Содержание
Введение 3
1 Аппроксимация распределений статистик, построенных по выборкам случайного объема с отрицательным биномиальным распределением 22
1.1 Особенности статистического анализа при случайном объеме выборки............................................... 22
1.2 Асимптотика равномерного расстояния между отрицательным биномиальным распределением и гамма-распределением 25
1.2.1 Асимптотика в точке.............................. 27
1.2.2 Асимптотика на конечном отрезке.................. 38
1.2.3 Равномерная оценка на всей прямой................ 39
1.3 Оценки скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента......................... 42
1.4 Оценки скорости сходимости распределений статистик, построенных по выборкам случайного объема с отрицательным биномиальным распределением, в терминах сглаженной равномерной метрики.................................. 52
2 Оценки скорости сходимости отрицательных биномиальных случайных сумм 57
2.1 Аппроксимация распределений отрицательных биномиальных случайных сумм при р —> 0 57
2.1.1 Равномерная оценка скорости сходимости смешанных пуассоновских случайных сумм........................ 57
2.1.2 Оценка скорости сходимости распределений отрицательных биномиальных случайных сумм к масштабным смесям нормальных законов....................... 02
2.2 Аппроксимация отрицательных биномиальных случайных сумм при г —> оо............................................ 66
2
2.2.1 Скорость сходимости распределений случайных сумм с безгранично делимыми индексами.................. 66
2.2.2 Оценки точности нормальной аппроксимации для распределений отрицательных биномиальных случайных сумм............................................ 74
2.3 Оценки вероятности разорения страховой компании, резерв которой описывается классическим процессом риска . 79
3 Уточнение неравномерной оценки скорости сходимости распределений пуассоновских случайных сумм к нормальному закону 89
3.1 Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ с уточненной структурой.......................................... 91
3.1.1 Случаи (1) и (ш), т. е. «малые» и «большие» значения х ............................................ 92
3.1.2 Случай (11), т. е. «умеренные» значениях......... 92
3.1.3 Неравномерные оценки скорости сходимости в ЦПТ 101
3.2 Неравномерная оценка скорости сходимости в ЦПТ для пуассоновских случайных сумм................................103
3.3 Неравномерные оценки скорости сходимости в предельных теоремах для смешанных пуассоновских случайных сумм . 106
3
Введение
В классической математической статистике принято иметь дело со статистиками (то есть измеримыми функциями от имеющихся данных), построенными по выборкам неслучайного объема. Такие статистики хорошо изучены, чаще всего их распределения являются нормальными либо асимптотически нормальными, причем во втором случае, как правило, известен способ оценивания точности аппроксимации нормальным распределением. По-видимому, причина такой ориентации на работу с выборками неслучайного объема лежит в стереотипе восприятия сути задач статистического анализа, когда конкретный статистический вывод делается по конкретной выборке с конкретным, известным объемом. Вместе с тем целыо теоретической статистики является конструирование методов или процедур, оптимальных при любых возможных значениях считающихся случайными наблюдений. Однако на практике мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда объем доступной статистической информации (выборки) заранее (то есть на этапе выбора статистической процедуры для обработки этой информации) не известен, а его конкретное значение становится известным лишь по окончании формирования массива статистической информации. Другими словами, эксперименты редко проводятся до «получения п-го», скажем, 1500-го наблюдения. Как правило, фиксируется не количество наблюдений, а время для сбора информации. Например, сложно заранее оценить число поломок устройства бытовой техники за год или число страховых событий, зарегистрированных в страховой компании в течение отчетного периода (как правило, года). Таким образом, часто число доступных наблюдений (объем выборки) само является наблюдением, и в рамках подхода, традиционного для теоретической статистики, должно заранее считаться случайным. Поэтому в таких случаях для статистического вывода более целесообразно использовать статистики, построенные но выборкам случайного объема. При этом часто можно предполагать,
4
что элементы выборки и случайный индекс являются стохастически независимыми.
К настоящему моменту накоплено большое число результатов, применимых к статистикам со случайными индексами. Подобные объекты были предметом исследования многих математиков, кроме того, они успешно применяются па практике: в теории
массового обслуживания, теории надежности, финансовой математике, математической теории страхования, ядерной физике. Согласно указанным результатам, неоднородность потока информативных событий, приводящая к случайности объема выборки, естественным образом трансформирует предельные распределения статистик, в результате чего вместо привычного нормального закона в качестве предельного могут возникать распределения с более «тяжелыми» (вообще говоря, произвольно более тяжелыми) хвостами. Например, как показано в работе [3], для асимптотически нормальных статистик, таких как выборочное среднее (при условии существования дисперсий), центральные порядковые статистики или оценки максимального правдоподобия (при достаточно общих условиях регулярности), заменив неслучайный объем выборки случайной величиной с отрицательным биномиальным распределением с параметрами т > 0 и т.е
мы получим в пределе при п —> оо распределение Стыодента, которое, как известно, задается плотностью:
Пожалуй, исторически первыми и самыми популярными объектами изучения в рамках данного направления являются случайные суммы как частный случай статистик, построенных по выборкам случайного объема. Ие умаляя заслуг остальных из большого числа математиков, занимавшихся изучением асимптотических свойств случайных сумм, рассматривая историю развития фундаментальных исследований по
к = 0,1,2,...
,2 \ -г-1/2
, —ОО < X < оо,
где
оо
О
асимптотической теории случайных сумм с независимыми индексами, необходимо отметить осиовопологающую работу Г. Роббинса [63], в которой для схемы «нарастающих сумм» приведены достаточные условия сходимости распределений случайных сумм к сдвиговым или масштабным смесям нормальных законов, статыо Р.Л. Добрушина [11], в которой указаны возможные предельные законы для случайно индексированных случайных последовательностей. В работах В.В. Гнеденко и его учеников была выдвинута задача построения необходимых и достаточных условий сходимости распределений случайных сумм в схеме серий и получены существенные результаты в этом направлении (указанная задача получила свое окончательное решение сравнительно недавно в работе В.Ю. Королева и В.М. Круглова [55|). Асимптотической теории случайного суммирования посвящены монографии В.М. Круглова и В.Ю. Королева [24], Б.В. Гнеденко и В.Ю. Королева [47], А. Гута [50]. Асимптотическое поведение статистик, построенных по выборкам случайного объема рассматривалось многими авторами. Проблематика дайной диссертации непосредственно связана с исследованиями В.В. Гнеденко [9], по-видимому, впервые обратившего внимание на то, сколь сильно трансформирует предельное распределение статистики замена неслучайного объема выборки случайной величиной,
В.Ю. Королева [17, 18|, в которых приведены критерии сходимости распределений статистик, построенных по выборкам случайного объема, и В.Ю. Королева и Б.В. Коссовой [19, 20], в которых указанные результаты перенесены на многомерный случай. Данные вопросы нашли свое отражение в монографиях [б] и [21]
Как уже упоминалось, случайные суммы являются частным случаем статистик со случайными индексами. Именно поэтому им посвящена значительная часть диссертации. Многочисленные и эффективные применения теории предельных распределений привели многих специалистов прикладных областей знания к убеждению, что если слагаемых очень много и они удовлетворяют минимальным условиям на одинаковую малость вероятностей больших значений, то распределение суммы должно быть близко к нормальному. Однако такое заключение не всегда является обоснованным. Так, если число слагаемых случайно, то их сумма может оказаться распределенной не по нормальному закону даже при условии, что каждое слагаемое нормально распределено. Такие ситуации часто возникают в теории надежности, теории риска, финансовой математике, теории массового обслуживания.
б
Для построения более точных, а следовательно, и более адекватных моделей используются случайные суммы. Зачастую на практике приходится приближать распределения таких случайных сумм некоторыми известными распределениями, как правило, отличными от нормальных. В связи с этим актуальной становится задача оценивания точности данной аппроксимации.
Объектами исследования являются, прежде всего, нуассоновские и смешанные нуассоновские случайные суммы, а также их частные случаи (например, отрицательные биномиальные случайные суммы). Получение равномерных оценок скорости сходимости пуассоновских случайных сумм опирается на результаты работ Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогорова, И.А. Ибрагимова, Ю.В. Линника, В.В. Петрова, В.М. Золотарева, Р.Н. Бхаттачария и Р.Ранга Рао, В.В. Сенатова, В.Ю. Королева, С.Я. Шоргина, И.Г. Шевцовой. Неравномерные оценки скорости сходимости в классической предельной теореме, уточняемые в данной диссертации и применяемые к неравномерным оценкам для пуассоновских и смешанных пуассоновских случайных сумм, также имеют солидную историю. Им посвящены работы Л.Д. Мешалкина и Б.А. Рогозина, С.В. Нагаева, Р. Михеля, Л. Падитца.
В качестве области практического применения оценок скорости сходимости в диссертации рассматривается классическая задача страховой математики - аппроксимация вероятности разорения страховой компании. Эта задача, в частности, подробно рассмотрена в книгах В.Ю. Королева, В.Е. Бснинга и С.Я. Шоргина [21] и Е.В. Булииской [8]. Как известно, вероятность разорения в классическом процессе риска при известном распределении страховых выплат описывается формулой Поллачека-Хинчина-Беекмапа, о которой будет подробнее рассказано далее. В случае, когда информация о распределении выплат отсутствует, для аппроксимации вероятности разорения при малой нагрузке безопасности неплохо работает оценка, полученная В.В. Калашниковым (схМ. [53]). В диссертации приводится альтернативная двусторонняя оценка, более точная при некоторых распределениях страховых выплат.
Для решения задач в первой главе используются прямые методы математического анализа и неравенство сглаживания Эссеена. Во второй главе для получения равномерных оценок используются два различных представления отрицательной биномиальной случайной величины - в виде смешанной пуасеоновской и обобщенной пуассоновской случайных
7
сумм. Оценки вероятности разорения страховой компании во второй главе представляют собой обобщение доказательства формулы Поллачека-Хинчина-Беекмана на случай, когда распределение страховых выплат не известно. С целыо уточнить неравномерные оценки в третьей главе применяется модифицированный метод Падитца (см. (б2|), заключающийся в подходящем разбиении вещественной прямой на зоны “малых”, “умеренных” и ‘‘больших” значений аргумента.
Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Уточнены оценки скорости сходимости распределений регулярных статистик, построенных по выборкам случайного объема с отрицательным биномиальным распределением, в терминах равномерной и сглаженной равномерной метрик.
2. Получена равномерная оценка скорости сходимости для смешанных пуассоиовских случайных сумм. На основе этой оценки уточнены оценки скорости сходимости распределений отрицательных биномиальных случайных сумм при «вероятности успеха», стремящейся к нулю, к масштабным смесям нормальных законов. В частности, уточнены оценки скорости сходимости распределений геометрических случайных сумм к распределению Лапласа.
3. Получена новая оценка скорости сходимости распределений случайных сумм с целочисленным безгранично делимым индексом, справедливая при более слабых моментных условиях. На основе этой оценки уточнены оценки скорости сходимости распределений отрицательных биномиальных случайных сумм при «числе успехов», стремящемся к бесконечности, к нормальному закону.
4. Получены новые двусторонние оценки для вероятности разорения страховой компании, резерв которой описывается классическим процессом риска.
5. Получена неравномерная оценка скорости сходимости в центральной предельной теореме для неслучайных сумм с уточненной структурой. На основе этой оценки уточнены абсолютные константы в неравномерном аналоге неравенства Берри-Эссеспа для пуассоиовских и смешанных пуассоиовских случайных сумм.
8
Несмотря на то, что работа носит теоретический характер, полученные в ней оценки скорости сходимости находят широкое применение на практике, при аппроксимации распределений, возникающих в теории риска, теории надежности, финансовой математике, теории массового обслуживания и многих других прикладных областях.
Результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры математической статистики факультета ВМК МГУ “Теория риска и смежные вопросы”(2007, 2009, 2010 гг.), конференции “Ломоносов-2007” (2007 г.), научной конференции “Тихоновские чтения” (2010г.), семинаре кафедры математической статистики факультета ВМК МГУ “Аппроксимация нормальным распределением” (2010 г.).
Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах (|70], [71], [72], [73], [74], [75|, [76]) из них 2 статьи опубликованы в журнале, включенном в перечень ВАК ([72], [74]).
Кратко остановимся на содержании работы.
Первая глава посвящена аппроксимации распределения статистик, построенных по выборкам случайного объема с отрицательным би номиальн ым распределением.
§1 представляет собой введение с обоснованием актуальности исследования статистик, построенных по выборке случайного объема, и обзором известных результатов по аппроксимации распределений данных статистик.
В §2 приводится асимптотика расстояния между отрицательным биномиальным распределением и гамма-распределением.
Пусть МР)Г - случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение с параметрами (г,р), г € (0,1), то есть
Р (Мр,г = к) = - р)к, к —0,1,2,...
Рассмотрим случайную величину N*r. связанную с Агр,г следующим образом:
N
N* = (1)
р>г F/V К 4
9
- Київ+380960830922