Неравномерные усреднения в эргодической теореме

Содержание
Введение..........................................................З
Глава 1. Усреднения в форме Козлова-Трещева.......................17
1.1. Примеры......................................................17
1.2. Слабая сходимость мер .......................................23
1.3. Сходимость для функций из пространства Орлина и из //........30
ГЛАВА 2. Усреднения для операторных полугрупп
и стохастических уравнений........................................35
2.1. Неравномерные усреднения для операторных полугрупп...........35
2.2. Неравномерные усреднения для стохастических потоков..........43
2.3. Сходимость в ЬР и теорема Винера-Винтнера....................51
Литература.......................................................57
3
ВВЕДЕНИЕ
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Центральное место и эргодической теории занимает хорошо известная теорема Биркгофа-Хинчина, которая состоит в следующем. Для всякой интегрируемой функции / на измеримом пространстве X с конечной мерой, инвариантной относительно полугруппы Тг измеримых преобразований X, существует конечный предел средних
при Т —> -|-оо для почти всех х 6 X. Индивидуальная эргодичсская теорема была установлена Г. Биркгофом1 в 1931 году для более специального случая динамических систем, возникающих из дифференциальных уравнений на гладких многообразиях. Аналогичное утверждение, сформулированное в терминах унитарных операторов, сопряженных с дишшической системой, было получено Дж. Нейманом2. В отличие от теоремы Г. Бирхгофа, в эргодической теореме Дж. Неймана речь идет о сходимости по норме гильбертова пространства, а не о сходимости почти всюду.
В 2003 году 13.В. Козловым и Д.В. Трещевым была представлена новая форма эргодических теорем Г. Биркгофа и Дж. Неймана (см. рабо-ты3’■,). Ими было установлено, что для всякой вероятностной меры V на [О, Ч-ос) с плотностью относительно меры Лебега и всякой ограниченной измеримой функции / па измеримом пространстве X средние
^BirkhofF G.D. Proof of the eryodic theorem. Pioc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1931. V. 17, N. 12. P. GoG GGO.
“Neumann J.V. PivoJ of the quasi-crgodic hypothesis. Proc. Nat. Acad. Sci. 1932. V. 18, N. I. P. 70-82. ^Kozlov V.V., Treschev D.V. On new forms of the crgodic theorem. J. Dynam. Contiol Syst. 2003. V. 9, N 3. P. 449-153.
'^Козлов B.B., Трещев Д.В. Эволюция мер в (разовом пространстве нелинейных гамильтоновых систем. Теор. и мате.м. физ. 2003. Т. 13G, N 3. С. 400-506.
4
при Т —► -foo сходятся к тому же пределу, что и средние из теоремы Бирхгофа-Хинчина. В первой главе диссертации продолжено изучение этого вида усреднений. Здесь выяснено, что для неограниченных функций / это утверждение теряет силу, однако при некоторых соотношениях между характерами интегрируемости / и плотности меры и имеются положительные результаты. Также здесь введены некоторые новые объекты, связанные с указанными усреднениями, приводящие к вопросу о слабой сходимости мер на фазовом пространстве.
Среди различных обобщений индивидуальной эргодической теоремы следует особо выделить классический результат Н. Винера и А. Винтне-ра (см. работы5,0 и монографию И. Лссани). С середины прошлого века возникло целое направление развития весовых эргодических теорем, современное изложение этих результатов дано в монографиях У. Кренгеля8 и К. Петерсена9 (см., также работу А. Белов и В. Лозерт10).
Идеи теории полугрупп оказались весьма плодотворными при изучении марковских процессов. Эргодическаи теория таких процессов впервые изложена в монографии Дж. Дуба11. Современное развитие этой теории изложено в работах A.B. Скорохода12 и X. Куниты13.
В диссертационной работе рассматривается аналог эргодической теоремы в форме Козлова-Трещева для диффузий. В отличие от детерминированного случая, здесь нет полу группового свойства по времени.
Рассматривая эргодическую теорему в новой форме, предложенной В.В. Козловым и Д.В. Трещевым, следует упомянуть о другого рода
^Wiener N., Wintner A. On the ergoilic dynamics of almost periodic systems. Amer. J. Math. 1941. V. 03. P. 794-824.
^Wiener N., Wintner A. Harmonic analysis and crgodic theory. J. Math. Phys. 1939. V. 03. P. 415-426.
“Assam I. Wiener Wintner crgodic theorems. World Scientific, Sitigapotc, 2003.
^Krcngd U. Ergodic theorems. Walter de Gruyter, Berlin, 1985.
^Petersen K. Ergodic theory. Cambridge University Press, 1933.
10Below A., Losert V. The weighted pointwise ergodic theorem and the Individual ergodic theorem along subsequences. Trans. Amer. Math. Soc. 1985. V. 288, N 1. P. 307-345.
^ДубДж.Л. Вероятностные процессы. М., ИЛ. 1950
*2Скороход A.B. Асимптотические методы теории стохастических дифференциальных урап-нсний. Паукоиа Думка, Кке», 19S7
^Kunila II. Stochastic flows and stochastic differential equations. Cambridge University Press, 1990.
5
обобщениях, полученных сравнительно недавно. Речь идет о проблеме унификации мартиигальных и эргодичсских средних. Задача изучения их общего поведения ставилась и обсуждалась в работе С. Какутани1'1 и упомянутой выше монографии Дж. Дуба. С тех пор было разработано несколько различных подходов к этой проблеме, однако в 1998 году А.Г. Качуровским1'' была предложена дискретная мартингально-эргоди-ческая теорема, содержащая композицию операторов усреднения и условного математического ожидания, дающая унифицирующую структуру и унифицированную формулировку теорем сходимости мартингалов и эр-годических средних. Аналог этой теоремы для непрерывного случая рассмотрен в работе16.
Цель работы. Исследовать сходимость неравномерных эргодиче-ских средних в форме Козлова-Трещева для неограниченных функций. Исследовать слабую сходимость мер, соответствующих этим усреднениям. Обобщить теорему Козлова-Трещева на случай операторных полугрупп и диффузий.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказана поточечная эргодическая теорема в форме Козлова-Трещева с вероятностной плотностью о для неограниченных функций / при некоторых соотношениях между характерами интегрируемости / и д. Построен пример, показывающий, что отказаться от дополнительных условий нельзя.
2. Доказана слабая сходимость семейства мер, порожденных усреднениями в форме Козлова-Трещева, на вполне регулярных пространствах с метризуемыми компактами. Установлена равномерная плотность указанного семейства мер на суслинских пространствах.
^Kakutani S. Ergodic tJicory. Proc. Int. Congr. of Math. 1950. V. 2. P. 128- 1-12
^Качуроиский A.Г. Мартннгалшо-эргоОичсския теорема. Мат. заметки, 1998. V. G4, N. 2. С. 311-314
Подвиги и И.В. Мартингалъно-эргоОчческне и эргодико-мартингалъпые процессы с непрерывным временем- Матем. сб., 2009. V. 200, N. 5 С. 55-70
G
3. Доказано обобщение теоремы Козлова-Трещева для усреднений с операторной полугруппой и получена максимальная оценка для неравномерных средних в LУстановлена поточечная теорема сходимости эр-годических средних в форме Козлова-Трещева и слабая сходимость связанных с ними семейств мер для случая диффузионных процессов. В отличие от детерминированного случая, здесь нет полу группового свойства по времени.
Методы исследования.
В работе применяются методы теории меры, функционального анализа, эргодической теории, элементы теории стохастических процессов, а также некоторые оригинальные конструкции.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории меры, теории вероятностей и теории динамических систем.
Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре „Бесконечномерный анализ и стохастика” под руководством В.И. Богачева, H.A. Толмачева и С.В.Шапошникова (2004-2009 гг.), на международном семинаре „Бесконечномерный стохастический анализ” в университете города Билефельда (Германия, 2005-2008 гг.), на семинаре в университете города Лулео (Швеция, 2010 г.) и на международной конференции „Стохастический анализ и случайные динамические системы”, посвященной 100-летию со дня рождения H.H. Боголюбова (Львов, Украина, 2009 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора (две из них в соавторстве), из них 4 в журналах из перечня ВАК. Доказательства основных результатов опубликованы в работах [32]— [34] из перечня ВАК; сообщения сделаны в работах [35], [30]. Список работ приведен в конце диссертации.