Метод следа для поиска дискретных метагрупп преобразований на дифференцируемых многообразиях

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........................................................... 3
Г ЛАВА 1. Точечные дискретные метагруппы преобразований............ 18
§1. Основные определения дискрегно-группового анализа, конкретизация постановки задачи................................. 18
§ 2. Поиск точечной ДМП при наличии допускаемой алгебры Ли
операторов..................'............................ 26
§ 3. Доказательство максимальности точечной дискретной мега-
группы класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера .... 32
ГЛАВА 2. Дискретные мегагруппы преобразований, заданные в классе преобразований Бсклунда....................................... 44
§ 1. Предварительные сведения............................... 44
§ 2. Преобразования Беклунда, сохраняющие точечную структуру оператора................................................. 49
§ 3. Применение метода следа для доказательства максимальности дискретной метагруппы преобразований класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера, найденной методом
ЛГ-пар................................................... 59
§ 4. Описание алгоритма .................................... 75
§ 5. Пример использования оператора непрерывной группы для
поиска экспоненциальных нелокальных операторов........... 76
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................. 82
3
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследования. Работа посвящена исследованию дискретных метагрупп преобразований на дифференцируемых многообразиях. Появление в математике понятия многообразия (впервые сформулированного Риманом), являющегося абстракцией весьма различных конкретных множеств, было вызвано потребностями геометрии, математического анализа и механики. Наиболее важное значение приобрели дифференцируемые многообразия, поскольку именно они позволяют определить дифференцируемые функции на многообразиях и другие понятия математического анализа. Кроме того, определение дифференцируемого многообразия делает возможным применение методов математического анализа вне зависимости от того, какие координаты положены в основу вычислений. Это обстоятельство и обусловливает широкое использование дифференцируемых многообразий в приложениях и в смежных областях, где многообразия изучаются не сами по себе, а в соединении с некоторыми другими объектами.
Ярким примером к сказанному может служить теория непрерывных групп, одним из стимулов к изучению которых для Софуса Ли явилось их применение для исследования дифференциальных уравнений. При этом особенно существенной и важной оказалась трактовка дифференциального уравнения как многообразия в продолженном пространстве, что позволяет использовать инфинитезимальный критерий инвариантности многообразий, базирующийся на разработанном С.Ли методе сопоставления каждой непрерывной группе преобразований некоторого линейного дифференциального оператора. По предложению С.Ли говорят, что уравнение Е допускает группу (или оператор), если Е есть инвариантное многообразие надлежащим образом продолженной группы. Одним из впечатляющих достижений С.Ли явилось открытие, что все известные методы интегриро-
4
вания обыкновенных дифференциальных уравнений на самом деле являются частными случаями общей процедуры интегрирования, основанной на инвариантности многообразия относительно некоторой группы симметрий. Непрерывные группы, представляющие собой соединение в одном объекте групповой и топологической структур, взаимно связанных требованием непрерывности групповой операции, впоследствии стали называть группами Ли.
Математическое направление, предметом которого является совместное рассмотрение многообразий, заданных дифференциальными уравнениями, и их симметрий, являющееся, таким образом, “пограничным” между математическим анализом и дифференциальными уравнениями, получило название группового анализа.
Групповой анализ не ставит целью решение классических задач теории дифференциальных уравнений (доказательство существования и единственности решений, изучение асимптотик и поведения решений в окрестности особых точек и т.д.), а дает методы описания симметрий многообразий и задающих их уравнений (в широком смысле, не только дифференциальных). Это, в свою очередь, позволяет находить и классифицировать способы понижения порядка и методы отыскания общих решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и инвариантных решений уравнений математической физики, и что особенно важно, доказывать максимальность (неулучшаемость в рамках сделанных предположений) полученного результата.
Начало широкого применения идей Ли в теории уравнений с частными производными связано с именем академика Л.В.Овсянникова. Такое расширение области применения потребовало разработки новых понятий и алгоритмов, стимулировало большое число исследований, связанных как с конкретными уравнениями механики и физики, так и с углублением самой теории. В частности, было введено понятие уравнения с произвольным
5
элементом, которое позволяет подвергнуть групповому анализу целый класс уравнений (семейство многообразий), зависящих от произвольных параметров или функций. Одной из целей, которой при этом можно добиться, служит достижение максимально широкой непрерывной группы (имеются серьезные причины предпочитать уравнения с наиболее высокой степенью симметрии). В работе [37] Л.В.Овсянников впервые предложил идею группового анализа определяющих уравнений (уравнений, определяющих группу).
Систематическое исследование дискретных симметрий и их эффективное использование в теории ОДУ началось в работах В.Ф.Зайцева (первая публикация появилась в 1976 году). Знание дискретной метагруппы преобразований (ДМП) значительно расширяет границы использования симметрийного принципа в теории ОДУ и, тем самым, дает возможность найти точные решения уравнений, которые не удается решить классическими методами. Результаты этих исследований - большое число неизвестных ранее интегрируемых уравнений, часто встречающихся в приложениях - опубликованы в нескольких справочниках [21,23,24,53], по числу рассмотренных уравнений значительно превосходящих известную книгу [29]. В част ности, описано 99 уравнений класса обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера, интегрируемых в замкнутой форме, в том числе 3 двухпараметрических подкласса и 13 однопараметрических.
Несмотря на весьма содержательные результаты, полученные благодаря дискретно-групповому подходу, до последнего времени оставалась нерешенной одна из важнейших задач - доказательство максимальности найденной ДМП (где максимальность означает, что эта ДМП не содержится ни в какой более широкой допускаемой ДМП, т.е. ставится задача отыскания структурного максимума). Причина этого заключается в проблеме полного решения переопределенных определяющих систем нелинейных уравнений (сравнимых друг с другом по сложности), возникающих при
6
поиске ДМГ1 (в противоположность легко решаемым линейным системам, возникающим при отыскании непрерывных групп). В связи с этим остается актуальным поиск альтернативных методов, позволяющих находить ДМП, допускаемую заданным классом ОДУ и отображения различных классов.
В настоящей работе рассматриваются дифференцируемые многообразия, заданные в так называемой неявной форме с помощью дифференциальных уравнений. Работа посвящена дальнейшему развитию практически значимого метода поиска дискретных метагрупп преобразований (ДМП) обыкновенных дифференциальных уравнений, который с одной стороны опирается на классический алгоритм С.Ли поиска непрерывных груп инвариантности заданного многообразия, а с другой стороны служит для отыскания нетрадиционных с теоретико-групповой точки зрения дискретных симметрий. Общая схема метода следа (содержащая неформализованные процедуры) была впервые предложена в работах [12, 20, 21].
Цели и задачи исследования. Целью настоящей работы являегся построение метода поиска дискретных метагрупп преобразований (точечной и заданной преобразованиями Беклунда) некоторого класса ОДУ, задающего семейство многообразий, и отображений этого класса в другой при условии: указанные многообразия инвариантны относительно непрерывной группы преобразований.
Благодаря наличию допускаемой алгебры Ли точечных операторов метод следа позволяет понизить размерность нелинейного определяющего уравнения для поиска дискретных преобразований. Более того, при поиске точечных преобразований определяющее уравнение “расщепляется” до переопределенных определяющих систем ОДУ с двумя неизвестными. При этом для класса уравнений второго порядка определяющая система содержи! как минимум четыре ОДУ, а с увеличением порядка исследуемых уравнений число уравнений, входящих в определяющую систему, резко