Инвариантные подпространства и линейные операторные уравнения

Оглавление
1 Введение 3
1.1 Общая характеристика работы............................... 3
1.2 Список опубликованных работ автора по теме диссертации 10
1.3 Обзор основных результатов диссертации (по главам) ... 13
1.4 Обзор литературы по теме диссертации..................... 33
2 Нетривиальность решеток инвариантных подпространств 48
2.1 Совместный спектральный радиус и совместная
квазинильпотентность..................................... 48
2.2 Полунспрерывность и субгармоничность совместного
спектрального радиуса ................................... 51
2.3 Вольтерровы алгебры компактно квазинильпотентны . . . 53
2.4 Существенный спектральный радиус; применения к
операторным полугруппам . 60
2.5 Формула Бергера-Вонга.................................... 68
2.6 Хаусдорфов радиус и инвариантные подпространства ... 72
2.7 Обобщенная формула Бергера-Вонга ........................ 74
2.8 Полугруппы операторов основного типа .................... 76
2.9 Инвариантные подпространства операторных алгебр Ли . 79
2.10 Комментарии и выводы..................................... 82
3 Непрерывность Lat и рефлексивность решеток 84
3.1 Свойства замкнутости для решеток подпространств .... 84
3.2 Иерархия свойств замкнутости............................. 88
3.3 Тензорные произведения решеток........................... 92
3.4 Непрерывность отображения Lat .......................... 101
3.5 Достаточные условия непрерывности ...................... 104
3.6 Аппроксимируемость и рефлексивность..................... 112
3.7 Комментарии и выводы..................................... 115
4 Коммутативные решетки и masa-бимодули 116
4.1 Рефлексивные бирешетки.................................. 116
1
4.2 w-топология............................................ 119
4.3 Носители бирешеток и бимодулей ........................ 128
4.4 Теоремы плотности для masa-бимодулей ................ 133
4.5 Минимаксная форма теоремы о нулях ..................... 145
4.6 Комментарии и выводы................................... 150
5 Операторный синтез 153
5.1 Операторный синтез для бирешеток....................... 153
5.2 Операторный синтез для псевдозамкнутых множеств . . . 161.
5.3 Существование минимальных алгебр....................... 175
5.4 Приложения к спектральному синтезу в алгебрах
Варопулоса............................................. 181
5.5 Множества Диткина и проблема синтезируемости
объединений............................................ 188
5.6 Комментарии и выводы................................... 191
6 Индивидуальный синтез и линейные операторные уравнения 193
6.1 Синтез относительно модулей ........................... 193
6.2 Модули над тензорными алгебрами и линейные операторные уравнения...................................... 196
6.3 Связь с глобальным операторным синтезом.................................... 199
6.4 Аппроксимативные обратные сплетения.................... 206
6.5 All для операторов умножения .......................... 212
6.6 Следы коммутатороз .................................... 220
6.7 Некоммутативная теорема Фуглида........................ 223
6.8 Операторные уравнения с нормальными коэффициентами 229
6.9 Индивидуальный синтез в тензорных алгебрах и его
приложения ............................................ 232
6.30 Комментарии и выводы................................... 235
7 Заключение 238
Литература 243
2
Глава 1
Введение
1.1 Общая характеристика работы
Актуальность темы диссертации. Значение и актуальность исследования строения инвариантных подпространств операторно алгебраических систем обусловлены возможностью их использования для анализа основных свойств (спектральных характеристик, геометрических инвариантов, неприводимых представлений) этих систем. В частности, весьма существенным оказывается возможность использования результатов об инвариантных подпространствах дня исследоваЕшя линейных операторных уравнений и (в свою очередь) их приложений к дифференциальным уравнениям и теории псевдодифференциальным операторов. Большой интерес к этим вопросам вызывается и наличием плодотворных связей между теорией инвариантных подпространств и такими разделами функционального анализа как теория банаховых алгебр, спектральная теория операторов, теория структур, бесконечномерная геометрия, теория меры, теория приближений, гармонический анализ (в частности, спектральный синтез), асимптотика операторных полугрупп, структурная теория бесконечномерных алгебр Ли. Актуальность тематики подтверждается, также, активным участием многих ведущих исследователей в ее развитии. Скажем о некоторых рассматривающихся в работе вопросах более подробно.
1. Триангуляция (то есть, нахождение максимальных цепочек инвариантных подпространств) операторных алгебр, полугрупп и алгебр Ли, и, как ее первый шаг, выработка критериев нетривиальности решеток инвариантных подпространств. Эти вопросы имеют первостепенную важность для классификации представлений соответствующих алгебраических структур, исследования спектральной структуры операторных систем, строения их подсистем, идеалов и факторов.
3
Интерес к проблемам триангулируемости возник уже в конце девятнадцатого века, вместе с теорией конечных групп и конечномерных алгебр Ли. Первые бесконечномерные результаты связаны с именами Гильберта, Шмидта, Вейля, фон Неймана, Стоуна, Халмоша, Л.С.Понтрягина, М.Г.Крейна. Важным этаном развития тематики явилась работа В.И.Ломоносова, за которой последовали работы Д.А.Гурария и Л.А.Ваксмана, Войтыньского, Раджави, Розенталя и многих других математиков. Избранный в диссертации подход потребовал серьезного продвижения в теории банаховых алгебр (теория совместного спектрального радиуса) и исследования асимптотики компактно порожденных полугрупп, что само по себе имеет большое значение. Еще одно направление, в котором, в результате этого подхода, стал возможен существенный прогресс — эго спектральная теория операторных уравнений с компактными коэффициентами.
2. Выяснение условий непрерывности основного в теории инвариантных подпространств отображения Lat, сопоставляющего алгебре операторов ее решетку инвариантных подпространств. Интерес к проблемам непрерывности Lat объясняется, прежде всего, тем, что ее наличие стабилизирует задачи описания решеток инвариантных подпространств и. тем самым, делает возможным "аппрокенмациониый" подход к их решению. Результаты о непрерывности оказываются полезными при изучении области значений Lat, то есть, тех решеток подпространств, которые имеют вид Lat(M) для некоторого семейства операторов М\ такие решетки принято, следуя Халмошу, называть рефлексивными. Таким образом, в круг рассматриваемых задач входит поиск достаточно удобных критериев рефлексивности решеток подпространств, то есть, изучение тех свойств, которые выделяют решетки инвариантных подпространств среди всех решеток подпространств. Следует отметить, что исследование непрерывности Lat выявляет топологическую подоплеку ряда фундаментальных результатов теории операторных алгебр , таких как теорема Арвесона о коммутативных решетках или теорема Ларсона - Андерсена о кратности инвариантных цепочек.
Вопрос о непрерывности Lat приводит к необходимости изучения геометрии решеток подпространств, а также пространственных тензорных произведений таких решеток и, в частности, исследования проблемы Хоипенвассера - Крауса о нахождении условий на операторные алгебры Л и В, при которых решетка инвариантных подпространств их тензорного произведения совпадает с тензорным произведением их решеток. Заметим, что двойственная задача — нахождение оболочки
4
тензорного произведения решеток — также привлекала и привлекает большое внимание; в частности, для ее решения в случае симметричных решеток была построена теория Томиты - Такесаки, вызвавшая революционный прогресс в современной теории С*-алгебр.
Впервые вопросы непрерывности £а£, в неявном виде, возникли в работах фон Неймана, рассматривавшего "почти инвариантные" подпространства и "почти триангулирующие" цепочки подпространств. Позднее это направление получило развитие в работах Апостола, Фояша, Войкулеску, Халмоша, Конвея, Хэдвина, Дэвидсона и др.. При этом основное внимание уделялось алгебрам с одной образующей; рассматриваемый в диссертации общий случай имеет принципиальные отличия и требует новой техники. Структура решеток инвариантных подпространств активно исследовалась в работах Диксмье, Калиша, М.С.Бродского, Донохью, Г.Э.Кисилевского, Н.К.Никольского, Домара, Д.В.Якубовича и многих других математиков.
3. Исследование структуры операторных бимодулей над максимальными самосопряженными коммутативными алгебрами операторов и соответствующих им проекторных систем (бирешеток). Рассматриваемые здесь вопросы можно разделить на два класса — тс, которые связаны с разработкой чисто операторной (бескоординатной) техники в теории бирешеток, независимой от ограничений типа сепарабельности или счетной разложимости, и те, которые возникают при координатном подходе — они связаны с вопросами теории меры, емкости, спектрального анализа — синтеза и других классических областей анализа. Координатный подход впервые возник в работах Арвесона, который изучал специальный класс бимодулей — СЭЬ-алгебры. Он же поставил (в основном, в алгебраической ситуации) множество задач как общеоператорного, так и координатного характера; некоторые из них рассматриваются и решаются в диссертации. На долгое время после работ Арвесона теория СБЬ-алгебр оказалась в центре внимания специалистов по теории операторных алгебр (среди которых можно выделить особенно значительный вклад Дэвидсона, Эрдеша, Ларсона, Андерсена). Необходимость изучения общемодульной ситуации выявилась в последнее десятилетие, в связи с потребностями теории линейных операторных уравнений, возникающих, в свою очередь, в теории представлений квантовых групп, уравнений в свертках, интегральных уравнений, линейных уравнений в частных производных. Рассмотрение этой тематики в диссертации потребовало создания и разработки нового аппарата: теории операторного синтеза, теории аппроксимативных обратных сплетений, теории псевдотопологических
5
1
пространств.
Цель и задачи исследования. Целыо диссертационной работы является разработка эффективного аппарата спектрального и триангуляционного (то есть, основанного на изучении структуры инвариантных подпространств) анализа операторно алгебраических систем — операторных алгебр, полугрупп, алгебр Ли, бимодулей над операторными алгебрами. Для этой цели в диссертации решаются задачи классификации представлений таких систем, изучения их решеток инвариантных подпространств, задачи совместной триангуляции, задачи выделения геометрических и аналитических инвариантов, удобных для анализа таких систем, изучения асимптотики компактно порожденных полугрупп, задачи спектрального и операторного синтеза, изучения топологических свойств (непрерывность, стабилизация, аппроксимативность) основных конструкций, рассматриваются проблемы теории меры и теории емкостей, исследуется строение ядер и образов операторов в шкалах банаховых пространств, анализируются спектральные характеристики операторов умножения в симметрично нормированных идеалах и, как следствие, операторов свертки и дифференциальных операторов в частных производных.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются операторно алгебраические системы (алгебры, группы, полугруппы, алгебры Ли, бимодули операторов, действующих в гильбертовых или банаховых пространствах). Предмет’ исследования — алгебраические, геометрические (триангуляционные, в частности), спектральные свойства этих систем, их подсистем и связанных с ними систем линейных операторных уравнений.
Гипотеза. Основные результаты диссертации получены при исследовании справедливости следующих гипотез:
1. Алгебра Ли вольтерровых операторов имеет инвариантное подпространство (гипотеза Войтыньского).
2. Решетка проекторов тензорного произведения алгебр фон Неймана совпадает с тензорным произведением решеток проекторов сомножителей (гипотеза Хопенвассера)
3. Ворелевское подмножество прямого произведения. компактов содержит носитель ненулевого оператора тогда и только тогда, когда оно не является маргинально нулевым (гипотеза Арвесона).
4. Решетка подпространств, порожденная решеткой конечной ширины и коммутирующей с ней синтезируемой решеткой, является синтезируемой (гипотеза Арвесона).
б
5. Транзитивный бимодуль над максимальной абелевой симметричной алгеброй операторов ультраслабо плотен в пространстве всех операторов (гипотеза Дэвидсона).
6. Коммутатор компактного и нормального оператора имеет, в' случае его ядерности, нулевой след (гипотеза Вейсса).
7. Пространство решений линейного операторного уравнения с коммутирующими нормальными коэффициентами совпадает с пространством решений формально сопряженного уравнения (гипотеза Вейсса).
Методология и методы проведенного исследования. В
диссертационной раб'оте используются методы классического анализа, теории операторов, теории банаховых алгебр, теории С*-алгебр, теории меры, теории емкостей Шоке, геометрии банаховых пространств, теории спектрального синтеза, теории симметрично нормированных операторных алгебр, теории представлений, теории структур. Специально для решения рассматриваемых в диссертации задач были разработаны аппарат теории псевдотопологических пространств, техника аппроксимативных сплетений, теория операторного синтеза.
Научная новизна полученных результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. В тех случаях, когда изложение требует воспроизведения результатов и конструкций, принадлежащих другим математикам, это специально оговаривается и подчеркивается. В комментариях после каждой главы указывается, где опубликованы помещенные в этой главе результаты.
Рассмотрим, с этой точки зрения, каждую главу диссертации. Понятие совместного спектрального радиуса, являющееся основным техническим инструментом во второй главе, было введено в работе Рота и Стрэнга (I960 г). Однако применений к триангуляционным и спектральным задачам в этой работе не предполагалось, и потому ничего, кроме первого определения, в диссертацию из нее не вошло. Не только использование в теории инвариантных подпространств, операторных полугрупп и алгебр Ли, но и фундаментальные аналитические свойства, такие как субгармоничность совместного спектрального радиуса, не были установлены до работ автора и его ученика Ю.В.Туровского.
В третьей главе диссертации речь идет о непрерывности основного в теории инвариантных подпространств отображения Lat. Хотя аппроксимацнонные методы в теории инвариантных подпространств были инициированы еще фон Нейманом и концептуально близки к теории возмущений, теории рассеяния и т.д., принятый в диссертации подход, основанный на изучении геометрических свойств решеток
7
проекторов и их тензорных произведений, является новым. Применения результатов о непрерывности к проблеме рефлексивности решеток (то есть, характеризации решеток инвариантных подпространств) также впервые появились в работах автора.
Начиная с четвертой главы, в изложении активно используется разработанный автором аппарат теории псевдотопологи чеекпх пространств, ассоциированных с произведением двух пространств с мерой. Хотя вопросам эффективного описания алгебр, содержащих таБа (максимальные коммутативные алгебры операторов), посвящена большая литература, особое место среди которой занимает статья Арвесона |6б], техника пссвдотонологии позволила значительно продвинуться в этом направлении, поскольку оказалась применимой для одновременного анализа различных таБа-бимодулей. Как следствие, это позволило получить ответ!,! на ряд открытых ранее вопросов теории таБа-бимодулей и теории коммутативных решеток проекторов.
Теория операторного синтеза таБа-бимодулей, развитая в пятой главе диссертации, также является новой, хотя связь между классическим спектральным синтезом и теорией инвариантных подпространстз была открыта ранее Арвесопом. Ее построение позволило, в частности, решить ряд поставленных в [бб] проблем. Связь между спектральным и операторным синтезом представляет сама по себе плодотворное направление исследований, на котором уже задалось зчггановить ряд резз'льтатов, полезных как для теории операторов, так и для гармонического анализа.
В шестой главе диссертации обнаруживаются взаимно обогащающие связи между' индивидуальным операторным синтезом и линейными операторными уравнениями. В связи с этим, разработан новый аппарат аппроксимативных обратных сплетений (АОС), позволяющий сравнивать поведение "родственных" операторов в шкалах банаховых пространств. Применения его к линейным операторным з'равнениям, тензорным алгебрам и теории дифференциальных уравнений позволили получить новые рез}'льтаты и в этих областях.
Практическая значимость полученных результатов.
Результаты работы имеют теоретический характер. Оми могут применяться к 'операторным алгебрам, линейным операторным уравненияхм и представлениям алгебр Ли, возникающим в механике и теоретической физике.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Получение резз'льтатов о существовании инвариантных
8
подпространств' операторно алгебраических систем на основе разработанного автором аппарата совместного спектрального радиуса, в том числе решение проблемы Войтыньского о нетранзитивности эигелевых алгебр Ли компактных операторов.
2. Исследование непрерывности зависимости решетки инвариантных подпространств от семейства операторов, а также разработка эффективных топологических и геометрических критериев, выделяющих решетки инвариантных подпространств в классе общих решеток подпространств.
3. Построение теории операторного синтеза, и основанное на ее результатах решение ряда задач теории инвариантных подпространств, в том числе (поставленных Арвесоном и Дэвидсоном)
а) проблемы характеризации носителей бимодулей над максимальными абелевыми симметричными алгебрами,
б) проблемы плотности транзитивных бимодулей,
с) проблемы существования минимальной ультраслабо замкнутой алгебры с заданной коммутативной решеткой инвариантных подпространств.
4. Разработка аппарата аппроксимативных обратных сплетений и получение, на его основе, описания пространств решений линейных операторных уравнений, позволивших ответить на ряд нерешенных вопросов теории таких уравнений, поставленных Г.Вейссом, а также получение приложений к характеризации пространств ограниченных решений некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных.
Апробация результатов диссертации. Вошедшие в диссертацию результаты докладывались на конференции по операторным алгебрам в Пифагорио (Греция) в 1996 году, на семинаре А.Я.Хелемского по теории банаховых алгебр (МГУ), на семинаре Е. А.Горина и В.Я Лина по теории банаховых алгебр (МГУ), на семинаре Н.К.Никольского и В.П.Хавина по теории функций и теории операторов (ЛОМИ) в 1983, 1985 и 1986 годах, на совместном англо-российском симпозиуме по теории операторов в Ленинграде в 1996 году, па семинарах Д.П.Желобенко и А.И.Штерна по теории представлений в МИАН и МГУ, на симпозиуме по банаховым алгебрам в Белефельде (1997), на конференции по бесконечномерный линейным задачам в Словении (Блед 2001, 2005, Краньска Гора 2008), на конференции по банаховым алгебрам в Бедлево (Польша, 2003), на конференции по теории операторных алгебр в Эдмонтоне (Канада, 2003), на конференции 1\УОТА в Ньюкасле (2002), на семинарах по теории операторов и функциональном}'
9
анализу в университетах Лондона, Оксфорда, Кембриджа, Лидса,
л
Ланкастера, Эдинбурга, Ньюкасла, Белфаста, Дублина, Копенгагена, Гетеборга, Эгейском университете (Самос), университетах Гераклио (Крит), Афин, Торонто. Халифакса (Канада), Кента (США), Бордо, Белграда, Ленинграда, Минска, Институтах Математики Азербайджана, Украины, Белоруссии, на семинаре профессора Карлесона в Шведской Королевской Технической Школе (Стокгольм), на Воронежских Зимних Школах по функциональному анализу и Крымских Осенних Школах но спектральной теории; по ним были прочитаны курсы лекций в Афинском университете и в Банаховом центре института математики Польской АН.
Оиубликованность результатов. По теме диссертации опубликована монография и 31 статья в научных журналах. Все результаты диссертации содержатся в этих работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из шести глав (включая Введение), заключения и списка используемых источников. Список насчитывает 259 наименований. Полный объем диссертации составляет 262 страницы, в том числе список используемых источников занимает 20 страниц.
1.2 Список опубликованных работ автора по томе диссертации
«
СТАТЬИ
1. Логинов А.И., Шульман B.C. Инвариантные подпространства операторных алгебр// Итоги науки и техники, Математический анализ — Том 26, 65-145, 148, Академия Наук СССР, ВИНИТИ, Москва, 1988.
2. Шульман B.C. "Гнездовые алгебры" К. Р. Дэвидсона и обзор современного состояния вопроса // Алгебра и анализ — том 2, вып. 3, 236-255, 1990
3. Шульман B.C. Теорема Фуглида-Патнэма и рефлексивность // Докл. АН СССР - 210 (1973), 543-544.
4. Шульман B.C. Операторы умножения, в С*-алгебрах и проблема рефлексивности алгебр, содержагцих m.a.s.a.// Функциональный анализ и его приложения — 8 (1974), вып. 1, 92-93.
5. Шульман B.C. Операторные алгебры со строго цинаическими векторами// Математические заметки — 16 (1974), 253-257.
10
6. Шульман B.C. Линейные операторные уравнения с обобщенноскалярными коэффициентами// Доклады АН СССР — 225 (1975), вып. 1, 56-58.
7. Шульман B.C. Одна теорема о неподвижной точке // Функциональный анализ и его приложения — 13 (1979), вып. 1, 88-89.
8. Шульман B.C. О неподвижных точках дробно-линейных преобразований// Функциональный анализ и его приложения — 14
(1980), вып. 2, 93-94.
9. Шульман B.C. Линейные операторные уравнения с нормальными коэффициентами// Доклады АН СССР — 270 (1983), вып. 5, 1070-1073.
10. Шульман B.C. Модули 'над операторгтми ал.гебра.ми // Функциональный анализ и его приложения — 17 (1983), вып. 2, 94-95.
11. Шульман B.C. Об инвариантных подпространствах вольтерровых операторов // Функциональный анализ и его приложения — 18 (1984), вып. 2, 85-86.
12. Шульман B.C. Операторы умпоэюсиия и следы коммутаторов // Исследования по линейным операторам и теории функций, XIII. Записки Научных семинаров ЛОМИ — 135 (1984), 182-194.
13. Шульман B.C. Сплетения и линейные операторные уравнения // Доклады АН СССР - 301 (1988), вып. 1, 57-61
14. Шульман B.C. Решетки проекторов в гильбертовом пространстве // Функциональный анализ и его приложения — 23 (1989), вып. 2, 86-87.
15. Шульман B.C. Операторы умпоохения и спектральный синтез // Доклады Академии Наук СССР — 313 (1990), вып. 5, 1047-1051.
16. Шульман B.C. Спектральный синтез и теорема Фуглида-Патнэма-Розенблюма // Теория функций и функциональный анализ
- вып. 54 (1990), 25-36.
17. Шульман B.C. Факторизация вполне поло'жительпых коциклов и ГНС-конструкция для представлений в пространстве Понтрягина // Функциональный анализ и его приложения — 31 (1997), вып. 3, 91-94
18. Shulman, V. S. Invariant subspaces and spectral mapping theorems // Functional analysis and operator theory (Warsaw, 1992), Banach Center Publ.
— vol.30 , 313-325 — Polish Acad. Sci., Warsaw, 1994.
19. Shulman, V. S. Operators preserving ideals in C*-algebras // Studia Math. - 109 (1994), no. 1, 67-72.
20. Shulman, Victor Some remarks on the Fuglede- Weiss theorem // Bull. London Math. Soc. — 28 (1996), no. 4, 385-392.
21. Haydon, Richard; Shulman, Victor On a measure-theoretic problem of Arveson // Proc. Amer. Math. Soc. — 124 (1996), no. 2, 497-503.
22. Erdos, J. A.; Katavolos, A.; Shulman, V. S. Rank one subspaces of bimodules over maximal abelian selfadjoint algebras// J. Funct. Anal. — 157 (1998), no. 2, 554-587.
22. Shulman, Victor S.; Turovskii, Yuri V. Joint spectral radius, operator semigroups, and a problem of W. Wojtyriski// J. Funct. Anal. — 177 (2000), no. 2, 383-441.
' 23. Shulman, V. S. On representations of limit relations // Methods Funct. Anal. Topology — 7 (2001), no. 4, 85-86.
24. Kissin, E.; Shulman, V. S. On the range inclusion of normal derivations: variations on a theme by Johnson, Williams and Fong // Proc. London Math. Soc. (3) - 83 (2001), no. 1, 176-198.
25. Shulman V.S., Todorov I.G. On subspace lattices. II. Continuity of Lai II Journal of Operator Thcor. — 52(2004), 1-16.
26. Shulman, Victor; Turowska, Lyudmila Operator synthesis. I. Synthetic sets, bilattices and tensor algebras // J. Funct. Anal. — 209 (2004), no. 2, 293-331.
27. Shulman Victor; Turowska, Lyudmila Operator synthesis. II. Individual synthesis and linear operator equations // J. Reine. Angew. Math. — 590 (2006), 143-187.
28. Shulman Victor; Turowska, Lyudmila Вeurling-Pollard type theorems // J. London Math. Soc. - 75 (2007), 330-342.
29. Shulman, Victor S.; Turovskii, Yurii V. Invariant subspaces of operator Lie algebras and Lie algebras with compact adjoint action // J. Funct. Anal.
223 (2005), no. 2, 425-508.
30. Kissin, E.; Shulman, V. S. Classes of operator-smooth functions. II. Operator-differentiable functions // Integral Equations Operator Theory — 49 (2004), no. 2, 165-210.
31. Bresar, М.; Kissin, E.; Shulman, V.S. Lie ideals: from pure algebra to C*-algebras// J. Reine Angew. Math. — 623(2008), 73-121.
МОНОГРАФИЯ:
Kissin E., Shulman V.S. Representations on Krein spaces and derivations of C*-algebras. — London: Longman, 1997. — 602 p.
12
1.3 Обзор основных результатов диссертации (но главам)
Первая глава диссертации носит вводный характер и содержит, кроме общей характеристики работы, обзор литературы по теме диссертации.
Операторно алгебраические системы, рассматриваемые во второй главе диссертации — это алгебры, полугруппы и алгебры Ли операторов в произвольных банаховых пространствах. Спектральные методы их исследования взаимодействуют с триангуляционными, то есть с методами теории инвариантных подпространств. Накладываются неизбежные в такой общности ограничения компактности (некоторых) операторов системы. Осгювные результаты формулируются в терминах структуры инвариантных подпространств и могут быть переформулированы как
Г
утверждения об одномерности неприводимых блоков.
Пусть А — нормированная алгебра. Для ограниченного подмножества М С А. положим ||А/1| = sup{||a|| : a £ М}. Будем писать МN = [ab : а £ М. Ь £ N] для А/, N С Л; соответственно определяются степени подмножеств.
Определение. Число р(М) = inf ||Л/П||1^гг называется (совместным)
п
спектральным радиусом множества М.
Множество М называется квазинильпотентным, если р(М) = 0. Далее, множество называется конечно (компактно) квазинильпотентным, если все его конечные (предкомпактные) подмножества квазинильпотентны. Квазинилыютентность множества — важное и удобное свойство, прежде всего потому, что линейная оболочка квазинильпотентного множества состоит из квазинильиотентных операторов. Квазинильпотентные компактные операторы называются вольтерровыми.
Теорема 2.3.11. Пусть А — замкнутая подалгебра в В{Х) и А' — ее коммутант. Тогда К{Х) П rad Л С rad Б, где В — замкнутая алгебра, порожденная A U А'.
Замкнутое подпространство Y в X называется гиперинвариа.птным относителгто М С В(Х) если оно инвариантно относительно всех операторов из М и всех операторов из коммутанта М.
Следствие 2.3.12. Пусть А — замкнутая подалгебра в В{Х). Если К(Х) П rad Л Ф 0, то Л имеет нетривиальное гиперинвариантное подпространство.
Существенным спектральным радиусом ре(М) множества операторов М называется совместный спектральный радиус его образа в алгебре
13
Калкина.
Теорема 2.4.10. Пусть М — предкомпактное множество ограниченных операторов с ре(М) < р(М) = 1. Если полугруппа SG(M) не ограничена, то М имеет нетривиальное гиперинвариантное подпространство. Если же SG(M) ограничена, то она содержит ненулевой идемпотент конечного ранга.
Оператор Т называется оператором основного типа, если р(Т) = ре(Т).
Теорема 2.8.4. Пусть G — полугруппа в В(Х). Допустим, что G содержит ненулевой двусторонний полу групповой идеал J, состоящий из операторов основного типа, а также группу {ехр(£Г) : L Є Ж}, где Т -некоторый ненулевой вольтерров оператор. Тогда G имеет нетривиальное инвариантное подпространство.
Напомним, что нормированная алгебра Ли — это алгебра Ли, являющаяся нормированным пространством, причем ||[а,Ь]|| < 7||а||||Ь||, где 7 — некоторая константа. В нормированных ассоциативных алгебрах произведение Ли вводится формулой [а, ft] = ab — 6а, в этом случае 7 = 2. Всякому элементу а Є L, соответствует ограниченный оператор ad а на L, определенный формулой (ada)(6) = [а, 6], ;ут всех Ь є L.
Нормированная алгебра Ли L называется эпгелееой , если все операторы ad а, а Є L, квазинильпотентны.
Теоремы типа Кемпбелла - Хаусдорфа позволяют применять результаты об асимптотике операторных полугрупп к исследованию операторных алгебр Ли.
Теорема 2.9.4. Пусть L — энгелева алгебра и тг : L —>
В(Х) — ограниченный Лн-гомоморфизм. Если равномерное замыкание алгебры Ли 7ГL содержит ненулевой компактный оператор, то ттЬ имеет нетривиальное гиперинвариантное подпространство.
Следствие 2.9.5. Всякая энгелева подалгебра Ли L в К(Х) триангулируема (и потому, замкнутая подалгебра в В(Х)У порожденная L, коммутативна по модулю радикала Джекобсона).
Этот результат решает, в частности, вопросы, поставленные Войтыньским [252].
В третьей главе диссертации изучаются общие свойства отображения Lat, сопоставляющего ультраслабо замкнутой алгебре операторов Л ее решетку инвариантных подпространств Lal(A). Прежде всего, нас интересуют критерии непрерывности отображения Lat и условия, при выполнении которых решетка подпространств попадает в
14
его образ (является рефлексивной, в общепринятой сейчас терминологии, идущей от Халмоша [131]).
Чтобы придать в данном контексте точный смысл термину "непрерывность11, напомним общее понятие структуры сходимости на множестве 2х всех подмножеств некоторого топологического пространства X. Для любой сети {Ад} подмножеств X, обозначим через lim inf Ад множество всех точек х 6 X, являющихся пределами сетей {.гд} с х\ <Е Ад, а через lim sup Ад множество всех предельных точек таких сетей. Будем говорить, что сеть подмножеств {Ад} пространства X стремится к множеству A £ 2х и записывать это в виде А — Птд Ад, если lim inf Ад = lim sup Ад = A.
Совокупность всех замкнутых подпространств гильбертова пространства естественно отождествляется с совокупностью ортопроекторов и на нее можно перенести топологию сильной сходимости операторов. В алгебре всех операторов мы рассматриваем сходимость в ультраслабой топологии. Теперь (частичную) . непрерывность отображения Lat можно охарактеризовать как справедливость равенства
lat (lim Ад) = lim (lat Ад) (1.1)
А \
для всех (соответственно, для некоторых выделенных) сетей {Ад}д ультраслабо замкнутых унитальных операторных алгебр.
Особую важность имеют сети, направленные по убыванию или по возрастанию. Они всегда сходятся — к пересечению или, соответственно, замыканию объединения своих элементов.
Для сетей, направленных по возрастанию, равенство (1.1) тривиальным образом выполнено. С убывающими сетями ситуация более интересна и сложна.
Теорема 3.4.1. Существует убывающая последовательность слабо замкнутых алгебр Ап, таких что U„LatAn отличается от lat(ППА„).
Таким образом, для "непрерывности" lat нужны специальные ограничения. Исследование этого вопроса опирается на изучение некоторых операторно геометрических свойств решеток подпространств. Для дальнейшего особенно важны свойства решеток, связанные со свойствами их тензорных произведений на другие решетки подпространств.
Пусть К — сепарабельное гильбертово пространство и V — решетка всех проекторов в К. Мы будем говорить, что решетка подпространств С обладает свойством (р)> если решетка V <8> С рефлексивна.
Теорема 3.3.9. Пусть Л4[ и М.2 — алгебры фон Неймана, хотя бы
15
одна из которых инъективна. Если М\ и N2 ~~ их решетки проекторов, то решетка Н\ 0 N2 рефлексивна.
Теорему 3.3.9 можно переформулировать следующим образом: если одна из алгебр фон ИеЙмана Mi, М2 инъективна, то
lat1 <%) М2) = lat, Mi & laіМг- (1-2)
Эквивалентность вытекает из того, что для любых алгебр фон Неймана справедливо двойственное утверждение:
alg(M 0 М2) = algM 0 algM
которое есть не что иное, как вариант теоремы Томиты о коммутанте тензорного произведения.
Следствие 3.3.10. Всякая решетка фон Неймана (то есть, решетка проекторов алгебры фон Неймана) обладает свойством (р).
Определение. Если С — решетка подпространств, положим
£ь = {Р:1®РєР®С}.
Будем говорить, что £ тензорно замкнута, или обладает свойством (I), если С = £}.
Нетрудно доказать, что всякая рефлексивная решетка тензорно замкнута. Следующее, до некоторой степени обратное, утверждение дает основу для получения дальнейших результатов о рефлексивности решеток.
Теорема 3.3.14. Тензорно замкнутая решетка со свойством (р) • я вл я ется рсфл е кси в \ і ой.
Напомним, что состояние на В(К) — это положительный линейный функционал единичной нормы. Обозначим через Е{В{К)) множество всех нормальных состояний на В{К). Для каждого у Є Е(В(К)) пусть L<p : В(К) 0 В{Н) —> В(Іі) — (единственное) ультраслабо непрерывное отображение со свойством
LM 0 В) = <р(А)В, А є В{К), В € В(Н)
{правое срезовое отображение).
Пусть
Ф(£) = {Т Є В(Н) : 0 < Т < І, Е$(Т) Є £,Vs є (0,1]},
(здесь ES(T) — спектральный проектор оператора Т, соответствующий интервалу [s, 1]).
16
Обозначим через conv L слабо замкнутую выпуклую оболочку решетки
С.
Определение. Будем говорить, что решетка подпространств С обладает свойством (с) (свойством (с')), если L^P 0 С) С conv С (соответственно Ь^{Р 0 С) С Ф(С)) для каждого нормального состояния V? на В(Н).
Теорема 3.3.16. (с) =*• (с) =*• (t).
Теорема 3.3.17. Всякая решетка фон Неймана обладает свойством
(с)-
Теперь мы переходим к вопросу о достаточных условиях непрерывности Lat. Символ {Да}асл будет использоваться для обозначения сети унитальных (то есть, содержащих единичный оператор) ультраслабо замкнутых алгебр.
Теорема 3.5.13. Пусть все алгебры Да, Л е Л, содержатся в некоторой алгебре операторов М, коммутант которой содержит две изометрии с взаимно ортогональными образами, и пусть Д = Иша Да- Тогда lat Д = Иша lat Да-
Применяя результаты о тензорных произведениях решеток, получим следующий результат:
Теорема 3.5.15. Пусть Да, Л € А, рефлексивные алгебры операторов, такие что их решетки инвариантных подпространств lat Да обладают свойствами (с') и (р). Если Д = НшаДа, то lat, Д = НтдЫ^Дл*
Напомним, что алгеброй Арвесона называется ультраслабо замкнутая подалгебра в £(#), содержащая максимальную абелеву самосопряженную подалгебру алгебры В(Н).
Следствие 3.5.16. Пусть ДЛ, Л € Л — алгебры фон Неймана, или алгебры Арвесона. Если Д = Ипц Да, то lat Д = Иша lat Да.
Условие
к^ПлЛО = ил lat ЛГ
можно рассматривать и как информацию о свойствах объединения направленной по возрастанию сети решеток подпространств. В частности, данное равенство (в тех случаях, когда оно справедливо) означает, что такое объединение — рефлексивная решетка.
Будем говорить, что некоторое свойство, которым может обладать решетка подпространств, является строго аппроксимативным, если условие, что все решетки С\ из направленной по возрастанию сети им
17
обладают, влечет выполнение этого свойства для замкнутой решетки подпространств, порожденной их объединением.
Теорема 3.6.1. Свойство (р) строго аппроксимативно.
Как следствие, отсюда получается, что свойством (р) обладает всякая коммутативная решетка (сокращенно, СЗЬ), тензорное произведение произвольной СЗЬ на произвольную решетку фон Неймана и, еще шире, любая решетка подпространств, порожденная СЭЬ и коммутирующей с ней решеткой фон Неймана.
Следующая теорема содержит, как очень специальный случай, теорему Арвесона о рефлексивности коммутативных решеток (и тем самым проясняет общеоператорный смысл этого замечательного результата). Она существенно используется в доказательствах результатов последующих глав.
Теорема 3.6.4. Пусть {£а}а€Л направленная по возрастанию сеть решеток подпространств, обладающих свойствами (р) и (с), и пусть С — решетка подпространств, порожденная их объединением. Тогда С рефлексивна.
/
В четвертой главе диссертации начато изучение таза-бимодулсй, ■го есть, операторных бимодулей над максимальными абелевыми симметричными подалгебрами (сокращенно, глава) алгебры В (Я) всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве II.
Пусть V] и V2 — таза в гильбертовых пространствах Н\ и Я2. Подпространство и С В (Ни II2) называется бимодулем над V2, если ,Т)'1[]Т>\ С и. Вимодули над шава образуют широкий класс операторио алгебраических систем, обладающий богатой внутренней структурой и тесно связанный с различными областями функционального анализа - теорией операторных алгебр, теорией инвариантных подпространств, теорией меры, динамическими системами, спектральным синтезом, линейными операторными уравнениями. Его важным подклассом является класс алгебр Арвесона, содержащий, в свою очередь, класс СБЬ-алгсбр (теория которых традиционно рассматривается как "несимметрическая” альтернатива теории алгебр фон Неймана).
Для тава-бимодулей имеется естественный аналог понятия решетки инвариантных подпространств — бирешетка бимодуля. Дадим, вначале, общее определение
Подмножество 5 С Т(Н 1) х ТДЯг) называется бирешеткой, если . (0,0), (0,1), (1,0) 6 5;
• (р, <30, {Рь. см € 5 => (р, д р2, д. V <?2), (р V Р2, оА лд2) € 5.
18
Любое множество и операторов из В(Н]_, Я2) определяет сильно замкнутую бирешетку
ВП Ц = {(Я,С)) е Р(Нг) х Я(Я2) | <?ГР = 0 для любого Т <Е С/}. Обратно, имея подмножество Т С Я(#1) х Я(Я2), мы полагаем .МОЯ) = {Т € Я(ЯЬ Я2) I дтя = О для любых (Р, (?) е Я-}.
Нетрудно доказать, что пространства вида -М(.Я) — это, в точности, операторно рефлексивные операторные пространства; они характеризуются равенством Ц = Л4(ВП и). Аналогично, бирешетки вида В11 I] характеризуются равенством 5’ = ВП М(Я) и тоже
называются рефлексивными.
Пусть С В(Я1), Я2 С В(Я2) — алгебры фон Неймана. Бирешетка 5 называется Я\ х Я?,-бирешеткой если 5; = Тцх и 5Г =
Далее, если 5 является Я\ х Я2-бирешеткой, то М(Э) — Я[ х Я2-бимодуль. Обратно, для Я\ х Я^-би модуля {] мы рассматриваем Я\ х Я2-бирешетку
ВП^тг^ = (ВП и) П (тгх X 7г2).
Если выбор 7^1, 7£2 очевиден, то мы пишем ВП £/ вместо ВП^^С/.
Бирешетка 5 называется коммутативной, если коммутативны ее проекции на обе компоненты.
Следующий результат — бирешеточная версия теоремы о рефлексивности коммутативных решеток.
Теорема 4.1.2. Если 5 — коммутативная бирешетка, то
(ВП М(Я)) П (5* X вг) = 5.
Мы получили, в частности, что ВПрьт>2Л4(5) = 5, для любой V\ х £>2-бирешетки 5, где Т>г — глава. Таким образом, коммутативные бирешетки
эго бирешетки люза-бимодулей; вопрос об их структуре и о том, в какой мере они характеризуют бимодули, является для нас основным. В дальнейшем мы считаем, что Vь Х>2 фиксированы и, для любого II С Я(ЯьЯ2), термин ЬП и означает ВПдьд2С/.
Коммутативные бирешетки, действующие в сепарабельном пространстве, имеют удобную координатную реализацию.
Пусть (X.д), (К,//) — пространства с мерой, Н\ = Ь2(Х,р,)> Я2 = £2(У, I/), V1, £>2 — алгебры фон Неймана операторов умножения на функции из Ь°°(Х,ц), А00(У, н). Тогда Яд состоит из операторов умножения на характеристические функции борелевских множеств.
19
Мы будем обозначать через Ри и Qv проекторы, соответствующие множествам U С X и V С У.
Нам понадобится конструкция, объединяющая понятия топологического и измеримого пространств.
Псевдотопологическим пространством называется множество Т, в котором выделено семейство £ подмножеств, содержащее пустое множество, все Т и замкнутое относительно формирования конечных пересечений и счетных объединений.
Подмножества, входящие в £, называются псевдооткрытыми, их дополнения — псевдозамкнутыми.
Исходя из пары пространств с мерами, можно построить специальную псевдотопологию, ш, на их прямом произведении.
Пусть (Х,р)> (У, is) — пространства с мерами (для простоты, стандартными). Подмножество Е прямого произведения X X У называется маргинально нулевым, если Е С (Л х У) U (X х jB), где д(Л) = 0 = v{B). Два множества маргинально эквивалентны, если их симметрическая разность является маргинально нулевым множеством.
Назовем щ-открытыми все множества, маргинально эквивалентные счетным объединениям измеримых прямоугольников (то есть, множеств вида Л х В, ще А С X. В С Y измеримы).
Фиксируя в пространстве ХхУ псевдозамкнутое подмножество Е, рассмотрим множество. Se всех нар проекторов {Pu*Qv)> таких что Е П UxV — маргинально нулевое множество.
Теорема 4.3.2. Se ~ замкнутая бирешетка. Обратно, для любой замкнутой V\ х1>2-бирешетки S существует единственное, с точностью до маргинальной эквивалентности, псевдозамкнутое множество Е С X х У, такое что S = Se.
Будем говорить, что псевдозамкнутое множество Е несет оператор Т, если QvTPu = 0 для любого прямоугольника UxV, не
пересекающего Е. Носитель оператора Т (или семейства операторов Р) - это наименьшее, с точностью до маргинальной эквивалентности, псевдозамкнутое множество, на котором сосредоточен Т (все операторы из Р).
Носитель будет обозначаться supp Т (соответственно, supp Р). Из определения сразу следует, что, для любого псевдозам к нутого множества Е, бимодуль М (Se) состоит из всех операторов, носители которых содержатся в Е. Мы далее будем обозначать его через Мтах(-Е), чтобы подчеркнуть тот факт, что он является наибольшим из бимодулей с носителем Е. Теорема о рефлексивности бирешеток показывает, что отображения Е —* Se и S —» M(S) устанавливают
20
естественные биекции между множеством классов эквивалентности псевдозамкнутых подмножеств в^хУ, множеством (сильнозамкнутых) бирешеток в Т>\хТ>2 и множеством рефлексивных (Х>1 хР2)-бимодулей. Естественность, в данном случае, означает согласованность с отображениями 0' —* В\\(и) и 5 —> Мэ-
Особо отметим следующий частный случай этого результата:
Следствие 4.3.3. Пусть Е — псевдозамкнутое множество. Для того, чтобы существовал ненулевой оператор, сосредоточенный на Е, необходимо и достаточно, чтобы Е не было маргинально нулевым.
Для замкнутых подмножеств произведений компактов следствие 4.3.3 ("теорема о нулях") было получено Арвесоном [66]. Там же был поставлен вопрос о справедливости этого результата для всех борелевских подмножеств (если считать пространства Х,У компактными, а меры д, у — регулярными борелевскими). Ответ на него оказывается следующим.
Теорема 4.5.5. Пусть д, и — регулярные борелевские меры на хаусдорфовых пространствах X, У и пусть Е —■ универсально емкостное подмножество в ХхУ. Для того, чтобы существовал оператор, сосредоточенный на Е, необходимо и достаточно, чтобы множество Е не было маргинально нулевым. В частности, это справедливо для всех .множеств из прямого произведения В(Х)®В(У) борелевских алгебр.
Так как для метризуемых компактов прямое произведение борелевских алгебр совпадает с борелевской алгеброй прямого произведения, то в этом случае ответ на сформулированный выше вопрос Арвесона положителен. В диссертации строится пример, показывающий, что в общем случае ответ отрицателен. Получена, также, количественная (минимаксная) форма теоремы о нулях.
Далее рассматривается вопрос о несущих множествах для операторов специальных классов. Очевидно, что множество Е несет ненулевой оператор Гильберта - Шмидта тогда и только тогда, когда его мера не равна нулю. Далее, Е несет ненулевой ядерный оператор тогда и только тогда, когда оно содержит прямоугольник ненулевой меры. Это утверждение, несмотря на простоту формулировки, уже далеко не очевидно. Для общих шэттеновских идеалов вопрос связан с тонкими проблемами теории исключительных множеств. В диссертации строится пример псевдозамкнутого множества, несущего оператор из пересечения всех идеалов Ср с р > 1, но не несущего ненулевых ядерных операторов.
Приведем также несколько результатов о структуре тава-бимодулей, содержащих операторы специальных классов.
21
Известно ((96), теорема 23.16), что всякий оператор конечного ранга в С5Ь-алгебре принадлежит замыканию по операторной норме ее ранг-один подпространства (линейной оболочки операторов ранга 1). Оказывается, что этот результат допускает усиления различного характера: СЗЬ-алгебру можно заменить замкнутым но норме тава-бимодулем и, что наиболее важно, операторную норму — следовой.
Теорема 4.4.2. Всякий оператор конечного ранга из замкнутого по операторной норме таза-бимодуля М принадлежит замыканию по следовой норме ранг-один подпространства в М.
Строятся примеры, показывающие, что теорема 3.4.2 не обобщается на ядерные операторы из М. Точно так же, предположение о замкнутости М. по операторной норме существенно и не может быть ослаблено до замкнутости по следовой норме.
Теорема 4.4.19. Существует транзитивный бимодуль операторов конечного ранга, не плотный (по соответствующей норме) ни в одном из Шэттеновских идеалов Сру 1 < р < оо.
Следующий результат положительно решает проблему слабой операторной плотности ранг-один пространства для таза-би модул ей.
Следствие 4.4.5. Ранг-один подпространство строго рефлексивного таза-бимодуля М плотно в М в слабой операторной топологии.
Построен пример, показывающий, что ультраслабой плотности может не быть. Это неожиданно еще и потому, что в случае алгебр ситуация совсем иная. Пример используется в главе 5 для решения вопроса о реализуемости эффекта несинтезируемости в классе слабо замкнутых алгебр.
Пятая глава диссертации посвящена исследованию вопроса о возможности восстановления таза-бимодуля по его бирешетке. Эта задача идейно близка задачам спектрального синтеза функций на ЛКАГ; мы называем разработанный для ее решения аппарат теорией операторного синтеза.
Далее считаем фиксированными таза Т>і и Т>2 в гильбертовых пространствах Ни #2 и рассматриваем £>іхХ>2-бирешетки и х Х>2-бимодули. В частности, Ьіі V, для любого Я Є В (Ні, Яг), означает Вії т>ьх>2Я.
Пусть 5 — Т>\ х Х>2-бирешетка, сопу 5 — ее замкнутая выпуклая оболочка в Vі х Vг.
Будем говорить, что Т>і х Т>2-бирешетка, 5, является синтезируемой, если существует ровно один ультраслабо замкнутый V\ х Р2-бимодуль,
22
бирешетка которого равна 5. Следующий результат, положительно решающий проблему Дэвидсона [96], устанавливает синтезируемость бирешетки Тггу = {(Р,(2) : Р = 0 или <3 = 0}
Теорема 5.1.5. Пусть Я, К — гильбертовы пространства, Х>1 С В(Н),Т>2 С В(К) — коммутативные алгебры фон Неймана. Тогда В(Н, К) — единственный транзитивный ультраслабо замкнутый (Vь Х>г)-би модуль.
Для произвольной Х>1 хРг-бирешетки 5 мы рассматриваем все ультраслабо замкнутые Т>\ х Х>2-бимодули Я, такие что Ы1 II — 5. Ясно, что среди них есть наибольший — М(Б). Задача состоит в том, чтобы выделить и, по возможности, эффективно охарактеризовать наименьший.
Фиксируя нормальное состояние <р на Я(/г), рассмотрим "срезовый" оператор Ь<р : Я^фЯ^/г^Яг) В{Н1,Нг)}> определенный равенством Ьф(А ® Я) = (р(А)В. Положим
Р3 = {(Л, В) I (ДДЛ), ЯД Я)) е СОПУ 5 для любого </?},
5 = {(Р,<3) € | Р,<Э — проекторы}
и
М)(5) = {Х£ В(НиН2) | 1 ® X € -М(Я)},
где 1 — тождественный оператор на /г- Тогда Л4о(3) является ультраслабо замкнутым Х>1 х Х>2-бимодулем, содержащимся в ЛЛ(5).
Теорема 5.1.9. Пусть 5 — произвольная Х>1 х Х>2-бирешетка. Тогда -Мо(Я) — наименьший из ультраслабо замкнутых Т>{ х Р2-бимодулей с бирешеткой 5.
Из этого результата немедленно получается ответ на поставленный в [бб] вопрос о существовании наименьшей ультраслабо замкнутой алгебры Арвесона с данной решеткой:
Следствие 5.1.10, Если С — произвольная СЭЬ, то существует наименьший элемент в классе всех ультраслабо замкнутых алгебр А, для которых Ы А = С и С с А.
Ограничимся теперь рассмотрением сепарабельных пространств. Как уже отмечалось, в этом случае коммутативные бирешетки соответствуют псевдозамкнутым подмножествам прямого произведения пространств с мерами. Мы будем называть множества, соответствующие синтезируемым бирешеткам, мноэ/сестеами операторного синтеза, или множествами операторного // х и-сиптеза, когда потребуется уточнить, о каких мерах идет речь.
23