Исследование пространств Соболева в областях с особенностями

СОДЕРЖ АНИ Е
Введение...........................................................5
1. Предварительные сведения ........................................ 18
§1.1. Обозначения и определения.................................. 18
§ 1.2. Функции с обобщёнными производными........................ 22
§ 1.3. Классы областей............................................24
§ 1.4. Плотность гладких функций в пространствах Соболева ....... 25
§ 1.5. Неравенство Пуанкаре и эквивалентные нормы в пространствах
Соболева....................................................26
§ 1.6. О продолжении функций за пределы области определения.......29
§ 1.7. Теорема вложения Соболева ................................ 33
§ 1.8. Теоремы о компактности.................................... 37
2. Продолжение функций, определённых в областях, зависящих от параметров ................................................... 40
§ 2.1. Оценки нормы оператора продолжения во внешность и внутрь
малой области ............................................. 40
§ 2.2. Продолжение с нулевыми граничными условиями............... 51
§ 2.3. О наилучшем операторе продолжения из малой области ....... 55
§ 2.4. Внутренность тонкого цилиндра ............................ 61
§ 2.5. Сглаживающий оператор..................................... 67
§ 2.6. Продолжение во внешность тонкого цилиндра................. 74
§ 2.7. Операторы продолжения для некоторых областей, зависящих
от параметров.............................................. 84
Комментарии к главе 2 ........................................... 95
3. Граничные значения функций с первыми производными из
в областях, зависящих от параметров........................... 97
§ 3.1. Следы на малых и больших компонентах Гранины ............. 97
§ 3.2. Пространство следов для тонкого цилиндра................. 107
§ 3.3. Неравенства для функций, определённых на цилиндрической
поверхности .............................................. 116
§ 3.4. Норма в пространстве Т№'* для внешности п-мерного
цилиндра, р <п — 1 ....................................... 121
§ 3.5. Внешность цилиндра, случай р > п — 1 .................... 125
§ 3.6. Зависящая от £ норма в пространстве ТХУр для внешности
цилиндра ширины с, р = п — 1 ............................. 131
2
Содержание
Комментарии к главе 3 ......................................... 138
4. Продолжение функций во внешность области с вершиной пика на границе ............................................... 139
§ 4.1. Интегральные неравенства для функций в областях с
пиками .................................................. 139
§4.2. Внешний пик. Оператор продолжения: Vj(ft) -> Vp CT(R"),
lp < ч - 1 .............................................. 144
§ 4.3. Случай lp = п — 1 ...................................... 148
§ 4.4. Внешний пик. Продолжение при lp > п — 1 ................ 157
§ 4.5. Внутренние пики ........................................ 167
§ 4.6. Оператор продолжения: V'J(S2) —» Vj(Rn). q < р ......... 173
Комментарии к главе 4 ......................................... 185
5. Теоремы вложения для пространств Соболева в областях
с внешними пиками ............................................. 187
§ 5.1. Оценки производных функции, усреднённой по части
переменных '............................................. 187
§ 5.2. Непрерывность оператора вложения: VJ,(ß) —> Lq(Q) для
области с внешним пиком ................................. 192
§ 5.3. О компактности оператора вложения: Vj(ft) -» Lq(iî) .... 201
§ 5.4. Теоремы вложения для возмущённых пиков.................. 206
§ 5.5. Некоторые контрпримеры к теоремам вложения для пространств
Соболева ................................................ 213
§ 5.G. Разрешимость задачи Неймана для эллиптических уравнений
высокого порядка ........................................ 225
Комментарии к главе 5 ......................................... 230
О. Граничные значения функций из пространств Соболева в
некоторых нелиишицевмх областях ............................... 231
§ 6.1. Шаровые покрытия открытого множества, связанные с
Липшице вой функцией......................................231
§ 6.2. Следы функции, определённых в области между двумя
лшшшцевыми графиками .................................... 236
§ 6.3. Области, дополнительные к областям между л пиши цены ми
графиками ............................................... 247
Комментарии к главе 6 ......................................... 253
7. Граничные следы функций из пространств в областях
с пиками........................................................254
§ 7.1. Следы функций с градиентом из Lx ....................... 254
§ 7.2. Пространство TW'(Q), р > I, для области с внешним пиком .. 263
3
Содержание
§ 7.3. Граничные значения функций из ИГр(£1) для области $1 С К”
с внутренним пиком, р € (1, п — 1) ..................... 209
§ 7.4. Внутренний пик, случай р = п — 1 .......................274
§ 7.5. Приложение к задаче Дирихле для эллиптических уравнений
второго порядка.............................................280
§ 7.0. Неравенства для функций, определённых на поверхности
с пиком ................................................... 282
§ 7.7. Пространство '£№'($1) для области с внутренним пиком,
р >71 — 1 ..................................................287
Комментарии к главе 7 ........................................... 295
Литература ......................................................... 290
Список обозначений ................................................. 303
4
ВВЕДЕНИЕ
Пространства функций с производными из Ьр, называемые пространствами Соболева, занимают важное место в различных областях современного анализа, например, в теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории аппроксимации, теории потенциала. Начиная с тридцатых годов, указанные функциональные классы интенсивно изучались, и к настоящему моменту многие проблемы, связанные с ними, уже решены. Была построена более или менее завершённая теория пространств Соболева на всём евклидовом пространстве или на областях с регулярной границей, нашедшая отражение в книгах С. Л. Соболева [03], Ч. Б. Моррп [113], И. М. Стейна [ОС], Р. Л. Адамса [77], О. В. Бесова, В. П. Ильина и С. М. Никольского [8|,
С. М. Никольского [52], К). Г. Решетника [59], В. М. Гольдштейна и К). Г. Ре-шстняка [20]. В. Г. Мазья [37], Д. Р. Адамса и Л. И. Хедберга [70], В. И. Буренкова [83] и других. Однако современное состояние теории пространств Соболева в областях с негладкой границей нельзя назвать удовлетворительным. В настоящей диссертации делается попытка частично заполнить этот пробел.
Диссертация содержит семь глав. В первой главе приводятся предварительные сведения. Здесь, как правило без доказательств, но с необходимыми ссылками и комментариями формулируются используемые далее известные факты из теории пространств Соболева. В этой главе дан также краткий обзор результатов по продолжению функций из классов Соболева за пределы области определения с сохранением класса и обзор некоторых обобщений классической теоремы вложения Соболева. Приведённые в первой главе сведения служат материалом для ссылок в последующих главах.
Главы 2 и 3 посвящены изучению пространств Соболева в областях, зависящих от малых или больших параметров таким образом, что граница области теряет гладкость при стремлении указанных параметров к своим предельным значениям. Естественно ожидать, что при этом “хорошие” свойства пространств Соболева вырождаются. Нас интересует скорость вырождения оператора продолжения во внешность области и оператора сужения на границу обпасти, т.е. мы должны выявить зависимость подходящих характеристик этих операторов (например, их норм) от упомянутых выше параметров. Такой анализ интересен не только сам по себе: он оказывается полезным при обосновании формальных асимптотик решений краевых задач для дифференциальных уравнений в сингулярно возмущённых областях (см. книгу В. Г. Мазья, С. А. Назарова и Б. А. Пламеневского [105]).
В частности, для малого положительного параметра е мы даём в главе 2
Введение
точные двусторонние, зависящие от є оценки нормы оператора продолжения, переводящего функции из пространства Соболева на малой п-мер ной обпасти диаметра с или на тонком цилиндрическом тг-мерном слое ширины £ в функции из пространства Соболева на всём П.". Эти оценки используются в главе 4 при построении ограниченного оператора продолжения, переводящего функции из пространства Соболева на области с внешним пиком в весовое пространство Соболева на Н'1 с оптимальным весом.
Глава 3 содержит (среди прочих результатов) точные двусторонние, зависящие от малого положительного параметра оценки нормы оператора сужения ни границу, действующего в пространстве Соболева первого порядка на внутренности или внешности малой области а также па внутренности или внешности тонкого цилиндра. Эти оценки используются в последующих главах при исследовании граничных следов функций из пространств Соболева в нелипшицевых областях.
В главах 4-7 изучаются свойства пространств Соболева в областях, имеющих особенности на границе. В частности, такими особенностями могут быть изолированные пики, направленные как внутрь области, так и в её внешность. Предметом нашего исследования являются теоремы вложения пространств Соболева в пространство Ьр и некоторые' другие функциональные пространства (включая выяснение условий полной непрерывности операторов вложения), теоремы о продолжении функций из пространств Соболева за пределы области определения и описание граничных значений функции с градиентом из Ьр.
Эти теоремы с помощью известных рассуждений общего характера приводят к условиям разрешимости краевых задач для уравнений в частных производных и к описанию структуры спектра соответствующих дифференциальных операторов (см. О. А. Ладыженская и Н. И. Уральцева [29], Д. Гилбарг и II. Трудингер [16], В. Г. Мазья [37]). Некоторые приложения упомянутых теорем к теории дифференциальных уравнений в частных производных рассматриваются в § 5.6 и в § 7.5.
Перечислим основные результаты работы. Пусть П - область в П,", т.е. открытое связное множество. При 1 < р < оо и натуральном / обозначим через Ур{И) пространство Соболева, состоящее из определённых в О. функций с конечной нормой
Здесь V*// означает градиент порядка к функции и. Будем говорить, что 12 принадлежит классу ЕУр. если существует линейный непрерывный оператор
6
Введение
Во второй главе исследуются операторы продолжения, действующие в пространствах Соболева на. областях класса ЕVp, зависящих от малых или больших параметров таким образом, что предельные области не принадлежат классу EVp. Нас интересует скорость вырождения этих операторов при стремлении упомянутых параметров к своим предельным значениям. В частности, в этой главе устанавливаются двусторонние оценки норм произвольных операторов продолжения
E:V^h)^V‘(Ge), и F : Vÿ(GL,\Tlc) -> V‘(Ge). (1)
Здесь є - малый положительный параметр, 0 < < оо,
12с = {ех : х Є 12}, Gq — {qx : х Є G}, 12« С Gei
12 и G - ограниченные области в R", G содержит начало ксюрдинат. 13 случае р — ос полагаем Ge = R". Получены следующие результаты.
1°. Пусть R" \ 12 Є EVp п пусть dist(12£,R'* \ Ge) > с г, где dist. означает расстояние между множествами и с > 0 постоянная, не зависящая от “сингулярных” параметров с, р. Тогда существует линейный оператор продолжения F, норма которого ограничена равномерно относительно с, р.
2°. Если 12 € ЕУрУ то верно соотношение
1ея“п^рхтп{дп^р,еп^~1} при 1р < п, е~1т\п{д1, | loge|(1-/'^p} при 1р = п, e~nfp 1} при 1р > п.
Символ ~ означает эквивалентность, равномерную относительно г, р.
При условии 12 Є EVp в гл. 2 изучается также оператор продолжения £ : Vl(Çle) —> Vp(R”) с минимальной нормой. В случае (/ — 1)р < п получена асимптотика такой нормы при є —> ТО. В частности, показано, что если р = 2, / = 1, ?7 > 3, то любой оператор продолжения £ удовлетворяет условию
/зп(п-2)сар12у/21 mesn(ü) ) ê’
и существует линейный оператор продолжения £, для которого
f sjn - 2)capГ2\ ]/г 1 + 0(1) ; V mes„(12) ) є
Введение
Здесь - площадь сферы 5"“1, сар - ёмкость Винера в Кп и о( 1) - положительная бесконечно малая при е —► +0.
Аналогичные результаты доказаны для операторов продолжения во внешность и внутрь тонкого цилиндрического слоя. Положим
Яс = {(у,г) £ Я',+* : у/е ?1)С Я", г € Я’} ,
с;е = {(у,2) 6 Я”+* : у/е € 9 с Я", 2 € я3} ,
где л ограниченная липшицева область и д ограниченная область, содер-
жащая начало координат. Пусть е означает малый положительный параметр, С Ств, и пусть Е, Т7 - произвольные операторы продолжения, указанные в (1). Тогда приведённые выше утверждения 1° и 2° верны и для цилиндрических слоев Се.
Сформулируем основные результаты третьей главы. Пусть П с Н/‘ ограниченная .тшпшицсва опасть. Через ТУ', (£1) обозначим пространство следов и | ^ функций и £ \ р (П) на границе дИ 06.1 асти И. По определению
И/Нгудн) = т£{||и||ур|(П) : = /}•
Согласно теореме Гальярдо [91) пространство ТГ/СЭД совпадает с Ь\(д$1), а при р € (1,оо) пространство ТУ* (П) совпадает с пространством Тр{дИ) функций на дУ1 с конечной нормой
Н/11м«> + ( II !/(*)-/ЫГ
V .І./діІхдП
<1зх<Ьу
\х - у\п+р~2
Чр
где (1зг, (1бу элементы площади поверхности дії. Предположим, что -липшицева область, зависящая от малого положительного параметра е таким образом, что предельная область 1іте_щ Ис не является лхшшнцевой. Тогда эквивалентные нормы
II ' Нт%чп,) и II • ||т„<яп,)» РС (1,оо),
II • Нп^ЧПс) 11 II ■ II 1,130.)
могут не быть равномерно эквивалентными относительно є. В третьей главе мы находим явно определяемую, зависящую от 5 норму функции на дУ1€, ко торая эквивалентна норме || • <пс) равномерно относительно є для некоторых
областей, зависящих от параметров. К числу таких областей относятся, в частности, малые области и тонкие (ширины £) цилиндры или их внешности.
8
Введение
Пусть SI С R" - ограниченная односвязная липшицева область. Для малого положительного є положим ile = {/ 6 R" : х/є Є П}. Оказывается, что норма
I tv^{Q, ) равномерно относительно с эквивалентна норме
Шр.яп, =«(e)ll/IUp(aoo + ( [I \f(x)-f{y)\pQ4*>y)dsr<ls
\J Jdto.xdfi,
1 /р
где dsx,dsy - элементы площади поверхности Ш«, а(є) = е1/'\ а весовая функция Qs определена равенством
2 -п-р
QA*,v) =
.1-й
, если р — 1
а(є) --
при г = |лг — у\.
Норма ІІ/!І7Ч’і(К"\їТ ) также эквивалентна (равномерно относительно е) норме U)p,mt > где
тііі{є*1“р^р, если р ф пу
(£По££|/!~р^я, если р=п,
Q4x,y) = 0 при р= 1 и Q,(x,y) = г2”74 р при р€ (Кос).
Пусть ils - тонкий цилиндр вида = и>е х R1 С R'\ где п >2, и>е = {.г/ 6 R"-1 : у/е Є щ) и ш С R”“1 односвязная липшицева область с компактным замыканием. Тогда следовая норма ||J\\rv/(si.) равномерно относительно с
эквивалентна норме (f)Pf&ne . сс.тп а(е) = €1^р,
г2_п_рх(г/£) при р Є (1, оо),
є^хіг/е) при р= 1.
Здесь х характеристическая функция интервала (0,1) и г — \х — у |.
Для внешности тонкого цшишдра норма ||/|І7чм(і*п\Я?*) оказывается эквп
валентной (равномерно относительно е) норме при
min{d(1-p)//\ є^2~п^р}, если р ф п ~ 1, (b|loge|)a~p)/p, если р—п — 1
а{е) =
и
Qe(x,y) =
О, если д = 1,
г2-,*-р, если р € (1. П — 1),
г2-п-р + £2(2-й)г-1 (J0g(l + г/е))~Р , если р = п - К
г2-„-Р+£2(2-„)г„-2—если рЄ(„_1>00).
9
Введение
Во всех перечисленных выше случаях существует оператор продолжения: Т1'У (Ае) -> Ур ($1€) (или ТУр( К"\&*) -> 1у(Н"\<Ъ)), норма которого ограничена равномерно относительное. Этот оператор линеен при р > 1 и нелинеен при р = 1.
Четвёртая глава посвящена продолжению функций из классов Соболева, определённых в областях, имеющих изолированные пики на границе. Типичной областью с вершиной внешнего пика, на границе является область
П = {х = (у, г) € К." : г £ (0,1), |у| < *(*)}, п > 2, (2)
к*
I
Рис. 1
где функция из С1 ([0,1]), удовлетворяющая условиям * ¥*1(0.1] > 0, ¥>(0) = V?'(0) = 0, функция (0,1) 9 2 4 y{.z)jz не убывает, а кроме того, ¥?(2г) < const^(хг) при д € (0,1/2) (см. рис. 1).
Нетрудно построить примеры, показывающие, что У1 (j EVp[ при р < ос-. п > 2, а также R2 \ Q EVp в плоском случае при р > 1. С другой стороны, по теореме продолжения П. Джонса [100) имеем Rn \ Q (Е EVp, если п > 2, 1 < р < оо и / = 1,2,... .
Пусть гг - ограниченная неотрицательная измеримая функция на R", которая отделена от нуля во внешности любого шара с центром в начале координат. Обозначим через V*.„(R”) весовое пространство Соболева с нормой
IMIv",(R") - И^^Им»")-
Это пространство, очевидно, шире, чем V*(Rrt). Оказывается, что при подходящем выборе веса *7 существует линейный непрерывный оператор продолжения: V*(il) —> Vp^fR**). В гл. 4 описан оптимальный выбор а. Именно,
> перечисленные требования на функцию р выбраны здесь для простоты формулировок. На самом деле их можно существенно ослабить.
10
Введение
для того чтобы существовал линейный непрерывный оператор продолжения: Ур'(О) -> V'достаточно, а если п{х) зависит только от |.г| и не убывает вбдИЗИ \х\ = 0. то и необходимо, чтобы неравенство
<т{х) < const.(^(^|)/k|),n,,,{/’(n"1>/p}> Ip фп- 1,
вышхпнялось в окрестности начала координат с постоянной, не зависящей от х. В случае 1р = п— 1 некоторые дополнительные ограничения (не исключающие, впрочем, степенные пики) накладываются на функцию у?. В этом случае указанное неравенство заменяется неравенством
(і-р)/р
В четвёртой главе также найдены томные условия на параметры ?>,</,/, п и функцию обеспечивающие существование линейного непрерывного оператора продолжения: (К71) при у < р. Если 1<[ ф п — 1, то существо-
вание такого оператора оказывается равносильным неравенству
Г' ( г9 \'г/(0~') <1~
М-1 Ы Т <°°’
где
1/с/ — 1/р = 1(0- 1)/(0(п - 1) + 1) при 1ц < п- 1
II
1/4 — 1/р = (п - 1)(,в - 1 )/пр при /4 > п — 1.
В случае 1([ = и — 1 в подынтегральную функцию /,,(/?) следует добавить множитель \ \og(^p(z)|z)\'i■i где
7 = (1 - 1/</)/(1/^ - !/</)> = С'Ф - </)/(</(” - !))•
Пусть ^ - плоская область, определённая в (2). Сформулируем некоторые результаты о продолжении функций из области Н~ \ О.. также полученные в гл. 4. Если <7 - такая весовял функция, что <т|пу\ц = 1 и
(т{х) < const(ip(z)/z)
і-\/р
при х — (у, г) Є ІІ и всех достаточно малых г, то существует линейный ые-прерывный оператор продолжения: V*(Я2 \ П) —> І^^ДК2). Последнее неравенство необходимо для существования указанного оператора продолжения, если <т(.г) зависит только от 2 при х € п не убывает. В частности, имеем Я2\П Є ЕУIі.
11
Введение
Предположим для определённости, что замыкание' области U при п = 2 содержится в круге {х € R“ : |*| < 2} и рассмотрим плоскую область D —
{я : :г Є R2 \ 12, |х| < 2}. Окалывается, что существование ограниченного
линейного оператора продолжения: V*{D) —+ V^(R2) при 1 < q < р < ос равносильно неравенству (3), где
о = 2, l/q-l/p = (l-l/p)(ß-l)/(d+l).
В пятой главе изучается непрерывность и компактность вложений
V„'(ü) с v‘(ü) с С(П) п ioo(O)
для области с вершиной внешнего пика на границе. Сформулируем полученные здесь результаты пи примере типичной области <2, определённой в (2) и изображённой на. рис. 1. Легко убедиться, что для таких областей теорема вложения Соболева неверна.
Мы покалываем, что при р < q < оо неравенство
/ гг \'/q ґ I'1 -(/—1)/>/Ср—і)
я,(і*г*) (I <х
равносильно непрерывности оператора вложения: V’J(fl) —» Ig(£2), а для компактности того же оператора необходимо и достаточно, чтобы
Огг \1,4 / гх г(/-і)р/(р-і) ч1"1^
1 ^r~dZ) Ur = °-
Кроме того, оператор вложения: 1^(12) —> С(12). р > 1, компактен одновременно с его непрерывностью, н это имеет место тогда и только тогда, когда
Ґ га-1)р/(Р-1)9(г)(|-п)/(г-1>^ < ^
Jo
В гл. 5 рассматриваются также примеры малых возмущении пиков вблизи вершины. “Улучшим” пик £2 двумя способами, положив
= {./• = (у, z) € 12: г € (г, 1)} и 12(г) = ІЇ U {.г : |т| < г}.
Выясняется, что операторы вложений
v‘(üie)) -»I,(ü(e)) и -»£,(ß<c))
12
В »о ден ие
для предельного соболевского показателя q — пр(п — Ір) 1, Ір < ті, вырожда-
ются с разной скоростью в том смысле, что их нормы, вообще говоря, не эквивалентны равномерно относительно 5 при е -*■ +0.
В шестой главе изучается пространство IT’,1 (Ш следов функций и £ »У (ft) для некоторого класса областей, допускающих особенности на границе типа нулевых рёбер, 2 л-рёбер, а также касание гиперповерхностей в точке как показано на рис. 2, 3. Для таких областей теорема Гальярдо [91] может нарушаться. Сформулируем основные результаты шестой главы.
Пусть С - область в R"”1. Предположим, что </>ь -р2 - функции на G, удовлетворяющие условию Липшица (т.е. |<^*(х) — v?,(£)l < const \х — £| для всех Є 2 и і = 1,2), а также условиям <pt < <р2 на G и <р\ = ^2 на 0G. Рассмотрим область
Нижнюю и верхнюю части 0Q обозначим через $\ и S> соответственно, т.е.
(ср. рис.. 2). Пусть р £ (1,оо) и пусть / - функция на ОН, локально суммируемая на 5| и 5-2- Тогда / 6 11^(9) в том и только в том случае, если правая часть следующего соотношения конечна и, более того,
Q = {х = (y,z) € К" : у Є С, z Є (<рі(ї/),<р2(*/))} , п > 2. (4)
Рис. 2
Рис. 3
s, = {(y.<Pi(v)) : У € Ст'} , і = 1,2,
2
1 1 {r,^€S;:|x-$|<.4A/(y,fl)}
13
Введение
где X = (iy, z), £ = (?/, С), </•*>*, - цементы площади поверхности б1! и 52,
<,? = <^>2 — <*?л, Л - положительная постоянная (которая может быть выписана явно), зависящая только от п и постоянной Липшица для функции <р и
Д/(гм/) = max{v?(y), AJl))-
Знак ~ («начнет эквивалентность норм. Аналогичный результат имеет место для р = 1:
V7(ft) ~
i=i
+ j^ \/{у,Ыу)) - f(y,<pi(y))\dy
Предположим, что область G из определения (4) ограничена и лштшнпева. Тогда пространство TVJ (Rn \ il), р € (1,ос), описывается соотношением
TVp‘(R"\iï) ~ I Е1=1 Js
а пространство ТУ^іК" \ 12) совпадает с ІА(с)іі).
3 седьмой главе изучается пространство следов ТУ^[И) в случае, когда область имеет вершину внешнего или внутреннего пика на границе. Выясняется, что для таких областей граничные значения функций из У’^1 (П) характеризуются конечностью нормы
1/Ь.Ю = ( f \f(x)\”<i(x)dsr + ff \f(x) - /(()Г<?(^С)Л,лЛ /P, \Jon JJasixan /
где <i и Q - неотрицательные весовые функции, a clsx,dsi элементы площади поверхности д£1.
Опишем полученные в седьмой главе результаты на примере области Q, определённой в (2) при п > 2. Пусть / - функция на Oil с носителем в малой
И
Введши*'
окрестности вершины пика. Тогда / € 7Tp(ii), р € (1,оо), в том и только в том случае, если |||/|^,ао < эо, где 0 < q(x) < const </(z),
Q(*,0 =
\x - £|2 ” p при \z - Cl < € (0- !)»
0 в остальных случаях,
* = (у,*),{ = (//, С) и Щг,0 = тахМ*)><Ж)}- ПРИ этоы норма | эквивалентна норме Ц/Цгіуся)'
Необходимым п достаточным условием принадлежности функции / пространству TVp (Rn \ ІТ] является неравенство |/|||р,ап < ос, в котором
1<р(гУ~р при 1 < р < п - 1, .
M*)|log(<p(z)/z)\)' Р прир = п-1,
<p(z)2~n Щ>И р > п — 1
и Q(x,(,) 0 только если 2, ( € (0,1). Для таких пар х. С, Є дії весовая
функция Q определяется следующим образом. 13 случае р < п — 1
«*,£) = l*-«l2’"’F-
Той же формулой значение Q(x,() определяется и в случае р > п — 1, |аг — £| < M(z,C)- Наконец, если |J — £| >M(zyС), то
Q(x,0 = |*-СГ'-*М*М0)*~", P>n- 1.
Норма I/ll;,мі с такими весами q.Q эквивалентна норме il/|lTv»(R»\«)* При
р = п — 1 на функцию накладываются некоторые дополнительные условия.
Определённая на dQ функция / с носителем в малой окрестности начала координат принадлежит пространству Т\ / (Q) тогда и только тогда, когда ІІ/ІІІ.Ш < ОО, где
0 < q(x) < const.
Q(*,0 =
M(zX)1 " при *>C€(0,1), \z -Cl <
0 в остальных случаях.
Кроме Tort», нормы Н/ІІїч'^й) п II/III і,эн эквивалентны.
15
»
Введение
Пространство ТУ*(Нп \ (I) совпадает с Ь\(д£1) с эквивалентностью норм. Во всех перечисленных случаях существует ограниченный оператор продолжения:
7%'(П) -*• \г;ю) или Т1У(1Г \П) У'(Л" \Щ.
Это-т оператор линеен при р > 1 я нелинеен при р — 1.
В конце каждой из глав 2-7 приведены комментарии, содержащие замечания по истории рассматриваемых вопросов и ссьики на литературу.
Сделаем пояснения относительно изложения материала. Каждая глава разделена на параграфы. Некоторые параграфы состоят из разделов. Параграфы и разделы имеют соответственно двузначную и трехзначную нумерацию. Так, 1.7 означает параграф 7 главы 1, 3.1.2 - раздел 2 параграфа 1 главы 3. Мы используем независимую нумерацию теорем, лемм, следствии и т.д. внутри параграфов (пли внутри разделов, если данный параграф состоит из разделов). Если параграф (раздел) содержит только одну теорему или лемму, то эта теорема иди лемма не нумеруется. При ссылках на материал из другого параграфа (раздела) сначала указывается номер этого параграфа (раздела). Например, теорема 1.7 - это (единственная) теорема в § 1.7, теорема 1.8/2 - теорема 2 в § 1.8, лемма 3.1.2/1 - лемма 1 в разделе 3.1.2, (2.4.1/3) означает формулу (3) в разделе 2.4.1.
Результаты диссертации по мере их получения неоднократно обсуждались на семинаре по общей теории дифференциальных уравнений в ПИИ Математики и Механики СПбГУ. Кроме того, результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах п конференциях.
Конференция по методам решения дифференциальных уравнений, Пущине, 1988.
Вторая и третья всесоюзные конференции ‘Новые подходы к решению дифференциальных уравнений", Дрогобыч, 1989, 1991.
Семинар по функциональному анализу на математическом факультете университета в Линчёпинге (Швеция), 1992, 1997.
Конференция по прикладной математике в Линчёпинге, 1994. Международная конференция по конечно-элементной аппроксимации в Петербурге, 1995.
Конференция по математическому анализу и его приложениям в Линчёпинге, 1996.
Конференция по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям в Ростоке (Германия), 1998.
Семинар по теории потенциала и дифференциальным уравнениям в Инсти туте Миттаг-Леффлера в Дюрсхолъаде (Швеция), 1999.
Семинар имени акад. В. И. Смирнова в ПОМИ РАН, 2001.
Результаты работы были также представлены на конференции по анализу и теории функции в Калуге (1996 г.) и на конференции по геометрии и анализу, посвящённой 70-летию академика Ю. Г. Решетняка в Новосибирске в 1999 г.
16
Вноденне
Большое влияние на автора оказала совместная работа с профессором В. Г. Малья. Она способствовала более широкому и глубокому пониманию изучаемого предмета, за что автор приносит В. Г. Мазья свою искреннюю благодарность.
Автор благодарен К). В. Нетрусову и К). К. Демьяновичу за обсуждения и полезные советы.
Исследования автора были частично поддержаны РФФИ грантом 96-01 00481 и 18Б грантом 1МУУ-30О.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах (38’ 46], [53-56], [107-109], [116] а также в монографии [110].
17
ГЛАВА 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
В этой главе перечисляются в основном хорошо известные факты из теории пространств Соболева, используемые в последующих главах. Как правило, эти факты приводятся без доказательств и снабжены необходимыми ссылками. Доказательствами сопровождаются лишь тс утверждения, которые, по мнению автора, не стань широко известны.
§ 1.1. Обозначения и определения
1.1.1. Основные обозначения. Пусть х = (лд,...,хп) - точка в п-мерном евклидовом пространстве К" с нормой
При г > 0 символ Вг(х) означает открытый шар в К" с центром х и ради-
Замыкание множества Е С К" обозначается через Е, а граница Е - через ОЕ. Кроме того, пусть \Е характеристическая функция множества £, т.е. \/.;(х) = 1 при ;г Є Е и хе{?) = 0 в противном случае. Диаметром множества Е назовём величину
Если Е С К”, А Е Я1, то \Е = {Ах : х £ Е}. Для Е, Е С Я7' расстояние между множествами Е и Г есть
Здесь и далее через И обозначается открытое непустое подмножество П.". Открытое непустое связное множество называется областью. Пусть / : О —> Я1. Носитель функции / определяется равенством
сІіаіп(Е) = *ир{|.г — у\ : х,у Є Е}.
(1іьі(Е, Е) = іпГ{|;г — у\ : х € Е, у Є Е}.
анрр/ = О П {т : «(ж) ф ()}.
18
§ 1.1. Обозначения и определения
Если Е С В." и Е есть компакт, содержащийся в 12, будем писать Е СС 12.
Пусть Zll - подпространство В/1, состоящее из элементов с целыми компонентами, и пусть Z^J. - подпространство 7”, образованное векторами с неотрицательными компонентами. Элемент о = (оь...,о„) £ Z” называется мультииндексом, а число |о| = «1 + ... + - его длиной. Если х € ВЛ,
о € то
а! = а,= х\" ...х“'
Через V]'1’ (или просто V; для фиксированного п) обозначим класс полиномов в В" степени не выше 1.1 =0,1,... . Положим
И, = д/дх^, j = 1,..., п,
а также
]~)<г — п<*і т)ап ______________п. с. 7,п
и -и, ...Пп -дхщ дх«п,
Если I - натуральное число, то вектор
V,« = {Яв«}н-1
называется градиентом функции и порядка I. По определению Уца = а, V = У. и
Множество непрерывных в 12 функций обозначается через С(12). Пусть / -неотрицательное целое число. Символ С*(12) означает класс (вещественных) функций и € С(12), имеющих производные В"п є С(12) при |о| < /. Кроме того, множество бесконечно дифференцируемых в 12 функций обозначается через С°°(П). Далее Со(12) - класс функций из С*(12) с компактными носителями в 12. Аналогично определяется класс Со°(12).
Говорят, что функция и : Е С К." —> В.1 удовлетворяет условию Гёльдера на Ее показателем А Є (0.1), если
|н(.г) - «(.</)(
зиР —і------[л < 00 •
Х,УЄЕ,ХЇ9 к - УГ
Если последнее неравенство верно при А = 1, то говорят, что функция и удовлетворяет условию Липшица на Е.
При целом / > 0 и А € (0.1] пространство С,,Л(12) состоит из функций, принадлежащих С\і2), производные которых порядка I удовлетворяют условию
1У
|j 1.1. Обозначения и определения
Гёаьдера с показателем Л (условию Липшица при Л — 1) на любом компактном подмножество 12.
При / =0.1,... пространство С1 (И) образовано теми функциями из Cl(Q), все производные которых порядков 0,.... / имеют непрерывные продолжения на 12. По определению С'°(П) = С(12). Пространство сужений на 12 функций из C^fR'*) обозначается через С°°(12). Ясно, что С°°(12) С ПЦ0С*({2) для любого открытого С Rn. Обратное включение вообще говоря неверно.
Если Л € (0,1] и / - неотрицательное целое число, пространство С*,Л(12)
состоит из функций класса С*(12), у которых производные порядка / удовлетворяют условию Гёльдера. с показателем А (условию Липшица при А = 1) на
12. Для ограниченного множества. 12 пространства С'*(12) и С/,л(12) становятся банаховыми, если их снабдить нормами
11“11с'(П) = $A=0suI>{I(vj")MI : ^
III! - - II II - 4. „п l(V'")(*> -Н“11с*'»(й) _ И“11с’(0) + I |Л
г* УI
В дальнейшем буквой с будем обозначать положительные постоянные, которые могут принимать различные значения в одной и той же цепочке неравенств. Это не относится к постоянным, обозначаемым через с<>,еі,... .
1.1.2. Пространство Ьр и интегральные неравенства. Пусть Е измеримое по Лебегу подмножество Л,г. Обозначение шея„(Е) (или просто тев(^) при фиксированном п) будет использоваться для и-мерной меры Лебега множества Е. Символы
I и(х)(1х или І ШІХ 11? 1 в
означают интегрирование по отношению к мере Лебега.
Пусть $2 - открытое подмножество К". При 0 < р < оо пространство Ьр( 12) состоит из измеримых функций */, определённых в 12. для которых
\ */р
) < оо,
если р < ОС , или
ІМІ £«•(«> = «Ч>{М*)1 : с Є 12} < ос.
ЧІМ«) = (J М-Г)Г^*
20
§1.1. Обозначения и определении
Для краткости будем также писать || • ||Р]п вместо || • Ц^дпр Функционал Ьр({1) 3 </ *—> \\и\\рМ является нормой при 1 < р < оо и псевдонормой* при р £ (0,1). Для р € (0,1) пространство Ьр(£1) становится паяным метрическим, если расстояние между его элементами а, г» определить как |[и — с|||' ^.
Строго говоря, элементы пространства £Л(£Г) являются не функциями, а классами измеримых эквивалентных функций, совпадающих почти всюду в Г2. В тех случаях, когда не возникает недоразумений, будем игнорировать это различие и рассматривать элементы ЬР{И) просто как функции в Ц.
При 1 < р < ос обозначим через Ьр^ос({1) класс измеримых по Лебегу функций в Г2. суммируемых со степенью р (существенно ограниченных при р = оо) на любом компактном подмножеств«* П. Сходимость в Ьр>1„е(И) есть сходимость в Ьр(ы) для любого открытого множества а;, такого, что и,1 СС Г2.
В случае Г2 = К" указание на £2 в обозначениях пространств и норм часто будем опускать. Интегрирование без указания пределов распространено на
К".
Напомним некоторые интегральные неравенства, связанные с пространствами Тл(£2).
Интерполяционное неравенство. Пусть 0 < р < <\ < г < со. Если и Е 1,((ЦШГ(Й), то
||*и,л < и;1вц«и^г. (1)
где = тр~г + (1 - г)г-1.
Интегральное неравенство Минноеского. Пусть & С ГС , С С Н и пусть / - измеримая функция на Г2 х С С К"+*. Тогда
/(•' у)^|р п < £ И/(*» 2/)(1р,« 1 < V < *>• (2)
Неравенство Харди. Пусть 1 < р < оо, 5 / 1/р. Положим для х > О
[ /(*)<# при *> 1/р г,/_ч _ до
При 5 < 1/р.
Тогда
11*-аЛи,со, < (3)
* линейное пространство называется псевдонормированным, если функционал ||а*|| > О,
определённый на его элементах, удовлетворяет следующим условиям: 1) из ||т|) = 0 вытекает ж - 0, 2) ||<**|| = ММ| при оба1; 3) если ||**|| 0 и ||щ.|| -> 0, то ||х* + Ы1 °-
21
§ 1.2. Функции С обобщёнными производными
Неравенство (1) является простым следствием неравенства Гёльдера. Доказательство неравенств (2) и (3) можно найти, например, в книге О. 13. Бесова, В. П. Ильина и С. М. Никольского [8] (гл. 1, § 2). Более общее весовое неравенство Харди будет сформулировано в разд. 4.1.2.
§ 1.2. Функции с обобщёнными производными
1.2.1. Средние функции и обобщенные производные. Сформулируем определение обобщенной производной по Соболеву [02 64].
Определение 1. Пусть И - непустое открытое множество в К.'1, и, и £ ЬМос(П) 11 ° С - мультииндекс. Если
[ иП'1)(1х = ( —1)1Л1 / Ъ'Г}(1х
ДЛЯ произвольного элемента Т] £ С™({1), то говорят, что V является обобщён-ной производной функции и в (I и пишут V = В"и. I
Пусть
К е СПВ."), виррА" С В,, [К(1х = 1.
С любой функцией и £ Ь]'1ОС(0) свяжем семейство её усреднений
(Мпи)(х) = ^ I к(^—~^и{у)(1у, к > 0. (1)
Функция К называется усредняющим ядром, а к - радиусом усреднения. Формула (1) имеет смысл по крайней мере для таких х £ П, что /?/,(.г) С П. Следующее утверждение хорошо известно (см., например, [64. с. 19-20, 41], [69, с. 135-137, 140-141] ) и может быть легко установлено непосредственно.
Лемма. (1) Если и £ Сц,/ос(Кл), то Мни £ С'°°(К" ), причём (В»М„«)(х) = I (ОаКк)(х - у)и(у)с1у,
где О' £ 7х” и Кн(х) — к пК(х/Н).
(И) В случае и £ ЬР(ИП), 1 < р < оо, имеем Нтл_^+0 ||Л/>, и — г/||;, = 0.
(111) Если и £ Ьру0<.($1), 1 < р < оо, и С - внутренняя подобласть, т.е. С СС И, то Мни -> и в £р((7) при к —> 0.
(Ни) Предположим, что функция а £ Ь\11ос(М) имеет производную О'1 и в П. Тогда (1даМ/1г[)(х) — (МнВсхи)(х) при условии Вн(х) С П.
22
§ 1,2. Функции с обобщёнными производными
Используя эту лемму, можно дать другое определение обобщённой производной, равносильное сформулированному выше.
Определение 2. Пусть 6 Ь\г1ог{&) и с* 6 7,+. Функция и называется обобщённой производной О^и функции и в II, если существует такая последовательность {«*}*•>! С С'°°(12), что -у и и 1У'и ь -> г? в £|дос(П).
1.2.2. Пространства Ь1р(СЪ), И ^(П), У£({1). Пусть 12 - открытое подмножество 11", 1 < р < оо и I - натуральное число. Пространство 1р(12) состоит из функции, принадлежащих ЬРг1„с(£1), все обобщение производные которых порядка. I существуют и принадлежат ЬР{И). Пространства Ир, (12) и 1р(П) определяются следующим образом:
\У‘р(П) = Х,(0) п 4(й), = пи0^(Я).
[5 случае I = 0 мы принимаем соглашение 1Рр = \\'р = Ур = Ьр. Пространства Ир!(12) и 1'Д12), снабжённые нормами
Мн^ся) = Н1 р,п + |1^1«11р,1Ь
IIм II ^(й) = Е«
являются банаховыми (см. С. Л. Соболев [04, с. 76]).
Равносильное определение пространства Ь1р(£1) можно сформулировать в терминах обобщённых функций. Именно, Ь'р(£1) есть пространство обобщённых функций в И с производными порядка I из Ьр{И) (см. Ж. Дени. Ж. Л. Лионе [88] при / = 1 и В. Г. Мазья [37, 1.1.2] при / > 1). Отсюда, в частности, вытекает, что функции из Ьр(И) имеют все промежуточные производные порядков меньше I, принадлежащие Ьр>}ос{И).
Если 12 - область, то пространство £|,(12) становится банаховым будучи снабжено нормой
1Ми*,(Я) - 1М1р.<*» + И^1«||р.н» С1)
где и; - внутренняя подобласть 12, т.с. и; С С II. Изменение подобласти сз приводит к эквивалентной норме [37, 1.1.13].
Включения 1'1(!2) с Ир* (12) с ^р{И) очевидны и могут быть заменены равенствами для области с “хорошей” границей (ср. следствие 1.5.1). Существуют, однако, области [37, 1.1.4], [114], для которых одно из указанных включений или даже оба оказываются с трогими.
Заметим, что если и элемент одного из пространств Ь1р(И), Ир (12) или 1^(12), то и - функция в $2, определённая с точностью до множества лебеговой
23
§ 1.3. Классы областей
меры нуль. Будем говорить, что функция и является ограниченной, гладкой и т.п., если существует функция v, совпадающая с и п.в. в ІI и v является ограниченной, гладкой и т.п.
1.2.3. Абсолютная непрерывность функций из Lp(ft). Пусть U -открытое множество в Rw. Говоря^', что функция, определённая в Q, абсо-лютно непрерывна на прямой если она абсолютно непрерывна на любом замкнутом отрезке f, содержащемся в П. Следующее утверждение даёт описание пространства Гр(П) в терминах абсолютно непрерывных функций.
Теорема. Функция из Lpj0C[Q), р > 1, принадлежит пространству £«(П) тогда и только тогда, когда эта функция (быть может, изменённая на множестве нулевой лебеговой меры) абсолютно непрерывна на почти всех прямых, параллельных координатным осям, и её классические производные первого порядка принадлежат Lp(Q). Кроме того, классігісскип градиент функции совпадает с обобщённым градиентом почти всюду в Q.
Доказательство теоремы можно найти, например, в книгах В. М. Гольдштейна и 10. Г. Решетняка [20. с. 122] и В. Г. Мазья [37, с. 13}.
Отметим, что свойство абсолютной непрерывности функций на почти всех прямых, параллельных координатным осям, было положено в основу определения функциональных классов типа. Lj,(Q) в работах Б. Леви [103], Л. Тонелли [118], Дж. Кэлкина [85], Ч. Морри [112] и др.
1.2.4• Сб устранимых особенностях. Для точки х = (xi,...,£n) 6 R" и 1 < і < п положим pi(x) = Формулируемое
ниже утверждение (см. С. К. Водопьянов и В. М. Гольдштейн [14], Ю. Г. Ре-шетняк [59, с. 15]) даёт простые достаточные условия на множества устранимых особенностей для функций из пространств Соболева.
Теорема. Пусть и Є ГДО \ Г), где Q С R" - открытое множество u F С Q - замкнутое относительно ІЇ множество, проекции pi(F) которого имеют лебегову меру нуль в R"-1 при всех і — 1Тогда и Є
Отметим, что условия теоремы ВЫПОЛНЯЮТСЯ, например, ДЛЯ ОТНОСИТСЛЬНО замкнутых в Q подмножеств F нулевой (п — 1)-мерной меры Хаусдорфа.
§ 1.3. Классы областей
В зтом параграфе определяются некоторые классы областей в R“ и (формулируются связи между ними. Начнём с определения классов С1 и С1Х, где / целое неотріщательное число и Л € (0,1].
Определение 1. Ограниченная область ІІ С R" принадлежит классу С1 (С/,А), если каждая точка. 00. имеет такую окрестность U, что множество
24
^ 1.4. Плотность гладких функций в пространствах Соболева
і: Г\ 0, представимо в некоторой декартовой системе координат неравенством хп < /(хі,... где } Є С\С) (/ Є С'^Ст)) и С - область в К'*“1.
Области класса С01 называются еще Липшицевыми.
Определение 2. Область О называется звёздной относительно множества Е С 11, если любой лун с началом в Е имеет единственную общую точку с 50.
Отметим, что ограниченная область является звёздной относительно начала сферических координат (г, и:) тогда и только тогда, когда её граница задаётся уравнением г = г(о>) с непрерывной функцией 5П_1 3 ^ н г(а;). Такая область, впрочем, может не принадлежать классу С [110, р. 74].
Области, звёздные относительно шара., связаны с областями класса С’0,1 следующим образом (см., например, В. Г. Мазья [37, 1.1.8), В. И. Буренков [83, 4.3)).
Лемма 1. Ограниченная область, звездная относительно шара, принадлежит классу С0,1. I
Введём ещё один класс областей.
Определение 3. Говорят, что область О С Н.п удовлетворяет условию конуса, если существуют такие числа о, Ь Є (0,оо), что каждая точка является вершиной конуса, конгруэнтного конусу {;г : #1+.. .+я£_1 < ах*, 0 < < 6},
содержащегося в 11 вместе со своим замыканием.
Нетр\гдно проверить, что область класса С01 удовлетворяет условию конуса. Пример шара с удалённым центром показывает, что обратное неверно. Однако имеет место такое утверждение (см. В. Р. Глушко [18], В. Г. Мазья (37, 1.1.9)).
Лемма 2. Пусть И ограниченная область, удовлетворяющая условию конуса. Тогда 11 является объединением конечного числа областей, звёздных относительно шара.
Из лемм 1 и 2 получаем, что ограниченная область, удовлетворяющая условию конуса, есть объединение конечного числа липшицевых областей.
§ 1.4. Плотность гладких функций в пространствах Соболева
Из леммы 1.2.1 следует, что каждый элемент любого из пространств Г^(П), 11^(11) или ГДП) может быть аппроксимирован гладкими функциями на внутренних подобластях 11. На самом деле аппроксимацию гладкими функциями можно осуществить на всём множестве 11. Следующий результат был доказан Ж. Дени и Ж. Л. Лионсом [88) в случае / = 1, а при I > 1 - В. Мейерсом и Ж. Серрином [111].
Теорема 1. Пусть 11 - открытое множество в П.”, 1 < р < ос п I = 1,2,... .
25
§ 1.5. Неравенство Пуанкаре и эквивалентные нормы
(i) Если и. £ Ь1р(і1), то существует последовательность {«,-} С С°°(П)ПЬр(П), такая, что и і -> и в £/)?/ос.(Г£) и ||У/(и,- - и)||р.п -> 0.
(ii) Множество Ир(П) П С0С(П) плотно в ТТрШ), а множество 1р(П) П С°°{^) Л.ЇОТНО в У?(0)-
Отметим, что в теореме 1 пространство С°°(П) вообще говоря не может быть заменено пространством С°°(П). Необходимое и достаточное условие плотности множества С°°(^) в пространствах Соболева неизвестно. Формулируемое ниже утверждение даёт простые достаточные условия.
Теорема 2. Пусть V. ограниченная область в Шп. Предположим, что либо звёздна относительно точки, либо принадлежит классу С. Тогда, множество С00(И) плотно в каждом из пространств Ь!р(0.). XV*(0) н Ур(ії), р £ [1,оо).
Для областей класса С теорема 2 доказана Э. Гальярдо [92], а для звёздных областей доказательство имеется в курсе В. II. Смирнова [01].
§ 1.5. Неравенство Пуанкаре и эквивалентные нормы к пространствах Соболева
1.5.1. Обобщённое неравенство Пуанкаре. В дальнейшем часто будем использовать следующее утверждение, обобщающее хорошо известное неравенство Пуанкаре.
Теорема. Пусть П ограниченная область в II", которая является объединением конечного числа областей класса С, л пусть а> - произвольное непустое открытое множество, такое, что и> С С П. Тогда для любой функции и £ £р(П), 1 < р < оо, существует папином Р £ Рі.] вида
Р(х) = 'Ет<Іх>>
где функции Р0, Щ < I, принадлежат классу С§°(&) и не зависят от «, а при всех к = 0,— 1 верна оценка
||У*(и - Р)||Р(ц < с(п,/,р,о>,П) (1)
Доказательство теоремы можно найти в книге В. Г. Мазь я [37, 1.1.11]. Из этой теоремы получаем важное следствие.
Следствие. Пространства £р(П), №р(П) и Г/|(0) совпадают для области, представимой в виде объединения конечного числа, областей класса С.
Сформулированная выше теорема верна, в частности, для ограниченной области, удовлетворяющей условию конуса (см. леммы 1.3/1 и 1.3/2). Впрочем, для такой области эта теорема в сочетании с теоремой вложения Соболева допускает более общую формулировку.
26
§ 1.5. HepanoiicTBO Пуанкаре и эквивалентные нормы
Далее полезным окажется такое утверждение.
Лемма. Пусть 12 область в Rn. Предположим, что существует линейный функционал Lp(Ü) Эи4 Л(u) £ R1, д.тя которого
II« - А(и)||р>й < С ||Vu||piS2, С = const,
при всех и £ Lp(Q). Тогда, для каждого I = 1,2,... существует такое линейное отображение Lp (О) Э и Р £ Р/_і, что при 0 < & < / — 1 верпа оценка
l|v*(«-P)b.e<«c,-*||v,
где с = с (п,р, /) и ?/ произвольный элемент пространства Llp(Q).
Доказательство. Пусть « € Llp(il) и ос £ 7Т\_ мультииндекс. длины / — 1. Поскольку DaM € Lp(ß), то существует такое число Art, что
||^-А^||Р)й<С||У(0л«)||р,п.
Отсюда
||Vf-iux ||Р)п < с С ||Vftf||p,ft,
где
М|(ї) = tl(x) - 5Z|„|=/_,
Продолжая этот процесс, построим при каждом k = 1,...,/ функцию и* С Ь!~к(0) вида
«*(*) = wjt-i (я?) ~У \»xQ!a\,
z—'|or|=/—Ar
для которой верна оценка
||V|_*V.*||p,ft < сС IIV/—A--h 1 «А-—I llp.ft
(мы считаем «о = «). Заметим, что коэффициенты А^ являются линейными (функционалами от и. Таким образом,
Р(х) = У А nxa/a\
7Lä\a\ <i_i '
есть требуемый полином. Доказательство леммы закончено.
1.5.2. Теорема об эквивалентных нормах в WUfl) и некоторые се следствия. Сформулируем теорему, описывающую широкий класс эквивалентных нормировок пространства Wp(Q) (см. С. Л. Соболев [64, § 9], В. Г. Мазья [37, 1.1.15)).
*27
§ 1.5. 11«'равенство Пуанкаре и эквивалентные нормы
Теорема. Пусть И - ограниченная область и R", удовлетворяющая условию L‘p(Ü) С МО). и пусть F (и) - непрерывная полунорм а в такая, что
ил равенства F (и) = 0 и включения и G Vi-\ следует и = 0. Тогда норм а в Wp{Û) эквивалентна норме F(u) + ||V/м|!p,Si•
Из следствия І.5.1 вытекает, что эта теорема верна для областей, представимых в виде суммы конечного числа областей класса С и тем более для ограниченных областей, удовлетворяющих условию конуса. I
Пусть Ü - ограниченная область, для которой Llp(Çl) = Wp(Çl) = V^(Q).
Обозначим через И проектор пространства W^Q) на подпространство Vi-i,
т.е. линейное непрерывное отображение П : Wft(Ù) -> Vi-ь удовлетворяющее
условию TF = П. Тогда, в приведённой выше теореме можно положить F(u) =
и. Так как Т1(г/ - Пи) = 0, то по той же теореме полунормы ||Vftt||p,a и ||u — T\u\\v,{iî) эквивалентны. В частности, верна оценка
l|V*(tt-ntc)||Pl0 Аг = 0,1— 1. (1)
Приведём два примера проекторов, используемых в дальнейшем.
Пример 1. Пусть ф Є C£°(Q) и JQ ф{х)(Іх = 1. Тогда проектор П: Wp(Ü) —> Vi-i может быть задан формулой
(Пи) (х) = 'Ем<1 à Sa ~ vV+W»-
Пример 2. Пусть К € С£°(П) и
J K(.r)dx = 1, J K(x)xadx = 0, 1 < |<>| < / - 1.
Положим
(Пм)(;г) = ]Г\ —j [ K(y)Doext(y)dy.
'H<i о! Jn
Тогда П ' = И, и (1) имеет место, если область Q ограничена и удовлетворяет условию конуса, а и Є
1.5.3. Необходимое и достаточное условие непрерывности оператора вложения: £'„(«) -» £,(П). Пу сть Ху Y - метрические пространства и пусть X С Y- Будем говорить, что пространство X непрерывно вложено в У (или что оператор вложения: X —> Y непрерывен), если тождественно«' отображение: X —» Y непрерывно.
28