Содержание
1 Введение 2
2 Формулы Фейнмана, порождаемые самосопряженными расширениями оператора Лапласа 22
2.1 Обозначения ...............................................22
2.2 Непрерывность отображения Ра...............................25
2.3 Ограниченность но норме оператора Га(Ь) ...................30
2.4 Замыкаемость сильной производной оператора Е°(Ь) 32
3 Формулы Фейнмана для диффузии частицы с переменной
массой на прямой. 38
3.1 Формулировка задачи........................................38
3.2 Непрерывность отображения .................................48
3.3 Ограниченность по норме оператора 51
3.4 Замыкаемость сильной производной оператора Рг(€)...........52
4 Формулы Фейнмана для диффузии частицы с переменной
массой на полупрямой. 59
4.1 Формулировка задачи........................................59
4.2 Непрерывность отображения Р1...............................62
4.3 Ограниченность по норме оператора Рт(1)....................63
4.4 замыкаемость силыюП производной оператора гг(£) 64
ем
1
I
1 Введение
Формулы Фейнмана дают представление решения задачи Коши для уравпе-
-л.
иия типа Шредингера: Фг(£) = Н{Ф(£)) (в частном случае типа теплоиро-водности) с помощью предела конечпократных интегралов по декартовым степеням фазовош (в частном случае конфигурационного) пространства. Полученный предел, задающий явное представление одпомарамстричсекой унитарной группы ег1Н (в частном случае полугруппы еш, в литературе часто называемой полугруппой Шредипгора) с помощью интегральных операторов, интерпретируется как интегралы Фейнмана, а полученное выражение, в свою очередь,называют формулой Фейнмана.
Один из наиболее общих способов получения таких формул состоит в обосновании равенства (Ф(£) =) ехр(Шф)ф0 = 1ътп^оо{&н^')™Фъ • Вообще го-воря, ехр(ЬНт) Ф (с )г ни при каком т- этот факт вынуждает использовать переход к предел}'. Стоит отметить, что. в отличие от формул типа Фейнмана-Каца с их функциональным интегралом, в формулах Фейнмана не используется явным образом никакая мера на пространстве траекторий в конфигурационном пространстве. Более того, получив формулы Фейнмана в виде представлений решений уравнений функциональными интегралами, сами эти представления, в свою очередь, стоит трактовать как формз'лы Фейнмана-Каца, а именно, обосновав равенство е***гф0 — 1ітп_00(еш/п)^о или, более общо, вида е1Нтфо = \1ти-+сс^(1/п))пфц для некоторой легко исследуемой функции Г неотрицательного вещественного аргумента со значениями в пространстве интегральных операторов, уже можно интерпретировать допредельные конечнократные интегралы, как интегралы, аппрокеими-
2
рующие интегралы по траекториям; если эта интерпретация возможна, то это приводит к получению формулы Фейнмана-Каца. Таким образом, формула Фейнмана- Каца, в отличие от Формулы Фейнмана, определяется как интеграл но траекториям в конфигурационном пространстве некоторой эволюционной системы, а но как некоторый предел конечнократных интегралов; то есть доказательство М. Каца представления решения уравнения теплопроводности, хотя и использует идею предела конечнократных интегралов, является по существу ’вероятностной интерпретацией1 формул Фейнмана. Р. Камерон и ТО.Л. Далецкий показали, что функциональный интеграл Фейнмана не может быть определен как интеграл по счетиоаддитивиой мере на пространстве траекторий. Во многом эти результаты определили направления дальнейших исследований. Альтернативное определение интеграла Фейнмана — с помощью равенства Парсеваля было предложено в работах В.П. Маслова, А.М. Чеботарева, С. Альбеверио и Р. Хег-Крона, однако в их работах интеграл Фейнмана был задай всего лишь на множестве функций, являющихся преобразованиями Фурье счетноаддитивных мер на гильбертовом пространстве, что значительно сужает область действия "формул Фейнмана". Стоит также отметить книгу О.Г. Смолянова и Е.Т. Шавгулидзс, которая до настоящего времени остается наиболее полным изложением математической теории интегралов Фейнмана (в этой книге содержатся четыре различных определения континуального интеграла). Авторы получают представления решения уравнений типа Шредингера по траекториям в конфигурационном и фазовом пространствах в более широком классе начальных данных и потенциалов.
Э. Нельсон заметил, что формальное доказательство формулы Фейнмана сводится в рамках его идеи к применению формулы Троттера и тем самым
впервые получил строгую интерпретацию формул Фейнмана, предедтавляю-щий решение уранений Шредингсра в евклидовом пространстве.
Развитие математической техники, связанной с функциональным интегрированием показало, что с точки зрения приложений наиболее удобным остается фейнмановское определение — точнее, его аксиоматизированный в стиле (8] Нельсона вариант, где роль формулы Троттера играет теорема Чернова, что было впервые отмечено О.Г. Смоляновым.
Таким образом, обоснование вышеупомянутого равенства оказалось актуальным сводить к проверке условий теорем типа Чернова ‘£о произведениях”, обобщающей формулу Троттера.
Исследование функциональных интегралов давно стало одним из центральных направлений функционального анализа, начало которому и было положено работой уже упомянутого Р. Фейнмана [42). в которой была предложена конструкция, получившая название интеграла Фейнмана но траекториям в конфигурационном пространстве. Как отметил сам Фейнман, эта конструкция восходит к П.А.М. Дираку. Дирак предположил, что интегральное ядро эволюционного оператора, преобразующего волновую функцию за малый промежуток времени аналогичен комплексной экспоненте от классического действия. Фейнман усилил гипотезу Дирака, предположив, что эти экспоненциальные ядра должны быть просто пропорциональны таким экспонентам; именно это предположение и позволило ему найти представление решения уравнения Шредингсра помощью интеграла Фейнмана по бесконечномерному афшшому многообразию, состоящему из функций времени, принимающих значения в конфигурационном пространстве исходной классической Лагранжевой системы. Фейнман определил свой интеграл как предел после-
довательностн вычислимых интегралов по конечным произведениям конфигурационного пространства. Теперь это полученное представление решения называют формулой Фейнмана, а сам интеграл - интегралом Фейнмана (по траекториям в конфигурационном пространстве). Поскольку в этом интеграле присутствует функционал действия в лагранжевой форме, его можно называть лаграижевым интегралом Фейнмана. Написанная на физическом уровне строгости работа Фейнмана отличается элегантностью и ясностью изложения. Но самое главное, благодаря тому, что рассуждениям Фейнмана удалось придать точный математический смысл, предложенный в его работе подход к исследованию эволюционных уравнений оказался исключительно эффективным.
Метод функционального интегрирования исследуется и развивается в работах С. Альбеверио, Ф.А. Березина, X. фон Вайцзеккера, Э. Виттена, И.М. Гельфаида, Р. Камерона, В.П. Маслова, М.В. Менского, Э. Нельсона, В. Саймона, О.Г. Смолянова, A.B. Угланова, А. Трумена, Р. Хег-Крона, А. Хибса,
А.Ю. Хренникова, А.М. Чеботарева, Е.Т. Шавгулидзе, П. Экснера, А.М. Яг-лома и др. В настоящее время метод функционального интегрирования стал важнейшим методом квантовой теории, прежде всего, квантовой теории поля. В то же время исследование математической структуры, связанной с такого рода интегралами, только начинается. Все сказанное и определяет актуаль-ност ь ; да ссертаци и.
Результат, полученный в данной работе распространяет результат, изложенный в работах [1]-[3] на более общий случай,- показывается взаимооднозначное соответствие между самосопряженными расширениями, порождаемыми Гамильтонианом, описывающем одномерную динамику частицы с по-
- Київ+380960830922