Оглавление
Введение 7
1 Задачи Трико ми с: наклонной линией перемены типа
с ненулевыми данными на части границы области
эллиптичности 39
1.1 Постановка задач................................... 39
1.2 Теорема существования решении вадячи о нулём на девой
характеристике..................................... 42
1.3 Интегральное представление решения задачи с нулём пн
левой характеристике............................... 47
1.4 Принцип экстремума для задачи с нулём на левой
характеристике............'............................. 53
1.5 Теорема существования решения задачи с нулём на правой
характеристике..................................... 50
1.0 Интегральное представление решения задачи с нулём на
правой характеристике.............................. 58
Л" з
1.7 Принцип экстремума для задачи с нулём па правой характеристике......................................... 00
1.8 Построение решения задач Трикоми для случая с кривой
в области эллиптичности и данными па ней общего вида. . 03
Задачи для уравнения Лаврентъева-Бицадзе с наклонной
линией перемены типа и сметанными условиями на
границе области эллиптичности 67
2.1 Постановка задач....................................... 07
2.2 Теорема существования решения задачи с нулём на левой характеристике ........................................ 09
2.3 Интегральное представление решения задачи с нулём па левой характеристике,.................................. 72
2.4 Принцип экстремума для задачи с данными па левой характеристике......................................... 75
2.5 Теорема существования решения задачи с нулём па правой характеристике......................................... 70
2.0 Интегральное представление решения задачи с нулём па правой характеристике.................................. 81
2.7 Принцип экстремума для решения задачи с нулём на
правой характеристике.................................. 87
Аналоги задачи Геллерстедта с ненулевыми данными на
дуге окружности на границе области эллиптичности 89
3.1 Постановка задач....................................... 89
3.2 Теорема существования решения задачи с нулём на внутренних характеристиках............................. 91
3.3 Интегральное представление решения задачи Геллоретедтн
с нулём на внутренних характеристиках..................... 93
3.4 Принцип экстремума для аналога задачи Голлерстедта. е нулём на внутренних характеристиках....................... 95
3.5 Теоремы существования решения задачи с нулём па внешних характеристиках................................... 90
3.0 Интегральное представление решения задачи Гелл ерстед га
с пулом на внешних характеристиках ....................... 99
3.7 Принцип экстремума для аналога задачи Голлерстедта с нулём на внешних характеристиках..........................102
Задачи для уравнения Лаврентьева- Б и цадзе с ненулевыми данными на характеристиках на границе области гиперболичности 105
4.1 Постановка задач.........................................106
4.2 Система синусов с разрывной фазой........................108
4.3 Теорема существования решения задачи Геллсрсгсдта . . . ПО
4.4 Теорема существования решения задачи с данными смешанного тина на границе полу полосы....................115
4.5 Интегральное' представление нормальной к линии перемены типа производной решения задачи с данными смешанного типа па границе полу полосы.........................110
4.6- Теорема существования решения задачи Три ком и...........119
4.7 Интегральное? представление нормальной к липни перемены типа производной решения задачи Трикоми . . . 120
4.8 Интегральное представление нормальной к линии
перемены типа производной решения задачи Геллерстедта 123
G
Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним ив важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Исследование уравнений смешанного типа имеет сравнительно недолгу го историю. Первыми глубокими исследованиями в этой области явились работы Ф. Трикоми, опубликованные в двадцатых годах двадцатого века. Для уравнения
О2 и д2и
У0^+д^~
которое сейчас называют уравнением Трикоми, он изучил следующую краевую задачу. Пусть область О ограничена кривой Жордана а. лежащей к верхней полуплоскости у > 0 с концами в точках /1(0,0) и В( 1,0) оси абсцисс, расположенной в верхней полуплоскости, и отрезками характеристик АС и ВС уравнения, выходящими из этих точек и пересекающимися в точке С нижней полуплоскости. Требуется найти решение уравнения (1), регулярное в О и удовлетворяющее
7
условиям: и(хуу) = ф(р:,у) на а и и.(х, у) = 'ф(х) на АС. Ф. Три ком и доказал существование и единственность решения этой задачи при определенных дополнительных требованиях относительно поведения частных производных ил и у!П гладкости функции у) и характера дуги о. Исследования Трикоми были продолжены в тридцатых содах Чпбрарио и Геллерстедтом.
М. А. Лаврентьев для упрощения исследования краевых задач для уравнения смешанного типа предложил исследовать модельное уравнение
Подробное исследование задачи Трикоми и ее различных обобщений для уравнения (2) провел А. В. Бицадзе при самых общих предположениях о характере дуги <т, ограничивающей область П в верхней полуплоскости.
А. В. Бицадзе решил также для уравнения (2) задачу Трикоми в МІЮІ 0СВЯЗІЮЙ области, а также задачу, в которой на кривой а задана Им же была решена задача Трикоми для случая, когда данные в гиперболической части области заданы с отходом от характеристики. В случае задачи Трикоми для уравнения (1), аналогичный результат был получен К. И. Бабенко, для задачи Геллерстедта исследование для случая данных, заданных с отходом от характеристики, было проведено Ф. И. Франклем. М. М. Смирнов исследовал некоторые обобщения задачи Трикоми, а'также некоторые родственные задачи (см. работу 1211).
Для задачи Трикоми имеет место принцип экстремума: решение задачи Трикоми, обращающееся в нуль на характеристике АС, достигает положительного максимума и отрицательного минимума на дуічч.<т. Этот
‘ 8
принцип впервые был сформулирован А. В.Бицадзо в случае уравнения (2). Несколько позднее он был установлен для уравнения Трикомп ( !) в работе Жермена и Баде.
Е. И. Моисеев, используя свойство базисностп, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнения смешанного типа. Эго позволило Е.И. Моисееву получить решения задач Трикомп для уравнения (2) в виде ряда в некоторых специальных областях, а также интегральные представления решений.
Помимо уже упомянутых авторов, созданием теории краевых задач для уравнения смешанного типа занимались Б. А. Бубнов, В. Ф. Волкодавов, В. Н. Врагов, Т. Д. Джураев, В. Н. Диденко, В. А. 15лсев, В. И. Жегалов, М. М. Зайнулабидов, А. ЇІ. Зарубин, Т. Ш. Кальмепов. Г. Д. Каратопрнклиев, И. JI. Кароль, А. А. Килбас, А. И. Кожанов, Ю. М, Крикунов, А. Г. Кузьмин, О. А. Ладыженская, Е. И. Моисеев, А. М. Нахушев, С. М. Пономарев, А. В. Псху, С. П. Нулькии. О. А. Репин, К. Б. Сабитов, М. С. Сала.хитдипов, М. М. Смирнов, А. II. Солдатов, Р. С. Ха Яруллин, Хс Кап Чер, Л. И. Чибрикова, S. Agmou, Р. О. Lax. С. S. Morawctz, L. Nirenberg, R. P. Phillips, М. M. Prottcr, M. Schneider п др. Цель работы. Исследовать возможность построении решения в виде ряда и установления его единственности для задачи Трпкомм с наклонной линией перемены типа, задачи Гелл ерстед та с линией перемены типа, представляющей собой симметричный относительно 0(41 ординат угол, для которых данные заданы на кривой, ограничивающей область эллиптичности, а также задачи Геллсрстедта для случая с данными заданными на паре характеристик на границе областей гиперболичности.
Методы исследования. Решения задач строится и виде рядом методом разделения переменных, с использованием псортогопальпых систем синусов специального вида. Для понижения требовании па гладкость граничных условий используются интегральные представления решений, вид интегральных представлений при »том устанавливается непосредственным суммированием рядов для решений внутри соответствующих областей эллиптичности. Единственность решений устанавливается посредством доказательства принципов экстремума.
Научная новизна. Впервые рассмотрены аналоги нескольких задач для уравнения Лаврентьева-Бицадзе для случая, когда линия перемены тина не совпадает с осью координат, а область эллиптичности представлена сектором круга. А именно, аналог задачи Трмкомп, аналог задачи с нулём нормальной производной, заданным па стороне угла кругового сектора и данными, заданными на дуге, задачи Голлерстедта для симметричною относительно оси ординат кругового сектора. Получены решения в виде рядов по пеортогоинльным системам синусов, а также их интегральные представления. Освещён вопрос единственности решения данных задач. В виде бпортогоналыюго ряда, коэффициенты которого вычисляются по системе синусов с разрывной фазой выписано решение задачи Голлерстедта с ненулевыми данными на характеристиках волнового уравнения. Было получено интегральное представление решения данной задачи. Ранее подобные результаты были известны для задачи Трикоми.
Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты представляют теоретический интерес н могут быть
10
использованы в теории краевых задач для уравнений сметанного типа.
Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались на международной конференции „Современные проблемы математики, механики и их приложений“, посвящённой 70-летию академика В. А. Садовиичсго, на конференции молодых учёных Ломоносов-2006, на научном семинаре кафедры функционального анализа и ого применений ВМиК МГУ.
Публикации. Большинство результатов работы подготовлены и оформлены в трёх статьях, две из которых опубликованы ( работы |22], |17]), третья, работа 118], направлена в печать.
Структура и объём диссертации. Диссертация сос'гопт из оглавления, введения, 4-ёх глав и списка литературы. Во введении освещена актуальность задачи и краткая история основных результатов по смежным вопросам теории уравнений смешанного тина, а также основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 130 страниц.
Основное содержание работы
В целом, данная работа является развитием идей, представленных в работах 113], |14), |15], 116]. Композиция работы обусловлена.лиисйпостыо представленных задач, ко'юрая позволяет строи'ть решение задач
11
- Київ+380960830922