Д.Б. Шумкова. “Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источниками”. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.
Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2006.
Диссертация посвящена исследованию задач оптимального управления распределенными системами с неизвестными границами и подвижными источниками. Предложен новый метод, согласно которому неизвестные границы области для распределенных систем, описываемых уравнениями Навьс-Стокса, могут быть найдены в ходе решения задач оптимального управления. При этом вариационная задача ставится как задача с граничным управлением и жестким целевым функционалом. В рамках данной работы получены новые условия разрешимости и системы оптимальности для соответствующих постановок. Также получены условия разрешимости и системы оптимальности в задачах теплопроводности с подвижными тепловыми источниками, нелинейных относительно функции управления. Предложены алгоритмы отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам и численная реализация ряда исследуемых задач.
Библ. 75 назв.
Оглавление
Оглавление.........................................................................3
Введение...........................................................................4
Глава 1. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (состояние и анализ проблемы)......................................................7
1.1 Основные сведения теории минимизации функционалов и исследования систем с
распределенными параметрами......................................................7
1.2 Вопросы разрешимости задач оптимального управления распределенными системами 16
1.3 Системы оптимальности для задач оптимального управления распределенными
системами......................................................................31
Краткие выводы и задачи исследования............................................39
Глава 2. Оптимальное управление в задачах, описываемых уравнениями Навье-Стокса, с неизвестными границами и вариационные задачи с подвижными источниками.......................................................................40
2.1 Постановка и разрешимость вариационных задач, описываемых уравнениями Навье-
Стокса, с неизвестными границами................................................40
2.2 Необходимые условия разрешимости задачи оптимального управления Стокса с неизвестной іраницей..........................................................62
2.3 Разрешимость и система оптимальности в вариационных задачах с подвижными тепловыми источниками.........................................................67
2.4 Задача об оптимальном управлении скоростью подвижного теплового источника 77
Краткие выводы..................................................................78
Глава 3. Численное исследование задач оптимального управления с неизвестными границами и подвижными источниками................................................79
3.1 Методы отыскания неизвестных границ в задачах, описывающих течение идеальных
жидкостей.......................................................................79
3.2 Численное исследование течений вязких жидкостей со свободной поверхностью, описываемых уравнениями Стокса................................................90
3.3 Решение задачи оптимального управления потоком тепла от подвижного источника 100
3.4 Решение задачи оптимального управления скоростью подвижного теплового источника
...............................................................................104
Краткие выводы............................................................... 106
Заключение.......................................................................106
Библиографический список.........................................................108
Приложение.......................................................................111
3
Введение
Общая теория оптимального управления распределенными системами, т.е. системами, которые описываются с помощью краевых задач для уравнений с частными производными, изучается на протяжении многих лет, однако эта теория имеет достаточно абстрактный характер и ее применение к конкретным задачам далеко не всегда тривиально. Кроме этого, оно требует достаточной степени изученности управляемой системы, что сильно усложняет поставленную задачу оптимального управления. Эта тематика не теряет своей актуальности из-за разнообразия распределенных систем, описывающих процессы самых различных областей физики, механики, экономики. Теория оптимального управления гидродинамическими системами, в том числе и системами, описывающими течение вязких жидкостей, а также процессы тепломассопереноса, представляет интерес, связанный со спецификой краевых задач, описывающих эти физические явления. В этом смысле на первый план выступают вопросы разрешимости задач оптимального управления, а также получение систем оптимальности. Оптимальное управление в задачах с подвижными тепловыми источниками, а также в задачах, связанных с определением форм неизвестных границ, представляет не только теоретический, но и практический интерес, поскольку преобладающее большинство подобных задач непосредственно связано с процессами производства.
Теория оптимального управления распределенными системами интенсивно изучается на протяжении нескольких десятков лет. Термин "управление” был введен Л.С.Понтрягиным и его учениками [2] для задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такие задачи долгое время составляли большую часть исследований в теории оптимального управления. Периоду строгих математических исследований в теории оптимального управления распределенными системами предшествовало
4
изучение прикладных задач оптимального управления [14,26]. Одной из первых книг по математической теории оптимального управления распределенными системами была книга Ж.-Л. Лионса [33].
В настоящее время все больше исследуются задачи оптимального управления, использующие функциональные уравнения [3-8,15,22-24,57,59-60,62-67,74-75], в том числе дифференциальные уравнения с частными производными. Кроме того, теория оптимального управления системами, которые описываются функциональными уравнениями, сопровождается более систематическим использованием понятий и методов функционального анализа. В настоящее время при решении задач оптимального управления в основном пользуются общими методами абстрактного функционального анализа, теории выпуклого и вариационного анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, численных методов.
Приведем краткое содержание диссертационной работы. В первой главе рассмотрены основные вопросы, касающиеся постановок и разрешимости задач оптимального управления распределенными системами в общем виде, приведена классификация, связанная с различными видами целевых функций и типов управлений, приведены соответствующие определения, утверждения и теоремы, касающиеся разрешимости и единственности. Во второй главе получены условия разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением, построено обобщенное решение и получены условия разрешимости в задачах с жестким управлением. Так, исследованы некоторые задачи гидродинамики со свободными границами, сводящиеся к задачам оптимального управления. Для нахождения неизвестной области и состояния системы в этой области поставленная задача сводится к задаче оптимального управления областью, которая, в свою очередь, сводится к задаче граничного или распределенного управления (управление является жестким) в уже известной области, но на абстрактном и малоизученном классе функций. Трудность поставленной задачи состоит и в том, что целевая функция полученной задачи граничного управления зависит от границы неизвестной
области. В работе доказано существование оптимального управления в достаточно широком классе областей с ограниченным периметром, при котором на свободной поверхности выполняются некоторые условия. Получены необходимые условия задачи минимизации целевого функционала. Кроме того, доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой уравнением параболического типа с подвижным тепловым источником. Задача сведена к линейной относительно функции управления задаче с распределенным управлением и распределенным наблюдением с компромиссной целевой функцией.
В третьей главе построены алгоритмы отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам, численная реализация задач, исследуемых во второй главе.
В заключении сформулированы следующие основные результаты диссертационной работы.
На защиту выносятся:
1) Новые условия разрешимости краевых вариационных задач со свободными границами с жестким управлением и соответствующие необходимые условия;
2) условия разрешимости и система оптимальности в сильной форме для задачи ОУ с подвижным тепловым источником;
3) решение задач оптимального управления с неизвестными границами, описываемых уравнениями Навье-Стокса, сравнение полученных результатов с известными;
4) решение оптимизационной системы задачи с подвижным тепловым источником, реализация метода градиентного спуска минимизации функционала.
6
Глава 1. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (состояние и анализ проблемы)
1.1 Основные сведения теории минимизации функционалов и исследования систем с распределенными параметрами
Минимизация функционалов
Пусть Псіїї" открытое связное множество (область) с границей дО = Г, элемент множества П будем обозначать х = {х\,х29...,хп}, х,-єЛ и называть пространственной переменной.
Кратко опишем функциональные пространства, используемые в дальнейшем.
1. Ст(П),0<т<оо - пространство всех вещественнозначных функций /, заданных на П и имеющих там непрерывные частные производные Оа/ порядка а у где |а|<ш. Здесь а = (а\9а2,-,ссп), \а\ = а\+а2+... + ап>
л|**| г __
/)а/= £>аі ... £а”/ = , а, (/ = 1 ,п) - целые неотрицательные
да'х\ ...да"хп
о
числа. Через Ст(П) обозначим подпространство С'"(О) функций с компактным носителем в О. Через С'"(О) обозначим пространство всех функций /єСт(СЇ), таких, что для каждого а, \а\<т производная Оа/ обладает единственным
непрерывным продолжением на П. Норму в С™(П) определим следующим образом:
оат.
= тах Бир .
0<Н<т^п
Через С°°(П) обозначим пространство функций, имеющих на О непрерывные
о
производные любого порядка, С^СО) - подпространство С°°(П) функций с компактным носителем в О.
2. Через Ьр(0) (р>0) обозначим множество всех вещественнозначных
измеримых функций / на П, таких, что \\/(х)\рс!х <+оо. Норма в 1«(0)
О
определяется следующим образом:
л1'
\\т\рсь О
Р
, 1 < р <СО.
/,^(0) с введенной таким образом нормой является банаховым пространством. При /7 = 2 пространство ^(П) является гильбертовым, в котором скалярное произведение задается формулой (/,р) =
О
Важным инструментом исследования дифференциальных уравнений являются пространства Соболева. Для того, чтобы их определить, необходимо ввести понятие обобщенных функций или распределений.
Определение 1.1. Обобщенными функциями или распределениями на П
о
называются линейные функционалы, определенные на пространстве С00(О). Таким образом, распределение / - это элемент пространства Л*(П),
о
сопряженного к С00(О). Значение Дер) (или (/,ср)) называется значением распределения на пробной функции <р. Распределение удовлетворяет следующим условиям:
о о
____________________________________ _ /-.со.
• Если последовательность српеС (О) сходится к нулю в С (О), то последовательность (/,<рп) также сходится к нулю;
• Для любого компакта сое О существует неотрицательное целое т, такое,
о
ЧТО ДЛЯ ВСЯКОЙ (ре С°°(0) |(/р)|<ф?|о 0.
Классическим примером обобщенной функции служит распределение Дирака
о
6*о' (^0.
8
Пусть /, <р - локально интегрируемые на П функции. Всякой такой функции
/ соответствует линейный функционал \ffpdx. Это распределение
п
эквивалентно функции /, поэтому {/,#>)= \fcpdx.
п
Другой пример распределений - это меры.
Определение 1.2. Мерой (мерой Радона) называется непрерывный линейный
о
функционал на пространстве С(П) непрерывных функций с компактным носителем в О.
Через (/,р) обозначают значение меры / на функции ц> (интеграл от (р по
мере /). Кроме обозначения (/,р) используют другое: \cpdf.
п
Определение 1.3. Производной Оа/ распределения / называют непрерывный
о
линейный функционал на С°°(П), определяемый соотношением
(да/.р)=(-1)а(/.Да?).
Определим важный класс банаховых пространств - пространства Соболева.
3. Пусть 1 </? <а?, т - целое число. Обозначим IVр (О.) пространство всех
функций /<=Ьр(0), обобщенные производные которых Оа/ до порядка т включительно принадлежат также Ьр(0). Норма в этом пространстве
определяется следующим образом: Ц/Ц^/я^
I
\а\<т
Р
\
\— Р
о о
Через IVр (О) обозначим замыкание пространства С°°(П) по норме IVр {О). При
р = 2 пространство IV™ (О) является гильбертовым и обозначается Нт(0.). Скалярное произведение в общем случае определяется следующим образом:
(Л,Л)- 1фа/ьДа/2),при р = 2 (<р,ч,)=\<рус1П.
\а\<*т О
4. Пространство Ву(о) есть пространство функций, суммируемых на открытом множестве П, первые обобщенные производные которых являются мерами.
- Київ+380960830922