Положительные решения нелинейных уравнений в F-пространствах

Оглавление
Введение ..................................................................3
§1. Существование неподвижных точек вполне непрерывных
операторов в /'’-пространстве .......................................... 11
§2. Существование неподвижных точек у сжимающих операторов,
возмущённых вполне непрерывными операторами, в /'’-пространстве .........23
§3. Существование неподвижных точек уплотняющих операторов
в /'’-пространстве ......................................................34
§4. Неподвижные точки монотонно компактных операторов в
Р-пространстве с конусом ................................................42
§5. Существование неподвижных точек монотонных уплотняющих
операторов в Р-пространстве с конусом ...................................60
§6. Приложение .............................................................71
Список литературы ........................................................88
0/
Введение
Одним из важных разделов современного анализа является теория нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах [26, 33, 41, 51] с конусами [18, 19, 24, 25, 34], созданная М.А. Красносельским [34-38] и его учениками [2, 3, 4-16, 28, 39, 47-50].
Ценность этой теории обуславливается, в частности, её многочисленными приложениями различных задачах естествознания: в задаче о критическом режиме ядерного реактора [8, 9], в теории волн на поверхности тяжёлой жидкости, в задачах о формах потери устойчивости упругих систем [35], в задачах геометрии в целом [34], в теории устойчивости [36], в теории нелинейных краевых задач [34], в математической экономике и т. д.
Естественно возникает вопрос о её распространении на более широкие классы пространств чем банаховы и, в частности, на Р-пространства (пространства Фреше). Этот класс пространств, кроме банаховых, включает в себя такие важные пространства как счётно-нормированные и пространства Ц(0<р<1), 1Р(0<р<1).
Развитию теории нелинейных операторных уравнений в Р-пространствах и посвящается данная диссертационная работа. Тема диссертации актуальна и представляет реальных научный интерес.
Основными целями диссертационной работы является разработка следующих вопросов:
1) доказательство новых теорем существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действующих в Р-пространствах;
2) доказательство в Р-пространствах признаков существования неподвижных точек у операторов, представимых в виде суммы сжимающею и вполне непрерывного операторов;
3) доказательство в Р-пространствах теорем существования неподвижных точек уплотняющих операторов;
3
4) получение признаков существования неподвижных точек монотонно компактных операторов, действующих в Б-прос1ранствах с конусом, без предположения непрерывности исследуемых операторов;
5) выделение специального класса уплотняющих операторов в Б-пространствах с конусом и доказательство существования у них неподвижных точек, без предположения их непрерывности;
6) приложение полученных результатов в теории нелинейных интегральных и дифференциальных уравнений в конкретных функциональных Р-пространствах.
В диссертации основные теоремы о неподвижных точках нелинейных операторов распространяются с банаховых пространств на Р-пространства.
При естественных ограничениях на Р-пространства, которые автоматически выполняются для банаховых пространств, доказаны теоремы существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, операторов, представимых в виде суммы сжимающего и вполне непрерывного операторов, уплотняющих операторов.
Эти теоремы являются развитиями известных принципа Шаудера [30, 33, 421 и теорем М.Л. Красносельского [34, 36-38], Р.Л. Фрум-Кеткова и Б.Н. Садовского [47-50].
На Б-пространства с конусом распространены известные теоремы И.А. Бахтина о неподвижных точках монотонно компактных и монотонных уплотняющих операторов [6, 9, 10, 13-21], вообще говоря, не обладающих свойством непрерывности.
Полученные результаты применяются к исследованиям в конкретных функциональных Б-пространствах некоторых классов интегральных, интегро-функциональных и бесконечных систем дифференциальных уравнений.
Приведём обзор содержания диссертации по шести параграфам, на которые она разбита.
4
Нумерация приводимых ниже утверждений и формул совпадает с их нумерацией в диссертации.
В первом параграфе работы получены теоремы существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действующих в /г-пространстве X. В частности доказаны следующие теоремы.
Теорема 1.1. Пусть
1) в /«'-пространстве Л'для каждого относительно компактного множества М с X множество соМ также относительно компактно;
2) сопряжённое пространство X* достаточно в /«'-пространстве X;
3)вполне непрерывный оператор А преобразует непустое замкнутое ограниченное по р-норме ||х|| выпуклое множество Гс! в себя: АУ сп У.
Тогда существует элемент х, еУ, такой, что Ах, - х».
Отметим, что теорема 1.1 является обобщением известного принципа Шаудера с банаховых пространств на /^-пространства при дополнительных условиях 1), 2), которые в банаховых пространствах автоматически выполняются.
Теорема 1.3. Пусть
1) в /^пространстве X конус К псевдонормален;
2) для любого относительно компактного множества М с: X множество соМ также относительно компактно;
3) сопряжённое пространство X* достаточно пХ;
4) вполне непрерывный оператор А преобразует конусной отрезок (и,у), где и < V - фиксированные элементы в!,в себя.
Тогда существует элемент х„ € (и, у), такой, что Ах, = х*.
Во втором параграфе диссертации приводятся теоремы существования неподвижных точек у операторов, действующих в ^-пространстве, которые представляются в виде суммы сжимающего и вполне непрерывного операторов. Эти теоремы являются развитием соответствующих теорем М.А.
5
Красносельского, Р.Л. Фрум-Кеткова в банаховых пространствах. Основными здесь являются следующие результаты.
Лемма 2.1. Пусть
1)в ^-пространстве X оператор А преобразует непустое замкнутое ограниченное по р-норме ||л'|'р выпуклое множество У с X в себя: АУ си У;
2)опсратор А представляется в виде А=В+С, где В- сжимающий, а С-вполне непрерывный на множестве V операторы.
Тогда существует замкнутое выпуклое множество У0 с V, такое, что
соАУ0=У0.
Теорема 2.1. Пусть
1)в ^-пространстве X для любого относительно компактного множества Ммножество соМ также относительно компактно;
2)сопряжённое пространство X* достаточно в X;
3)операгор А преобразует непустое замкнутое ограниченное по р -норме И выпуклое множество V си X в себя: АУ си V;
4)оператор А представим в виде: А=В+С, где В - сжимающий, а С — вполне непрерывный на множестве У операторы;
5)если для замкнутого выпуклого множества К0сГ выполняется
равенство со АУ0 = У0, то множество У0 компактно.
Тогда существует элемент х* е У, такой, что Ах* = х*.
Опираясь на лемму 2.1, теорему 2.1, а также на результаты §1, были доказаны и некоторые другие теоремы.
В третьем параграфе работы в ^-пространстве выделяется класс уплотняющих операторов, и приводятся для них признаки существования неподвижных точек.
Пусть М - множество всех ограниченных по р -норме ||х)|р множеств
0.<иХ ^-пространсгва X, а Я0 - полуинтервал [0,+оо).
Определение. Функция у: М Я0, обладающая свойствами:
1) равенство ц/(П) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда множество О с М относительно компактно;
2) выполняется равенство \|/(о)= м/(0) (П с М);
3) если £2, сгП2 , то у(П2);
4) \у(П, и^2)=тах{у(а,),у(02)};
5) \|/(П,+П2)< )+\}/(Г22), где 0,-ь02- алгебраическая сумма
множеств О, и П2, называется мерой нскомпактности в ^-пространствеX.
Отметим, что наше определение меры некомпактности в /'’-пространстве X отличается от определения регулярной меры некомпактности, данного Б.
Н. Садовским [3,47,48].
Определение. Непрерывный ограниченный оператор А:Х—>Х, действующий в /^пространстве X, называется у-уплотняющим, если для любого относительно некомпактного множества О с X мера некомпактности \у(ся/Ю)< \{/(0).
Отметим, что приведённое определение \}/- уплотняемости оператора А в /^-пространстве X аналогично соответствующему определению, данному Б.
Н. Садовским для банахова пространства [3,47, 48].
Отметим здесь следующую теорему:
Теорема 3.1. Пусть
1)в /'’-пространстве X непрерывный, ограниченный, у-уплотняющий оператор А преобразует замкнутое ограниченное по р-норме ||л|5 выпуклое
множество V в себя;
2)сопряжённое пространство X’ достаточно в X;
3)для любого относительно компактного множества М а X множество соМ так же относительно компактно.
Тогда существует элемент х, е V, такой, что Ах. = х,.
В четвёртом параграфе доказаны теоремы существования неподвижных точек монотонно компактных операторов, действующих в /♦'-пространстве с
7