Асимптотика δ-субгармонических функций и их ассоциированных мер. Применение в вопросах полноты систем экспонент

Оглавление
Введение 3
1 Связь асимптотического поведения Л-субгармоничсских функций и их ассоциированных мер 20
1.1 Исключительные множества степенной
малости............................................ 20
1.2 Предварительные сведения и формулировки основных утверждений............................................. 28
1.3 Асимптотическое поведение ассоциированных мер. Доказательство теоремы 1.................................. 33
1.4 Асимптотическое поведение ^-субгармонических функций. Доказательство теоремы 2........................... 44
2 Взаимосвязь задач о полноте систем экспонент в различных пространствах 62
2.1 Редукция задачи о полноте систем экспонент в выпуклой области на случай круга............................ 62
2.2 Полнота систем экспонент в весовых пространствах на интервале вещественной оси............................. 66
Библиография 86
2
Введение
Диссертация посвящена исследованию связи между асимптотическим поведением разности двух субгармонических функций и асимптотическим поведением разности их ассоциированных мер, а также применениям полученных результатов к вопросам полноты систем экспонент.
Частным случаем задачи о связи между асимптотикой в бесконечности разности двух субгармонических функций и асимптотическим поведением разности их ассоциированных мер являются задачи построения целых функций с заданным поведением в бесконечности, а также задача об изменении поведения целой функции при сдвигах ее нулей.
Исследования по указанным темам проводили B.C. Азарин (|1|),
А.Ф. Гришин ([9]), И.Ф. Красичков-Терновский ([14), [15]), С.Ю. Фа-воров ([38]), Б.II. Хабибуллин ([39], [58]), P.C. Юлмухаметов ([3], [42], [43], [44], [45], [46]), D. Drasin (|54|), J. Korcvaar ([59]), Yu. Lyubaiskii ([26], [63]), Ortega-Cerda и K. Seip ([64]), M.L. Sodin (|26)),
I.E. Chyzhikov ([52]), A. Goldberg (]55|) и другие.
Задача о полноте систем экспонент в различных функциональных пространствах является классической. С историей и современным состоянием дел в задаче о полноте систем экспонент в пространствах функций, определенных и аналитических в плоской области,
3
Введение
4
можно ознакомиться в монографиях Б.Я. Левина ([17]), М.А. Евграфова ([12]), И.И. Ибрагимова ([13]), А.Ф. Леонтьева ([20],[21 [).
Исследования полноты систем экспонент в различных пространствах функций, определенных на интервале вещественной оси, достаточно полно освещены в ряде обзоров и монографий. Перечислим лишь некоторых авторов: B.C. Азарин (|2|), А.Ф. Леонтьев ([18], [19]), Б.В. Винницкий ([!], [о], [б]), Н. Винер и Р. Пэли (|69J), П. Левинсон ([62]), М.М. Джрбашян ([11]), Л. Шварц ([68]), P.M. Янг ([70]), П. Кусис ([60], [61]), В.П. Хавин и Б. Ериккс ([57]), А.М. Сед-лецкий ([34], [35], [36]), Б.Н. Хабпбуллин ([40]), В.Н. Логвиненко ([23|),
A. Boivin ([51]), G.T. Deng ([53]), R.M. RedhefFer ([65], [66]).
Напомним определения некоторых понятий, используемых в диссертации:
Определение. Пусть Е — множество в €. Функция / : Е —> [-оо, оо) называется полунепрерывной сверху (пп. св.), если для любого числа а множество
открыто в Е, то есть найдется открытое множество О С С такое, что Е/(а) = £1[)Е.
Функция д : Е —> (—оо,оо] называется полунепрерывной снизу (пн. сн.), если функция -д пн.св. или, что то же самое, для любого числа а множество {г е Е : д(г) > а) открыто в Е.
Определение. Функция и : С —> [-оо; +оо) называется субгармонической в области если она полунепрерывна сверху и для любой точки го £ (7 найдется положительное число г(го) так, что для всех положительных г < г(го) будет выполняться неравенство
Е/{а) = {z Е Е : f(z) < а)
Введение 5
В диссертации используется представление Рисса для субгармонических функций: Если и — функция, субгармоническая в области G, то в G существует неотрицательная борелевская мера // такая, что в любой ограниченной области Gi, G і С G, имеет место представление Рисса
u(z) = I \n\z - w\dfi(w) -Ь h(z)
Jg!
с функцией Л., гармонической в Gj. Мера // называется мерой, ассоциированной с и по Риссу. Мы будем ее коротко называть ассоциированной мерой. В частности, субгармоническими являются функции вида 1п |/|, где / — аналитическая функция.
Важными инструментами для нас являются формулы Привалова, Грина (см. [37]) и принцип максимума для субгармонических функций.
Формула Привалова. Пусть и — субгармоническая функция в области G, [і — ассоциированная мера. Если в точке .г u(z) > -оо, т0
[ * u(z + ге^Оф = и(г) + [ ф-dt.
Jo J о t
Здесь //(£) обозначает //-меру круга B(z, t).
Формула Грина. Пусть функция и субгармонична в круге В(0, ?'), /х — ассоциированная мера. Тогда
r(z — w)
1 /2* r2 _ |Ы2 г
u(z) = — / гі(ге^)т : rrCfy? -Г / 111
W 2тг /0 ^ [ге1^ А(0.г)
.2 _ -
Как уже упоминалось, субгармоническими являются функции вида In |/|, где / — аналитическая функция. Насколько "много" таких функций специального вида в классе всех субгармонических функций? Некоторым ответом на этот вопрос явилась теорема
B.C. Азарина ([1]).
Введение б
Пусть и — функция, субгармоническая на всей плоскости и удо-влетворюгцая условию: найдутся числа р. а > 0 так, что выполняется оценка
и(г) < а(1 4- \г\)р, г £ С
(так называемые функции конечного порядка роста). Тогда существует целая функция /, для которой выполняется соотношение
К*) - 1/(2)Н = »(Мр)> И —> 00, г € Е.
Исключительное множество Е является Со-множеством, то есть допускает покрытие кругами В(г3,т3) так, что
ъ = о(Н), Я —> ОО.
Заметным усилением этого утверждения стала теорема Р.С. Юлму-хаметопа (|44|):
Теорема А. Пусть и субгармопична па всей плоскости, г/, имеет конечный •порядок роста р. Тогда существует целая функция / такая, что для любого 7 > р
\и(г) - 1п |/(г)|| < с, 1п \г\, г <£ Еу,
причем исключительное множество может быть покрыто кругами {г: \г - г3\ < 7^} так, что
$3 г, = о(ЛГТ), Н —» оо.
В этих утверждениях, в сущности, рассматривается асимптотика в окрестности бесконечности разности двух субгармонических функций, или так называемых ^-субгармонических функций.
Введение 7
Б диссертации рассматривается задача о связи между асимптотическим поведением 5-субгармопической функции и асимптотическим поведением разности ассоциированных мер.
Как видно из теорем, приведенных выше, при згом возникают некоторые исключительные множества.
В диссертации введено новое понятие — множества класса Су: для заданною числа 7 С 1 множество А на плоскости называется множеством класса Су, если существует покрытие множества А кругами = {г : \г] - z\ < г9}, j = 1,2,..., так,что выполняется
условие
Ху Г3 ~ 0(-^7+1)> К > <Х)-
/?/2<|г,|<2 /?
Следуюгцие свойства этих классов очевидны:
1. Всякое ограниченное множество принадлежит любому класс}' Ст
2. Объединение конечного набора множеств класса Су принадле-жит классу Су.
3. Если 71 > 72, то СУх Э СУ2.
4. Множества класса Со являются Со-множествами в классическом (см. [17]) смысле.
5. При 7 > 0 класс С. содержит всю плоскость, значит, любое подмножество С.
Доказаны менее очевидные свойства:
1. Множество А принадлежит классу Су тогда и только тогда, когда существует покрытие этого множества кругами так, что выполняется условие