Оглавление
Введение 4
Глава 1. Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа со степенным характеристическим вырождением 21
§1.1. Построение частных решений уравнения смешанного типа (1.1)
в прямоугольной области при т > 0.......................... 21
§1.2. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа (1.1) в прямоугольной области при 0 < т < 1.................................. 26
§1.3. Видоизмененные граничные задачи для уравнения смешанного
типа (1.1) н прямоугольной области при 1 < т < 2 40
§1.4. Видоизмененные граничные задачи для уравнения смешанного
типа (1.1) в прямоугольной области при т = 1............... 52
Глава 2. Задача Дирихле и видоизмененные задачи для уравнений смешанного типа с фиксированным характеристическим вырождением 60
§2.1. Построение частных решений для уравнения смешанного типа
(2.1) в прямоугольной области.............................. 60
2
§2.2. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа (2.1) в прямоугольной области при 0<а<1 65
§2.3. Видоизмененные граничные задачи для уравнения смешанного
типа (2.1) в прямоугольной области при а > 1............... 79
§2.4. Видоизмененные граничные задачи для уравнения (2.1) в прямоугольной области при <2 = 1 96
Библиографический список 104
3
Введение
Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу своей прикладной и теоретической значимости, является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, поэтому постановка и исследование краевых задач для таких уравнений привлекают внимание многих ученых.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [70, 71] и С. Геллерстедта [87], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа с одной линией параболического вырождения.
Систематическое изучение краевых задач для уравнений смешанного типа проводилось в работах Ф.И. Франкля [73], К.И. Бабенко [2], A.B. Бицадзе [5] -[6], В.Ф. Волкодавова [И], C.II. Пулькина [39], М.М. Смирнова [55], [56] , М.С. Салахитдинова [53], [54], В.И. Жегалова [13], [14], А.М. Нахушева [35] - [37], Е.И. Моисеева [33], К.Б. Сабитова [43] - [47], O.A. Репина [42], А.П. Солдатова [57] - [58], T.LLI. Кальменова [24], P.C. Хайруллина [75] - [77], J.R. Cannon [88],
D. Dunninger (89] - [90] и других математиков.
Следует отмстить, что подавляющая часть работ по уравнениям смешанного типа относится к исследованию краевых задач смешанного типа с нехарактеристическим вырождением. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с характеристическим вырождением изучены сравнительно мало.
4
Пер*зые исследования по уравнениям смешанного типа с характеристическим вырождением принадлежат И.Л.Каролю [25] - [28|. Его исследования посвящены выяснению корректной постановки задачи Трикоми для двух модельных уравнений:
Lu = ихх + sgny • \y\muvy = 0, т > 0, (0.1)
Lu = ихх -г уиуу + аиу — 0, а — const. (0.2)
Пусть D - область плоскости XOY, ограниченная простой жордановой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках 0(0,0) и А(1,0), и
характеристиками ОС и АС рассматриваемого уравнения, расположенными в полуплоскости у < 0. Обозначим D+ = D П {у > 0}, О- = D П [у < 0}.
Для уравнения (0.1) ИЛ.Каролем [25] рассмотрена задачи Трикоми (задача Т): найти функцию и(х, у) из класса C(D) П О1 (D) П C2(D+ U £>_), удовлетворяющую уравнению (0.1) в U D- и принимающие заданные непрерывные значения на кривой Г и характеристике ОС. Он доказал однозначную разрешимость задачи Т при 0 < m < 1 в случае, когда кривая Г совпадает с так называемой "нормальнойпкривой Го: (х — 1/2)2 -f (jr^Z/^)2 — 1/4. Но в общем случае, то есть для произвольной кривой Г, доказательство единственности решения задачи Т и его существования оставалось открытым. В работе К.Б. Сабитова [43] приводится доказательство единственности решения задачи Т для любой кривой Г из класса Ляпунова при 0 < га < 1. В работах [44, 45) им показано, что задача Трикоми для уравнения (0.1) при ш > 2 поставлена не корректно. В связи с этим он исследовал задачу Трикоми для уравнения xmuxx + sgny • uyv = 0 при всех m > 0.
Исследования, проведенные И.Л. Каролем в работах [25] - [28], показали, что характер краевых задач, которые могут быть поставлены для уравнения
5
(0.2) в области D, в отличие от уравнений с нехарактеристическим вырождением, существенно зависит от коэффициента а и класса решений уравнения (0.2). Так, например, было обнаружено, что задача Т в случае а < 0 недо-определена. Наоборот, при а > 0 задача Т переопределена. В этом случае производная по у решения уравнения (0.2), а при а > 1 и самое решение будет, вообще говоря, неограниченным в окрестности точек параболического вырождения. Поэтому для определения решения и(х,у)у ограниченного во всей смешанной области D, при а > 1 оказывается достаточно задавать его значение лишь на дуге Г, а характеристики ОС и АС следует освободить от граничных данных, или же только на одной их характеристик [22], освободив дугу Г и вторую характеристику от краевых данных.
И.Л. Кароль для уравнения (0.2) в области D при 0 < о. < 1 изучил задачу Трикоми с весовыми условиями склеивания, то есть на линии перехода вместо обычного требования непрерывности производной по нормали
иу(х} 4-0) = иу{х, -0), 0 < х < 1,
вводится условие сопряжения с весом
lim (—y)auv = к lim ?/\, 0 < х < 1,
2/—»0—0 ’ У у—*0+0 У
где к = -1 при 0 < а < 1/2, к = 1 при 1/2 < а < 1.
Задача Т для уравнения (0.2) при а < 0 становится корректно поставленной, если условия склеивания ввести по-иному. С.С. Исамухамедов [20], следуя С.А.Терсенову [68], для уравнения (0.2) в области D при а = —п 4- а-о, % < oq < 1, п = 1,2,..., поставил задачу Т со следующими условиями склеивания:
и(х, 4-0) = и(х, —0) = т(х), 0 < х < 1,
Дто(-у)аК + /£(«)] = (-1)* Дшо(-2/)а^[и - Л; (г)] = и(х),0 <х<1,
в
где
A~n=J2 N^k f »*(*)(*(! - t))k+a°Sdt,
Ыо Jo
JL Ffik
An = 2 = 1 ~ 2'/~W(1 “ 2i)>
iVfc(/c = 07тг), Mk{h = 1 , n) - определенные постоянные.
Единственность решения этой задачи доказана методом экстремума, а существование для случая, когда кривая Г совпадает с нормальной кривой Го -методом интегральных уравнений.
Случай ао = 1/2 изучен Ю.М. Крикуновым [30], [31] для некоторых специальных областей.
Хайруллин P.C. [75] для уравнения (0.2) в случае а < -1/2 в смешанной области, ограниченной нормальным контуром Г0 и двумя характеристиками, доказал однозначную разрешимость задачи Трикоми методом интегральных уравнений. В работе [76] в смешанной области, ограниченной при у > 0 произвольной кривой Г из класса Ляпунова и двумя характеристиками уравнения (0.2) им показана фредгольмовость задачи Трикоми при а < —1/2.
Интерес к задаче Дирихле для уравнения смешанного типа возник после известных работ Ф.И.Фраикля [72, 73], в которых впервые обращено внимание на то, что ряд задач трансзвуковой динамики сводятся к этой задаче. Так, например, если рассматривать задачу перехода через звуковой барьер установившихся двумерных безвихревых течений идеального газа в соплах когда сверхзвуковые зоны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится к задаче Дирихле для линейных уравнений смешанного тина.
На некорректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева М.А.
ихх + {sgny)uyy = 0
в смешанной области, гиперболическая часть 7 границы которой лежит в характеристическом треугольнике 0 < х + у < х — у < 1, впервые обратил внимание А.В Бицадзе [о]. Причем некорректность задачи Дирихле не зависит от малости меры области, заключенный между 7 и у = 0.
Результат А.В Бицадзе с необходимостью поставил вопрос поиска смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной.
В.В. Шабат [82J исследовал задачу Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в области у > —h, h > 0, и области, гиперболическая часть которой лежит целиком внутри характеристического треугольника, построенного на отрезке действительной оси [0,1].
В работах H.H. Вахания [9] и J.R. Cannon [88] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольных областях обладающих специальными свойствами.
В работе М.М. Хачева [81, с.ЗЗ] рассмотрена задача Дирихле для уравнения
Ци) = ихх 4- (sgny)[\y\mUyy 4- a\y\m~luy 4- b\y\m~2u] = 0, 0 < то < 2,
со следующими условиями сопряжения:
lim у~Р2и = lim (—у)~Р2и,
у—+0‘ .У—-о
lim [у1~Рхиу - р2У~Р1и] = lim \{-уУ~Р1иу + p2(-y)~Plu})
у—>Ю у—*—О
где
2pi = 1 - а + у/(а - I)2 - 46, 2р2 = 1 - а - у/(а - I)2 - 40, а, b - постоянные, подчиненные условиям:
1) 46 < (а — I)2 < 46 4- (2 - то)2;
2) 6 = 0 при а<1,1<а<3 — т и при а = 1, то < 1;
3) 6 < 0 при а > 3 — т.
8
В работе Р.И.Сохадзе [60] для уравнения (0.2) при 0 < а < 1 исследуется вопрос о существовании хотя бы одного решения задачи Дирихле в прямоугольной области D = {(гс,у)) 0 < х < 1,—а- < у < ß}} ct,ß > 0 при условии
2sin(l — а)п Г dk \
7Г J kJi-a(2i:ky/a)Ja-i(27rk)y/ä)
2sin(l — а)тг f dk \
тг У kl\-a(2nky/ß)la-i(27ik)y/ß) '
где Ji-a(z) и I\-a{z)- функции Бесселя первого рода порядка 1 — а с действительными и чисто мнимыми аргументами соответственно. А в работе [59] для уравнения (0.2) при а > 1, где а - фиксированное не целое число, рассмотрена задача Дирихле со следующими условиями сопряжения:
lim ya~lu(x,y)= lim (-у)а~1и(х,у), 0 < х < 1;
у-* 0+0 у—*0-0
üm г/в%(х,у) = lim (~у)аиу(х,у), 0 < а: < 1.
у—Оч-О у—*0—0
Методом разделения переменных построены частные решения уравнения (0.2) при 0 < а < 1, а > 1 и не целых. При этом решение задач формально построено в виде суммы ряда Фурье. В этих статьях отсутствуют четкие доказательства единственности решения поставленных задач и не приводятся обоснования сходимости рядов Фурье.
В работах А.П. Солдатова |57, 58] доказаны теоремы существования и единственности решения задач типа Дирихле для уравнения Лаврентьева - Би-цадзе в смешанной области, ограниченной при у > 0 и у < 0 соответственно гладкими дугами с общими концами в точках (0,0) и (0,1), при этом дуга при у < 0 лежит внутри характеристического треугольника.
Нахушев А.М. [36] установил единственность решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа первого рода в цилиндрической области.
Ф ~ ехр -
ехр -
9
- Київ+380960830922