Базисы всплесков в функциональных пространствах

Содержание
1 Введение 4
1.1 Общая характеристика работы.............................. 4
1.1.1 Актуальность темы................................. 4
1.1.2 Цель работы....................................... 5
1.1.3 Научная новизна .................................. 6
1.2 Основное содержание работы........................ 8
1.3 Определения и обозначения......................... 28
2 Некоторые факты общей теории всплесков, используемые в работе 30
2.1 Стационарные всплески и существование масштабирующей функции........................................ 30
2.2 Кратномасштабный анализ в Ь2(Л) : . . . . 31
2.3 Регулярные КМ А в Ь2(И)........................... 40
2.4 Система Уиттакера-Шеннона-Котельникова ................ 41
2.5 Всплески Мейера................................... 43
2.6 Ортогональные всплески с компактным носителем ... 44
2.7 Константы неопределенности........................ 51
2.7.1 Соотношения между радиусами масштабирующего фильтра и масштабирующей функции.................... 53
3 Безусловные базисы всплесков в пространствах
Лизоркина-Трибеля и Бесова 60
3.1 Оптимальные базисы в пространстве С(0,1).......... 60
3.2 Безусловные базисы всплесков в анизотропных
пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля.......... 63
3.2.1 Определения и предварительные сведения........... 64
3.2.2 Конструкция всплсскового базиса.................. 70
3.2.3 Эквивалентные нормы в пространствах В и ^ . 75
3.2.4 Основные результаты и комментарии................ 75
3.2.5 Доказательства................................... 85
3.3 Базисы всплесков и линейные операторы в пространствах
Лизоркина-Трибеля................................. 94
3.3.1 Введение......................................... 94
3.3.2 Определения и предварительные сведения........... 96
2
3.3.3 Формулировки результатов и комментарии .... 97
3.3.4 Доказательства.................................. 99
4 Модифицированные всплески Добеши, сохраняющие ло-кализованность с возрастанием гладкости 122
4.1 Описание конструкции.................................. 122
4.2 Предельное поведение модифицированных
всплесков............................................ 129
4.3 Константы неопределенности для модифицированных
всплесков Добеши..................................... 132
4.4 Минимальные константы неопределенности
для фильтров простейшей модификации и для классических фильтров Добеши................................. 139
4.5 Асимптотика нулей полиномов Бернштейна, используемых в построении модифицированных всплесков Добеши 141
4.5.1 Введение....................................... 141
4.5.2 Расположение нулей полиномов Бернштейна . . . 143
4.5.3 Вспомогательные результаты..................... 149
5 Нестационарные всплески 157
5.1 Общая теория нестационарных всплесков................ 157
5.2 Нестационарные бесконечно дифференцируемые орто-
нормированные всплески с компактным носителем . . . 168
5.3 Построение системы Ф................................. 170
5.4 Свойства системы Ф.................................. 174
5.5 Константы неопределенности для Ф..................... 180
5.6 Нестационарные всплески с модифицированными фильтрами Добеши.............................................. 187
5.7 Свойства системы Фа.................................. 190
5.8 Константы неопределенности для Фа.................... 191
5.9 Базисы нестационарных всплесков в пространствах Соболева ................................................... 196
3
1 Введение
1.1 Общая характеристика работы
1.1.1 Актуальность темы
Всплеском, в самом общем виде, называют определенную на числовой оси функцию ф, имеющую нулевое среднее и достаточно быстрое убывание на бесконечности. Термин всплеск предложен К.И. Осколковым в качестве эквивалента английского термина wavelet (фр. - ondelet-te), что буквально переводится как маленькая (имеется в виду продолжительность) волна, волночка. Термин всплеск лучше отражает суть дела, так как выше упомянутые свойства означают, что функция ф представляет собой затухающее колебание. Всплески используются или в качестве ядра интегрального преобразования
(Wv,/)(a, b) = -^JR f{t)rp (^—^) dt, а, 6 € R, а > 0;
или в качестве генерирующей функции для построения базиса при помощи дилатаций, т.е. сжатий с сохранением нормы в L2(R)
Ф}{1) ■= ■■= 2]/2ф{2Н), j е Z,
И сдвигов
ф]к(1) := 1/>,(< - кг*) = У'2ф(2Ч - к), к G Z.
Теория всплесков лежит на пересечении чистой математики, вычислительной математики, преобразования сигналов и изображений.
Простейшим примером всплесков нулевой гладкости являются функции Хаара [Нааг]. Бесконечно дифференцируемые всплески, убывающие на бесконечности как 1/т, рассмотрены X. Трибелем [Triebel 77]. Экспоненциально убывающие всплески изучены Ж.-О. Стрембергом [Stromberg] (см. также [Meyer 88]), П.Ж. Лема-ри [Lemarie 88] и Г. Бэтлом [Battle]. В работе [Meyer 87] И. Мейер построил бесконечно дифференцируемый всплеск с компактным спектром. И. Добеши сконструировала всплески любого конечного порядка гладкости с компактным носителем [Daubechies 88]. Единый подход к построению систем всплесков предложен С. Малла [Mallat].
4
Всплесковый анализ находит все более широкое применение в различных областях науки, так как он дает более подробную информацию о сигнале, изображении или операторе, чем стандартный анализ Фурье. Интегральное всплесковое преобразование дает одновременно локальную информацию о функции и о ее преобразовании Фурье, причем при анализе высокочастотных составляющих функции локализация более сильная (для повышения точности), а при анализе низкочастотных - локализация более слабая (для получения полной информации). Всплесковые ряды очень удобны для приближенных вычислений, поскольку количество операций, необходимых для вычисления коэффициентов разложения, так же, как и количество операций для восстановления функции по ее всплесковым коэффициентам, пропорционально количеству отсчетов функции. Перечисленные особенности всплесков делают их очень популярными в самых различных приложениях: при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов; при обработке и синтезе различных сигналов, например, речевых; при анализе изображений; для изучения турбулентных полей; для сжатия больших объемов информации и т.д. Важной областью применения всплесков является конструктивное описание различных функциональных пространств и построение безусловных базисов в них.
Данная работа посвящена изучению свойств всплесковых базисов в пространствах дифференцируемых функций и построению новых ор-топормированных всплесковых базисов с различными дополнительными свойствами.
1.1.2 Цель работы
- исследовать аппроксимативные свойства периодических
всплесков Мейера в пространстве непрерывных функций;
- построить безусловные базисы всплесков в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля и изучить с их помощью непрерывность псевдодифферснциальных операторов, действующих в этих шкалах;
- сконструировать всплески с компактным носителем, сохраняющие локализованность при возрастании гладкости;
- исследовать асимптотику нулей специальных полиномов Бернштейна, возникающих при построении всплесков с компактным
5
носителем и сохраняющих локализованнос.ть при возрастании гладкости;
- построить нестационарные бесконечно дифференцируемые всплески с компактными носителями, изучить их локализованность и их базисные свойства в пространствах Соболева;
Методика исследований. Основными методами исследований являются методы математического анализа и теории функций. Новизна методов состоит:
- в использовании тензорного произведения разномасштабных всплесков для построения базисов в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля;
- в исследовании образов всплесков при действии псевдодифферен-циальных операторов;
- в применении полиномов Бернштейна для построения масштабирующих фильтров всплесков с компактным носителем;
- в разработке нестационарного кратномасштабного анализа для конструирования бесконечно дифференцируемых всплесков с компактным носителем.
1.1.3 Научная новизна
Основные результаты работы состоят в следующем.
1) Доказано, что периодические всплески Мейера для любого натурального к являются ^-оптимальным базисом пространства непрерывных функций С(0,1), что является положительным ответом на вопрос П.Л. Ульянова.
2) Построены безусловные базисы всплесков в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля; как следствие получен безусловный базис в анизотропных пространствах Соболева
(в) =(в1,...,8*), рб(1,00).
3) Доказаны теоремы о непрерывном действии анизотропных псев-додифференциальных операторов в шкале анизотропных пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля, включающей в себя шкалу анизотропных пространств Соболева.
4) Сконструированы всплески с компактным носителем, сохраняющие локализованность при возрастании гладкости.
6
5) Доказано, что предельными кривыми для нулей специальных полиномов Бернштейна, возникающих при построении всплесков из Пункта 4), являются две лемнискаты, свягзанные с областью сходимости полиномов Бернштейна в комплексной плоскости.
6) Построены нестационарные бесконечно дифференцируемые всплески с компактными носителями, изучена локализованность этих всплесков и доказано, что они являются безусловным базисом для всех пространств Соболева одновременно.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории всплесков, теории аппроксимации, для изучения псевдодифференциальных операторов.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 18 работах, перечисленных в списке литературы. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.
Аппробация. Результаты докладывались на различных семинарах и конференциях, например: на семинарах В. Б. Демидовича и С. В. Ко-нягина и Б. С. Кашина и С. В. Конягина в МГУ (2000); на семинаре С. Л. Теляковского в МИРАНе (2000); на семинаре О. В. Бесова и Л. Д. Кудрявцева в МИРАНе (1992, 1993); на семинаре С. Б. Стечкина в МГУ (1993, 1994); на семинарах Н. Дин (1993, 1995) и А. М. Олевского (1995) в Тель-Авивском университете; на семинаре И. Линденштраус-са в Р1ерусалимском университете (1993, 1995); на семинарах А. Коэна (1993, 1995) и И. Мейера (1995) в Парижском университете; на семинаре Ж. Гарсиа-Куэрве, университет Аутонома, Мадрид, Испания (1992).
Структура и объем работы. Диссертация объемом 214 страниц состоит из пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 88 наименования.
7
1.2 Основное содержание работы
Во введении приводятся формулировки основных результатов, полученных в работе, а также некоторые определения и обозначения.
В Главе 2 излагаются некоторые факты общей теории всплесков, используемые в работе.
Третья глава посвящена всплесковым базисам в пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля.
В § 3.1 изучаются периодические всплески Мейера. Пусть С(0,1) - пространство 1-иериодических непрерывных функций, к - неотрицательное целое число. Базис {aJjeN пространства С(0,1) называют fc-оптимальным, если существует константа С, такая, что для произвольной функции / € С(0,1) и любого т 6 N
II/ - ^m(/)llc(0,l) <
где Sm(f) - m-ая частная сумма разложения / в ряд по {£?:}ieN> /) ~ J-ый модуль непрерывности /.
Известно, что система Хаара является 0-оптимальной [Алексич], система Фабера-Шаудера - 1-оптимальна [Ciesielski 59], [Матвеев]. В работах [Горячев 73], [Субботин], [Ciesielski 75] /с-оптимальные базисы были построены для произвольного к £ N. В [Горячев 74, с. 10], [Ульянов 89, с.277] Ульяновым П.Л. поставлен вопрос: существует ли базис пространства (7(0,1), являющийся /с-оптимальным одновременно для всех целых неотрицательных к?
Периодические всплески Мейера определяются следующим образом:
7o(f) := 1, 72>+,(*) := V'2 £ фм{2Ч + Як - г),
ке Z
где - всплеск Мейера, j > 0, 0 < г < 2К И. Мейер доказал,
что функции {7„}£Lo образуют ортонормированный базис в //(0,1), 1 < р < оо, и в С(0,1) [Meyer 87].
Основным результатом § 3.1 является
Теорема 1.1 Система периодических всплесков Мейера {7n}5JLo является к-оптимальным базисом в С(0,1) для любого неотрицательного целого к.
8
Целью § 3.2 является построение безусловного базиса в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля. Как следствие получен безусловный базис в анизотропных пространствах Соболева 5 = (5i,...,5n), р G (1,оо). Случай изотропных пространств Бесова рассмотрен П.Ж.Лемари и И.Мейером [LM]. Утверждение о базисности всплесков Мейера в изотропных пространствах Лизоркина-Трибеля может быть получено методами статьи М. Фрезье, Б. Яверса об атомарном разложении, которое аналогично всплесковому [FJ].
Конструкция всплесковых базисов в анизотропном случае основана на использовании всплесков Мейера-Давида, которые наиболее отвечают методу декомпозиции для пространств анизотропной гладкости. Всплески Мейера-Давида являются модификацией всплесков Мейера [Meyer 87]. В них параметр сжатия 2 заменяется произвольным числом 6 вида 6=1 + 1/Л, где Л - натуральное число. Г.Давид построил функции такие, что Ы^2фн(b*t — к), j € Z, к £ Z, образуют
ортонормированный базис в L2(R). Преобразование Фурье всплесков Мейера-Давида имеет компактный носитель.
В дальнейшем носитель преобразования Фурье функции будем называть спектром.
Для определения анизотропных пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля используется метод декомпозиции (см., например, [Трибель, Гл. 10], [Берколайко 87]). Поэтому все координаты вектора (5) := (ei,...,5П), определяющего анизотропную гладкость, предполагаются либо одновременно положительными, либо одновременно отрицательными, либо одновременно равными нулю.
Далее используются следующие обозначения: х = (а?1,...,жя) £ Rn;
Л - индекс, пробегающий множество натуральных чисел от 1 до п\ а = (аз,..., осп) ~ мультииндекс, а\ £ N;
:=П*Г;
Л
Н ;= £qa;
Л
дм
п<* •=-----------•
х ■ дх?... дх%» ’
\Е\ - мера Лебега множества Е G R”; а+ := шах{о, 0}, a G R1;
9
[a] - наибольшее целое, непревосходящее а;
знак означает неравенство < с некоторой константой;
f ~ д эквивалентно / д /;
F и F“1 - прямое и обратное преобразования Фурье,
/ ~ W
5(Rn) - пространство Шварца;
5'(Rn) - двойственное к S пространство обобщенных функций.
При s\ ф 0 число 5 определяется соотношением
S п х SX
а при s\ = 0 s полагается равным 0. Число s называется усредненной гладкостью.
Вектор (о) := (ai,...,о») с координатами а\ := s/s\ при s ^ 0 называется вектором анизотропии. При я = 0 все а\ полагаются равными единице.
Введем также обозначения:
||а?||(а) = шах^'л!1^ - анизотропное расстояние;
|«|(а) = Еоа^л ~ анизотропный порядок мультииндекса;
А
Пу := {€ € R" : 11^ 11(a) < CV}, j € N;
11 := П2; Гу := Пу+ДПу-ь j > 2.
Пусть {<ry(£)}i° “ последовательность неотрицательных функций cry G Cfoo(Rn), j E N, таких, что
supp (Ту С Гу;
2J‘N(«) \D^(0\ < cQ для любых мультииндексов a, j G N, £ G Rn;
gay(0 = l.
3=1
Обозначим Vy(x’) := (F"‘1<jy)(a;).
Определение 1.1 Анизотропное пространство Лизоркипа-Трибе-ля F^\ 0 < р < оо, 0 < g < оо, - это (квази)банахово простран-
ство функций f G 5"(Rn), для которых конечна (квази)норма
\f,F№\ = \{2jV*VM%lyLp(lq)\. (1.1)
10
Случай р = оо требует несколько иного подхода, соответствующее определение приводится в диссертации.
Путем замены в (1.1) нормы Ьр(1д) на норму 1д(Ьр)> определяются пространства Бесова В^(Ип) := В^\ 0 < г/ < оо.
Система всплесков с компактными спектрами является безусловным базисом в пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля, если спектры функций системы образуют совокупность коридоров, близкую к {Г^}, фигурирующей в определении пространств. В изотропном случае это легко достигается за счет тензорных произведений всплесков Мейера. Анизотропная ситуация была бы аналогична изотропной, если бы существовали системы всплесков одной переменной, получающиеся растяжением исходной функции в Ы раз, 3 € Z, для любого Ь > 1. В этом случае искомый безусловный базис получался бы путем тензорного перемножения систем всплесков, которые по переменной Х\ имеют показатель растяжениями 2ЛА. Однако системы всплесков построены только для показателей растяжения 6 = /г 6 К, поэтому приходится строить безусловный всплесковый базис в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля, группируя в блоки всплески Мейера-Давида.
Пусть Л - натуральное число, для которого ^-1- < тт2ах. Для
1 = 2,3,... определим числа как наименьшие из целых чисел, удовлетворяющих неравенствам
1о& 0 + и - !)аА 2 - г < /<Л) + 1 < 1оё6 С + 1ах 1ой6 2 - 1ой6 г,
И 4- 1 27гД2
ГДеЬ:=— Г:=Т+2Л ■
Пусть далее > 2, - это множество нар (т,б) п-мерных це-
лочисленных векторов га и п-мерных наборов знаков е — (бх,..., еЛ); €д = 0,1; € ф 0; таких, что координата т\ принимает фиксированное значение гп\ = 1^ 4-1, если ед = 0, и пробегает все значения из множества {1^ + 1,..., <$}, если ед = 1. Пусть
Ма) ■■= {((4° +1,...,4П) +1);(о, • • •,о))}.
11
Рассмотрим множества троек п-мерных векторов:
М^ := {(7П, Д, с) : (т,б) € М}а\ к € Zл}, 1 6 И; Л'1(“) := и М^.
;=1 ’
Пусть ^(ел)(*) - это 1Ы0 ПРИ £л = 1 и <дл(0 при еА = 0, где ■фпЦ) и <рь(Ь) - всплески Мейера-Давида (см. (3.4)).
Рассмотрим всплески
*$(*) :=ПЬГл/а^Ы(^Л*А-*?х)),
А
где га, А; 6 Zn, ДдА* := Дд, если бд = 1; и Дд := Дд/Д, если бд = 0. Через ф^\х) обозначим ^оо(ж). Множество
^ :== {^тк}
будем называть j-м блоком,
/ х 00 ф(а) ;== у фа
>=1
Отметим, ЧТО
и вирр Ефпк С Гу и г,-+1.
Эти множества образуют коридоры, которые могут с точностью до эквивалентности служить основой для определения пространств и Спектры тензорных произведений, состоящих из функций Фь,
заполняют углы коридора, а спектры произведений, в которых участвуют функции «рд, заполняют параллелепипеды, соединяющие эти углы.
Для формулировки теоремы о базисности требуются обозначения:
дй = {х € И" : € [*Л*-Я\(*А + 1)6-"*)},
<#> = {х € И" : жа € [1/а2-‘Ч(1/а + 1)2-«')}.
£*, := {(т,к,е) : (тп.е) 6 Я]а\ к 6 Ъ\ П <#} ф 0},
у Е N5 Д, V £ Zn;
12
Хе ~ характеристическая функция множества Е> \Е •= \Щ~1^2Хе- Параллелепипеды естественно называть (а)-кубами. Если
О = (Э^ ~ (а)_кУб, то хс} = (и\2~а1*>..., і/п2”а"-*) - левая нижняя вершина (а)-куба (2. Анизотропное расстояние ||ж — 2/||(в) между двумя различными вершинами х,у (а)-куба 0$ равно 1(С}) := 2~К Таким образом, /(С?) является аналогом длины ребра изотропного куба.
Пусть Ца) := {<2^\ і 6 И, V Є Zn} - совокупность (а)-кубов; если <2 = <2^, то Сд :=
Определение 1.2 Пространство 0 < р < оо, 0 < <7 < оо, - это (квази)банахов о пространство числовых последовательностей с := {с<5}с?єп(„) ? для которых конечна (квази)норма
£ С4Х<?| > ВР{1Ч) •
Заменяя норму Ьр(1я) на норму 1я(Ьр), получим определение пространств ь$, о <р,я< ОО.
Ниже, в формулировках теорем о безусловном базисе в 0<р<оо, 0<<7<оо,и В$, 0 < р, <7 < оо для несепарабельного случая рассматриваются замыкания пространства 5'(11п) в соответствующих нормах.
В дальнейшем показатель анизотропии пространства (а) будет произвольным, но фиксированным вектором, поэтому в обозначениях ||ж||(а), Л/}а\ М{;\ Ца) этот индекс писаться не будет. То же
самое касается термина (а)-куб. Индекс (а) пишется только в обозначениях анизотропного порядка мультииндекса во избежание путаницы с обычным порядком.
Основным результатом § 3.2 является следующая теорема.
Теорема 1.2 Л. Ортонормированная система Ф образует безусловный базис в Ерц, 0 < р < оо, 0 < <7 < оо, тп.е. любая, функция / Є разлагается в ряд Фурье
/(*) = Е Е <&*&(*),
>=1 (т,к,е)еМ;
13
причем
( Е |с&1 , f(s) у Jpq
QeQ
l/.^l
с соответствующим видоизменением при у = оо.
В. Ортонормир о ванная система Ф образует безусловный базис в 0 < р < оо, 0 < д < оо, или 1 < д < оо при р = оо, причем
£ |с(Ч
^ I m/ci ( »~p9
.( * J Qefi
» иоа
( Р\ ч/р\
^ 2м(я+п(ъ~^)) 1 £ £ \стк\
j=1 1//6Z" ' {mMeCQjl/ /
с соответствующим видоизменением при q = оо.
Аналогичные теоремы доказаны для пространств а также для однородных пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля.
Известно, что Fp2 = Wjf) при 1<р<оои/д>0, где Wjf) - пространство бесселевых потенциалов при дробных /д и пространство Соболева при натуральных. Таким образом, построен базис из целых функций экспоненциального типа в анизотропных пространствах Соболева.
Целью § 3.3 является изучение действия анизотропных псевдодиф-ференциальных операторов в шкале анизотропных пространств Лизоркина-Трибеля F^\ включающей в себя при 1 < р < оо, q — 2 шкалу анизотропных пространств Соболева.
Известны два подхода к изучению изотропных операторов Кальдерона-Зигмунда и изотропных псевдодифференциальных операторов в шкале пространств дифференцируемых функций. Один из них основан на идеях Р. Койфмана и Ч. Феффермана об атомарном и молекулярном разложениях (см., например, [Torres ]). Атом - это финитная функция, оценивающаяся вместе со своими производными через меру носителя; молекула - это функция, которая вместе с несколькими своими производными достаточно быстро убывает на бесконечности. Для каждой функции из соответствующего пространства строится зависящее от нее нелинейно семейство атомов, в сумму которых она разлагается (теорема об атомарном разложении), затем доказывается, что
14
образ атома при действии исследуемого оператора есть молекула, откуда с помощью теоремы о молекулярном разложении делается вывод о непрерывности оператора. Атомарное разложение выступает в этой схеме как некоторый ослабленный аналог базисного.
Второй подход к изучению изотропных псевдодифференциальных операторов, предложенный в работах И. Мейера, Г. Белкина, Р. Койф-мана, В. Рохлина (см., например, [BCR], [Meyer 89]), опирается на су-ществование в Ьр и пространствах Бесова безусловных базисов всплесков. Матрица (^q, Тфц)п£, где R,Q - диадические кубы, фц - соответствующие им всплески, Т - псевдодифференциальный оператор, оказывается почти диагональной, что и обеспечивает непрерывность Т.
В диссертации используется второй подход на основе построенного во втором параграфе безусловного базиса состоящего из тензорных произведений подобранных соответствующим образом всплесков Мейера-Давида. Здесь существенную роль играет финитность образов Фурье элементов базиса. Это позволяет исследовать образы всплесков под действием Т, исходя непосредственно из определения Т - без традиционного перехода к интегральному оператору с ядром Шварца. Это не только упрощает доказательства, но и ослабляет условия на символ даже в изотропном случае.
Определение 1.3 Обозначим через -5ад> m е R‘> к € N’1, iVo := N U {0}, 6 € [0,1], класс функций (символов) беско-
нечно дифференцируемых по первой переменной и К\ раз непрерывно дифференцируемых по таких, что для любых мультииндексов Ру 7» 0Х < Кх и любых а;,£ £ Rn
\DfDin*,t)\ < чМ + |K||rH/J|,“,+*h'w-
Если V G то псевдодифференциальный оператор
(Tf)(x) = (2:*)-/V(x,0F/(0e«d6, / е 5(R"),
R
называется оператором класса анизотропных псевдодифферен-циалъных операторов (АПДО) SJJ*, (Т € АПДО S™£).
15
Доказательство непрерывности оператора класса АПДО в шкале пространств основано на понятии почти диагонального матричного представления этого оператора по базису Ф.
Определение 1.4 Пусть 0 < р < оо, 0 < q < оо, сг\ := 5д(1 — т/з), 6 > 0, in £ R1. Оператор А с матрицей {адя}д,деп назовем почти диагональным из в fj?\ если
\aQli\
sup —-— < оо,
Qrfeft Wqr
где
UQR := 0JQR(s,m,6) := l(Q)s~ml(R)~8X
yjj I Vn~dmin!f'(q)^ (‘Щ
X VJ + max{/(R),/(Q)}J min ’ \KQ))
n-f 6 2
Теорема 1.3 Почти диагональный оператор А : ограни-
чен.
При т = 0 и а\ = 1 (изотропный случай) данная теорема доказана Г. Белкиным, Р. Койфманом, В. Рохлиным [BCR],
Центральным моментом в доказательстве почти диагональности матричного оператора А, соответствующего псевдодифференциальному оператору Т, является следующее утверждение, характеризующее убывание на бесконечности образа всплесков при действии оператора Т. Через і/jr, R £ fi, обозначаются функции вида Фткч гДе (m,fc,€) € CR.
Теорема 1.4 Если V £ и К := (К\,..., Кп) - мультииндекс, д.ая которого
К\ = АДшосІ 4), А = 2,3,..., п, шіпл Адад > п,
те любого R £ П и любого мультииндекса 7 г^е а := тіпд Адад — п.
16
Следующие утверждения являются центральными результатами §3.3.
Теорема 1.5 Пусть Т Є АПДО S™(a) и К\ = АДтосМ) для любого А = 1 Тогда при m < s и шіпл К\а\ > п оператор Т может
быть расширен до непрерывного оператора, действующего из в F$, где 1 < p,q < оо, min{p, q} < ос и координаты вектора (о) вычисляются по формулам сгд = 5д(1 — m/s).
Если же т > s и тіпд К\а\ > п + [т — s], то утверждение справедливо при дополнительном предположении, что символ оператора не зависит от пространственной переменной V(x,£) = Т(^).
Требование V(x,£) = V(£) в последней теореме (случай т > s) сужает область ее применения. Это условие можно заменить на требование Т*(х7) = 0 для всех мультииндексов 7 с І7І < L, где L Є No таково, что min|7|=£+i І7І(а) > m — s. Однако оно даже в простейшем случае п = 2, Т = (L = 0), a<i < а і выполнено только, если ö2 > а\ - s. Последнее условие является искусственным. Следующая теорема - это попытка избавиться от этого ограничения.
Теорема 1.6 Пусть задан дифференциальный оператор
дГх
Т := ^ сд(ж) , с\ Є Lqq, А = 1,2,..., 71.
А ОХх
Тогда Т : F$ —> Fjg\ где сг\ := 5д(1 - m/s), m := тахд ГЛад.
Из этих теорем вытекают, например, следующие соотношения. Для простоты положим п — 2 :
Причем, эти соотношения точны в том смысле, что ни одна координата вектора гладкости пространства образов увеличена быть не может.
Четвертая глава посвящена модификации конструкции И. Добеши всплесков с компактным носителем [ОаиЬесЫев 88]. Пусть
- последовательность масштабирующих функций для всплесков Добеши
(см. Определение 2.5). Недостатком всплесков Добеши является ухудшение локализованности с повышением гладкости, что связано с тем, что
В отличии от классических, масштабирующие функции модифицированных всплесков с повышением гладкости аппроксимируют по норме Ь2(К) масштабирующую функцию Мейера (см. (2.36)).
Первый параграф Главы 4 посвящен описанию конструкции модифицированных всплесков Добеши. Пусть а € (0,1), /д(£) - бесконечнодифференцируемая неотрицательная функция на [—1,1], равная 0 при £ € [—1, —а] и удовлетворяющая тождеству
т.е.
ос
Р<р ’ (ш) := П <Иц(и2 )
где - масштабирующая функция Шеннона-Котельникова:
Л(0 + /.Н) = 1. * Є [-1,1].
Обозначим через
, / = 0,1,.., ТУ,
18
мономы С.Н.Бернштейна на отрезке [—1,1],
21-К , л ,
^N,1 := ——, I = 0,1,/V.
Рассмотрим тригонометрические полиномы с действительными коэффициентами /ідг (к)
2ІУ-1
т&(«) = 2-1/2 Е А^(0е““". ^ Є N.
1=0
удовлетворяющие уравнению
ІтлгМ|2 = Дглг-іі008^)» т%{ 0) = 1,
где
то - £/а^бГ(о.
Полиномы - это полиномы С.Н.Бернштейна, приближающие функцию /а. Полином ГПдг существует в силу леммы Рисса.
Определим функции (^а,дг и фа,ЛГ через образы Фурье:
оо
Гіра, {ш) = П ™^(а>2-'),
Ь=1
_____________ ОО
= е~ш/2т%(и?/2 + тг) П іп%(и2~1), а; Є К.
1=2
Основным результатом § 4.1 является
Теорема 1.7 Если а < 1/2, то всплеск фа^ порождает в Е2(И) ор-тонормир о ванный базис
:= г'/УЛ* • -*)}>,*«•
Кроме того, существует константа /г > 0 такал, что узв,лг) ^ е с'#*лг> п е N. где
С* := {/ : /К^/И(1 + М)в^ < оо}, а > 0.
19