Оглавление
Введение. 3
1 О некоторых обратных задачах спектрального анализа 28
1.1 Об обратной задаче спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных уравнений................ 28
1.2 Теорема о единственности решения обратной задачи спектрального анализа для оператора Гегенбауэра с финитным потенциалом . . . ....................... 43
2 Свойства некоторых дифференциальных операторов
и их решений 51
2.1 Приближенные формулы регуляризоваиных следов . 51
2.2 Собственные функции оператора Лапласа.......... 58
2.3 Ортогональность собственных функций оператора Лапласа, заданного смешанными граничными условиями на равнобедренном прямоугольном треугольнике. Явный вид ядра резольвенты оператора Лапласа .... 72
2.4 Иденитификация смешанных краевых условий для оператора Лапласа в треугольной области .............. 86
Заключение 95
2
Введение
Настоящая диссертация посвящена исследованию некоторых актуальных задач спектральной теории линейных операторов в гильбертовых пространствах: обратной спектральной задаче, теории регуляризованных следов, получению явного вида функций Грина для важных конкретных краевых задач математической физики.
Теория операторов охватывает обширную часть анализа, имеет многочисленные применения в прикладных вопросах и постоянно развивается. Спектральный анализ, развитый первоначально для интегральных операторов с симметрическим ядром, определенным и непрерывным в некоторой ограниченной области, был затем в рамках общей теории операторов распространен на многие другие типы операторов. Такое распространение повлекло существенное расширение и усложнение методов спектрально-
го анвчЛиза.
Большая часть наших исследований посвящена дифференциальным операторам. Теории дифференциальных операторов посвящены многочисленные работы и монографии, из которых в соответствии с задачами, рассмотренными в диссертации, выделим наиболее известные [28, 35, 48, 38, 14, 29, 3, 23, 27|.
Первым результатом в спектральной теории обратных задач была следующая теорема единственности В. А. Амбарцумяна [1]:
Пусть {А„}^о - собственные числа краевой задачи
-у" + д{х)у = Ху, у'{ 0) = у'{тг) = 0,
где (7(т) - действительная непрерывная функция. Если А7і = п2 для всех п, то (}(х) = 0.
Затем Г. Борг [7] показал, что результат Амбарцумяна является исключением, и одного спектра для восстановления кравеаой задачи недостаточно. Он решил задачу об однозначном определении потенциала и коэффициентов двух пар краевых условий оператора типа Штурма-
4
Лиувилля по двум соответствующим последовательностям его собственных значений.
Далее А. Н. Тихонов [44] получил теорему единственности в задаче на полуоси но функции Вейля. Для операторов Штурма-Лиувилля обратная задача была полностью решена в работах В. А. Марченко, И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана, М. Г. Крейна, М. Г. Гасымова. Л. А. Дикого [9, 10, 11, 15, 26, 34]. 14 в настоящее время обратная задача в различных постановках остается одной из важнейших задач спектральной теории.
Формулы регуляризованных следов играют важную роль в различных разделах спектрального анализа: могут служить для приближенного вычисления первых собственных чисел операторов, используются в обратных задачах спектрального анализа, представляют также и самостоятельный интерес [37, 31, 18, 16, 10, 19, 41, 21].
Регуляризованные следы дифференциальных операторов (суммы собственных чисел, из которых вычтены некоторые выражения так, что ряды становятся сходящимися) являются естественным обобщением понятия следа
5
для матриц. Для регулярных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка такие тождества были доказаны И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [11, 28]: для оператора Штурма - Лиувилля с потенци-
7Г
алом q(x), f q(x) dx = 0 верна формула:
£; - п‘) = -<т±м.
71=1
Метод, основанный на исследовании асимптотического разложения следа резольвенты предложил использовать И. М. Гельфанд [12], для оператора Штурма - Лиувилля впервые получив формулы следов высших порядков:
оо
£ (/4 - Ак{п)) = В(к), (1)
71= 1
где Ak(n) — отрезок разложения /х£ по степеням п (то есть фактически по степеням невозмущенного спектра Ап), содержащий только неотрицательные степени п, В (к) в конечном виде выражаются через q(x) и ее производные.
Принципиальным прорывом в теории следов стало применение методов теории функций для исследования дзета - функции оператора в работе В. Б. Лидского и В. А. Са-довничего [31]. Здесь для специального класса функций
К) включающего в себя характеристические определители многих спектральных задач, в том числе "почти всех" задач для регулярных обыкновенных дифференциальных операторов, был дан метод вычисления регуляризован-ных сумм корней, что вместе с данным в работе этих же авторов [32] методом вычисления асимптотических разложений этих корней но степенно-логарифмическим функциям номера позволило решать задачи теории следов во многих важных случаях.
Во всех указанных работах, относящихся к этому вопросу, в регуляризованных суммах собственные числа входят в целых степенях. Вместе с тем, В. А. Садовничим [37] решена задача получения регуляризованных сумм, содержащих дробные степени собственных чисел. Остановимся подробно на полученных в них формулах регуляризованных следов полуцелых степеней оператора Штурма - Ли-увилля. В отличие от известных формул регуляризованных следов [31, 32] в случае полуцелых степеней суммы уже равны числам, которые в явном виде не выражаются через коэффициенты уравнения и константы в гранич-
7
ных условиях, а содержат интегралы от регуляризован-ных следов резольвенты.
В операторе Штурма - Лиувилля:
-у” + q(x)y = z2y = А у, 1/(0) = у(п) = 0 (2)
предполагается, что функция q{x) вещественна, а собственные числа оператора положительны. Если q(x) — бесконечно дифференцируемая функция, то справедливо следующее асимптотическое разложение:
ос
Zn ^ ^ С2р—\Т1 ^ Р \ С— 1 = 1, Zn = VK. О р=О
(п = 1,2,3,...).
Рассматривается дзега - функция
со
Со (^) = X]
п—1
здесь г“*9 = ехр(—б'1пгГ1) и берется фиксированная ветвь логарифма, регулярная в плоскости с разрезом по положительной полуоси, и доказывается, что функция Со(5)> регулярная в полуплоскости Re s > 1, допускает аналитическое продолжение влево как мероморфпая функция с полюсами первого порядка в точках s = —2к + 1 и вычетами в них, равными p2k[—2k + 1), (А; ~ 0,1,2,...).
- Київ+380960830922