Оглавление
ВВЕДЕНИЕ.............................................................6
1 О базисности собственных функций видоизмененной задачи Франкля. 35
1.1 Собственные значения и собственные функции видоизмененной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода........................................... 35
1.1.1 Постановка видоизмененной задачи Франкля............. 35
1.1.2 Нахождение общего решения уравнения (1.1)............ 36
1.1.3 Нахождение собственных значений и собственных функций поставленной задачи ................................ 39
1.2 О базисности собственных функций задачи Франкля с
нелокальным условием четности второго рода................. 43
1.2.1 Постановка видоизмененной задачи Франкля............. 43
1.2.2 Нахождение собственных значений и собственных функций задачи ............................................. 44
1.2.3 Полнота возникшей в собственных функциях системы синусов в Ьр(0, |), р > 1.................................... 45
1.2.4 Базисность Рисса системы собственных функций в
Ь2 (£>+)............................................. 46
1.3 О базисности собственных функций задачи Франкля с
нелокальным условием нечетности второго рода................ 53
1.3.1 Постановка видоизмененной задачи Франкля с
нелокальным условием нечетности второго рода .... 53
А— з
г
ОГЛАВЛЕНИЕ 4
1.3.2 Нахождение собственных значений и собственных
функций задачи ....................................... 54
1.3.3 Полнота, базисность системы синусов, возникших в
собственных функциях.................................. 55
1.3.4 Базисность системы собственных функций в 1,2(0+). . 01
1.3.5 Исследование задачи при нулевых значениях параметров 63
2 Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для гармонических функций в полукруге. 64
2.1 О разрешимости нелокальной краевой задачи с равенством потоков на части границы и сопряженной к ней задачи.............. 64
2.1.1 Постановка задачи..................................... 64
2.1.2 Единственность и существование решения................ 65
2.1.3 Интегральное представление решения................... 66
2.1.4 Полнота, базисность систем типа Самарского-Ионкина
в различных пространствах........................ . 67
2.1.5 Постановка сопряженной задачи. Единственность и
существование решения, интегральное представление решения............................................... 80
2.2 О разрешимости нелокальной краевой задачи с
противоположными потоками ка части границы и
сопряженной к ней задачи.................................... 84
2.2.1 Постановка задачи..................................... 84
2.2.2 Единственность и существование решения................ 84
2.2.3 Интегральное представление решения.................... 86
2.2.4 Полнота, базисность систем типа Самарского-Ионкина
в различных пространствах............................. 88
2.2.5 Постановка сопряженной задачи. Единственность,
существование, интегральное представление решения . 98
3 Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге. 102
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
3.1 О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с равенством потоков на части границы и сопряженной к ней задачи........................................102
3.1.1 Постановка задачи.....................................102
3.1.2 Единственность решения задачи (3.1)- (3.5).........103
3.1.3 Существование решения задачи (3.1)- (3.5) .........105
3.1.4 Постановка сопряженной задачи. Единственность, существование решения......................................111
3.2 О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с противоположными потоками на части границы
и сопряженной к ней задачи..................................115
3.2.1 Постановка задачи.....................................115
3.2.2 Единственность решения задачи (3.37)- (3.41) .... 116
3.2.3 Существование решения задачи (3.37)- (3.41)........117
3.2.4 Постановка сопряженной задачи. Единственность, существование решения......................................124
ЛИТЕРАТУРА......................................................127
ВВЕДЕНИЕ
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Впервые задача для уравнения смешанного типа была рассмотрена С.А.Чаплыгиным в работе [35] приминительно к проблеме течения потока газа. В ней были изучены частные решения следующего уравнения
где коэффициент К(ст) монотонно возрастает, положителен при о > О (дозвуковая скорость) и отрицателен при а < 0 (сверхзвуковая скорость); таким образом, при переходе из дозвуковой области в сверхзвуковую уравнение изменяет тип с эллиптического на гиперболический.
Фундаментальное значение для последующего развития теории уравнений смешанного типа имела опубликованная в 1923г. работа Ф.Трикоми (см. [32]). В этой работе была поставлена краевая задача для уравнения
в области, ограниченной при у > 0 простой дугой Жордана Г с концами в точках А(0,0) и £(1,0), а при у < 0 - характеристиками уравнения (2), выходящими из точек А и Б и пересекающимися в некоторой точке С, при этом граничные значения заданы на Г и на характеристике АС. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи.
(і)
уи>хх “Ь ^уу — 9
(2)
Введение
7
Обобщение результатов Трикоми на случай уравнения
sign{y)\y\muxx + um = 0, т > 0, (3)
было сделано Геллерстедтом; кроме того, им была построена, функция Грина для решения задачи в эллиптической части области.
В 50-ых годах прошлого века A.B. Бицадзе и М.А. Лаврентьев предложили рассматривать модельное уравнение [6] смешанного типа
sign(y)uxx 4- uyy = ü. (4)
Одним из преимуществ, которые возникают при рассмотрении модельного уравнения (4) вместо уравнения (3), является возможность применения теории функций комплексного переменного. Это позволяет рассматривать решения задач в терминах аналитических функций и использовать при построении решений хорошо разработанную теорию краевых задач для таких функций (см. [7], [24]).
Ф. И. Фраикль [33] доказал единственнность решения краевой задачи для уравнения (1) при некоторых ограничениях на коэффициент К(а). Франклем [34] была поставлена задача для уравнения (1) в области, граница которой в гиперболической части отходит от характеристики внутрь области, причем граничные значения заданы на этом участке границы и падуге, ограничивающей эллиптическую часть области. Франкль доказал единственность решения данной задачи, а также существование в случае, когда нехарактеристический участок границы достаточно близок к характеристике.
В 1956 году Ф. И. Франкль [34] предложил смешанную задачу для уравнения Чаплыгина (1) с нелокальным условием
«(О, у) - «(О, -у) = f(y), -1 < у < 1.
Доказательство единственности и существования решения поставленной задачи можно найти в [б].
Новые краевые задачи для уравнений смешанного типа, в том числе задачи для неоднородного уравнения, задачи для уравнений
Введение
8
смешанного типа второго рода, задачи со спектральным параметром, были поставлены и изучены в работах многих авторов К.И. Бабенко, В.Н. Врагова, И.М. Гельфанда, Т.Д. Джурасва, А.Н. Зарубина, В.А. Ильина, Н.И. Ионккна, T.LLI. Кальменова. НЛО. Капустина, A.C. Макина, Е.И. Моисеева, A.М. Нахушева, A.A. Полосина, A.B. Псху, К.В. Сабитова, М.С. Салахитдииова, А.П. Солдатова, C.S. Morawetz, М.Н. Prottcr.
Спектральный метод является одним из наиболее эффективных методов исследования задач математической физики. Изучение спектральным методом нелокальных краевых задач математической физики позволяет исследовать корректность постановки задачи, выявить структурные свойства решений и дает возможность получения точных априорных оценок решений.
Спектральные свойства задач для уравнения смешанного типа активно изучались с 80-ых годов прошлого столетия. С.М. Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лавреньтева-Бицадзс (4) и доказан их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым сектором. Е.И.Моисеев доказал базисность этой системы и, используя свойство базисности, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. В частности, для уравнения (4) решения удалось получить в виде ряда в некоторых специальных областях, также были получены интегральные представления решений. Для уравнения (4) решения были получены в виде ряда.
Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения Лаврсньтева-Бицадзе была доказана К. Б. Сабитовым и А. Н. Кучкаровой [29]. Полнота собственных функций задач Трикоми, Неймана-Трикоми, Геллерстедта для уравнения
Mm+1Wx* + УЩу + ЧЩ + А|?/Г+1п = 0, q < 1, т > -2. (5)
была доказана Е. И. Моисеевым к Ф. Могими |18] при условии т + 2q > 0.
Спектральные вопросы видоизмененной задачи Франкля для уравнений смешанного типа начали рассматриваться относительно недавно в работах Е. И. Моисеева и его учеников. В частности, вопросами полноты, базисности
Введение
9
собственных функций в эллиптической части области видоизмененной задачи Франкля с условием сшивания первого рода занимался Аббаси Н. |2].
Цель работы. Целью работы является исследование вопросов полноты, базисности и минимальности собственных функций видоизмененной задачи Франкля с условием сшивания второго рода в зависимости от параметра задачи. Также целью является изучение свойств полноты и базисности систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах и, далее, доказательство единственности и существования путем построения аналитического решения нелокальных краевых задач в полукруге для операторов Лапласа и Гельмгольца, являющимися aHav4ora.Mii задачи Франкля.
Методы исследования. Собственные функции видоизменной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода выписываются с помощью метода разделения переменных с использованием функций Бесселя. Базисность Рисса, полнота, минимальность собственных функций задачи исследуются с помощью теорем о базисности систем синусов и косинусов в пространстве Ьру а также с использованием свойства ортонормированности системы функций Бесселя, являющейся решением соответствующей краевой задачи. Полнота и базисность в различных пространствах систем типа Самарского-Ионкина были изучены с привлечением свойств полноты и базисности синусов и косинусов в соответствующих пространствах. С помощью доказанных свойств систем типа Самарского-Ионкина было получено решение в явном аналитическом виде различных нелокальных краевых задач в полукруге для уравнений Лапласа и Гельмгольца. Единственность нелокальных краевых задач для уравнения Лапласа была доказана с помощью принципа максимума и принципа Зарембы-Жиро. Единственность нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге была доказана построением функции Грина, применением второй формулы Грина и теории Гильберта-Шмидта для самосопряженных положительно определенных операторов.
Научная новизна. В первой главе построено решение видоизменной
Введение
10
задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода. Далее, при четном и нечетном условии сшивания изучен вопрос базисности Рисса, полноты, минимальности соответствующей системы собственных функций в пространстве Ь2(0+) в эллиптической части области в зависимости от параметра (коэффициента зависимости) задачи. Показано также, что при нулевом коэффициенте зависимости в гиперболической части области решение становится тривиальным, а в эллиптической части полученные собственные функции образуют базис Рисса, что согласуется с общим результатом. Ранее была изучена видоизменная задача Франкля с нелокальным условием сшивания первого рода.
Во второй главе изучены полнота и базисность систем типа Самарского-Иопкина в пространствах С{0,7г]; Ьр|0,7г) р> 1; И^[0,7г], р > 1, I € N. Ранее аналогичные системы были изучены в Ь2[0, тг] и ЬР{К) р > 1, где К—любой компакт интервала (0, тг). На основе полученных результатов получено в аналитическом виде классическое решение некоторых нелокальных краевых задач для оператора Лапласа в полукруге. Кроме того, была доказана единственность этих задач.
В третьей главе изучены различные нелокальные краевые задачи для уравнений Гельмгольца в полукруге. Были найдены условия единственности. На основе доказанных свойств систем типа Самарского-Ионкина и асимптотики производной по порядку функции Бесселя при больших значениях порядка построено в аналитическом виде классическое решение поставленных задач. Удалось доказать, что при четном нелокальном условии суммирование собственных и присоединенных функций можно произвести независимо друг от друга.
Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории нелокальных краезых задач для уравнений математической физики.
Апробация результатов работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры
Введение
11
функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, а также на конференции "Тихоновские чтения"в октябре 2009 года.
Публикации. Основные результаты работы подготовлены и оформлены в семи статьях [38]- [44]. Статьи [38]- [41] опубликованы, статьи [42]- [44] направлены в печать.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых па разделы, и списка литературы. В работе использована сквозная тройная нумерация теорем, лемм, замечаний, следствий, в которой первая часть номера соответствует номеру главы, вторая часть указывает на номер раздела в главе, а третья - на номер в разделе. В формулах использована сквозная двойная нумерация: номер главы, номер формулы. Список литературы состоит из 44 наименований. Общий объем диссертации составляет 131 страниц.
После этого краткого обзора перейдем к изложению основных результатов настоящей работы.
Основное содержание работы
Работа состоит из введения и трех глав. В первой главе „О базисиости собственных функций видоизмененной задачи Франкля“ рассматривается видоизмененная задача Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода. Глава состоит из трех разделов. В первом разделе поставлена задача в общем виде, то есть коэффициент зависимости к, связывающий значение производных по х на интервалах (0,1) и (—1,0) оси ОУ. и коэффициент сшивания производных по у на интервале (0,1) оси ОХ ус являются не связанными между собой действительными числами. Методом разделения переменных найдены собственные значения и собственные функции поставленной задачи. Во втором разделе исследованы полнота и базисность собственных функций задачи в эллиптической части области при к — ус, в третьем разделе -
Введение
12
при к = —ус. Найдены при каких ус системы собственных функций в пространстве L2(D+) в эллиптической части области образуют базис Рисса; при каких >с системы собственных функций не полны, но минимальны; при каких системы собственных функций полны, но не минимальны. В третьем разделе показано также, что при нулевом коэффициенте зависимости в гиперболической части области решение становится тривиальным, а в эллиптической части полученные собственные функции образуют базис Рисса, что согласуется с общим результатом.
Сформулируем теперь постановку задачи и основные полученные результаты первой главы.
Постановка видоизмененной задачи Франк л я с нелокальным условием сшивания второго рода.
Найти функцию
и(х,у) € Ca{D+ U £>„ 1 U D-1) П C2{D,) П C2(D_!) П C2(D_2), удовлетворяющую в D+UD_1 U £>_2 уравнению
uxx 4- sign(y)iiyy + ß2sign(x + y)u = 0, (6)
[7Г1
О, — - в полярной системе координат, (Т)
и(0,у) = 0, у €[-1,1], (8)
УС lim Uy(x, у) = lim uv(x, у), х € (0,1), и <Е R \ 0, (9)
у—» ЬО у->-О
= ~У^ уе С0,1)’ ° < 1Л1 “ ^ ^ /с € Е \ 0, (10)
где
D+={(r,0): 0<г<1, О<0<|},
D
D
-1 = {(ж, у): ~<у<0,~у<х<у + 11, -2 = {(я, у) - 0<х<^, х-\<у < -х|.
Теорема 1.1.1. Собственные функции и собственные значения задачи (6)- (10) молено представить в виде двух серий. В первой серии собсгпвеиые
- Київ+380960830922