О формулах следов для обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями

Содержание
0 Введение 3
1 Асимптотика спектра и формулы следов для
дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами 25
1.1 Асимптотика спектра и собственных функций дифференциального уравнения второго порядка.............. 25
1.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами...................... 42
2 Асимптотика спектра и формулы следов для
дифференциальных уравнений Бесселя 50
2.1 Асимптотика спектра, дифференциального уравнения Бесселя............................................. 50
2.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений Бесселя............................................. 58
3 Асимптотика спектра и формулы следов для
дифференциальных уравнений четвертого порядка 62
3.1 Асимптотика спектра дифференциального уравнения четвертого порядка.................................. 62
3.2 Формулы следов для дифференциальных уравнений четвертого порядка.................................. 79
Список литературы 89
2
О Введение
В общей спектральной теории операторов важным разделом является спектральная теория дифференциальных операторов. Результаты, полученные в этой области, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, теория возмущений исследует возмущения собственных значений и собственных функций некоторой задачи, вызываемые небольшим изменением условий задачи.
Изучению дифференциальных операторов с дискретным спектром посвящено большое количество работ. Начало изучению этого вопроса было положено в 30-х годах XIX века в работах Штурма и Лиувилля [45], [46], в которых был рассмотрен оператор второго порядка на конечном интервале и с непрерывными коэффициентами (так называемый регулярный случай). Основы спектральной теории для сингулярных операторов были заложены Г. Вейлем в его работе [47]. Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э. Шредингсру [43], [44]. В первом из этих заметок, Шредингер получает стационарное уравнение для электрона, известное под его именем, и этим закладывает математический фундамент квантовой механике. Под влиянием успехов квантовой механики в середине 20 века, в печате систематически появляются работы по спектральному анализу. Начиная с 1950 г., в отечественной литературе публикуются исследования по спектральному анализу
3
дифференциальных операторов высших порядков и по изучению природы спектра многомерных сингулярных краевых задач.
Впоследствии свое развитие получили два основных метода изучения спектра: аналитический и теоретико-операторный. Эти два метода в определенной мере соответствуют асимптотическому методу Лиувилля и вариационному методу Куранта.
Аналитическое направление опирается на асимптотические методы и аппарат теории аналитических функций. Аналитическим методам в теории дифференциальных операторов второго порядка посвящены работы Е.Ч. Титчмарша |38|, Б.М. Левитана [14]. Из результатов относительно природы спектра дифференциальных операторов высших порядков, достигнутых аналитическим путем, следует отметить И.М. Рапопорта [24], и некоторые результаты М.А. Найм арка [23].
Теоретико-операторные методы по-другому можно назвать прямыми методами качественного спектрального анализа. Развитие теоретико-операторных методов исследования спектра было подготовлено работами Г. Вейля, Р. Куранта [13].
Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов дан в [25], там же можно найти подробную библиографию по этой тематике.
К настоящему времени • разработаны достаточно много методов нахождения асимптотики спектра дифференциальных операторов, в основном на отрезке. Для задачи Штурма-Лиувилля на отрезке также решен вопрос об асимптотическом представлении собственных
4
значений в случае негладких потенциалов [3], [4] и даже для потенциалов, содержащих 5-функцию [5].
Теория следов линейных операторов берет свое начало с инвариантности матричного следа линейного оператора В и совпадение его со спектральным следом в конечномерном пространстве
N N N
^(Вфк, фк) = <рк) = 53 Лі (0.1)
к=1 к=1 *=1
где {А*} - собственные числа оператора В, а - Два
произвольных базиса пространства.
Этот результат был перенесен на случай бесконечномерных операторов со следом - иначе называемых ядерными, а именно, доказано утверждение (см. [11]), если В - ядерный оператор, то для любой пары ортонормированных базисов
справедливо
оо оо
= (0-2) к-1 к=1
Доказано равенство, известное как теорема В.Б. Лидского ( [12], [16]),
оо оо
^{Вірк, 4>к) = 53 ***> (0-3)
к=\ к=1
где /ль ~ собственные числа оператора В.
Таким образом, этими результатами классическая теория была завершена, так как они охватывают весь класс операторов, имеющих след.
Дальнейшее развитие теории следов привело к рассмотрению понятия инвариантности следа па операторы, не имеющие следа,
5
которое начато в цикле работ И.М. Лифшица, завершенном работой 119], мотивировано некоторыми вопросами квантовой статистики и теории кристаллов.
Так как для неядерных операторов В ряд из матричных элементов расходится, из теории расходящихся рядов естественно возникает следующая постановка задача: указать класс операторов И соответствующую пару базисов {фк}^=ц {фк}^ таких, что будет справедлив аналог равенства (0.2) - соотношение
Для дискретных операторов выбор одного базиса естественно предопределяется из спектральной подстановки (0.3), то есть выбирается базис из собственных векторов {</?*.-}^ оператора В. Для подбора второго базиса оператор В представляется в виде суммы В = Д)+К, причем оператор V в каком-то смысле подчинен оператору Во; и второй базис строится из собственных векторов {Фк)кІі оператора Во. Тогда формула (0.4) приобретает следующий вид
оо ОС
53 Фк) - (в<Рк, ч>к)\ = 53 кс®«+у)Фк, Фк) - ((в<рк, у»*)] =
где А* - собственные числа оператора Во, Цк ~ собственные числа оператора В.
Начало теории регуляризованных следов было положено в 1952 -1953 г. в работах И.М. Лившица [19|, М.Г. Крейна [11] и И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана [8].
оо
(0.4)
ОО
= Е *) - «ь] = °> (°-5)
б
И. М. Гельфанд и Б.М. Левитан [8] для оператора Штурма-Лиувилля задачи Дирихле с потенциалом д(х) получили формулу, названную впоследствии формулой Гельфанда-Левитана:
где со = - / д(х)дх. И почти сразу Л.А. Дикий в работе [9] показал, о
что формула Гельфанда-Левитана эквивалентна тождеству
т.е. равенству вида (0.5). Оказалось, что в работе И.М. Гельфанда и Б.М. Левитана член (УФи,Фк) в формуле (0.5), который есть
для оператора Штурма-Лиувилля самим методом - разложение характеристического определителя и следа резольвенты оператора по степеням, а затем сравнивания коэффициентов при одинаковых степенях - был разбит на две части, и главный член, образующий расходящийся ряд, оставлен в левой части формулы (0.5), а сходящаяся часть просуммирована и сумма записана в правую часть.
Такой подход, при котором член (Уфк,фк) разбивается на расходящуюся часть, которая выражается в терминах собственных чисел и параметров оператора Во, а (входящая часть суммируется и выносится в правую часть, долгое время оставался центральным в многочисленных исследованиях. На этом пути открывается связь теории следов с теорией дзета - функций операторов.
7Г
О
7