2
Оглавление
Введение........................................................
1 ^-экстремальные решения проблемы моментов Гамбургера.
1.1 Постановка задачи .....................................
1.2 Случай дискретных решений..............................
1.3 Необходимое условие Г-зкстремальности решения..........
1.4 Достаточные условия К-экстремальности решения..........
1.5 Абсолютно непрерывные Р-зкстремальные решения..........
2 Комплексная проблема моментов.................................................
2.1 Постановка задачи .....................................
2.2 Пример позитивной, но не являющейся моментной, комплексной последовательности.....................................
2.3 Вспомогательные результаты.............................
2.4 Достаточное условие разрешимости.......................
2.5 Разрешимость ’’усеченной” комплексной проблемы моментов
Список основных обозначений.....................................
.3
18
18
20
25
28
41
лъ
л.
43
49
64
76
87
90
Список литературы
91
з
Введение
Работа состоит из введения, двух глав, списка основных обозначений и списка литературы из 38 наименовании.
Дадим краткий обзор результатов, непосредственно связанных с тематикой данной работы.
В главе 1 рассматривается одномерная степенная проблема моментов.
Определение 1 Неубывающая функция а (и), —оо < и < со, называется решением проблемы моментов Гамбургера, порождаемой последовательностью чисел {$*}£!,)> если
со
»* = I «Ли»), * = 0,1,2,.... (1)
— 00
Определение 2 Неубывающая функция я(и), 0 < и < оо, называется решением. проблемы моментов Сгпплтьеса, порождаемой последовательностью чисел если
00
= у" ик(Ь{и) , к = 0,1,2,... .
Проблема моментов называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решение нс единственно (два решения проблемы моментов не считаются различными, если их разность равна константе во всех точках непрерывности).
С произвольной последовательностью чисел в пространстве всех
многочленов можно связать функционал <5, полагая
0 {Р(Л)> = ро «о + Рі *1 + Н Рп 5« для р(\) = ро + Рі Л + • • • + рп Vі.
Определение 3 Функционал 0, заданный на множестве многочленов, называется позитивным., если
0 |р(Л)р(Л)| > 0 для любого многочлена р(Л) ^ 0.
Функционал 0, заданный на множестве многочленов, называется ненегативным, если
0 |р(Л)р(Л) | > 0 для любого многочлена р(А).
ВВЕДЕНИЕ
4
Отметим, -что введенный функционал 0 позитивен тогда и только тогда, когда последовательность позитивна относительно оси, то есть все
квадратичные формы
>7»
У" $г+к щхк , та = 0,1.2,... , хД-О
строго позитивны.
В своей классической работе [19] Г. Гамбургер сформулировал критерий разрешимости проблемы моментов (1). Он доказал, что проблема моментов (I) разрешима тогда и только тогда, когда функционал Ф, порождаемый последовательностью , ненегативен. Причем условием не-
обходимым н достаточным для того, чтобы существовало решение <т(гд), —оо < и < оо, имеющее бесконечное число точек роста, является позитивность функционала 05 , то есть позитивность относительно оси последовательности {$;.}ь=0*
Описание совокупности всех решений проблемы моментов (1) в неопределенном случае было дано Р. Нсванлинной.
Определение 4 Класс N (функции Неванлинны) совокупность всех аналитических, в полуплоскости Зт 2 > 0 функций го = }{г), отобра-жающт полуплоскость Зт 2 > 0 в полуплоскость Зт ш > 0.
Общий вид функции Неванлинны /(г) € N дает (см., например, [1] с.630) интегральное представление
оо
/(*) = „*+„ + Д-1-ад,
(2)
— ОО
где р > 0 , V £ Е, а т(и) — неубывающая функция такая, что
/ (/т(и)
/ < °°-У 1 + и2
-со
Так как представление функции Неванлинны ./(2) в виде (2) единственно, будем говорить, что неубывающая функция г (и) соответствует функции
/(*)€ N.
Как показал Р. Неванлинна (см. [26]), между множеством всех решении и(г4) неопределенной проблемы моментов (1) и совокупностью всех функций у (2) класса К, пополненного константой оо, существует взаимно однозначное соответствие, определяемое формулой:
ос-
ЛЦ)ф)-СЦ) Г с1ст(и)
ВЦ )9(Л)-!>(*) /«-г’ (>
-ОО
ВВЕДЕНИЕ
где Л(г), В(г), С(г), £>(г) — целые функции, однозначно определяемые моментной последовательностью • При этом справедливо тождество
Пусть дана неубывающая функция с(м), —оо < и < ос, с конечными моментами «о
В таком случае любое из пространств L£(-oc,oc), р > 1, содержит совокупность всех многочленов, и возникает вопрос об условиях, при которых эта совокупность плотна в LJ(—00,00).
Полностью разрешен вопрос только для случая /> = 2 (М. Риссом и Р. Не-ванлиннои).
В случае, когда решение а(н) проблемы моментов (1) единственно (определенная проблема моментов), множество многочленов плотно в ££(—оо,оо) (см. [29]), а следовательно, и в Z£(—00,0с), 1 < р < 2.
Определение 5 Решение о (и) неопределенной проблемы моментов (1) называется N -экстремальным, если .множество всех многочленов плотно в L\(- 00,00).
Известно (см., например, [2] с. 128), что решение а(и) N-экстремально тогда и только тогда, когда ему по формуле (3) соответствует функция <p{z), равная вещественной константе (конечной или бесконечной). Этот факт дает исчерпывающий ответ на вопрос о полноте многочленов в пространстве ££(-оо,оо).
Случай р > 2 рассматривали СЬ. Berg, J.P.R. Clmsteiison ([13], [14]). Они, в частности, получили (см. [14]), что из плотности многочленов в пространстве ££(—оо.оо), р > 2, следует, что проблема моментов (1) — определенная.
Рассмотрим случай р = 1.
В случае, когда проблема моментов (1) имеет единственное решение а (и), уже отмечалось, что множество многочленов плотно в пространстве
оо,оо).
Рассмотрим случай, когда решение проблемы моментов (1) не единственно (неопределенная проблема моментов).
Определение 6 Решение сг(и) неопределенной проблемы моментов называется V-экстремальным, если его нельзя представить в виде
A(z) D(z) - C(z) B(z) = 1, Vz Є C.
-00
ВВЕДЕНИЕ
6
где а\ > 0, а-2 > О, а <н(и), сгъ(и)— решения этой же проблемы моментов, отличные от <т(и).
Таким образом, У-экстремальные решения являются крайними точками множества решений неопределенной проблемы моментов (1).
М.А. Наймарк доказал (см. [11]), что V-экстремальные решения характеризуются важным свойством: решение о [и) У-экстремально тогда и только тогда, когда множество многочленов плотно в оо,оо).
Класс У-экстремальных решении неопределенной проблемы моментов заведомо шире класса АГ-экстрсмальных решений (см. [11]). Как показано в статье [4], для У-экстремальности решения о (и) достаточно, чтобы ему по формуле Неванлинны (3) соответствовала рациональная функция
вещественная на вещественном оси.
В главе 1 мы рассмотрим задачу описания У-экстремальных решений неопределенной степенной проблемы моментов. Мы выделим новый класс N1 С А\ состоящий из функций р(г), которым в представлении Неванлинны (3) соответствуют У-экстремальные решения <г(и) неопределенной проблемы моментов (1). Этот класс iY1 существенно шире класса вещественных рациональных функций Неванлинны. А также мы отметим ряд свойств, которыми обладают У-экстремальные решения.
В главе 2 рассматривается вопрос разрешимости комплексной проблемы моментов.
Рассмотрим комплексную проблему моментов.
Определение 7 Последовательность комплексных чисел {сГп,п}ш,п=о па~ зывается комплексной, моментной последовательностью, если существует мера р(г) на С (определенная на борелевскш множествах) такая. что
С
Будем называть меру р(х) решением комплексной проблемы моментов (4), порождаемой последовательностью {ст.п}^,п=о ■
Как и в случае одномерной степенной проблемы моментов, возникает вопрос — какие последовательности являются моментными. Одна из первых постановок комплексной проблемы моментов появилась в статье У. КПр1 [24].
Определение 8 Последовательность {ст,«}т,п=0 ^ ^ называется позитивной, если к
т,я,р,9=О
ВВЕДЕНИЕ
7
В случае, когда выполнено уравнение (4), имеем,
^ ^ ст+д,п-+р ^т.. т,п,р,(]=0
С
(///(г) > 0,
Е\ -т
лгп,п "
туп~ О
У{А„,,и}?п.«=о С С, А: = 0,1,2,.-- ■
Таким образом, получаем хорошо известное необходимое условие разрешимости комплексной проблемы моментов (4): для комплексной моментной последовательности {ст,п}^„_о справедливо неравенство
к
^ £»п+А,п+р ^ж,л ^р,«7 ^ 0 > ^{^»,я1п}т,п=0 ^ Л = 0,1,2,... . (5)
т,п,р,д-О
Но последовательности С С построим функционал 0С, заданный
на множестве многочленов от переменных г, 1 формулой
п п
0ЛР(2,2)} = Е °к1 ^кі ДЛЯ Р(г>2) = X! ’
М=» Дг./=0
Заметим, что неравенство (5) эквивалентно свойству
«с {р(*,2)р(М)} > 0 для любого многочлена р(г,г).
Известно, что с комплексной проблемой моментов тесно связана двумерная проблема моментов, которая заключается в следующем: когда для последовательности вещественных чисел {'5т.7?}ш.п=0 существует мера на К2 (определенная на борелевских множествах) такая, что
= У «г «2 (1а(щ, иг), т,п = 0,1,2..........
(6)
к2
По последовательности -{^т.п}™ я=о построим функционал 0.5, заданный на множестве многочленов от переменных «і, иг формулой
п п
ь«2)} = £ Для Р(«ь«2) = Е
*,/=0 А-,/=0
Обозначим
р{ии щ) = У] А*У и{ 4 для р(иь м2) = У] А*,, 4 4 .
А-,/=0 М=0
- Київ+380960830922