Классификация уравнений Монжа-Ампера

Оглавление
Введение ............................................................6
0.1 Общая характеристика работы................................ 6
0.1.1 Актуальность темы исследования ...................... 6
0.1.2 Цель работы ......................................... 9
0.1.3 Основные задачи исследования......................... 9
0.1.4 Научная новизна......................................10
0.1.5 Методы исследования..................................11
0.1.6 Теоретическое и прикладное значение..................11
0.1.7 Апробация работы.................................... 12
0.1.8 Публикации автора по теме диссертации ...............15
0.1.9 Структура диссертации................................19
0.2 Обзор содержания диссертации...............................20
1 Уравнения Монжа-Ампера и ассоциированные с ними геометрические структуры 42
1.1 Операторы и уравнения Монжа-Ампера..........................43
1.1.1 Нелинейные дифференциальные операторы
и эффективные дифференциальные формы..................43
1.1.2 Неголономное поле эндоморфизмов .....................47
1.1.3 Характеристические распределения.....................49
1.1.4 Действие контактных диффеоморфизмов
на операторы и уравнения Монжа-Ампера.................53
2
1.1.5 Многозначные решения уравнений Моижа-Ампера .... 55
1.2 Дифференциальные тензорные инварианты структуры г-кратного почти произведения ..........................................57
1.2.1 Алгебры, ассоциированные со структурой
г-кратного почти произведения.......................58
1.2.2 Тензорные инварианты структуры
г-кратного почти произведения.......................61
1.2.3 Дифференциальные 2-формы, ассоциированные со
структурой г-кратного почти произведения............06
1.2.4 Интегрируемость частичных сумм распределений .... 68
1.2.5 Комплексные структуры г-кратного
почти произведения..................................70
1.2.6 Тензор Хаантпеса....................................72
2 Классификация гиперболических уравнений Мошка-Ампера 75
2.1 Дифференциальные инварианты гиперболических уравнений . . 76
2.1.1 Дифференциальные тензорные инварианты гиперболических уравнений...........................................76
2.1.2 Координатные представления тензорных инвариантов . . 79
2.1.3 Формы Лапласа для гиперболических уравнений.........81
2.1.4 Координатные представления форм Лапласа.............84
2.2 Контактная линеаризация гиперболических уравнений.........87
2.2.1 Постановка задачи...................................87
2.2.2 Уравнения, у которых обе формы Лапласа равны нулю . 89
2.2.3 Уравнения, у которых одна из форм Лапласа равна нулю, а другая — нет.........................................90
2.2.4 Уравнения, у которых обе формы Лапласа не равны нулю 94
2.2.5 Примеры контактной линеаризации уравнений...........95
з
2.2.6 Скалярные дифференциальные инварианты
гиперболических уравнений..............................99
2.3 Нормальные формы гиперболических уравнений Мопжа-Ампера 103
2.3.1 Уравнение уху = к(хуу)и...............................103
2.3.2 Телеграфное уравнение.................................105
2.3.3 Уравнение Эйлера-Пуассона ............................110
2.4 Контактная эквивалентность гиперболических уравнений Монжа-Ампсра.....................................................112
3 Классификация эллиптических уравнений Мопжа-Ампера 118
3.1 Дифференциальные инварианты эллиптических уравнений . . .119
3.1.1 Тензорные инварианты эллиптических уравнений . . . .119
3.1.2 Координатные представления тензорных инвариантов . .119
3.1.3 Формы Лапласа для эллиптических уравнений.............121
3.1.4 Координатные представления форм Лапласа...............126
3.2 Контактная линеаризация эллиптических уравнений .............130
3.2.1 Уравнения, у которых обе формы Лапласа равны нулю . 130
3.2.2 Уравнения, у которых обе формы Лапласа не равны нулю131
3.2.3 Скалярные дифференциальные инварианты эллиптических уравнений..............................................133
3.3 Нормальные формы эллиптических уравнений Монжа-Амиера . 134
3.3.1 Структура преобразований, сохраняющих вид уравнений 134
3.3.2 Уравнение ухх + ууу = к(х, у)у + /(.х. у).............136
3.3.3 Уравнение Гельмгольца.................................139
4 Классификация симилектических уравнений Монжа-Ампера 145
4.1 Симплектические уравнения Монжа-Ампера......................146
4
I
4.1.1 Проекция 7г : JlM —■> Т*М и симплектические эффективные формы................................................146
4.1.2 Поле эндоморфизмов Лш...................................147
4.1.3 Многозначные решения, симметрии и симплектическая
эквивалентность операторов и уравнений..................149
4.1.4 Тензорные инварианты симплектических уравнений . . .151
4.1.5 Векторные инварианты симплектических уравнений . . . 153
4.2 Гиперболические уравнения.....................................156
4.2.1 Уравнения с интегрируемыми распределениями..............156
4.2.2 Уравнения с неинтегрпруемыми распределениями .... 176
4.2.3 Уравнение ихх — f2vyy = 0...............................178
4.3 Эллиптические уравнения.......................................182
4.3.1 Уравнения с интегрируемыми распределениями..............182
4.3.2 Уравнения с неинтегрпруемыми распределениями............190
4.3.3 Уравнение ихх -Ь f2vyy = 0..............................192
4.4 Уравнения переменного типа....................................194
4.4.1 Классификация уравнений переменного тина................194
4.4.2 Уравнения Монжа-Ампера переменного типа, приводящиеся к линейным уравнениям.................................205
4.5 Классификация операторов Монжа-Ампера переменного типа . 214
4.5.1 Абсолютный параллелизм..................................214
4.5.2 Нормальные формы........................................218
4.5.3 Уравнение потока многокомпонентной газовой смеси . . 223
Приложение 1. Алгебры Ли для операторов Монжа-Ампера..................225
Приложение 2. Программа для вычисления инвариантов
Лапласа на Мар1е-11..................................230
Список литературы ..................................................233
5
Введение
0.1 Общая характеристика работы
0.1.1 Актуальность темы исследования
Уравнение МонжагАмпера имеет следующий вид:
А-Ухх ^Вя)Ху Ч- СУуу Ч- 0{уХх^уу ^ху) ~ 0, (1)
где Л, В, С, Он Е — функции от независимых переменных х,у. неизвестной функции и = у(х,у) и ее первых производных их,Уу.1
Класс уравнений Монжа-Ампера выделяется из уравнений второго порядка тем, что он замкнут относительно контактных преобразований и содержит квазилинейные уравнения.
Этот факт был известен еще Софусу Ли, который в серии работ [82, 83] рассматривал проблему классификации гиперболических уравнений Монжа-Ампера и которую в современных терминах можно обобщить следующим образом: найти классы эквивалентности уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований.
Важные результаты на пути к решению этой задачи были получены Дарбу [45, 46, 47] и Гурса [53, 55), которые, также как и Ли, преимущественно рассматривали гиперболические уравнения.
'Далее мы полагаем, что функции А, Б. С, О и £ принадлежат классу С°°.
6
В частности, Гурса занимался проблемой эквивалентности уравнений Монжа-Ампера, интегрируемых методом Дарбу [54]. Его идеи были развиты Вессио [100]. Современный подход к проблеме интегрируемости нелинейных уравнений методом Дарбу изложен в работе Андерсона и Журас [37].
Сам Софус Ли сформулировал условия приведения гиперболических уравнений Моижа-Амнера к волновому уравнению vxy = 0 при наличии у них двух промежуточных интегралов. Напомним, что промежуточным интегралом уравнения Монжа-Амиера называется дифференциальное уравнение первого порядка, каждое решение которого является решением данного уравнения Монжа-Ампера.
Заметим, что не все уравнения Монжа-Ампера обладают промежуточными интегралами. Поэтому результаты Ли применимы не ко всем уравнениям Монжа-Ампера, а только к к тем из них, которые такими интегралами обладают. Кроме того, проверка наличия промежуточных интегралов у общего уравнения Монжа-Ампера, а тем более их построение, является не простой задачей. Доказательства полученных результатов Ли так и не опубликовал.
В 1978 году Лычагин предложил геометрическое описание широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка на гладких многообразиях [29]. Если размерность многообразия равна двум, то этот класс совпадает с классом уравнений Монжа-Ампера (1).
Основная идея Лычагина заключается в представлении уравнений Монжа-Ампера и их многомерных аналогов дифференциальными формами на пространстве 1-джетов функций на гладком многообразии.
Преимуществом такого подхода перед классическим является редукция порядка пространства джетов: используется более простое пространство 1-джетов JlM вместо пространства 2-джетов ./2М, в котором, будучи уравнениями второго порядка, ad hoc должны лежать уравнения Монжа-Амиера
7
(см. [3)). Такая интерпретация уравнений Монжа-Ампера позволила по-ново-му взглянуть на проблему их классификации и послужила толчком к появлению множества работ других авторов (см., например, [9, 11, 35, 43, 70, 88]).
В 1983 году Лычагиным и Рубцовым был рассмотрен класс невырожденных уравнений (1) у которых коэффициенты .4, В, С, О, Е не зависят от переменной v [31]. Такие уравнения они назвали силтлектичесшши. Оказалось, что если коэффициенты A. В, С, D, Е такого уравнения — аналитические функции, то локальным симплектическпм преобразованием оно может быть приведено к квазилинейному виду, то есть к виду (1), где D = 0.
Кроме того, они нашли условия, при которых симплектические уравнения приводятся к уравнению Моижа-Ампера с постоянными коэффициентами A,B)C,D,E и показали, что если это условие выполняется, то гиперболические уравнения локально эквивалентны волновому уравнению vxy = 0, а эллиптические — уравнению Лапласа vxx -f- vyv = 0. Впоследствии Туницкий сиял требование независимости коэффициентов уравнения (1) от переменной v и решил проблему приведения уравнений Монжа-Ампера к уравнениям с постоянными коэффициентами в общем виде [35].
В 1979 году Моримото применил методы теории (7-етруктур для классификации уравнений Монжа-Ампера [91].
Метод подвижного репера Картана применялся для классификации некоторых классов линейных и нелинейных уравнений Морозовым [93, 94, 95, 96] и The [98].
В 1992 году автор данной диссертационной работы, используя подход Льтчагина, решил проблему приведения уравнений Монжа-Ампера переменного типа к обобщенным уравнениям Трикоми и Келдыша |9]. Позднее, в 1998 году, им также была решена проблема эквивалентности уравнений переменного типа для снмплектических уравнений общего положения [11]. Для этого
8
был построена е-структура (абсолютный параллелизм), ассоциированная с уравнением Монжа-Лмпера.
Проблема локальной эквивалентности симплектическнх операторов и уравнений Монжа-Ампера гиперболического и эллиптического типов была решена в работах Кругликова [68, 69, 70] и Кушиера [11]. Позднее нами было найдено решение этой проблемы для уравнений общего вида [75, 80], а также проблемы приведения уравнений Монжа-Ампера гиперболического и эллиптического типов контактным преобразованием к линейным уравнениям [77].
Классификационные результаты для частных классов параболических уравнений Монжа-Ампера были представлены в работе Вкпсо, Маппо и Рщфезо [43].
0.1.2 Цель работы
В настоящей диссертационной работе рассматривается задача классификации уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований. В частности, задача приведения уравнений (1) к линейным уравнениям при помощи контактных преобразований.
0.1.3 Основные задачи исследования
1) Построить дифференциальные инварианты для гиперболических и эллиптических уравнений Монжа-Ампера относительно псевдогруппы контактных преобразований.
2) В терминах построенных инвариантов найти необходимые и достаточные условия локальной контактной эквивалентности гиперболических и эллиптических уравнений Монжа-Ампера линейным уравнениям вида
Ухх ± Ууу = а(х, у)их + Ь(х, у)уу + с(х, у)у + д(х, у) (2)
9
и, в частности, линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.
4) Найти необходимые и достаточные условия локальной эквивалентности уравнений Монжа-Ампера переменного типа обобщенным уравнениям Трикоми п Келдыша.
4) Построить нормальные формы для некоторых классов уравнений Монжа-Ампера.
5) Решить проблему локальной эквивалентности уравнений и операторов Монжа-Ампера общего положения гиперболического, эллиптического и переменного типов относительно контактной и симплектической псевдогрупп преобразований.
0.1.4 Научная новизна
Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. Па защиту выносятся следующие результаты.
1) Для невырожденных уравнений Монжа-Ампера построены тензорные дифференциальные инварианты относительно псевдогруппы контактных преобразований. В том числе — две дифференциальные 2-формы на пространстве 1-джетов гладких функций, которые мы называем формами Лапласа, л которые являются обобщениями классических инвариантов Лапласа и Коттона, построенных ими для линейных уравнений.
2) С помощью форм Лапласа для регулярных невырожденных уравнений Монжа-Ампера решается проблема их приведения к линейным уравнениям контактными преобразованиями. Указываются нормальные формы для таких уравнений.
3) Для регулярных невырожденных уравнений Монжа-Ампера общего положения решается проблема локальной контактной эквивалентности.
10
4) Для спмплектических невырожденных уравнений и операторов Мопжа-Ампера решается проблема локальной эквивалентпоегги относительно спмплектических преобразований. Построены нормальные формы для таких уравнений и операторов.
5) Для уравнении Монжа-Амнера переменного типа найдены необходимые и достаточные условия их приведения к уравнениям Трикоми и Келдыша, а так же к уравнениям, их обобщающим.
0.1.5 Методы исследования
Для решения поставленных задач мы применяем методы современной дифференциальной геометрии. Мы используем подход Лычагина [29], согласно которому с уравнением (1) связывается дифференциальная 2-форма на пространстве 1-джетов гладких функций.
Для построения дифференциальных инвариантов уравнений Монжа-Ампера мы используем разложение комплекса де Рама на пространстве 1-джетов.
Для решения проблемы эквивалентности уравнений переменного типа мы строим е-структуру, однозначно определяющую уравнение Монжа-Амнера. Задача эквивалентности уравнений сводится к задаче эквивалентности е-структур, которая решается известными методами.
0.1.6 Тесгретическое и прикладное значение
Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический и прикладной характер. Они могуч’ быть использованы для дальнейших исследований уравнений Монжа-Ампсра, а также для изучения нелинейных эффектов типа ударных волн, для построения точных решений уравнений Монжа-Ампера и для упрощения процедуры нахождения симметрий уравнений. 13 диссер-
и
тациопной работе приведены примеры применения полученных результатов к нелинейным уравнениям математической физики: к уравнению Хантера-Сакстона, уравнению Борна-Инфельда и к некоторым уравнениям газовой динамики. Результаты диссертационной работы позволяют по-новому взглянуть на классические инварианты Лапласа для линейных уравнений. На основе этих результатов составлены спецкурсы для студентов и аспирантов, которые читаются в Астраханском госуниверситете, Институте проблем управления РАН и на Международных научных молодежных школах ('‘Лобачевские чтения” в Казанском госуниверситете, I, II и III Международные молодежные школы по дифференциальной геометрии, дифференциальным уравнениям н управлению).
0.1.7 Апробация работы
Основные результаты диссертации были представлены на следующих семинарах и конференциях:
— на семинаре по дифференциальной геометрии под руководством профессора В. В. Вишневского (Казань, КГУ им. В. И. Ульянова-Ленина, май 2006 г.);
— на семинаре по геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора II. С. Красильщика (Москва, Независимый московский университет, апрель-май 2006, октябрь 2008 г.);
— на семинаре но геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора В. В. Лычагина (февраль-март 2002, Тромсе, Норвегия, Университет Тромсе);
— на семинаре “Топология и анализ” под руководством профессора A.C. Мищенко (Москва. МГУ им. М.В. Ломоносова, ноябрь 2008 г.);
12
на семинаре по математической физике и геометрии дифференциальных уравнений под руководством профессора В. Н. Рубцова (Анжэ, Франция, Университет Анжэ, июнь - июль 2000 г.);
— на семинаре кафедры 4 Дифференциалы гая геометрия и приложения” иод руководством академика А.Т. Фоменко (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, октябрь 2008 г.);
— на Пятом абелевском симпозиуме (“Fifth Abel Symposium”, Тромсе, Hop вегия, 17-22 июня 2008 г.);
— па Международной конференции “Лаптевские чтения”, посвященной 100-летию Г. Ф. Лаптева (МГУ им. М. В. Ломоносова — Тверской государственный университет, Москва-Тверь, 25-29 августа 2009 г.);
— на III Международном конгрессе “Симметрии: теоретический и методический аспекты” (Астрахань, Астраханский госуниверснтет, 10-14 сентября 2009 г.);
— на Международной конференции “X Белорусская математическая конференция” (Белорусский госуниверснтет и Институт математики НАН Беларуси, Минск, 3-7 ноября 2008 г.)
— на Международной конференции “Geometry and Algebra of PDEs”, посвященной 60-летию В. В. Лычагина (Тромсе, Норвегия, 12-17 августа 2007 г.)
— на Международной конференции “Анализ и особенности”, посвященной 70-летию В. И. Арнольда (Математический институт им. В. А. Стсклова РАН, Москва, 20-24 августа 2007 г.);
— на Международном семинаре “Идемпотентная и тропическая математика и проблемы математической физики” (Москва, Независимый московский университет, 25-30 августа 2007 г.);
13
— на Международной школе “Geometry of vector distributions, differential equations, and variational problems” (SISSA, Триест, Италия, 13-15 декабря 2006 г.);
— на Международной школе “Formal theory of partial differential equations and their applications” (Университет Йонсу, Финляндия, 2-9 апреля 2006 г.);
— на Международном коллоквиуме “Mathematics in Engineering and Numerical Physics” (Бухарест, Румыния, 6-8 октября 2006 г.);
— на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти
Н. В. Ефимова (МГУ-РГУ, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006 г.);
— на Международной конференции “Лаптевские чтения” (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, июль 2006 г.);
— на серии ежегодных Международных конференций “Геометрия в Одессе” (Одесса, Украина, 2005-2009 годы);
— на серии ежегодных Международных конференций “Геометрия в Астрахани” (Астраханский государственный университет, Астрахань, 2007-2009 годы);
на IX Международном семинаре “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления” им. Е. С. Пятницкого (31 мая- 2 июня 2006 г., Институт проблем управления РАН им. В. А. Трапезникова, Москва);
на I Международном семинаре “Симметрии: теоретический и методический аспекты” (Астраханский государственный университет, Астрахань, 15—17 сентября 2005 г.);
— на V конференции Европейского общества математической и теоретической биологии “Mathematical Modelling and Computing in Biology and
14
Medicine” (Milano, Italy, 2002 г.);
на Международной конференции “Classical and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces” (Москва, 1994 г.)
— на Международном коллоквиуме “International Geometrical Colloquium (UNESCO)” (Москва-Париж, 10-14 мая, 1993 г.);
— на Международном коллоквиуме Ли Лобачевского (Lie-Lobachevsky Colloquium, Университет Тарту, Тарту, Эстония, 26 30 октября, 1992 г.)
0.1.8 Публикации автора по теме диссертации
Г1о теме диссертации автором опубликовано 29 работ и одна монография:
1. Кушнер, А.Г.: Нормальные формы Чаплыгина и Келдыша уравнений Моижа-Ампера. Математические заметки, 52(5) 63-67, (1992).
2. Кушнер, А.Г.: Уравнения Монжа-Ампера и е-структуры. ДАН, 361(5), 595-596 (1998).
3. Кушнер, А.Г.: Приведение гиперболических уравнений Монжа-Ампера к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. ДАН, 423(5), 609-611 (2008)
4. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация уравнений Монжа-Амнера и инварианты Лапласа. ДАН, 422(5), 597-600 (2008)
5. Kushncr, A.G.: A contact linearization problem for Monge-Ampère equations and Laplace invariants. “Acta Appl. Math.” 101(1-3), 177-189 (2008)
6. Kushner, A.G.: On contact equivalence of Monge-Ampere equations to linear equations with constant coefficients. “Acta Appl. Math”; Online First: DOI 10.1007/sl0440-009-9447-z (2009)
15
7. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация невырожденных уравнении Монжа-Ампера. “Изв. ВУЗов, Математика”, №4, 43-58 (2008)
8. Кушиер, Л.Г.: Симплектнческая классификация гиперболических операторов Монжа-Ампера. Вестник Астраханского государственного технического университета, 1(30), 15-18 (2007)
9. Kushner, A.G., Lychagin, V.V., Rubtsov, V.N.: Contact geometry and nonlinear differential equations. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 101, Cambridge University Press, Cambridge, 2007, xxii+490
pp.
10. Kushner, A.G.: Classification of Monge-Ampère equations. In: “Differential Equations: Geometry, Symmetries and Integrability". Proceedings of the Fifth Abel Symposium, Tromso, Norway, June 17-22, 2008 (Editors: B. Kruglikov, V. Lychagin, E. Straume) 223-256.
11. Kushner, A.G.: Symplectic geometry of mixed type equations. In: Lychagin, V.V. (ed) The Interplay beetween Differential Geometry and Differential Equations. Amer. Math. Soc. Transi. Ser. 2, 167, 131-142 (1995)
12. Kushner, A.G.: Classification of mixed type Monge-Ampère equations. In: Pràstaro, A., Rassias, Tli.M. (ed) “Geometry in Partial Differential Equations”. Singapore New-Jersey London Hong-Kong, World Scientific, 173-188 (1993)
13. Doubrov, B., Kushner, A.: The Morimoto problem. In: Pràstaro, A., Rassias, Th.M. (ed) “Geometry in Partial Differential Equations”. Singapore New-Jersey London Hong-Kong, World Scientific, 91-99 (1993)
14. Kushner, A.G.: Almost product structures and Monge-Ampère equations. “Lobachevskii Journal of Mathematics”, http://ljm.ksu.ru 23, 151-181 (2006)
16
15. Kushner, A.G.: Symplectic classification of elliptic Monge-Ampère operators. Proceedings of the 4th International colloquium “Mathematics in Engineering and Numerical Physics” October 6-8 , 2006, Bucharest, Romania, pp. 87-94. Balkan Society of Geometers, Geometry Balkan Press (2007)
15. Kovalenko, I.B., Kushner, A.G.: Symmetries and exact solutions of nonlinear diffusion equation. Proceedings of the 5th conference of the European society of the mathematical and theo-retical biology “Mathematical Modelling & Computing in Biology and Medicine”, Milano, Italy, 239-243 (2002)
17. Kovalenko, I.B., Kushner, A.G.: The nonlinear diffusion and thermal conductivity equation: group classification and exact solutions. “Regular and Chaotic Dynamics” 8(2), 8-31 (2003)
18. Кушнср, А.Г.: Контактная классификация уравнений Монжа-Ампера. Proceedings of the International Workshop “Idempotent and Tropical Mathematics and Problems of Mat hematical Phisics” (Moscow, August 25-30, 2007) Eds. G.L. Litvinov, B.P. Maslov, 2, 99-104 (2007)
19. Кушнер, А.Г.: Нормальные формы для уравнений Монжа-Ампера: телеграфное уравнение и уравнение Гельмгольца. “Геометрія, топологія та їх застосуваня“, Збірник Праць Ін-ту математики НАН України Т.6, №2, 91-122 (2009)
20. Кушнер, А.Г., Манжосова, Е.Н.: Симплектическая классификация гиперболических уравнений Монжа-А.мпера. “Proceedings of the International Geometry Center”, Odessa, 1(1-2), 41-70 (2008)
21. Кушиер, А.Г., Манжосова, E.H.: Контактные инварианты и линеаризация уравнения Хантера-Сакстона. “Обозрение прикладной и промышленной математики” №3, 536-537 (2009).
17
22. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация невырожденных уравнений Монжа-Ампера. В сб. “Движения в обобщенных пространствах”, Изд-во ПГПУ, Пенза, 56-65 (2005)
23. Кушнер, А.Г.: Контактная геометрия уравнений Монжа-Ампера и структура почти произведений. Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2006 г., стр.51.
24. Кушнер, А.Г.: ЛР-структуры и тензор Хаантиеса. “Лаптевские чтения-2006“, Сб. трудов Международного геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева. Пенза, 57-62 (2007)
25. Кушнер, А.Г.: Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема Со-фуса Ли контактной линеаризации. Сборник научных трудов I Международного семинара “Симметрии: теоретический и методический аспекты”, Астрахань, 20-23, (2005)
26. Кушнер, А.Г.: Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений и проблема Софуса Ли. Труды конференции “Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения”, Рязань, РГПУ, 17-22 июня, 1996, 31-34.
27. Кушнер, А.Г.: Гиперболические уравнения Монжа-Ампера: проблема контактной эквивалентности. Естественные науки, №10, 101-104 (2005)
28. Кушнер, А.Г.: Тензорные инварианты гиперболических уравнений Монжа-Ампера. Естественные науки, №10, 143-146 (2005)
29. Кушнер, А.Г.: Контактная линеаризация нелинейных уравнений в частных производных. Труды Международной конференции “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления”, Москва, ИПУ, 31 мая - 2 июня 2006 г. стр. 146
18
30. Kushner, Л.О.: The problem of equivalence of non-linear partial differential equations of mixed type. “Proceedings of the Lie-Lobachevsky Colloq.” Tartu, Estonia, 26 - 30 October 1992, 28-30.
В работах, выполненных в соавторстве, вклад автора составляет от 40% до 75%.
0.1.9 Структура диссертации
Диссертация изложена на 245 страницах, состоит из введения, четырех глав, двух приложений и списка литературы, содержащего 101 наименование. Диссертация содержит 16 таблиц, 2 диаграммы и 2 рисунка.
Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация пунктов и подпунктов — тремя и четырьмя соответственно. Например, номером 3.2 обозначен второй параграф третьей главы, а номером 3.2.1 — первый пункт второго параграфа т ретьей главы.
Нумерация рисунков, диаграмм, таблиц и теорем в тексте диссертации сквозная, а нумерация формул в каждой главе своя.
I
19
0.2 Обзор содержания диссертации
Во введении дается общая характеристика работы, формулируются основные результаты и приводится краткий исторический обзор результатов по классификации уравнений Монжа-Ампера.
В первой главе “Уравнения Мої їжа- Ампера и ассоциированные с ними геометрические структуры” вводятся основные понятия, используемые в диссертационной работе. Кроме того, в ней разрабатывается математический аппарат для построения тензорных дифференциальных инвариантов структуры, обобщающей структуру почти произведения и почти комплексным) структуру. Такую структуру мы называем структурой т-кратного почти произведения.
Остановимся более подробно на содержании первой главы.
В п. 1.1 “Операторы и уравнения Монжа-Ампера” мы описываем подход Лычагина [29, 30] к уравнениям Монжа-Ампера и приводим необходимые нам в дальнейшем определения и результаты.
Пусть М — 2-мерное гладкое многообразие п ,7і М — пространство 1-джетов гладких функций на М. Каждая дифференциальная 2-форма ш € П2(д1М) может рассматриваться как нелинейный дифференциальный оператор
Ли, : С°°(М) -+ П2(М), действующий на функцию V Є С°° (М) по следующему правилу [29]:
Д^.(?;) = Ид(„)(д/). (3)
Здесь jl(v)(M) С .7іМ — график 1-джета функции и и Ил(и)(М) ~ ограничение дифференциальной формы ш на этот график.
Оператор Ли, называется оператором Монжа-Ампера, а соответствующее уравнение Еы = {Ли,(^) = 0} — уравнением, Мопэ/са-Ампера.
20
Гладкое многообразие 1-джетон JlM снабжено естественной контактной структурой, задаваемой распределенном Картана [3]:
С : JlM 3 аи С(а) С Ta(JlM),
или дифференциальной 1-формой Картана U, которая в стандартных локальных координатах щ, </2,u,pi,p2 на ЯМ имеет следующий канонический вид: U — du — pidqi — podq2-
Подпространство С (а) = kerUa касательного пространства Ta{JlM) называется подпространством Картана [3, 101].
Диффеоморфизм ф : ЯМ —> ЯМ называется контактным, если он сохраняет распределение Картана. Соответственно, векторное поле X на JlM называется контактным, если Lx{U) = XU для некоторой функции Л [3]. Здесь Lx{U) — производная Ли от Ы вдоль векторного поля X.
Контактные векторные поля однозначно определяются функцией / = U(X), которая называется производящей функцией контактного векторного ноля X = X/.
Дифференциальные формы на ЯМ, исчезающие на любом интегральном многообразии распределения Картана и, поэтому, порождающие нулевые дифференциальные операторы, образуют идеал
г = 0 Г\ где Is С ns (Тм)
5> 0
во внешней алгебре ГГ (ЯМ). Элементы фактор-модуля Г22 (ЯМ) //2 называются эффективными 2-формами [29].
Пусть и — дифференциальная 2-форма на JlM. Отвечающую ей эффективную форму мы будем обозначать lo€, то есть
def , , о
и>£ = и mod 1 .
Пусть Х\ — контактное векторное ноле с производящей функцией 1.
21
В каждой точке а £ ЯМ касательное пространство TaJlM распадается в прямую сумму TaJlM = {Х1м) © С (а).
Это разложение позволяет отождествить эффективные формы с дифференциальными формами на JlM.
Таким образом, вместо уравнений Монжа-Ампера (1) мы можем рассматривать дифференциальные 2-формы.
Пусть ф — контактный диффеоморфизм на JlM. Тогда ф* сохраняет модуль /2 и поэтому определяет отображение эффективных 2-форм:
ф* : ш mod I2 ь-> ф"(си) mod I2.
Определим действие ф* на эффективных формах следующим образом:
Определим теперь действие контактного диффеоморфизма ф па уравнения и операторы Монжа-Ампера, положив
Ф(Е„) ^ Еф.(Шг) и ф{Дш) d=!f Аф.(Ыс).
Два уравнения Монжа-Ампера ЕШ1 и назовем локально контактно эквивалентными в точке о 6 ЯМ, если существует такой локальный контактный диффеоморфизм ф некоторой окрестности этой точки, что ф(а) = а
и Ф(Еил) = Кг-
Ограничение дифференциала формы Картана на подпространство Кар-тана С (а) невырождено и определяет на нем симллектическую структуру Qn.
Определим ассоциированный с формой и оператор действующий
па векторных полях из распределении Картана (31J:
Л„Х\ П = X J W, X £ D(С). (4)
Функцию Pf(o>) £ С00 («ЯМ), определяемую равенством
Pf(o;)n Л Q = со Л со, (5)
22