Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы

Л-
Оглавление
Введение 4
Общая характеристика рабо ты.............................. 4
Краткое содержание работы ................................ 7
Предварительные сведения..................................16
1 Пространство почти сходящихся последовательностей 25
1.1 Тауберова теорема для почти сходимости...............25
1.2 Расстояние до пространства ас........................28
1.3 Случаи линейности функционалов р(х) и q(x)...........35
1.4 Вычисление расстояния до подпространства ас..........35
1.5 Банаховы пределы от выпуклых функций.................40
2 Операторы в пространстве почти сходящихся последовательностей 45
2.1 Оператор повторения .................................46
2.2 Сходимость по Чезаро.................................50
2.3 Оператор усреднения по подпоследовательности.........53
3 Примеры почти сходящихся последовательностей 59
3.1 Пример почти сходящейся и не почти периодической последовательности .........................................60
3.2 Функциональные последовательности....................63
2
3
4 Коэффициенты Фурье-Хаара 71
4.1 Основные определения.............................. 71
4.2 Коэффициенты Фурье Хаара функции из Lp>00........ 73
4.3 Коэффициенты Фурье-Хаара функции из Lip 1.........83
Введение
Общая характеристика работы
Актуальность работы. В 1932 году С. Банах изучил некоторое множество линейных функционалов на пространстве ограниченных последовательностей, совпадающих с обычным пределом на множестве сходящихся последовательностей. Впоследствии эти функционалы были названы банаховыми пределами. Их изучение было продолжено в работах Г.Г.Лоренца, Г.Даса, Л.Сачестона, У.Ф.Эберлейна и других математиков.
Используя банаховы пределы. Г.Г.Лоренц ввел понятие почти сходящихся последовательностей. Почти сходимость определяет некоторый метод суммирования последовательностей, который не является матричным. Изучению и обобщению понятия почти сходимости посвящен ряд работ Р.А.Раими, З.У.Ахмада, Мурсалена, Г.Беннета,
Н.Дж.Калтона, Д.Хаджуковича, М.Крюнпеля. Особый интерес представляет изучение класса операторов, относительно которых пространство почти сходящихся последовательностей инвариантно.
Банаховы пределы находят широкое применение в различных областях. Так в работах С.Лорда, А.Л.Кери. Дж.Филлипса, П.Г.Додцса, Б. де Пагтера, Е.М.Семенова, А.А.Седаева, Ф.А.Сукочева они применяются для изучения следов Диксмье, которые, в свою очередь, находят применение в некоммутативной геометрии А.Конна. Примене-
4
5
нию банаховых пределов в эргодической теории посвящены работы Л.Сачестона и других математиков.
В диссертации изучается инвариантность банаховых пределов и пространства почти сходящихся последовательностей. Также банаховы пределы применяются для изучения коэффициентов Фурье по системе Хаара.
Целью работы является изучение пространства почти сходящихся последовательностей.
Методика исследований.Используются идеи и методы современной функционального анализа, теории функций действительного переменного. Полученные результаты применяются для доказательства аналогов теоремы Мерсера для коэффициентов Фурье-Хаара.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
1. Вычислено расстояние от произвольной ограниченной последовательности до пространства почти сходящихся последовательностей;
2. Доказана инвариантность пространства почти сходящихся последовательностей относительно действия некоторых операторов, в том числе, оператора Чезаро и общего оператора усреднения;
3. Установлена почти сходимость некоторых функциональных тригонометрических последовательностей;
4. Доказана почти сходимость к нулю последовательностей, связанных с коэффициентами Фурье по системе Хаара для функций из пространства ЬРгСС и функций, удовлетворяющих условию Липшица.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Ростовском, Самарском, Ярославском государственных университетах и др.
б
Апробация работы.Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва. 2007), научной сессии ВГУ (2007, 2008, 2009), научной сессии ВГАСУ (2007, 2008, 2009), Воронежской зимней математической школе (2008), V международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Новороссийск, 2008), международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию академика В.А.Садовничего (Москва, 2009), семинаре под руководством профессора А.Г. Баскакова (Воронеж, 2009).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [6]. Из совместных работ [1], [б] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых па тринадцать параграфов, и списка литературы, включающего 68 источника. Общий объем диссертации 93 страницы.
7
Краткое содержание работы
Нумерация приводимых ниже лемм и теорем совпадает с их нумерацией в диссертации.
Определение 1 Линейный функционал В на пространстве /<*> ограниченных последовательностей навивается банаховым пределом, если
(i). В > 0. то есть если Xk > 0 для всех к G N, то В(х) > 0;
(п). В{х) — В{Тх) для всех х 6 loo, где Т - оператор сдвига, то есть Т(хi,X2,...) = (x2,xs,...) ;
(Hi). В{1) — 1, где 1 = (1,1,1,...).
Множество банаховых пределов будем обозначать через ЯЗ.
Определение 2 Ограниченная последовательность (т*) навивается почти сходящейся к числу а с R1, если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны а.
В этом случае мы будем писать Limзц- = а. Множество почти сходящихся обозначается через ас, а через асо - пространство почти сходящихся к нулю последовательностей.
Описание пространства ас было получено в работе Г. Г. Лоренца: Для заданных а € Ш1, х G loo В(х) = а для всех В € 23 тогда и только тогда, когда
j ж+л
lim - V) хк = а (1)
71—«ОО П --
к=т+1
равномерно но т € N.
Выражение (1) задает некоторый метод суммирования последовательностей, который не является матричным. Этот метод суммирования является регулярным, то есть если последовательность Xk —► а,