Содержание
Введение
0.1 Основные понятия и определения........................ 3
0.2 Содержание главы 1 9
0.3 Содержание главы 2 12
0.4 Содержание главы 3 14
0.5 Содержание главы 4 18
1 Исследование асимптотического поведения фундаментальной системы решений уравнения 1у ~ А у. Случай медленнорастущей фукнции рп_*(ж). 20
1.1 Введение............................................. 20
1.2 Преобразование уравнения (1.1)....................... 22
1.3 Асимптотика решений уравнения (1.1)...................27
2 Исследование асимптотического поведения фундаментальной системы решений уравнения 1у — \у. Случай быстрорастущей функции рп-1{х). 45
2.1 Введение............................................. 45
2.2 Преобразование уравнения (2.1)....................... 48
2.3 Асимптотика решений уравнения (2.1)...................50
3 Исследование индексов дефекта самосопряженных дифференциальных операторов. 62
4 О спектре дифференциальных операторов в вырожденном случае. 75
Введение
0.1 Основные понятия и определения.
Одной из основных задач в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов является задача исследования их спектральных свойств в зависимости от поведения коэффициентов соответствующего дифференциального выражения. Исследованию этой задачи посвящен ряд работ [1-17, 24-28]. Дадим необходимые в дальнейшем определения.
Как известно (см. [12]), самосопряженное дифференциальное выражение с вещественными коэффициентами четного порядка необходимо имеет вид:
где Ру(х), j = 0, п - вещественные функции.
Определение 1 .
Выражение 1\у у рассматриваемое на конечном интервале (а,Ь) при
(а,6), называется самосопряженным, регулярным дифференциальным выражением.. В противном случае выражение 1у называется сингулярным самосопряженным дифференциальным, выражением.
Определение 2 .
Квазипроизводные функции у, соответсвтующие выражению 1\у, опр с делаю т с я ф орм у лам,и:
(1)
условии, что коэффициенты . •. ,Рп(®) суммируемы во всем
,М _
1 I-5
(1хк
3
к = 1. п — 1
= роіх)^, у1п+к] = рк(х)
ііп~ку _ й_
<ІХп~к (їх
Из определения квазипроизводных непосредственно следует, что
Мы будем считать, что выражение 1\у имеет смысл для данной функции у у если все квазипроизводные функции у до (2п - 1)-го порядка включительно существуют и абсолютно непрерывны в каждом конечном подынетервале [а, ,8] интервала (а, 6).
Рассмотрим линейное дифференциальное выражение
где Рк(х)> к = 19п - дважды непрерывно-дифференцируемые вещественные фукнции. Введем в рассмотрение пространство £2(0,00). Дифференциальное выражение /у, рассматриваемое на всех допустимых функциях у, определяет в этом пространстве оператор. Рассмотрим сужение этого оператора на множество всех финитных достаточно гладких функций, обращающихся в нуль при х > Я, Я > 0 (выбор Я вообще говоря различен для различных у). Обозначим замыкание сужения указанного оператора через £о •
Определение 3 .
Оператор £о называется минимальным оператором, порождетьым дифференциальным выражением 1у в £2(0,00).
Сопоставим уравнению
ку = У[2п]-
їу = (-1)пУ™+Е(~1)к(рп-к(х)уМук\ 0 < х < со, (2)
1-у = Ху
(3)
4
следующий многочлен ПО II
F(х, А,м) = ^ + E(-l)kPk(x)S[n-k] + (-1)>п - А).
к= 1
Определение 4 .
Уравнение
F(x, А;М) = 0 (4)
будем называть характеристическим уравнением, соответствующим дифференциальному выражению 1у.
Определение 5 .
Система дифференциальных уравнений первого порядка
У = (Л(ат) + D(x))Y,
рассматриваемая на некотором промежутке (0,оо) называется L-диагональной, если матрица Л является диагональной, причем ее элементы локально суммируемы, разность их действительных частей знакопостоянна, а, все элементы матрицы D - суммируемые па (0, ос) функции.
Пусть L - симметрический оператор в гильбертовом пространстве Я, и пусть Л - произвольное комплексное число, но такое, что ImÀ ф 0. Обозначим через Яд и Яу области значений операторов (L - XI) и (L — XI), где / - тождественный оператор. Очевидно, что Яд и Rj -подпространства Я, причем не обязательно замкнутые.
Определение 6 .
Ортогональные дополнения N\ = H — R\ и ЛГу = Я — R.j называются дефектными подпространствами оператора L.
Известно, ([12],с.165), что при любом комплексном Л из верхней полуплоскости
сПтЛГд = сЙтЛГ*, сйтЛГд = сНт/У^.
Определение 7 .
Положим
т — сНтЛ^, к = сНтЛГ_г.
Пара чисел (т,к) называется индексами дефекта симметрического оператора Ь, а сами числа т, к - его дефектными числами.
Известно, ([12],с.202-203), что индексы дефекта оператора Ьц, порожденного самосопряженным дифференциальным выражением с всщест-вегшозначными коэффициентами, одинаковы (т.т) и удовлетворяют оценке:
п <тп < 2п.
Введенные понятия дефектных подпространств и индексов дефекта применяются для построения самосопряженных расширений симметрического оператора Ьц и анализа спектра этих расширений.
Лля нахождения индексов дефекта оператора Ь$ применяют два метода. Первый, используемый в основном английской школой Э.Ч.Титчмарша [17] , состоит в том, что квадратичная форма (1у,у) интегрируется по частям на полупрямой (0, ос) и исследуется поведение обынтегрирован-ных членов при х оо. Недостатком этого метода является то, что он применим только в случае т = п. Во всех остальных случаях он не дает точных индексов дефекта.
Второй метод состоит в исследовании асимптотического поведения при х -> оо фундаментальной системы решений уравнения 1у = Ху.
6
- Київ+380960830922