ОГЛАВЛЕНИЕ
Индекс используемых обозначений.............................................3
Введение....................................................................6
Глава I. Элементы спектральной теории представлений групп..................14
§1. Банаховы модули и представления групп.............................. 14
§2. Спектр Берлинга в банаховых модулях .....................«............24
§3. х-направлевностн; элементы эргоднчсской теории.........................36
§4. Спектр Берлинга линейных операторов.................................. 47
§5. Критерий Карлемана; элементы спектральной теории пар линейных операторов и асимптотические оценки аналитических функций.............................50
Глава II. Каузальные операторы и их основные свойства......................54
§6. Различные подходы к определению каузальности......................... 54
§7. Каузальные операторы и представления групп........................... 60
§8. Антнкаузальные операторы и операторы без памяти.«.................... 66
§9. Гиперкаузальные операторы ............................................69
§10. Каузальность и граничные значения голоморфных функций.................76
Глава III. Каузальная обратимость..........................................87
§11. Обзор общих критериев каузальной обратимости........................ 87
§12. Компактные и и-эргодические каузальные операторы ....................92
§13. Обратимость и каузальная обратимость операторов с двухточечным спектром Берлинга ................................................-................96
§14. Обратимость каузальных операторов и экспоненциальная дихотомия........99
Литература................................................................106
2
Индекс используемых обозначений
Обозначение Пояснение Стр
Зі коммутативная банахова алгебра 14
хУУЛ Комплексные банаховы пространства 14
с Поле комплексных чисел 14
&:ЯхХ->Х Отображение, задающее структуру банахова модуля на X 15
X сопряженное к ЛГбанахово пространство линейных ограниченных функционалов 15
ЕпсІХ Банахова алгебра эндоморфизмов (линейных ограниченных операторов) банахова пространства X 15
и: ЗІ-їЕпсіХ Г омоморфизм банаховых алгебр ЗІ и ЕпсІХ 15
(X, Зі, и), л" банахов модуль 15
© Локально компактная абелева (ЬСА-) группа 15
Ц<В,а) Банахова алгебра измеримых (по мере Хаара) на © (классов) комплексных функций, суммируемых с весом а, со сверткой функций в качестве умножения 15
© Двойственная ЛСА-группа непрерывных унитарных характеров группы (В 16
ш ЬСА-группа действительных чисел 16
% ЬСА-группа целых чисел 16
Единичная окружность {Я є <С: \Я\- 1} 16
и: <В->ЕпсіХ Представление ЬСА-группы © операторами из ЕпсІХ 16
«и Вес, ассоциированный с представлением Ы: © -» ЕпсіХ 16
Щ(&,а) Банахова алгебра комплскснозначных регулярных счетно-аддитивных мер, определенных на борслевских подмножествах ЬСА-группы © , суммируемых с весом а 17
Ж (В) Банахова алгебра ограниченных мер 17
Ж^В,а) Подалгебра дискретных мер из Ж((В,а) 17
Жас((В,а) Подалгебра абсолютно непрерывных мер из Ж(<Э,а) 17
Ж5С(<Вуа) Подалгебра сингулярных непрерывных мер из Щ<В,а) 17
ьда, Е), Р Є [1,00], Пространство определенных на измеримом подмножестве Г2 с © положительной меры измеримых (по Бохнеру относительно меры Хаара на ©) функций со значениями в банаховом пространстве £, суммируемых со степенью р при р є [1,оо) и существенно ограниченных при р = 00 (с отождествлением классов эквивалентности) 18
С(П,Е) Подпространство непрерывных функций из Ьоо(ДЕ) 19
С„(П,£) Подпространство равномерно непрерывных функций 19
3
Обозначение Пояснение Стр
ст(а, Е) Подпространство ш раз непрерывно дифференцируемых функций из ЬЛС1,Е) 19
Со(П, Е) Пространство непрерывных функций, убывающих на бесконечности 19
ая&уЕ) Пространство почти периодических функций из Ь»(<й Л 19
{Множество натуральных чисел 19
о(А), р(А) Спектр и резольвентное множество оператора А из ЕпсІХ 20
н Комплексное гильбертово пространство 20
Нот(Х,У) Банахово пространство линейных ограниченных операторов, определенных на X со значениями в У 21
% Семейство проекторов из ЕпсІХ, осуществляющее разложение единицы 20
х„ Подмодуль и-непрерывных векторов из ^ 22
5р(й) Спектр коммутативной банаховой алгебры Л 24
о єС(5рШ)) Преобразование Гельфамда (Фурье, если Л = Щд,а)) элемента (функции) а из алгебры Л 25
ст.яО). Р»(Л) Спектр и резольвентное множество элемента а из банаховой алгебры Л 25
Л(дг), Л(лг,и) Спектр Берлинга элемента х из У' (относительно представления и) 25
ЛДх), Ля(х,и) Спектр Бора элемента д: из А’*' (относительно представления и) 26
ЬСА-группа (Ву наделенная дискретной топологией 25
©,= (©ЛЛ Боровская компактификация группы В 25
м Наименьший замкнутый подмодуль из Xй, содержащий х 26
Х(с), АТ<т,Ц) Спектральное подпространство (подмодуль) 27
Хк Подмодуль векторов из Xй с компактным спектром Берлинга 30
Я Некоторое направленное множество 36
т* Подполугруппа неотрицательных действительных чисел 39
А(х) Предельный спектр ограниченной направленности х = (дгр) из ^ 40
щ^,Л ли/), м Банахово пространство операторов без памяти 43
т-сі О Замыкание множества О в топологии т 44
Ux.ll) Множество г-эргодических точек вектора х т)£] 46
Л,Сс,Ц) г-непрерывный спектр вектора х из Л? 46
Л Кй(^>и) г-сущсствснный спектр вектора х из ^ 46
4
Обозначение Пояснение Стр
о(А,В), f(A,В) Спектр и резольвентное множество пары операторов (А,В) из Нот(Х, Y) 51
R <лю(Л) Резольвента упорядоченной пары операторов (АД) 51
д {А,В), р{Л,В) Расширенные спектр и резольвентное множество пары операторов (А, В) из Hom(X,Y) 51
НА) Спектральный радиус оператора А из EndX 52
R(/t« Правая и левая псевдорезольвенты упорядоченной пары (А, В) из Hom(XyY) 52
П+(П.) Открытая верхняя (нижняя) комплексная полуплоскость 53
§ Л Замкнутая подполугруппа LCA-ipyniibi (£/ 56
e(^>v,S), CO^S), е Банахово пространство (алгебра) операторов, каузальных относительно представлений U, V и подполугруппы S 61
Z+= КМО} Полугруппа неотрицательных целых чисел 62
W Идеал компактных операторов 66
С'(Х\^Л), e* Банахово пространство (алгебра) антикаузальных операторов 67
маХ’-£)-Ж Множество строго каузальных операторов 69
mX],Yv,s), «С(/',§))‘Ме Пространство и-гиперкаузальных операторов 70
se(XJ,m,se Пространство s-гиперкаузальных операторов 71
шга^Д), We(XJ,'S,),We Пространство и-гииеркаузальных операторов 71
w'e Пространство и^-гиперкаузальных операторов 71
Ж(Н) Пространство операторов, строго каузальных по Feintuch и Saeks 72
Ж(Л^Д),Ж Множество радикально каузальных операторов 74
Oladd Радикал алгебры каузальных операторов 75
aww) Множество почти периодических (относительно представления W) операторов 76
eerzV?) Подалгебра w-эргодических каузальных операторов 76
& Двойственная к полугруппа полухарактеров 84
ae(A\ pc(A) Спектр и резольвентное множество оператора А в алгебре каузальных операторов C(A^,S) 87
5
Введение
Юная фея на с веге жила,
И свет обогнать она просто могла.
Сегодня в дорогу отправясь с утра,
Домой возвращалась, представьте... вчера!
Энон
При изучении разнообразных явлений окружающего мира мы неизбежно приходим к заключению, что будущее течение многих процессов оказывается зависящим не только от настоящего, но и существенно определяется их предысторией. В этом убеждают нас многочисленные задачи теории автоматического регулирования, техники, механики, радиофизики, квантовой теории поля, биологии, экономики, медицины и пр. С другой стороны, естественно предположить, что следствия реальных явлений не могут опережать по времени сами эти явления, т.е. будущее состояние процесса не может влиять на его настоящее. Это свойство получило название каузальности и нашло свое отражение в абсолютном большинстве математических моделей реальных процессов. При этом ввиду необозримости количества рассматриваемых моделей и существенных различий в предметных областях, свойство каузальности принимает подчас трудно узнаваемые формы.
Понятие каузальности появлялось в различных моделях независимо и изучалось изолированно в рамках этих моделей. Поэтому, несмотря на довольно многочисленные публикации, результаты, полученные разными авторами, дублируются, отсутствуют единые определения и единая терминология. Даже само название - каузальность - не является общеупотребительным. Для обозначения каузальных операторов используются термины: вольтерро-вы операторы, операторы типа Вольтерра, запаздывающие, причинные, наследственные, неантисипативные и др., которые присваивались различным классам операторов с близкими свойствами. При этом часть авторов ставили во главу угла свойство эволюционности каузальных операторов, а другие -свойства компактности и квазинильпотентности.
В настоящей работе мы предлагаем новую форму каузальности, которая, являясь не менее «трудно узнаваемой», чем большинство других современ-
6
ных форм, тем не менее обобщает многие из них. Подобный подход позволяет синтезировать ранее известные, но разрозненные результаты и распространить их на более широкий класс задач, а также получить некоторые новые по сути результаты.
Математические модели, связанные с понятием каузальности, можно разбить на зри больших класса (вообще говоря, пересекающиеся). К первому можно отнести дифференциальные, интегральные, разностные, функциональные и др. уравнения (преимущественно) в функциональных пространствах. Ко второму - линейные операторы, действующие в гильбертовых пространствах и моделирующие динамические системы. К третьему классу относятся обобщенные функции (трансформанты) с носителем преобразования Фурье в некотором конусе (например, на полупрямой или в световом конусе). Остановимся более подробно на описании этих классов.
Основным (самым хорошо изученным) представителем операторов из первого класса является интегральный оператор Вольтерра В из ЕпсИ,р(Ш)*\ р € [1,00], определенный равенством
(я*)(0= { ад*)*.
где <7 - такая функция, что интеграл сходится равномерно по I (см. [23, 86]). Впервые выделил некоторый класс операторов типа Вольтерра, а именно таких операторов что из равенства ф) = ф) при б < I следует равенство (/^Хб) = (/*»(5) при б < и Ь. ТопсШ (см. [84]). Его последователи О. ОгаШ [72] и Б. Стцшш [60] получили первые результаты в теории операторов типа Вольтерра. В 1938 г. определение функционального опералора I7 типа Вольтерра, такого что величина (/*»(1) «определена значениями функции ф) на промежутке 0 < т < X », появилось в работе А.Н. Тихонова [55], посвященной приложениям таких операторов к задачам математической физики. Подобное определение приводится в различных работах по функциональнодифференциальным уравнениям (см., например, [I, 62]). Обобщение опредс-
7
ления А.Н. Тихонова для пространств суммируемых функций предложил В.И. Сумин. В его работе [54] оператор /^из Епсй.р(Г1) называется вольтерро-вым на системе множеств 0, где 0 - часть сг-алгсбры измеримых подмножеств из £2, если из равенства функций хиуна множестве М е 0 следует, что функции Рх и Ру совпадают на М. Аналогичное определение обобщенных вольтерровых операторов, действующих в пространстве Ьр(а,Ь), где рассмотрены всевозможные системы упорядоченных по вложению множеств на [а,Ь], мера которых непрерывно меняется от 0 до Ь-а, введено и изучено Е.С. Жуковским (см. [30, 31]). В работах [26, 85] в основу определения обобщенного вольтеррова оператора положены цепочки упорядоченных проекторов. Отметим также работу В.Ф. Пулясва и З.Ь. Цалюка [52]. П.П. За-брейко (см. [32, 33]) предложил другое обобщение интегрального оператора Вольтсрра, основанное на свойствах его ядра и обеспечивающих наличие у интегрального оператора некоторой цепочки инвариантных подпространств. Им была получена формула спектрального радиуса и доказано, что равенство нулю спектрального радиуса следует из свойства Т. Апбб [57]. И.Ц. Гохберг и М.Г. Крейн [25] абстрактным вольтерровым оператором в гильбертовом просгранстве назвали компактный (вполне непрерывный) линейный оператор, спектральный радиус которого равен нулю, и создали для таких операторов теорию интегралов треугольного уссчсния. А.Л. Бухгейм [19] распространил теорию таких операторов на банаховы пространства, положив в основу определения каузальности понятие специальной цепочки проекторов. Пожалуй, наиболее общее определение абстрактных вольтерровых операторов можно найти в работах В.Г. Курбатова [40, 41, 43, 79, 80]. Там каузальность в функциональных пространствах вводится при помощи цепочек подпространств (не обязательно дополняемых).
К началу 60-х гг. XX века начал возникать другой класс математических моделей, связанных с понятием каузальности. Толчком послужило бурное развитие теории систем, в рамках которой появлялись все новые и новые
*' См. Индекс используемых обозначений.
8
объекты: распределенные и многовариантные системы, системы с переменным или дискретным временем, системы с обратной связью... Возникла необходимость создания общих подходов к теории систем, которые позволили бы «систематизировать» накопленные знания. Одним из таких подходов стала теория операторов в гильбертовых пространствах с разложением единицы (т.е. обладающим замкнутым семейством ортогональных проекторов, линейно упорядоченным по вложению образов). Здесь, каузальность оператора, моделирующего систему, становится ключевым моментом при определении ее физической реализуемости. Отправным моментом при создании этого подхода можно считать статью [89], в которой впервые было подчеркнуто значение каузальности в общей теории систем. Далее теория каузальных операторов в гильбертовых пространствах интенсивно развивалась американскими математиками (см. [64- 66, 70, 75, 81, 87, 88]). Вначале, основные понятия были сформулированы для пространства L2, а затем и для произвольного гильбертова пространства. При этом существенно использовалась, например, теория интегралов треугольного усечения, развитая в [25]. Апофеозом этих исследований можно считать монографию [71], в которой оператор называется каузальным (causal), если он обладает свойством: равенство Р'х -Ру влечет РАх = Р'Лу для любого проектора Р' из разложения единицы. Там же вводятся понятия аитикаузалыюго оператора и оператора без памяти. Основные проблемы, исследуемые в этих работах, - разложения каузальных операторов, их факторизация и обратимость.
Источником моделей третьего класса послужила квантовая теория поля. Мысль о необходимости учета условия каузальности для осуществления программы Гейзенберга была высказана еще в 1946 г. (см. [77]). По существу, физиков интересовали условия того, когда оператор Фредгольма F в L2 (или других функциональных пространствах) являлся бы оператором Вольтсрра. При этом ответ должен был быть сформулированным не в терминах ядра оператора F (когда он очевиден), а в терминах его (обратного) преобразования Фурье, понимаемого как функция из L2 или как обобщенная функция.
9
- Київ+380960830922