснительных ограничениях на П(£) нежели теорема 2 из [42]. Именно, в [42] при дополнительном условии принадлежности £!(£) множеству
(їв)
Н<а<1
12
получено соотношение (1 < р < д < оо)
йир
/Є5Я» Л
£ гМ-В-О
(17)
В теореме 1.3.1 условие (16) расширено до естественных границ и носит окончательный, в применяемых терминах, характер (см. об этом [43|). Так, функция
т = п(<« £)"* № >і и=і..... *))
не принадлежит множеству (16), и потому соотношение (17) не применимо. Вместе с тем, для П(£) выполнено условие (5°) при а = і — і , так что в силу теоремі,! 1.3.1 получаем содержательный результат
5
зир Едрм(/), X X) П Та •
/65Я{>
Теперь сформулируем некоторые следствия из теоремы 1.3.1 и 1.3.3.
Положим
Й1(*) = П*7 (г» > о С? = 1. —. *)). (18)
3=1
5
Л1(*) = (ъ > 0 0’ = х> •••»*)). (19)
7—1
Как известно (впервые это для классов ТУ установил К.И.Бабенко (44]), что в вопросах приближения функций из классов ТУ и Н приближение тригонометрическими полиномами, гармоники которых лежат в гиперболических крестах, играет такую же роль, как приближение тригонометрическими полиномами в классической теории приближений.
Выяснилось также, что, как и в одномерном случае (впервые это было обнаружено Р.С.Исмагиловым [45], а затем полностью изучено Б.С.Катиным [22]), в многомерном случае для некоторых соотношений параметров приближения полиномами с гармониками из гиперболических крестов не дают порядок поперечника (колмогоровского). Это обстоятельство побудили многих математиков, либо изучить способ построения приближающего полинома со спектром, дающего приближения, близкое значению поперечника, либо рассмотреть другие поперечники.
13
В частности, В.Н.Темляков [46] для класса F С T?(irs) ввел понятие ортопоперечника :
= {jnf sup 11/(х) - ]Г^(/,и;МаО||р>
где inf берется по ортоиормированным системам ограниченных функций. Им же была установлена следующая [17] (см. также |-17])
Теорема А.Пусть 1 < q,p < оо, г = ri = ... = rv < г„+1 < ••• £ ?**, r > (p ~ 0 > (p>Q) 7^ (1? x)j (°°> °°)* Тогда имеет место соотношение
dj,(sn;, L4) X (ІодМ)и'~1)'ФШ,
ф{р, q) = <
Г 1 < Р < <7 < оо, Р = 1,1 < g < оо;
1, 1 < р < оо, <7 = оо;
5» 1 < <7 < Р < оо, р > 2, <7 < оо;
L {, 1 < Я < Р < 2.
и оптимальными (в смысле порядка) подпространствами являются: в слу-чае 1 < д <р < оо Т{<2гп) (г = г} = г) (у = 1,2,...,«/), г <г) < г} Ц = V + 1,..., 5)), в остальных случаях Т(ф?п).
Здесь и в дальнейшем
то=п<э(Л1,2*).
Если по заданному М число п подобрать из соотношения М х 2пп^ то из теоремы А получим оценки
^(5Я;, Ья) х 2~птп^, 1 < (7 < Р < со,р > 2,
с£^(«9Яр, Ь9) х 2“п(г“’р+«)гГ«1, 1 < р < ^ < оо.
С другой стороны из теорем 1.3.1 и 1.3.3 соответственно получаем
Следствие 1.3.2. Пусть 1 < р < у < оо, г > х 1 = 71 = ... =
Ъ < 7и+1 < - < 75 (1 < у < в), г* = Пз Ц = 1,..., 5). 7Ъг<?а
зир Яд2(/)д х 2“п(Г“я+«)п11в1 (п = 1,2, ...).
/еЭД
Следствие 1.3.4. Пусть 1 < <7 < р < оо, р > 2, 1=7! = ...=
7» < 71/+1 < - <7*, 1 = А = ••• = А < Д/+1 < < А (1 < ^ < «),
«V = С? = 1. •■•>в), А < Ъ и = V + 1,5). Тогда
вир Дй(/), х 2-"гпе51 (п = 1,2, ...)•
/еЗН; ч"
и
Результаты приведенных в следствиях 1.3.2 и 1.3.4 в части получения двусторонних, совпадающих с точностью до констант, оценок погрешности приближения полиномами с экстремальными спектрами, реализующими порядки ортопоперечников, лишь косвенно подтверждают правильность полученных выводов данной работы, совпадая с ними.
Как следует из следствия 1.3.4, чтобы оценка в теореме 1.3.3 была минимальной для класса БЩ, в качестве спектра приближающего полинома вместо "своих"гиперболических крестов <22! (Т — г7)> лучше брать расширенные ("не свои") гиперболические кресты С)»п (/? = (1,...1,Д,+1,причем 1 < $ < 7д (з = 1,...,5). Впервые
этот эффект отметил С.А.Теляковский [48], а для ортопоперечников этот эффект был обнаружен В.Н.Темляковым [17].
Таким образом, наши результаты (Теоремы 1.3.1 и 1.3.3) подтверждают известные факты, что естественным аппаратом для приближения функций из являются полиномы с гармониками из гиперболических крестов.
Пусть сОк{Ь) -заданная одномерная функция типа модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям (5а) (0 < а < 1) и (Бр) при некотором 0 < (3 < к. Зададим смешанный модуль гладкости порядка /с следующего специального вида:
Легко видеть, что для такого выполняются все свойства смешанного модуля гладкости порядка к.
Следствие 1.3.6. Пусть 1 < р < у < оо, 7 = 71 = ... = 7^ > 7^+1 > ••• > Ъ > 0, к- целое положительное число. одномерная функция
Следствие 1.3.6 при 7,- = 1 (г = 1, ...,б*) ранее было доказано
Н.Н.Пустовойтовым [43].
Следствие 1.3.8. Пусть 1 < д < р < оо, р > 2, 7 = 71 = ... = 7„ > Ъ-\-1 ^ ^ Ъ > 0 и и>к(£) удовлетворяет условиям следствия 1.3.6.
Тогда
эир Ея{Ки г«)(/)я - п&ш*(2~?) (п = 1,2,...). /е5Я?2
Также отметим следующую теорему.
(20)
типа модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая условиям (Ба) и (Бр) при. некоторых ^ — - < а < 1 и 0 < {3 < к. Тогда
15
Теорема 1.3.4. Пусть параметры р и у удовлетворяют одному из следующих условий:
1) 1 < <7 < р < оо, р > 2;
2) 1 < я < р < 2;
Пусть, далее, г > 0, к— целое положительное число и Л(£)— функция
типа смешанного модуля гладкости порядка к, удовлетворяющая усло-
виям (5а) и (вр) при некоторых а = (аі, ...,ал), 0 < а,- < 1 и (3 — (Д >..♦)&)> 0 < Д < /г (г = 1,...,«), соответственно. Полоо/сим СОД = ЛГ(0. Тогда (Дг > 0)
1 і=і sup EQ{AtN)(f)q ж —(log2N) яо ,
/Є5ЯЛГ TV
где р0 = тіп(р, 2).
Эта теорема при г = 1 была доказана Н.Н.Пустовойтовым [42].
Теперь приведем многомерный аналог неравенства Бернштейна - обратную многомерную теорему теории приближений разных метрик.
Справедлива
Теорема 1.3.6. Пусть 1 < р < д < оо, 1 = Т\ < < • • • < т3, со* -
функция типа, модуля гладкости порядка к и {Ап}- последовательность положительных чисел, \п | 0 (п | оо). Пусть функция Л(0 удовлетворяет условию (Б7) на (0,1]я при г = (ті,...,т5), А(1) = 1 и Л(£і, ...,£в)/£і невозрастает па (0,1] при всех фиксированных (£й, ...,£в). Тогда для того чтобы имело место влооісение
ЕрЛ(А) С ЯН*' необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие
і
2*HnHi
5 1=0
+
+
= о (ъ Ш),
где
EpAV = {/(*) 6 LoW : EQ^{f)p = 0(Л„)
(гг —> оо)}.
В четвертом пара1рафе главы 1 изучены некоторые свойства пространств типа S- пространств Бесова со смешанным модулем гладкости порядка к.
16