Оглавление 1 Основные понятия и обозначения. Основные факты из теории В-гиперсингулярных интегралов 20 1.1 Основные понятия и обозначения....................... 20 1.2 Основные факты из теории В-гиперсингулярных интегралов............................................ 26 1.2.1 В-гиперсингулярные иптегралы с В-гармоническими характеристиками...................... 33 1.2.2 Представление В-гиперсингулярных интегралов в виде регуляризации Адам ара расходящихся интегралов....................'...................... 36 1.3 Основные факты теории В-потенциалов Рисса............ 37 2 Некоторые свойства функциональных пространств ££(Я+) 43 2.1 Непрерывность в целом но обобщенному сдвигу в весовом функциональном классе 43 2.2 Усреднения Соболева-Кинриянова и плотность всюду в множества бесконечно дифференцируемых на функций и пространства типа Лизоркина............. 46 2.3 Обобщенное В-дифференцирование....................... 52 2 3 Пространства В-потенциалов Бесселя 56 3.1 Определение В-потеициалов Бесселя и нахождение явного вида их ядер.................................... 56 3.2 Свойства В-потенциалов Бесселя и их ядер............... 60 3.3 Весовые кольца Винера.................................. 62 3.4 Связь между В-потенциалами Рисса и Бесселя............. 63 3.5 Пространство В-потенциалов Бесселя..................... 65 4 Пространство В-потенциалов Рисса 74 4.1 Интегральные представления обобщенных конечных разностей и В-гиперсингулирных интегралов.............. 75 4.2 Описание пространства весовых потенциалов Рисса и*{Щ).................................................. 80 4.3 О модуле непрерывности (В-Б)-потенциалов............... 86 4.4 Свойства весовых функциональных пространств дробной В-гладкости 88 5 Существование слабых В-производных целого порядка от функций из пространства В-потенциалов Рисса 91 5.1 В-нреобразование Рисса и квазириссов В-потенциал ... 92 5.2 Слабые В-производные................................... 94 5.3 Описание пространства (В-Я)-потенциалов посредством В-производных порядка 2[ а/2 ]............ 100 6 В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующейся характеристикой и весовые классы функций 110 6.1 В-гиперсингулярные интегралы со стабилизирующейся характеристикой....................................... 111 6.2 Весовые классы функций ИЗ Литература...............................................115 3 Введение Актуальность темы диссертации. Идея применения смешанного преобразования Фурье-Бесселя к определению пространств функций дробной В-гладкости принадлежит И.А. Киприянову [5]. Термин "В-производная" и связанное с ним понятие В-гладкости появились в связи с представлением действия сингулярного дифференциального оператора Бесселя в рамках конечных разностей первого порядка, где вместо обычного сдвига применен обобщенный сдвиг, введенный А. Ванштейном и Ж. Дельсартом (см. [13|) в первой половине двадцатого века в связи с исследованиями в осесимметричной теории потенциала и разложениями функций, к которым применен обобщенный сдвиг, в степенные ряды. Разностная регуляризация расходящихся интегралов для описания бесселевых потенциалов была применена И.М. Стейном [41] в частном случае 0 < а < 2, где а — порядок потенциала, и П.И. Лизоркииым [15]—[18] в общем случае. Им же введены лиувиллевские классы дробной гладкости Ьр Г , получившиеся как естественное обобщение пространств бесселевых и риссовых потенциалов. Использование классов Ь^ г для описания пространств потенциалов было осуществлено С.Г. Самко [32]—[38]. Л.Н. Ляхов ввел разностную регуляризацию весовых расходящихся интегралов (В-гиперсингулярных интегралов), используя сдвиги Ванштейна-Дельсарта (см. [19], [23]). Им же введены пространства В-потепциалов Рисса для случая, когда обобщенный сдвиг действует в Яп но всем переменным и дано описание пространств В-потенциалов Рисса на основе соответствующего класса гиперсингуляриых интегралов [24]. Естественным образом возникает проблема использования В-гиперсингулярных интегралов, регуляризация которых основана на применении смешанных 4 обобщенных сдвигов (т. е. когда по части переменных действуют обычные сдвиги, а по другой — обобщенные сдвиги разных весовых индексов), для описания пространств весовых потенциалов Рисса и Бесселя. Необходимость исследования пространств В-потенциалов Рисса и Бесселя обусловлена также построением основ теории весовой интегральной геометрии на базе преобразования Радона-Киприянова, поскольку именно пространства В-потенциалов оказываются, в некотором смысле, худшими из тех, на которых преобразование Радопа-Киириянова обратимо (см. [3]). Поэтому вопрос о распознавании функций из этих пространств является актуальным и эти результаты могут быть использованы в компьютерной томографии осесимметричных объектов. Изучению В-потенциалов Рисса и Бесселя в конце ХХ-го и начала XXI-го веков посвящено немало работ, среди которых выделяются работы А.Д. Гаджиева и B.C. Гулиева [46] и их учеников. Однако эти работы, как и работы других авторов, посвященные изучению В-потенциалов Рисса и Бесселя, не используют схемы Стейна-Лизоркина-Самко (т.е. аппарат дробного В-риссового дифференцирования) по причине малой изученности последних. Это обусловливает интерес к пространствам дробной В-гладкости , которые включают в себя и пространства В-потенциалов Рисса и пространства В-потенциалов Бесселя, а также к функциональным пространствам Киприянова . Кроме того, самостоятельный интерес представляет и техника исследования. Поэтому рассмотренные в диссертации вопросы теории пространств дробной В-гладкости актуальны в современных научных исследованиях. Цель работы. Изучить пространства смешанных В-потенциалов Бессел51 и В-потенциалов Рисса, промежуточные между ними пространства лиувиллевского типа дробной В-гладкости 5 , а также пространства И.А. Киприянова И^*гт . Дать описание пространств В-потенциалов и тем самым установить критерии принадлежности функций пространствам В-потснциалов Рисса и В-потенциалов Бесселя. Установить важнейшие свойства пространств и И^’га, такие, как теоремы вложения пространств но параметрам г и а , теоремы о промежуточных производных, критерии принадлежности этим пространствам на основе В-дифференцирования целого порядка. Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах И.А. Киприянова и его учеников при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений. Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми. 1. Введены смешанные усреднения Соболева-Кинрияиова функций из весовых пространств Лебега Ь^ , изучены их свойства и доказаны теоремы о плотности некоторых пространств бесконечно дифференцируемых четных функций в пространствах Ь^ . 2. Определено ядро В-потеициала Бесселя в случае, когда В-потенциал Бесселя определен в виде свертки, порожденной смешанным обобщенным сдвигом. Установлена связь В-потенциалов Бесселя с В-потенциалами Рисса. 3. Введены классы функций дробной В-дифференцируемости и (построенные по типу лиувиллевских классов функций). Последние совпадают с пространством В-потенциалов Бесселя при р = г и с пространством В-потеициалов Рисса, когда число г равно предельному показателю Соболева в весовых функциональных классах Ь^ . Получено описание пространств В-потснциалов Бесселя и В-потснциалов Рисса на основе дробного В-дифференцирования, 6 осуществляемого В-гиперсингулярным интегралом смешанного типа. 4. На основе весовых сферических функций введено смешанное В-преобразование Рисса и . квазириссов В-потенциал. Получено представление квазириссовых В-потенциалов в виде суперпозиции В-преобразовапия Рисса целого порядка т = [о-] (или В-дифференцирования целого порядка) и В-потенциала Рисса дробного порядка а — т . 5. Получены оценки модулей непрерывности для В-потенциалов. Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструктивное описание математических объектов. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, в математическом анализе, в компьютерной томографии осесимметрических объектов и др. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в Воронежской зимней математической школе, на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль в 2004 г., на научной конференции "Герценовские чтения11 в С.-Петербурге в 2006 г., на международной школе-коллоквиуме по прикладной и промышленной математике, на 3-й международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д. Кудрявцева, международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология", посвященной 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягииа в 2008 г. Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [49]—[56] . В совместных публикациях [49], [50], [52], [53] соавтору принадлежит только постановка задач. Работа [50] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ для кандидатских 7 диссертаций. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав и списка цитируемой литературы, включающего 56 наименований. Общий объем диссертации — 121 стр. Краткое содержание диссертации. Перейдем к изложению содержания диссертации. При этом мы сохраним нумерацию основного текста диссертации. В главе 1 приводятся известные факты из теории В-гиперсингулярных интегралов, используемые далее в диссертации. В начале этой главы вводятся используемые далее основные понятия и обозначения. Мы будем рассматривать функции, определенные в части евклидова пространства точек Ддг = {ж — (ж , ж ), ж = (жх, . . . , Жп), Ж =(жп_|-х» • • • 5 Я'Лу), Жх^0,..., жп >()}. При этом число п предполагается фиксированным, 1 < п < N (случай п = 0 отвечает классической теории). Через будем обозначать область, прилегающую к гиперплоскостям жх = 0, ...,жп = 0. Граница области Г2+ состоит из двух частей: Г+, расположенной в части пространства и Го , принадлежащей гиперплоскостям жх = 0,..., хп = 0 . Обобщенный сдвиг определяется формулой п / —> (Ту/)(ж) = Л /(ж7, х" — т/"), где каждый из обобщенных ;=1 сдвигов Ванштейна-Дельсарта Ту‘ определен по формуле 8 п а произведение П Ту* понимается как суперпозиция операторов. к= 1 Введем в рассмотрение нецентрированпые обобщенные конечные разности (П[ч>){х) = £ (-1)кС£ Т%]ьч>{х). к—О Общий В-гиперсингулярный интеграл порядка а > 0 с однородной характеристикой П(т) = П(х/\х\) определяется формулой: ^ (*> ’ ОД «г <* ■ (1.2.2) я+ П Здесь 7 = (71,... ,7п)> (ж07 = П 7* >0 СУТЬ фиксированные 1=1 числа, с1мг711(а) — нормирующая константа, подобранная так, что конструкция (1.2.2) не зависит от I. По аналогии с риссовым дифференцированием выражение ж) можно назвать также риссовой В-нроизводной функции (р порядка а. В'ПОтенциал Рисса определяется формулой: (и“/)(*) = I № ту (|8Г+1м_а) (у'У Ъ, а > о. Глава 2 посвящена некоторым свойствам функциональных пространств 1£(П+) . Определение 2.1.1. Функция / 6 1^(П+) называется непрерывной в целом в 1Л (П+) 7?.о обобщенному сдвигу Ту , если для любого £ > 0 найдется £(е) > 0 такое, что для всех |/г| < 6 ||Тн}(х) — < £ > г^е — з-внутренняя подобласть области , расстояние от као/сдой точки которой до части границы Г+ больше 5. Теорема 2.1.1. Всякая функция из ££(Й+), 1 < р < со непрерывна в целом вЬ^(П+) по обобщенному сдвигу Ту . Далее в этой главе рассматриваются усреднения Соболева-Киприянова. 9 Пусть функции/,<7 е . Тогда обобщенная свертка функций /ид определяется формулой (/*/;)7(ж)= I /{у)Тх9(,х){у')1(1У- Пусть — бесконечно дифференцируемая в Я\ четная функция, обращающаяся в ноль при |£| > 1 и удовлетворяющая условию / ^(|т|) (х')7 бх = 1. Положим <р£(х) = рттргуФ (^) * Определение.Пусть / Є Т^(П+). Будем считать, что функция / продолжена нулем вне области . Функцию /£(х)=(/ * у)£)^(х) назовем е— усреднением Соболева-Киприяиова функции /. Теорема 2.2.1.Пусть / Є Ь^(П+) .Тогда Пт \\/£ —/||^2(Г2+) — 0. Пусть /3 — (/?',/?") - мультииндекс с неотрицательными целыми компонентами, р' = [Ри 02, /?;/ = (/?п+ь • • • >/?лг)- а/ Через будем обозначать оператор, определенный равенством Вх'и - вх\вх1 ■ ■ ■ вг.;:и, где ВХі = ВХі і7і - оператор Бесселя, действующий ПО переменной Хі по формуле Вх.и ~ ВХіПіи = 1^7 + ^^7 , а через — оператор , действующий по формуле БІ„/(х',х") = ^, где |/3"| = рп+1 + ... + 0*г- Л/ о// Функцию вида Вх, Бх„ /(х' ,х"/ мы будем называть смешанной В-ироизводной от функции /(х',хп) . Прямое и обратное смешанные преобразования Фурье-Бесселя определяются соответственно формулами Ввл\ч>{х',х"Ш) = [ <р(х) \\зик{б,кХк)е~гх" С{х'У дх = д+ *=1 ЯЛГ п = (2»)"-п22М П Г2К- + 1 )Р^Ы>(х', -а/')](0> (1-1.16) /с=1 10
- Київ+380960830922