Оглавление
Введение 3
1 О гладкости решений вариационных задач Дирихле для эллиптических уравнений, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами в ограниченной области 23
1.1 Функциональные пространства .......................... 23
1.2 Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями................................................... 28
1.3 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями................................................ 29
2 Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве 38
2.1 Формулировка основных результатов .................... 38
2.2 Доказательство теоремы 2.1.1.......................... 42
2.3 Доказательство теоремы 2.1.2.......................... 40
3 Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в предельно-цилиндрической области 52
3.1 Формулировка основных результатов..................... 52
3.2 О компактности некоторых вложений в Лебеговом пространстве с весом........................................... 58
3.3 Интерполяционные неравенства для весовых пространств . . 65
3.4 Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями................................................... 67
3.5 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями................................................ 83
2
Введение
Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений и изучению дифференциальных свойств ее решений. Как уже отмечено многими авторами, пространство 1Ур(П), введенное С.Л. Соболевым в тридцатые годы прошлого столетия, дал сильный толчок в развитии теории краевых задач для дифференциальных уравнений. Обобщением этого пространства является пространство И^а(П) функций и(х), определенных на с конечной нормой
1кИ£>(«)|[ = | £ I р«>{х)\чЮ{х)\Чх + I \и{х)\Чх \ 1*1=г О О
Здесь и далее - область в гг - мерном евклидовом пространстве Яи} г - натуральное число, а.р - вещественные числа, р > 1, к = Ось /с2, • • • , кп) - мультииндекс, 1*1 = *1 + к2 -I Ь кп - длина мультииндекса к,
„№>(*) = ________________
{ ’ дхЧ'дх1?■■■дхЪ
- обобщенная в смысле С.Л. Соболева производная функции и(х) мультииндекса к} р(х) - регуляризованиое расстояние от точки х £ П до границы дП области <2, т.е. бесконечно дифференцируемая положительная функция, удовлетворяющая неравенствам
р(х) < <Из1{х,дП} < Мр{х).
|р«*)(®)| < М^-^х),
для любого х 6 П и любого мультииндекса к. Если же д£1 — 0, т.е. П = Яп1 то р(х) = (1 + |а:|2)1/2. Известно, что (см., например, И. Стейн [53] стр. 203) такая функция р(х) существует для любой строго внутренней области П С Пп.
3
Свойства пространств И^а(П) достаточно хорошо изучены в случае, когда 9 С Rn - ограниченная область с гладкой (тг — 1) - мерной границей <99 = Г. Этому случаю посвящены работы В.И. Кондрашова [28], Л.Д. Кудрявцева [29), С.Л. Соболева [52], С.М. Никольского [44], С.В. Успенского [56], П.И. Лизоркина [30], В.В. Шанькова [57], и др. Более подробную библиографию можно найти в обзорах О.В. Бесова, В.П. Ильина, Л.Д. Кудрявцева, П.И. Лизоркина, С.М. Никольского, [4], С.М. Никольского, П.И. Лизоркина, Н.В. Миропшпа [48], книгах С.М. Никольского [45], X. Трибсля [54, 55].
Теоремы вложения, пряхмые и обратные теоремы о следах для пространств Wpa(iï) играют важную роль в теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. Их приложения в исследовании разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка были продемонстрированы Л.Д. Кудрявцевым в работе [29]. Случай эллиптических уравнений высокого, порядка рассматривался в цикле работ С.М. Никольского, П.И. Лизоркина и их учеников, который начинается с работы С.М. Никольского, П.И. Лизоркина [47]. В работах С.М. Никольского [46], П.И. Лизоркина и С.М. Никольского [34, 35, 36], П.И. Лизоркина [32], Н.В. Мирошина [39, 40, 41], П.И. Лизоркина и Н.В. Мирошина [33] изучены однозначная разрешимость и дифференциальные свойства решений вариационной задачи Дирихле, связанной с билинейной формой
B[u:v] = ^ f aki(x)u^(x)v^(x)dx> (0.0.1)
I ВД<гр
коэффициенты которой имеют форму произведения ограниченной функции и степени регуляризованного расстояния до границы области.
Зависимость гладкости решения этой задачи от гладкости граничных функций исследовалась в работах В.Л. Вайдельдинова [1, 2].
В указанных выше работах С.М. Никольского, П.И. Лизоркина. Н.В. Мирошина, Б.Л. Вайдельдинова предполагалось, что форма (0.0.1) удовлетворяет условию коэрцитивности. Вариационная задача Дирихле, связанная с билинейной формой (0.0.1), когда эта форма не является коэрцитивной, изучалась К.Х. Бойматовым и С.А. Исхоковым в работах [9| -[16], [20] - [24]. Дифференциальные свойства решений этой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов оператора и правой части уравнения изучались в работах [14], [20], [24]. Однако, вопрос о зависимости гладкости решений от гладкости граничных функций в указанных работах не
4
рассматривался. Этому вопросу посвящена первая глава настоящей диссертации.
Следует отметить, что не все результаты, полученные по этому направлению в случае ограниченных областей, обобщаются на случай, когда рассматриваемая область является неограниченной. Поэтому существуют лишь отдельные работы, в которых изучаются вариационные задачи для эллиптических уравнений с вырождением в неограниченных областях специального вида (внешность ограниченной области, полупространство Д,! = {х = (х\ хи) : х„ > 0}, предельно цилиндрическая область). Случай внешности ограниченной области рассматривался в работах М.В. Ми-рошина [42, 43].
Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических уравнений в полупространстве Я* исследовалась в работах Ю.В. Рыба-лова [51], И.И. Матвеевой [38], С.А. Исхокова [19]- [22], [59].
Исследования, проведенные во второй глазе настоящей работы, примыкают к исследованиям С.А. Исхокова [19]- [22], [59] и по сравнению с этими работами ослаблены условия на коэффициенты рассматриваемого уравнения.
Пусть п > 2 и <7 С Яп~] - ограниченная область с замкнутой (п — 2) -мерной границей. Пусть о;(£) (—оо < < ^ < -Ьоо) ограниченная сверху
положительная непрерывная функция. Тогда область (см., например, [50], стр. 245 - 246)
П = {я = (х\хп) € Яп\х'/и)(хп) е (7}
где х' = (хг, Х2, • • • > #п-1) называется предельно - цилиндрической.
Спектральные свойства дифференциальных операторов, определенных в предельно - цилиндрической области, изучались в работах Г.В. Розеи-блюма [50], К.Х. Бойматова [8], Б. Гюнтера [58], М.И. Олимова [49], М.Г. Гадоева и М.И. Олимова [17].
Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов в предельно - цилиндрической области изучалась в работах
С.А. Исхокова и Н.У. Усманова [25, 26], С.А. Исхокова [СО]. В этих работах, наряду с доказательством теорем об однозначной разрешимости вариационной задачи Дирихле, также изучались дифференциальные свойства решения этой задачи в зависимости от гладкости коэффициентов дифференциального оператора и гладкости правой части уравнения. В отличие от этих работ, где предполагалось, что билинейные формы, порожденные
о
с помощью рассматриваемых дифференциальных операторов, удовлетворяют условию коэрцитивности, в третьей главе диссертации мы исследуем разрешимость вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов, ассоциированных с некоэрцитивными билинейными формами. Здесь также изучается вопрос о зависимости решения от гладкости коэффициентов дифференциального оператора и гладкости правой части уравнения.
Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из настоящего введения, трех глав и списка литературы. Используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий и формул, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий - на порядковый номер теорем, лемм, следствий, или формулы в данном параграфе.
Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена исследованию гладкости решений вариационных задач Дирихле для эллиптических уравнений со степенным вырождением на всей границе ограниченной области п - мерного евклидова пространства Яп. В первом параграфе определены основные функциональные пространства и приведены их основные свойства. Во втором параграфе сформулирована теорема об однозначной разрешимости и гладкости решения вариационной задачи Дирихле с однородными граничными условиями. Третий параграф содержит доказательство теорем о зависимости гладкости решения вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными условиями от гладкости коэффициентов дифференциального оператора, правой части уравнения и от гладкости граничных функций.
В первой главе диссертации предполагается, что П- ограниченная область в евклидовом пространстве Я" с достаточно гладкой (п — 1)- мерной границей дП = Г, г- натуральное число, р, а- вещественные числа, Р> 1.
Символом СдДП) обозначен класс бесконечно дифференцируемых финитных в П функций. Если В - нормированное пространство с нормой
о
!|/;£|| , которое содержит С£°(П), то символом В обозначим замыкание класса С'о°(П) в пространстве В. Если пространство В вложено в пространство то символом В' обозначим пополнение по норме
||/;Я'|| = эирК/,ф)\, где (.,.) - скалярное произведение пространства 1/2(П) и супремум берется по всем тр Е В таким, что [IV»; ВЦ = 1. Далее, мы отождествляем элементы Р 6 В' с соответствующими антилннейными функционалами над В. Символы В£(П) = Г2) и В"(д£1) обозначают
6
классы функций О.В. Бесова, заданные на О, и dQ соответственно (определение классов Bpd(ÇÏ) и В"(дії) см., например, в [5] или [54]).
Если Ві. В2 - нормированные пространства с нормами || • ; В\ j|, || •; В2\\ соответственно, то запись В і —» В2 означает, что все элементы пространства В\ можно рассматривать как элементы пространства В2 и, кроме того ||и; В21| < С\\щBill для любого и Є В\ с положительной константой С, не зависящей от и.
Первый результат типа теорем вложения для пространств W^a(ü) был получен В.И. Кондрашовым [28]. Систематическое исследование пространств Wpta(Q) принадлежит Л.Д. Кудрявцеву [29]. Оно развивалось и дополнялось работами многих математиков, среди которых отмстим работы С.М. Никольского |44], О.В. Бесова, Я. Кадлеца, А. Куфиера (6),
О.В. Бесова |3], X. Трибеля [54] и др. Более подробную библиографию по этому вопросу можно найти в обзорной работе С.М. Никольского, П.И. Лизоркина, Н.В. Мирошина [48].
Ниже отдельно сформулируем теорему о плотности класса Cqc(Q) в пространстве Q(П), теорему вложения для пространств W£a(Q) и тео-
ремы о следах функций из пространств Wp n(Çl) на границе дй.
Теорема 1.1.1. Множество Cq°(£1) плотно в пространстве И^'а(П) в том и только в том случае, если а < — 1 /р или а > 7' — 1/р.
Теорема 1.1.2. Пусть т - целое число; 0 < т < г, ат > а — т > — 1/р. Тогда справедливо вложение
w;,a(n) - -> w;~zm
с соответствующими оценками норм.
Теорема 1.1.3. Пусть
—- < а < г - -, (0.0.2)
V V
sü - целое число, удовлетворяющее неравенствам
г — a — - <s0<r — ос + 1 — -, (0.0.3)
Р Р
граница 0Q принадлежит классу С3о+1+е, где є Є (0,1). Тогда справедливо влоо/сение
w;jü) - в;-°-^(дП).
7
- Київ+380960830922