Содержание
Основные обозначения 4
Введение 6
§0. Некоторые сведения из теории многозначных отображений и теории неподвижных точек 25
0.1. Некоторые сведения из теории многозначных отображений 25
0.2. Некоторые сведения из теории неподвижных точек и теории
топологической степени................................. 29
§1. Неподвижные точки //-вполне непрерывных многозначных отображений 35
1.1. Метрика Хаусдорфа. Пространство <£?;(У)................. 35
1.2. Ь-вполне непрерывные многозначные отображения. Основ-
ные свойства........................................... 38
1.3. Однозначные компактные аппроксимации //-вполне непре-
рывных отображений .................................... 40
1.4. Неподвижные точки //-вполне непрерывных отображений . 43
1.5. Топологическая степень и неподвижные точки............. 47
1.6. Об одном классе //-непрерывных отображений ............ 49
1.7. Уравнения с сюръективными операторами на сфере......... 57
§2. Неподвижные точки отображений относительно фиксированного множества 60
2.1. Определение и простейшие свойства А'-ненодвижных точек 60
2.2. О неравенствах в пространствах с конусом................ 65
2
§3. Квазинеподвижные точки 74
3.1. Существование квазинеподвижных точек у вполне непрерывных отображений ....................................... 74
3.2. Существование квазинеподвижных точек у некомпактных отображений .............................................. 76
§4. Об одном обобщении понятия относительного вращения 82
4.1. О (/, /(^-подчиненных отображениях.................. 82
4.2. Относительная топологическая степень................ 84
Литература 93
3
Основные обозначения
Заглавными буквами X, У, Z и т.д. в работе обычно обозначаются метрические пространства.
Е - линейное пространство, банахово или нормированное ( это оговаривается в тексте).
Если У - подмножество нормированного пространства Е, то:
Р(У) - множество всех непустых подмножеств в У\
К (У) - множество всех непустых компактных подмножеств в У\
У{У) - множество всех непустых выпуклых подмножеств в У\
С\)(У) - множество всех непустых замкнутых выпуклых подмножеств в
у;
Ки(У) - множество всех непустых компактных выпуклых подмножеств в У.
Многозначное отображение в диссертации всегда обозначается заглавной буквой Е) С, Ф и т.д., а однозначные - малыми буквами /. д, (р и т.д. Буквами и, V, \У в работе обозначены открытые множества, и, V, IV - замыкание этих множеств, дЦ, дУ, д\У - границы этих множеств.
Если А - подмножество в X, то ие(А) — {х € Х\р(х. Л) < е} - £-окрестность множества А.
Если хо 6 X, то Вл[хо] - замкнутый шар радиуса Я с центром в точке #0-
ГХ(Е) — {(х,г) | 2 £ Р(х),х € X} С X х У - график многозначного отображения Е : X —> ^(У),
F^1(V) = {х Е XI Е(х) С V} - малый прообраз множества V,
4
Р_1(У) = {х Є Х\ Я(х) П У 0} - полный прообраз множества. V. р,(Л, В) = вирр(а, В) - отклонение множества А от множества В.
аЄА
Н(А:В) — тах{р,(Л, І?), р«(І?, А)} - квазиметрика Хаусдорфа в пространстве замкнутых подмножеств.
<іед[<р, дії) - топологическая степень вполне непрерывного векторного поля ср на границе области и.
Введение
Исследование новых классов нелинейных задач, построение и изучение разрешимости адекватных им классов операторных уравнений и включений, традиционно включается в нелинейный функциональный анализ.
При изучении вопросов, связанных с разрешимостью различных нелинейных уравнений и включений, важную роль играют качественные методы, в частности, принципы неподвижных точек, принципы продолжения решений по параметру и топологические методы.
В настоящее время существуют нелинейные задачи (теория экстремальных задач, математическая экономика, вариационные неравенства и т.д.) для исследования котоорых широко используется теория многозначных отображений. Интерес к теории многозначных отображений особенно усилился в последние годы в связи с важными приложениями этих отображений к теории игр, теории оптимального управления, математической экономики и математической физики.
Существенное место в теории многозначных отображений занимает исследование неподвижных точек, которые в различных задачах могут интерпретироваться как оптимальные стратегии, равновесные цены, оптимальные решения, точки покоя обобщенных динамических систем и т.д. Теоремы о неподвижных точках многозначных отображений возникают также в теории дифференциальных уравнений и включений, при изучении вариационных неравенств и в других разделах современной математики.
Современная теория неподвижных точек многозначных отображений была построена в работах С. Какутани [43], С. Эйленберга и Д. Монт-
б
гомери [38], А. Гранаса [39], И. Яваровского [42], А.Д. Мышкиса [29], С.Б. Надлера [47], Л. Гурневича [40], Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана. В.В. Обуховского, Ю.Е. Гликлиха, М.И. Каменского и многих других. Отметим, что некоторые результаты работы Воронежской школы в этом направлении приведены в обзоре [4]. В настоящий момент теория неподвижных точек многозначных отображений с выпуклыми компактными образами развита также хорошо, как и теория однозначных отображений.
Однако, в большенстве существующих теорем, кроме принципа многозначных сжимающих отображений (см., например, [47]), предполагается, что образы многозначного отображения являются компактами. Изучение неподвижных точек многозначных отображений с некомпактными образами представляет значительную трудность и не может проводиться традиционными методами.
Целью работы является выделение нового специального класса многозначных отображений с некомпактными образами ( /г-вполне непрерывных многозначных отображений) и изучение неподвижных точек многозначных отображений из этого класса.
К главным результатам диссертации можно отнести следующие:
1. Определение нового класса многозначных отображений с некомпактными образами (/г-вполне непрерывных отображений).
2. Доказательство теорем о неподвижных точках /г-вполне непрерывных отображений;
3. Применение полученных теорем к проблеме существования решений
7
- Київ+380960830922