Оглавление
Введение 6
1 Многомерные преобразования Меллина и их применения к решению алгебраических уравнений 28
1.1 Теоремы обращения......................................... 29
1.1.1 Классы и формулировки теорем обращения 30
1.1.2 Доказательство Теоремы обращения 1.2.............. 32
1.1.3 Доказательство Теоремы обращения 1.1.............. 36
1/2 Применение формул обращения к решению алгебраических уравнений................................................. 41
1.2.1 Общее алгебраическое уравнение и интегральная
формула для его решения........................... 41
1.2.2 Секториалъпая область голоморфности главного
решения........................................... 47
1.2.3 Доказательство интегрального представления ... 51
1.3 Выражение суперпозиции общих алгебраических функций
через гииергсометрические ряды......................... 55
1.3.1 Система п алгебраических уравнений „треугольного“ вида................................................. 55
2
1.3.2 Преобразование Меллина мономиальной функции у'1(х)................................................ 56
1.3.3 Интегральная формула и ряд Тейлора для у(1 (я;) . 59
2 Дискриминантное множество общего полиномиального преобразования СГ1 67
2.1 Понятия дискриминанта и дискриминантного множества . 68
2.1.1 Классический дискриминант и А-дискриминант . . 68
2.1.2 Он ределе! г ие дискриминантного множества общего полиномиального преобразования Сп ...................... 72
2.1.3 Приведенная система и дегомогенизация дискриминантного множества.................................... 74
2.2 Параметризация дискриминантного множества............ 78
2.2.1 Классический случай и А-дискриминант ............. 78
2.2.2 Формулировка теоремы о параметризации. Каноническая система и се линеаризация...................... 80
2.2.3 Структура якобиана линеаризации................ 83
2.2.4 Окончание доказательства Теоремы 2.2. Условие коразмерности 1 для V .................................... 90
2.2.5 Примеры .......................................... 92
3 Другие преобразования в задачах голоморфного продолжения С Н-гиперфункций 96
3.1 Гармоническое представление гиперфункций............. 98
3.1.1 Гармоническое представление аналитических функционалов ...............................................100
3
г
3.1.2 Пучок абелевых групп *В. Гомоморфизм пучков Ф
и Ъ...............................................104
3.1.3 Граничные значения гармонических функций . . . 110
3.2 С К- гиперфункции как граничные значения голоморфных функций.....................................................113
3.2.1 Условия Коши-Римана...............................114
3.2.2 Граничные значения голоморфных функций .... 116
3.3 Теорема о гармоническом продолжении.....................118
3.4 Логарифмическое преобразование Бохнсра-Мартинелли и критерий голоморфного продолжения СЯ-гипсрфункций . 124
3.4.1 Когомологическая связь логарифмического дифференциала с формой Коши-Фантаппье .......................125
3.4.2 Критерий голоморфного продолжения С Я-гииерфункций............................................129
3.4.3 Признак локального голоморфного продолжения . . 132
Приложение 136
П..1 Интегральные преобразования и представления с голоморфными ядрами..............................................136
II. 1.1 Преобразование Коши.............................136
П. 1.2 Преобразования Меллина...........................136
П. 1.3 Интегралы Мсллина-Барнса и гипергеометрическис
ряды..............................................137
11.2 Интегральные преобразования и представления с неголо-
морфными ядрами.........................................139
П.2.1 Преобразование Бохнера-Мартинелли.................139
4
П.2.2 Ядро и интегральное представление Коши-Фантаппье140
П.З Логарифмический вычет и вычет Гротендика...............141
П.3.1 Логарифмический дифференциал на основе ядра
Коши ...........................................141
П.3.2 Логарифмический дифференциал на основе ядра
Бохнера-Мартинелли..............................142
Г1.3.3 Вычет Гротендика...............................142
П.4 Общие сведения о гиперфункциях........................143
П.4.1 Аналитические функционалы.......................143
П.4.2 Понятие гиперфункции............................144
Список литературы
145
Введение
Известно, что одно из самых популярных интегральных преобразований в ма-тематичсском анализе - преобразование Фурье играет важную роль при обработке сигналов, т.е. в проблеме передачи информации. Аналогичными свойствами обладают и все родственные ему интегральные преобразования (Лапласа, Меллина, Коши, а также более позднее преобразование Радона, лежащее в основе принципа действия современного томографа). Эффективность использования интегральных преобразований особенно ярко проявляется в рамках комплексного анализа, где благодаря теореме Коши-Пуанкаре, т.е. теории вычетов, значительно расширяются возможности точного или асимптотического вычисления интегралов. Теория вычетов, лежащая на стыке комплексного анализа и алгебраической геометрии, играет важную роль в этих направлениях математики и в математической физике.
Наибольшее применение преобразования Меллина получают в теориях специальных функций. Например, в теории чисел преобразование Меллина переводит тэта-функцию Якоби в дзета-функцию Римаиа [27], а значит, из функционального уравнения для первой следует функциональное уравнение для второй. В середине прошлого столетия были сформированы многомерные интегралы Меллина-Вариса, которые представляют собой обратные преобразования Меллина для отношения иро-
6
изведений конечного числа гамма-функций в композициях с линейными функциями. Такие интегралы представляют гипергеометрическио функции - самый обширный класс среди всех специальных функций. В него входит подкласс некоифлуэнтных гипсргсометрических функций, содержащий в себе классическую гипергеомстрическую функцию Гаусса и Л-гипергеометрические ряды [51, 78], в частности, фундаментальные периоды многообразий Калаби-Яу [53].
В последнее время обнаружилось, что преобразования Меллина настолько пропитаны природой комплексного анализа, что их можно считать частью теории вычетов. Несколько неожиданным оказался и тот факт, что многомерная теория интегральных преообразований Меллина практически отсутствовала. Поэтому, ввиду огромной важности, как для самого комплексного анализа, так и в теориях гипсргсометрических функций и О-модулей, а также в проблемах обработки сигналов, актуальной задачей является построение теории многомерных преобразований Меллина..
Одно из ярких применений преобразований Меллина состояло в предъявлении явной формулы для решения общего алгебраического уравнения, найденной Меллином в 1921 году [711. В начале нынешнего столетия в работах Б. Штурмфельса [85], А.К. Циха и его соавторов [29, 75] были получены аналитические продолжения для указанного решения, а также области сходимости для гипергеометрических рядов, представляющих решение, выявлено взаимное расположение этих областей относительно дискриминантного множества уравнения. К этому времени уже были достаточно глубоко изучены так называемые Л-дискриминаиты [51, 59] (дискриминанты полиномов нескольких иеремен-
7
ных). Однако, оставались открытыми вопросы обобщений интегральных представлений для решений системы уравнений, описания областей сходимости представляющих интегралов и описания дискриминантных мпоо/сеств общих полиномиальных отобраэюепий.
Интегральные представления функциональных объектов (обычных и обобщенных функций, дифференциальных форм, сечений расслоений) составляют важный инструмент в вопросах аналитических продолжений этих объектов. В качестве подтверждения достаточно указать роль интегрального представления Бохнера-Мартинелли в обосновании знаменитого феномена Гартогеа (Der Hartogs-Bochner Kugelsatz) или результат Атьи о мероморфном продолжении функции Рх. Несколько иную методологию в задачах аналитических продолжений доставляет формула Карлемана о восстановлении голоморфной функции по ее значениям, например, на части границы области. Здесь, следуя идее физиков-тсоретиков Фока и Куни, вместо интегральных представлений целесообразно использовать интегральные преобразования. Эта идеология получила развитие в монографии Л.А. Айзенберга [1], статьях А.М. Кытмаио-ва [4, 20] и др. При этом, оставался неисследованным вопрос о голоморфном продолжении наиболее общих функциональных объектов - гиперфункций. Естественность рассмотрения такого класса функциональных объектов подтверждалась результатом Полкинга и Уэллса [77], согласно которому пространство функций, голоморфных в области с вещественно аналитической границей, изоморфно пространству СЛ-гиперфункций па границе.
Цель диссертации состоит в развитии теории многомерных преобразований Меллина и их применении к исследованию систем п алгеб-
8
раических уравнений с п неизвестными, в частности, к описанию дискриминантов таких уравнений. Кроме того, стояла задача исследования условия одностороннего голоморфного продолжения в область для гиперфункций, заданных на вещественно аналитической гиперповерхности.
Характеризуя диссертационную работу в целом можно сказать, что она посвящена развитию техники многомерных интегральных преобразований и ее применению для решения некоторых проблем теории алгебраических уравнений и аналитического продолжения. Изложение начинается с теории многомерных преобразований Мел липа (глава 1), где вводятся естественные классы голоморфных функций, между которыми прямое и обратное многомерные преобразования Меллииа осуществляют биекцию. Доказанные в э той главе формулы обращения для многомерного преобразования Меллииа применяются к решению общего алгебраического уравнения и к исследованию суперпозиции общих алгебраических функций. В главе 2 решается проблема параметризации дискриминантного множества общего полиномиального преобразования С" на основе идеи линеаризации. В главе 3 рассматриваются интегральные преобразования Бохнера-Мартинелли, в частности, преобразования, связанные е логарифмическим дифференциалом, и их применения в задачах голоморфного продолжения СЙ-функпий. Для облегчения чтения диссертационной работы ряд понятий и известных вспомогательных результатов выделен в специальный раздел „Приложение“.
Прежде, чем приступить к изложению содержания первой главы, приведем основополагающий результат об одномерных преобразованиях
О
Меллипа. Эти преобразования были введены им в 1896 году (см. |69|):
С помощью замены переменной х = е~1 эти преобразования сводятся к преобразованиям Лапласа. Меллин ввел свои преобразования в поисках обращения преобразований Лапласа. Он догадался о виде обратного преобразования и указал некоторые случаи восстановления оригинала по изображению: Ф = М 1 Л</"[Ф]. Применительно к преобразованию Лапласа такая формула обращения играет большую роль в операционном исчислении и в теории обработки сигналов. Позднее были выделены два класса функций, между которыми М и М 1 осуществляют взаимно обратные изоморфизмы (см. [17]). Это:
- класс М£'в (а < /3,6 > 0) функций Ф(х), голоморфных в каком-либо
и
- класс XV^ д функций Р(г) = Р(и + 1у), голоморфных в полосе {г : а < Шг < /?}, и убывающих в пей экспоненциально по у:
00
О
п+аоо
секторе
$кб = {х ’ | а^х| < кд}} к > 1
и удовлетворяющих условию
Ф(а?) = 0(х при х —> О, Ф(х) = 0(х~Р) при х —> ос,
(0.1)
^(и + ги)| < К{и)еГк'т, к' > 1.
10
Заметим, что условия (0.1) можно записан і» в виде
Ф(ж) = 0(х а) для всех х Є бы, а Є (а,/?).
Такая форма записи кардинальным образом поможет нам ввести соответствующий класс функций в многомерной ситуации.
Видимо, первое внедрение многомерного преобразования Меллина было сделано также им, в 1921 году в статье [71), где в качестве применения было доказано, что решение общего алгебраического уравнения представляется гипергеомстрическим рядом от переменных коэффициентов уравнения. Однако, в краткой статье (71) Меллин ничего не писал о справедливости многомерной формулы обращения — вероятно, в нужном ему примере он знал сс обоснование с помощью повторных одномерных процедур.
Преобразование Меллина функции Ф(ж), заданной в ортанте (произведении положительных вещественных полуосей), определяется интегралом
но, обратное преобразование Меллина функции ^(г), заданной в мнимом (вертикальном) подпространстве а-ИМп (а — фиксированный вектор из вещественного подпространства К" С С"), — это интеграл
в+«Вп
В первой главе диссертации введены подходящие классы функций многих переменных, применительно к которым устанавливаются форму-
где мультииндексная запись хг^1 означает х\х 1 •• ж*” А. Соответствен-
11
лы обращения для многомерных преобразований Меллина:
М ■ М~1 = I = м 1 • м.
Указанные классы функций определяются парой выпуклых областей и С М”, 0 с Кл, причем предполагается, что 0 ограничена и содержит начало координат: 0 6 0. Область и порождает в комплексном пространстве трубчатую область II + іК”, а 0 — секториальную область 5©. Волос точно, секториальныс области будем брать в множестве 6 = х К”, которое представляет собой область наложения над комплексным тором Т" = (С \ {0})п. Точки х = {г, в) 6 6 (г 6 ИЦ., 0 6 Мп) проектируются в векторы
те'0 = (гуё°\.. .,гпеівп) 6 Тп.
Тогда сектор (секториалышя область) над 0 — это множество 5© = {гг 6 <5:0 6 0}. На Тд обращение этой проекции можно рассматривать многозначным, если 0 не помещается в куб со стороной длины 2л (например, одна из ветвей функции одного переменного 1/(1 + у/г) голоморфна в секторе над интервалом \0\ < 2л). Итак, пусть:
М]э — векторное пространство функций Ф(а:), голоморфных в какой-либо области
£*© = {т 6 6 : 6 Ш}, к > 1
(к зависит от Ф, а кВ означает гомотетию 0 с коэффициентом к) и удовлетворяющих условию
|Ф(х)| < С(а)\х~а\ для всех х 6 5*©, а 6 £/,
где С (а) не зависит от х\
Wu — векторное пространство функций — Г(и+іу), голоморфных
12
в трубчатой области V +ШП и убывающих в ней экспоненциально по у:
\Г{и + 1у)\ < К{и)е^п^х,\ к' > 1,
где #е(ц) := 8ир(0,и) — опорная функция для В.
0€0
Изоморфность введенных таким образом классов функций А/@, установлена в следующих теоремах.
Теорема 1.1. Если Ф(зг) Е М@, туш ее преобразование Меллина существует, принадлежит и справедлива формула М~1М[Ф] = / [Ф],
т.е.
J х~*<1г 1<Н0С~'(1С = Ф(*). х € 5*0,
л+Л» К’*
гск а е II .
Теорема 1.2. Ec.au Е(х) Е то ее обратное преобразова-
ние Меллина существуете, принадлежит МЦ и справедлива формула ММ~Х[Е] = /[Я], т.е.
/ж2"/йж(2^ / = г 6 г/ + гКп,
а+»Кп
где а € и.
Применению формул обращения посвящены разделы 2, 3 первой главы диссертации. В них обобщено классическое интегральное представление Меллина (см. |71|) для решения общего алгебраического уравнения
хпуп Ч ЬХ1у + хо = 0
с комплексными коэффициентами хо,..., хп. Ввиду свойства двойной однородности решения у(хо,..., хп) с помощью мономиальной замены переменной с рациональными показателями коэффициенты при двух мономах у4, у,} могут быть сделаны единичными. В диссертации исследован
13
- Київ+380960830922