Принципы мажорации и конформные отображения в неравенствах для полиномов и рациональных функций

2
Оглавление
Введение 3
Глава 1. Принципы мажорации и конформные отображения 15
§1.1. Теорема покрытия для мероморфных функций 15
§1.2. Ограниченные аналитические функции 24
Глава 2. Экстремальные свойства полиномов Чебышева 28 §2.1. Точные оценки коэффициентов 28
§2.2. Теоремы покрытия 30
§2.3. Неравенства бернштейновского типа 39
§2.4. Аналог неравенства Шура 50
Глава 3. Неравенства для полиномов и рациональных функций на нескольких отрезках 53
§3.1. Теоремы покрытия для аналитических функций, связанных с полиномами, имеющими криволинейные мажоранты на двух отрезках 53
§3.2 Оценки коэффициентов и неравенства бернштейновского типа для полиномов, имеющих
криволинейные мажоранты па двух отрезках 61
§3.3 Неравенства для рациональных и
рационально-тригонометрических функций 73
Список литературы 78
3
Введение
«
В настоящей работе развиваются новые подходы к получению неравенств для полиномов и рациональных функций, основанью на теории потенциала и геометрической теории функций комплексного переменного.
В 1889 году, отвечая на вопрос поставленный химиком Д. И. Менделеевым, Л.А. Марков [36], |37| доказал, что если Pn(z) - алгебраический полином степени п, то
max 1Р'(а;)| < п~ max |Ргг(х*)|.
-1<х<1 1 714 п ~ -1<х<1 4 п
Равенство в этом неравенстве достигается для полинома Чебышева
Тп(х) = costI arccos :с, х [—1,1].
В 1912 год}' С. Н. Бернштейном [3] было получено неравенство для производной ОТ тригонометрического полинома Рп(х) 71-ГО порядка:
max K(z)| < п max |p„(;c)|.
-7Г<;Г<П- -7Г<Х<~
Данное неравенство является основой доказательств обратных теорем С. Н. Бернштейна в теории аппроксимации, то ость играет существенную роль в решении вопросов, касающихся связи между дифференциальными свойствами функции f(x) и быстротой, с которой стремится к нулю ее наилучшее приближение En(f) при помощи тригонометрических полиномов порядка п.
С.А. Теляковский, говоря о роли неравенств Маркова и Бернштейна, отмечает, что "применение неравенств такого рода - основной метод доказательства обратных теорем в теории аппроксимации. Зачастую дальнейшее развитие обратных теорем зависило от предварительного получения соответствующих обобщений или аналогов неравенств Маркова и Бернштейна" [80]
4
Изучению экстремальных задач для полиномов и рациональных функций посвящена обширная литература (см. статьи и монографии [34], [52], [49] [63], [65], [80], [113], [114], [116], [115], а также ссылки в них).
Неравенства А. Л. Маркова и С. И. Бернштейна неоднократно нередо-казы вались и обобщались в разных направлениях. Эти обобщения касались различных классов алгебраических, тригонометрических полиномов, алгебраических дробей и рационально-тригонометрических функций.
В последнее время особый интерес вызывают неравенства бернштей-иовского типа для алгебраических и тригонометрических полиномов и рациональных функций на нескольких отрезках (см. [33] - [35], [67], [118] и библиографию в них).
Значимый вклад в изучение экстремальных свойств полиномов, рациональных функций и их обобщений внесли И. И. Ахиезер [1], [2], С. Н. Бернштейн [3] - [5], [60], [61], Р. Боас [63], В. С. Виденский [6] - [8], Т. Г. Генчев [9],
B. К. Дзядык [12], А.А. Марков [36], [37], В.А. Марков [38], Д. Ньюман [100], Р. Пирре [106], ]107], К. И. Рахман [110] - [113], Т. Дж. Рпвлин [54], В. Н. Русак [46], [47], Г. Сеге [48], С. Б. Стечкин [50], П. Ту ран [119], И. Шур [117], П. Эрдеш [65] и другие математики. Актуальность исследований такого рода подтверждает большое количество работ выполненных в последнее время. Отметим работы А. Азиза [55] - [59], В.В. Арестова [65], П. Борвейна [65], [66], А. К. Вармы [120], Н. К. Говила [73] - [82], В. К. Джайна [83]-[86], А. Еременко [68], В. Н. Дубинина [14] - [16], М. А. Казн [109], Ксина Ли [93], А.Л. Лукашова [34] - [35], М. А. Малика [94], [95], Г. В. Миловаиовича [96], [97], Д. Мина [98], [99], К. Мохаммада, Р. Н. Мохапатры, А. В. Олесова [40] -[43], А. А. Пекарского [44], [45], Ф. Пехерстофера (101] - [104], Т. Разиза [114],
C. Рушевая [46], Р. Фройенда [72], К. Фраппайра [70], Т. Эрдейи [69].
Первая глава настоящей диссертации посвящена в основном новому
принципу мажорации для мероморфных функций, его различным следствиям, а также вспомогательным сведениям из теории аналитических функций.
В параграфе 1.1 сформулирован и доказан принцип мажорации для мероморфных функций [19), [21].
Для данной области Г), имеющей классическую функцию Грина, набора точек {згк}^ , Хк Е й С С*, к = и вещественного числа
г > 0 введем обозначение
Пусть /(.О) = (7. Будем говорить, что функция / осуществляет полное 777 -кратное накрытие области С областью Г), если любая последовательность точек ^ Е Й, стремящаяся к дП), переходит в последовательность точек ги^, стремящуюся к дС, и каждой точке ш Е (7 соответствует ровно т прообразов в области £>.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть области Г) и С имеют классические функции Грина, О С Сг, ообСс Сш. Предположим, что функция / является мероморфной в области В, имеет по крайней мере один полюс в О и удовлетворяет условию }{дО) С <9(7 (т.е. при стремлении точки х к границе области О все предельные значения функции /(г) принадлеэюат границе (7). Тогда для любого полоэюительного г справедливо включение
где - полюсы функции / в области D, каждый из которых учи-
тывается столько раз, каков его порядок.
Далее пусть г - произвольное, фиксированное поло'жителъпое число. Равенство имеет место в том и только том случае, когда /(/9) = (7 и / осуществ;1яет полное т -кратное накрытие области С областью О.
6
В качестве следствия этой теоремы отметим утверждение К. Дочева [13). Если полином P(z) = cnzn -г ... + со, Cii Ф 0» с вещественными коэффициентами Cfc, к = 0,1,..., п, нормирован условиями шах{Р(г) : 2 6 [—1,1]} = — min{P(z) : z е [—1,1]} = 1, то для любого р > 1 образ эллипса \z — 1| + |z + 1| = р + l/р при отображении w = P(z) лежит внутри эллипса |ш — 1] + \w + 1| = рп + \/рп. Здесь экстремальным является случай, когда P(z) совпадает с полиномом Чебышева первого рода Tn(z), который п-кратно покрывает второй эллипс первым. К. Дочев получил указанный результат путем оригинального исследования соответствующих тригонометрических полиномов. В работе В.Н. Дубинина [15] приводится усиление данного геометрического факта с учетом коэффициента Сп и показывается, что из него вытекают классические неравенства Чебышева, Маркова и Бернштейна.
СЛЕДСТВИЕ 1.1. Пусть ü условиях теоремы тачка zq £ D является полюсом функции f порядка п. в окрестности которого справедливо разложение
где суммирование производится по всем полюсам г* функции /, лежащим в области О, отличным от , и с учетом порядка, а г(П,а) означает внутренний радиус области П относительно точки а.
Данная оценка ранее была доказана И.П. Митюком (см., например,
f(z) = c{z — zq) п + ..., когда z0 конечно и
f(z) = CZn -ь ... при Zq = СО , С ф 0.
Тогда имеет место неравенство
[39]).
7
Следствие 1.2. Если в условиях теоремы 1.1 область И имеет па своей границе открытую а?шлитическую дугу Жордана 7, а область С имеет на своей границе такую же дугу Г, функция / аналитически про-долясима па дугу у, /(7) С Г и полоо/сительпой ориентации на дгуге 7 соответствует тьолоэюительная ориентация, на Г, то для любой точки 267 справедливо неравенство
где означает дифеференцирование вдоль внутренней нормали к соответствующей граничной дуге.
Равенство для любой точки 2 Е 7 достигается тогда и только тогда, когда /(£>) = С и / осуществляет полное т -кратное накрытие области С областью О.
В случае, когда / - рациональная функция степени п, являющаяся отношением двух вещественных полиномов, и для некоторых компактов Е и Р на вещественной оси выполняется /(Е) С Р, мы получаем неравенство А.Л. Лукашова [34], [35]:
справедливое для любой внутренней точки х компакта Е. Здесь a)E(z,x) = ■^(co(z, [inf Е, х]Г\Е, СДЕ)), где со(г, е, П) - гармоническая мера множества е С д£1 в точке 2 относительно области Q (О = СДР, G = СШ\Р, т = п). В работе [35] приводятся также утверждения, подтверждающие точность этого неравенства. Выбирая конкретные компакты Е и F, получаем ряд известных неравенств С.Н.Бернштейна - Г.Сеге, Н.И. Ахиезера, B.C. Виден-ского, В.Н. Русака, М. Варана - В. Тотика и других математиков (см. об этом [35], а также замечания но истории вопроса в [34]).
т
п