Сильная асимптотика аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов

Оглавление
Введение 4
1 Равномерное приближение аппроксимациями Паде мероморф-ных функций марковского типа 6
1.1 Исторический обзор и основные результаты................ 6
1.2 Явление ложной интерполяции............................. 9
1.3 Равномерное приближение при помощи аппроксимаций Паде 20
2 Сильная асимптотика двухточечных аппроксимаций Паде для мероморфных функций марковского типа с двумя точками ветвления 34
2.1 Исторический обзор и основные результаты............... 34
2.2 Краевая задача Римапа 37
2.3 Формулы сильной асимптотики ........................... 40
3 Асимптотические свойства интерполяционных многочленов
и аналог теоремы Сегё 43
3.1 Исторический обзор и основные результаты............... 43
3.2 Обобщенная формула Коши-Адамара и сильная асимптотика
интерполяционных многочленов............................ 45
3.3 Обобщенная теорема Сегё ............................... 51
Список литературы 54
Список обозначений
{П 12
О, 7, 38 £><*>, 10, 38 С<2>, 10, 38 Е, 43
я+(С), ю
я-(С), ю рО)«), ю Ж2>(0, 10
До(Л, 44 Я„, 6 5, 6 ия, 43 X, 10, 37 А, 37
а, 43
й(гі,Х2',г), 13 Ф(г), 38, 43
А, 9 С(*), 8
С[г], 8 аь 10
Ьі, Ю
г, 10, 38 сар(Я), 7 а>і(оо), 11 гі(оо), 12
А, 11
Д,52
сар
К}> 45
с/(о;,у), 8
сЮ(ос^\ ос^; г), 11
сІІ1{2 і,г2;г), 10 <Ші(г), 12
/п, б, 37 10, 38 *(2>, 10, 38 Т, 35 П, 8
£, 10, 37
А, ю
Аь Ю 7?.,,, 36
З
Введение
Понятие локально наилучших рациональных аппроксимаций степенного ряда впервые возникло в конце XIX в. в работах Фробениуса [27] и Паде [35]. Классические результаты Чебышева, Маркова и Стилтьеса о фундаментальных свойствах таких рациональных функций, сформулированные в терминах непрерывных дробей, положили начало развитию новой области в теории рациональных приближений. Во второй половине XX в. появилось большое количество работ, связанных с аппроксимациями Паде и их обобщениями. Такой интерес объясняется широким применением рациональных приближений в задачах механики, теоретической физики, технических расчетах (см. [23], [29], [36], [37], (33], [28], [12]). В ряде случаев хорошо известно поведение физической величины в локальной окрестности одной или нескольких точек и необходимо ее вычислить на некотором интервале значений. Аппроксимации Паде строятся только по локальным данным и позволяют эффективно приближать и вычислять соответствующую функцию. Асимптотическое поведение аппроксимаций Паде позволяет проводить анализ глобальных свойств локально заданной функции: находить расположение и распознавать характер ее особенностей, исследовать свойства аналитического продолжения и т.п.
Настоящая диссертация посвящена сильной асимптотике диагональных аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов, являющихся частным случаем рациональных приближений. Сильная асимптотика дает возможность определить поведение отклонения аппроксимаций от приближаемой функции при увеличении порядка аппроксимаций. Такая асимптотика позволяет делать выводы о скорости сходимости, поведении нулей и полюсов аппроксимаций, получать результаты теоретикочислового характера.
Диссертация состоит из трех глав, в начале каждой из которых приведены основные определения, дай краткий исторический обзор и сформулированы основные результаты. Первая глава тесно связана с изучением явления так называемых ложных полюсов, препятствующих равномерной сходимости аппроксимаций Паде . На основании теоретических
4
выводов о поведении таких полюсов предлагается конструкция, включающая в себя две соседних аппроксимации Наде и приближающая мероморфную функцию марковского типа равномерно.
Вторая глава посвящена выводу формул сильной асимптотики двухточечных аппроксимаций Паде мероморфных функций марковского типа.
В третьей главе главе изучается интерполяция многочленами функций, голоморфных на произвольном континуме, не разбивающим комплексную плоскость. При некотором естественном условии на таблицу интерполяции выводится асимптотика интерполяционных мношчленов в области расходимости интерполяционного процесса. В качестве следствия устанавливается обобщение классических теорем Йенча-Сеге о поведении нулей этих многочленов.
5
Глава 1
Равномерное приближение аппроксимациями Паде мероморфных функций марковского типа
1.1 Исторический обзор и основные результаты
Пусть функция / задана сходящимся рядом Лорана, в окрестности точки 2 = ос:
ос
/«-£?■ (1-1)
к=О
Рассмотрим последовательность аппроксимаций Паде /п(г) := рп(г)/дп(г), где полиномы рп и уп имеют степень не выше п, дп ф 0, и удовлетворяют условию касания
Д1(г):=9„(г)/(2)-р„(г) = 0^^г^> г -» оо. (1.2)
Если deg дп — гг, полиномы рп и взаимно просты, то индекс п является нормальным. Функция Яп(г) называется функцией остатка.
Согласно общим результатам Шталя [38], если ряд (1.1) представляет алгебраическую функцию, то существует “симметричный” компакт (в дальнейшем - компакт Шталя) 5 = £(/) С С со следующими свойствами:
(1) 5 состоит из конечного числа кусочно-аналитических дуг и множество О \= С \ 5 - областъ\