— 2 —
Оглавление
§0. Введение............................................... 4
Глава 1. Предварительные сведения.................... 11
§1. Основные обозначения.................................. 11
§2. Предварительные сведения о нормированных пространствах 12 Глава 2. Объёмные отношения и модифицированное
расстояние Банаха-Мазура............................. 27
§3, Связь между объёмными отношениями и расстоянием д(Х. У) 27 §4. Оценки норм операторов через норму Гильберта Шмидта
и расстояния между пространствами £? 29
§5. Логарифмическая выпуклость модифицированного расстояния Банаха- Мазура относительно размерности........ 37
§6. Сравнение расстояний (1(Х, У) и д(Х, У)............... 41
§7. Верхние оценки объёмных отношений и расстояния д для
пространств Р.рп..................................... 43
§8. Нижние оценки объёмных отношений...................... 47
§9. Некоторые следствия................................... 57
Глава 3. Расстояния между суммами нормированных
пространств ......................................... 59
§10. Оценки норм операторов, действующих из £р 0 ££ в 0£*п 59
§11. Вычисление расстояний и объёмных отношений для сумм
пространств 1?п...................................... 64
§12. Объёмные отношения для пространств £р разных размерностей ............................................. 65
Глава 4. Пространства с безусловным базисом 77
§13. Объёмные отношения для пространств с 1-безусловным
базисом................................................ 77
§14. Сечения пространств с безусловными базисами............ 85
§15. Расстояние Банаха-Мазура до пространств вида X 0 І\ . 89
Литература.................................................. 92
0. Введение
Теория банаховых пространств начала свое самостоятельное существование в двадцатых годах XX века с развития общей теории нормированных пространств в работах польского математика Стефана Банаха и венгерского математика Фридьеша Рисса. Появление абстрактных пространств привело к геометризации основных понятий и позволило трактовать многие вопросы анализа в терминах геометрии. Поэтому в проблематике теории банаховых пространств важное место занимают геометрические направления: геометрия единичной сферы и геометрия подпространств. Центральную роль в изучении геометрических свойств банаховых пространств играет расстояние Банаха Мазура, впервые появившееся в монографии Банаха [1].
В настоящее время большинство исследований в теории банаховых пространств сконцентрировались в области локальной теории, возникшей в шестидесятые годы под влиянием работ Гротендика [56, 57] и теоремы Дворецкого 48] о почти сферических сечениях выпуклых тел.
Локальная теория изучает структуру конечномерных пространств и отношения между бесконечномерными банаховыми пространствами и их конечномерными подпространствами. Развитие теории показало, что многие свойства бесконечномерных банаховых пространств обусловлены только их локальной структурой (совокупностью всех конечномерных подпространств данного банахова пространства).
Тривиальные в конечномерной ситуации качественные вопросы геометрии бесконечномерных пространств оказываются содержательными и важными, если изучать их количественные аналоги. Во многих из них решение конечномерной задачи не только дает ответ на соответствующий вопрос бесконечномерной задачи, но и позволяет получить допол н и тел ь ну ю и н формацию.
В семидесятых годах для построения пространств, не обладаю-
щих некоторыми свойствами, в теории банаховых пространств начали использоваться вероятностные методы. Отмстим в этой связи работу Деви [45], в которой доказано существование пространства без свойства аппроксимации, а также работы Бенне, Гудмана, Ньюмана [3'7] и [38], последняя вместе с Дором и Джонсоном. Чуть позже проникновение вероятностных методов даю сильный импульс к развитию геометрии конечномерных нормированных пространств. В 1977 году появилась работа Кашина [13], в которой доказывалось, что большинство сечений n-мерного октаэдра, близки к евклидову шару. Эта работа вызвала целую серию публикаций развивающих идею изучения свойств типичных сечений. Здесь следует упомянуть работы Кашина [14], Кривена [62], Шарека [85], Шарека и Томчак-Егерманн [93].
Появившаяся в 1981 году статья Глускина [5], посвященная диаметру компакта Минковского, дала метод, позволяющий строить «патологические» конечномерные пространства. Вслед за ней появилось множество работ, развивающих технику Глускина. Стоит особо отметить работы Глускина [6], Бургейна [39], Шарека [86, 87, 88] и Манке-вича [70, 71]. Из последних работ но этой теме можно выделить работы [53], [67] и [721. Большое внимание изучению геометрических свойств с привлечением вероятностных методов уделено в монография Мильма-на и Шехтмана 74].
Следует подчеркнуть, что до сих пор нет конкретных примеров ни пространств, на которых реализуется оценка диаметра компакта Минковского, данная Глускиным, ни почти сферических подпространств октаэдра, существование которых доказано Катиным.
Настоящая работа посвящена изучению обобщенных объемных отношений и расстояния Банаха-Мазура. Напомним, что расстоянием Банаха-Мазура называется величина:
d(X,Y) = inf {\\T\\X^Y ■ ||Г-1||у^х : Т - изоморфизм}.
— 6 —
Для любых конечномерных пространств X и У таких, что dim X ^ dim У, определим обобщенное объемное отношение Vr(X, Y) следующим образом
-lnf { : с**. 0--Г-+Х)}.
где п = dimX.
В случае, когда dim X = dim У, с помощью обобщенного объемного отношения можно модифицировать классическое понятие расстояния Банаха-Мазура:
d(X,Y)=Vr(X,Y)-Vr(Y,X) =
= inf {||Т||х-у : | det Т\ = 1} - inf {ЦГЦУ-+* : | det T\ = 1}.
Величины lnd(X, Y) и lnd(X,Y) являются метриками на множестве 9#п всех n-мерных нормированных пространств.
Расстояние <9(Х, Y) неявно использовалось Гурарием, Кадецом и Мацаевым в работе [9] для вывода оценок расстояния Банаха-Мазура между пространствами £р и Глускиным в работе [5] для нахождения диаметра компакта Минковского. Величина (Vr(X, У))п рассматривалась Макбетом в работе [68] и Леви [63] (см. также [8]) для множества выпуклых, не обязательно центрапьно симметричных, п-мерных тел. В работе [68] доказана компактность этого множества в метрике lnVr(X.Y) 4- lnVr(Y, X). Величина д является основным инструментом, для получения нижних оценок расстояния Банаха-Мазура. До сих пор остаются неизвестными оценки расстояния Банаха-Мазура, лучшие в степенной шкале, чем оценка основанная на неравенстве d(X,Y) ^ 3(Х, У). В связи с этим самостоятельное изучение модификации расстояния Банаха-Мазура представляет большой интерес.
Дадли в работе [47] изучал характеристики компактов, основанные на отношении объёма п-мерной проекции к объему евклидова шара той же размерности. Объемное отношение vr(X) = Vr(X, впервые
— 7 —
появилось в работе Шарека [85] и совместной работе Шарека и Томчак-Егерманн [93] в связи с уже упоминавшейся работой Кашина [13] о почти сферических сечениях октаэдра. Кубическое объёмное отношение изучалось Боллом в работе [30] для оценок объёмов сечений куба. Гордон, Мейер и Пажор в работе [54] получили с помощью объёмных отношений нижнюю оценку для абсолютной проекционной константы, являющейся важной геометрической характеристикой нормированных пространств. Совсем недавно Гордон и Юнг в работе [55] получили оценки на объёмные отношения, в случае, когда пространство X конечномерно, а У — бесконечномерное пространство £р.
Излагаемый в данной диссертации материал подразделен на четыре главы, нумерация параграфов сплошная. Первая глава содержит некоторые предварительные сведения. Для удобства читателя здесь приведены точные формулировки большинства используемых ниже результатов.
Вторая глава содержит ряд общих свойств объёмных отношений и расстояния д. В §3 устанавливается связь между объемными отношениями и расстоянием д:
д{Х, У) = Уг(Х, У) • Уг(У, X) х Уг(У, У) • Уг(Х\ У*).
§4 носит вспомогательный характер, в нем получены оценки норм операторов, действующих из ^ в ^ через норму Гильберта-Шмидта. Попутно вычисляются объёмные отношения Уг(^,^) и доказывается, что равномерно для любых 1 ^ р, ^ о©
*<*(«)•
Стало быть на пространствах £р расстояния с/ и д ведут себя одинаково.
В §5 устанавливаются верхние оценки расстояний и объёмных отношений для сумм нормированных пространств через расстояния и объёмные отношения для слагаемых. На основе этих оценок в §6 для
- Київ+380960830922