Неравенства Джексона в пространствах Lp, 1≤p≤2, с весом

Содержание
2
Обозначения.................................................... 3
Введение....................................................... 6
Глава 1. Неравенства Джексона в пространствах Ьр,л(М)
на прямой со степенным весом........................ 23
§ 1. Элементы гармонического анализа на прямой со степенным
весом ................................................ 23
§ 2. Операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности
в пространствах ЬРг\(№)............................... 29
§ 3. Неравенства Джексона в пространстве .Е^аОЮ............ 45
§ 4. Неравенство Джексона в пространствах £р>а(К), 1 ^
< р < 2............................................... 50
§ 5. Оценка константы Джексона в пространствах ГР)л(М), 1 ^
^ р < 2, снизу........................................ 64
Глава 2. Неравенства Джексона в пространствах £р>а(Т)
на торе с периодическим весом Якоби................. 79
§ 1. Элементы гармоническою анализа на торе с периодическим
весом Якоби........................................... 79
§ 2. Операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности
в пространствах Ьр>ос{Т).............................. 85
§ 3. Неравенства Джексона в пространстве £2,а(Т)........... 98
§ 4. Неравенство Джексона в пространствах Ьр а(Т), 1 ^
2 101
Список литературы.............................................112
Обозначения
3
N — множество натуральных чисел, Ъ — множество целых чисел, R — множество действительных чисел, С — множество комплексных чисел;
sllPP / — носитель непрерывной функции / (наименьшее замкнутое множество, вне которого функция равна нулю);
Г(х) — гамма-функция, J\(x) — функция Бесселя порядка Л > —
— 1/2, j\(x) = 2ЛГ(А+ 1) — нормированная функция Бесселя;
q\ — наименьший положительный нуль функции Бесселя ,/д;
|Z|2A + 1
V\(x) = 2\+1Г(д-ьТ) — степенной вес на R; dfi\(x) = v\(x)dx — мера в R;
Ьр,\(К), 1 < р < оо — пространство комплексных измеримых по
( V/P
Лебегу на R функций / с конечной нормой ||/]|р,д = ( / \f\pdfi\ ) ;
Loo (К), Cb(R) — пространства измеримых по Лебегу ограниченных функций на R, непрерывных ограниченных функций соответственно;
Dxf(x) = /'(*) + (А + l/2)f{x)'f{~x)
X
— дифференциально-разностный оператор Данкля;
е\ (ух) — обобщенная экспонента (решение уравнения D\f(x) = = iyf(x), /(0) = 1);
f(y) = f f (x)e\(xy)dL/i\(x) — преобразование Данкля;
к
Е°д, & > 0 — класс функций / £ 1/р,д(Е), которые являются сужениями на М целых в С функций экспоненциального типа <т;
Еп(1)р<х = тЩ/- д\\р,х : д е Ь*х}
— наилучшее приближение функции / € Lp)д(К) классом Е° л; т1,Т1 — операторы обобщенного сдвига в Ьр^\\
АЦ(х) = (/- ТГ/21(х), ДrJ(x) = (/ - тГ/2Пх)
4
— разностные операторы порядка г > 1;
Wr(£,/b,A = sup ||Д[/|І2,А> UriSJh,а = sup ||Д£/||2,а. |t|<<5 |t|<5
w(<5,/)2>a = sup ^ J (r‘|/(y) - /(*)|2)|y=!edA»A(a;)
модули непрерывности функции / € L2tx(R)\
/)р,л = sup j J (Tl\f(y) - f(x)|p) Iy=x Фа(х)
1/2
1/р
— модуль непрерывности функции / € LPi А (К);
(р * /)(#) = /^1у^(®)/(1/)^Мл(2/) — свертка функции и четной R
функции /;
Pna'a\t) - ортогональные многочлены Якоби на отрезке [—1,1] С весом (1 — £2)а, ДЛЯ которых Рп* (1) = 1, фо(х) = 1) Рп(х) = _ фп(х) = (п(п + 2а + 1))~1/2^(х), п = 1,2,...;
tn - наибольший нуль pjia'a\t), тп = arccos tn\
Т = (—7г, 7г] — одномерный тор;
а ^ —1/2, va(x) = |sinx|2a+1 — периодический вес Якоби (ультрасферический вес);
dt/a(x) = va(x)dx — мера на Т;
£р,а00, 1 < р < оо — пространство 2-тг-периодических комплексных измеримых ПО Лебегу функций / с конечной нормой ||/||р,а =
= (ЛДжЖЖ'аСя)) ;
А,/(*) = /'(*) + (« + 1/2)
tgre
— периодический аналог дифференциально-разностного оператора Данкля;
5
^0,а(^) — її Єп,а(х) Фп(.х) І'Фпір')і п1а(^) ^п,а(^) Є ^0
— полная ортогональная в 1,2,« 00 система обобщенных экспонент;
Еп(/)р,а ~
Ш1П
Ск
п
/-£
Ск&к,ос
к=-п
Р,с\г
—■ наилучшее приближение функции / 6 £Р,«(Т) тригонометрическими полиномами порядка п;
т*,Т* - операторы обобщенного сдвига в ЬР)«(Т);
^г(й,/)2,о = Эйр ||Д[/]|2,а, Шг(5,Л2,а = йир ||Д[/]|2>а,
|1|<б
а;
(<5./)г,а = вир [ [ {т1у\/{у) - /(х)\2)\ (1иа{х)\
К1«< )
у/2
— модули непрерывности функции / Є ^2,а(Т);
1/р
^(<5,/)р,а = Бир \г\*6
{ті\т-і(х)\%=хсіиа(х)
— модуль непрерывности функции / Є £р,а(Т).
Введение
б
Общая характеристика работы
Диссертация посвящена решению экстремальных задач теории приближений — доказательству точных неравенств Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2, на прямой R со степенным весом и торе Т с периодическим весом Якоби.
Актуальность темы. Задача о точных константах в неравенствах Джексона между величиной наилучшего приближения и модулем непрерывности функции в пространствах Lp, 1 < р < оо, является важной и трудной экстремальной задачей теории приближений. Первое точное неравенство Джексона было доказано Н.И. Черных [45] в 1967 году в пространстве ТДТ). Он же [47| в 1992 году доказал и первые точные неравенства Джексона в пространствах LP(T), 1 < р < < 2. Точные неравенства Джексона в пространствах Lp, р > 2, отсутствуют.
В настоящее время точные неравенства Джексона в пространствах Lp, 1 < р < 2, доказаны для тора Т (Н.И. Черных [45], В.А. Юдин [55], В.И. Иванов [25], В.Ю. Попов [40]), евклидова пространства Rd (И.И. Ибрагимов и Ф.Г. Насибов [23], В.Ю. Попов [38, 39], О.Л. Виноградов [15], Л.Г. Бабенко [3], А.В. Московский [33]), евклидовой сферы Sd~l (В.В. Арестов и В.Ю. Попов [1], В.Ю. Попов [41], А.Г. Бабенко [2], Д.В. Горбачев [18]), гиперболоида Hd (В.Ю. Понов, Д.В. Горбачев и М.С. Пискорж [17], р = 2), проективных пространств (А.Г. Бабенко [4], р = 2).
В пространстве L-2 большой цикл работ был посвящен доказательству точных неравенств Джексона с L-м и обобщенными модулями непрерывности. Отметим работы Н.И. Черных [46], А.Г. Бабенко [2-
4], А.И. Козко и А.В. Рождественского [30], С.Н. Васильева [11, 12],
B.C. Балаганского [б|.
В пространствах Lp, 1 < р < 2, трудным является как получение оценки сверху (необходимо учесть строгую выпуклость пространств), так и доказательство ее точности (экстремальные последовательности
7
функций принимают всего два значения ±1). Нижние оценки в пространствах Ьр1 1 < р < 2, получены в работах В.И. Бердышева [9|, В.И. Иванова [24, 26], Д.В. Горбачева (18|, А.В. Московского [33]. Дополнительные трудности в получении нижних оценок появляются, если на многообразии нет группового сдвига.
Следующим этапом в развитии этой тематики может стать доказательство точных неравенств Джексона в пространствах Ьр на многообразиях с весом. К неравенствам Джексона в пространствах Ьр на полупериоде или полупрямой с весом мы уже приходим, рассматривая известные неравенства Джексона на подпространствах зональных сферических функций. При этом получаются неравенства Джексона в пространствах Ьр с весом только для четных функций. Так неравенства Джексона на евклидовом пространстве и евклидовой сфере приводят к неравенствам Джексона на прямой со степенным весом и торе с периодическим весом Якоби для четных функций (А.В. Московский [33], Д.В. Горбачев [18]). Возникает необходимость распространить их на все функции, а также обосновать их точность.
Цель работы. Основной целью диссертации является доказательство точных неравенств Джексона в пространствах Ьр, 1 < р < 2, на прямой К со степенным весом и торе Т с периодическим весом Якоби.
Методы исследования. Применяются методы теории функций, теории приближений, функционального анализа, гармонического анализа в пространствах с весом, теории вероятностей, теории матриц.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказаны неравенства Джексона для наилучших приближений целыми функциями экспоненциального типа в пространствах 1/Р1д(М), 1 < Р < 2, с весом |х|2Л+1, А > —1/2. Их точность установлена при р = 2 и А > О, < р < 2.
2. Доказаны точные неравенства Джексона для наилучших
8
приближений тригонометрическими полиномами в пространствах LPya(Т), 1 < р < 2, с весом |sinæ|2e+1, а > —1/2.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и разработанные методы могут быть использованы при доказательстве точных неравенств Джексона в других пространствах с весом.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2006, 2008, 2011), VIII Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» в г. Казани (2007), Международной летней математической школе С.Б. Стечкина по теории функций в г. Алексине (2007), научном семинаре д.ф.-м.н., профессора В.И. Иванова в ТулГУ (2006-2009, 2011).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [28, 48, 49, 50] в журнале, входящем в перечень ВАК РФ.
В работе [28] В.И. Иванову принадлежит общая схема доказательства нижней оценки, а автору — ее реализация.
Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [28, 51, 52, 53, 57].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на 9 параграфов. Нумерация утверждений идет по главам, а формул — по главам и параграфам.
Общий объем диссертации - 117 страниц. Библиография содержит 66 наименований.
Краткое содержание диссертации
Во введении дается краткая история вопроса, приводятся постановки задач и основные результаты.
Первая глава содержит 5 параграфов и посвящена доказательству неравенств Джексона для иаилучших приближений целыми
9
функциями экспоненциального типа в пространствах ЬР)\(Ж), 1 ^ ^ р ^ 2, на прямой К со степенным весом |я|2Л+1, Л > —1/2.
В §1 излагаются элементы гармонического анализа на прямой со степенным весом.
Пусть Л ^ -1/2, ух(х) = Г) ~ степенной вес на прямой Е,
фхд(х) = У\(х)с1х, ЬР,\(Ш) - пространство комплексных измеримых по Лебегу на Е функций / с конечной нормой
/ \ 1/р ||/||р,Л = I J |/(х)|рсг/хл(х) I , 1 ^ р < оо,
Сб(М) - пространство непрерывных ограниченных функций.
Пространство £2,а(Е) - гильбертово со скалярным произведением
к
Пусть J\(x) — функция Бесселя первого рода порядка Л,
Ых) = 2ЛГ(А + 1)^^, jx(0) = 1
X
— нормированная функция Бесселя.
В пространстве 1,2,а(Е), Л > —1/2 гармонический анализ осуществляется с помощью оператора и преобразования Даикля. Дифференциально-разностный оператор Данкля имеет вид [58, 63]
ЯА/(х) = }'{Х) + (А + 1/2)/(х)~/(~а:),
X
Обобщенные экспоненциальные функции
сх{ух) = ]х{ух) - г]х{ух)