Оглавление
Введение 3
Многоэтапные схемы размещения частиц по ячейкам....................... 3
Обзор результатов по главам........................................... 4
Глава 1 14
Пуассоновская предельная теорема для двухэтапной схемы размещения 14
1.1. Равновероятная двухэтапная схема размещения..................... 14
1.2. Полиномиальная двухэтапная схема размещения..................... 20
Глава 2 34
Центральная предельная теорема для двухэтапной схемы размещения 34
2.1. Уточнение статьи В.Г. Михайлова................................. 34
2.1.1. Введение...................................................... 34
2.1.2. Свойства величин Е/і,- и Г>/.і,............................. 36
2.1.3. Оценки третьего и четвертого моментов......................... 48
2.1.4. Центральная часть доказательства.............................. 60
2.1.5. Вычислительная часть доказательства........................... 64
2.2. Центральная предельная теорема для двухэтапной схемы
размещения...................................................... 78
2.2.1. Введение...................................................... 78
2.2.2. Доказательства................................................ 79
Глава 3 83
Бесконечная схема размещения частиц; 83
3.1. Невырожденность предельного распределения в бесконечной схеме размещения частиц.............................................. 84
3.2. Предельное распределение момента объединения всех частиц ... 86
3.2.1. Введение...................................................... 86
3.2.2. Доказательства................................................ 86
2
Введение
. Диссертация посвящена исследованию многоэтапной схемы размещения частиц по ячейкам- Эта схема является новой и обобщает классическую схему размещения частиц по ячейкам. В диссертации мы рассматриваем два крайних случая - двухэтапную схему и схему с бесконечным числом этапов. Мы начнем введение с описания предмета исследования. Далее будут описаны полученные в работе результаты, и проведено их сравнение с аналогичными результатами для классической схемы размещения частиц по ячейкам, а также с современными результатами для схожих задач.
Диссертация состоит из введения, трех глав, списка обозначений и списка используемой литературы. Формулы, леммы и теоремы будут иметь номер, состоящий из двух чисел. Первое соответствует номеру главы, а второе - номеру формулы (леммы, теоремы) в данной главе. Теоремы из введения, доказанные в работах других авторов, будут нумероваться одним числом. Ссылки на работы других авторов нумеруются по алфавиту, согласно фамилии первого из них. Статьи, в которых излагаются результаты, полученные автором, выделены в отдельный список.
Многоэтапные схемы размещения частиц по ячейкам
В данной работе мы рассматриваем следующую модификацию известной одноэтапной схемы размещения частиц по ячейкам (см., например, [3)).
Будем считать, что в .7-м слое содержится А^ ячеек. На первом этапе ЛЬ исходных частиц независимо размещаются по А^ ячейкам первого слоя в соответствии с распределением р;1^ = (р^Р^...,^)* На втором
этапе ;У| ячеек первого слоя рассматриваются как частицы, и они независимо размещаются по N0 ячейкам второго слоя вместе с содержащимися в них исходными частицами в соответствии с распределением р^2- =
•••>р|у|)* Размещения продолжаются аналогично т раз, то есть на последнем этапе ячейки (га — 1)-го слоя размещаются по ячейкам га-го слоя. Такую схему размещения естественно называть га-этапной. Будем через //{т^(Лго, /Уь/V,,,, ..., р<ш)) = //гш) обозначать число ячеек га-го
слоя, в которые попало ровно г исходных частиц. Нас интересует предельное
3
распределение при разных условиях на параметры схемы. В данной работе мы будем рассматривать двухэтапную схему, то есть схему с двумя слоями ячеек, и схему с бесконечным числом слоев.
В случае, когда распределения на всех этапах размещения являются равновероятными, мы будем говорить о равновероятной схеме размещения, в противном случае - о полиномиальной схеме размещения.
Для первой и второй частей диссертации мы приведем и обсудим предельные теоремы из [3|. которые имеют отношение к нашей работе. Для третьей части диссертации мы укажем, какие результаты являются новыми, а какие воспроизводят известные результаты в схеме размещения с бесконечным числом этапов.
Обзор результатов по главам.
Первая глава состоит из двух параграфов. В первом из них исследуется равновероятная, во втором - полиномиальная схема двухэтапного размещения-, частиц. Полиномиальная схема является более общей; для равновероятной схемы сходимость к распределению Пуассона доказана в условиях, которые не следуют из аналогичной теоремы для полиномиальной схемы. В связи с этим результаты, относящиеся к равновероятному распределению, выделены в отдельный параграф. Отметим, что доказательства в этой главе получены при помощи метода моментов.
В случае равновероятной схемы векторы вероятностей на обоих этапах состоят из одинаковых чисел: р(1) = (Д,р(2) = (Д, •••,
Мы устанавливаем следующий результат:
Теорема 1.1. Если в равновероятной двухэтапной схеме размещения частиц г > 1 фиксировано, Лд, N1, N2 —> оо так, что N0 = о(№2), N0 — 0(М\),
и
Е/42> -» Л 6 (0, оо),
то
Р(^<2> = к) - ^ е-\ к = 0,1,...
Сравним этот результат с классической схемой размещения частиц, в которой количество слоев равно т = 1, то есть исходные Лг0 = п частиц размещаются по N1 = N ячейкам, а дальнейшие размещения не производятся.
4
Следующая теорема устанавливает условия, при которых распределение р, в классической схеме сходится к распределению Пуассона ([3], теорема 5, с. 65). Теорема 1. Если г > 1 - константи, а п. N —> оо так, и то
1 пг
є-"/* —> А Є (0,оо), Л*
г! Nr~1
то
P{/Mr(n,N) = /с) -> А: = 0,1,...
Приведенная формулировка охватывает два случая: левую область (когда 7?/Лг —> 0) и правую область (когда n/N —> оо ). Теорема 1.1, доказанная в диссертации, имеет место для "левой" области изменения параметров в двухэтапной схеме размещения (когда Nu/N-2 —» 0. Nq/N\ < ао. EpJ-2) —> Л).
Для классической равновероятной схемы размещения получены предельные распределения для всех областей изменения параметров, мы же. получаем предельные распределения только для "левой" области (когда No/N2 —> 0, Nq/Ni < Q'2? Еfj^ —> Л) и части "левой промежуточной" области (когда
Nq/N'2 —1 0, q-j < No/N[ < аг, Е/Тг2^ —> оо).
Для первого момента р[2) получены явные асимптотические формулы с оценками остаточных членов.
Лемма 1.2. В равновероятной двухэтапной схеме при любом г >2
Е/Я = _%-е-%{1 + о{П+± + ±)) r\N{-1 V V Аг2 ЛГ0 Ni )) ’
если Nq —> со, Дго = О(А^і), Л'і = 0(лу, ö если Ад —» оо, А0 =
о(шіп{і^і, N2}), Лг2 = 0(N\), то
Eßu) = J3-(l + 0(^ + ±+^'
ГІЩ-1 V Ы iVo Ач
Во втором параграфе главы 1 мы изучаем полиномиальную схему
двухэтапного размещения частиц, то есть такую схему, в которой распреде-
ления вероятностей на обоих этапах могут отличаться от равномерного. Эта схема является более общей, но одновременно более сложной для изучения.
Обозначим через р^ = тах(р^,.... pjjj), pl2) = max(plf),... ,р^)-
Мы доказываем теорему Пуассона для такой схемы размещения:
Теорема 1.4. Если параметры двухступенчатой схемы размещения изменяются т.ак, что min ^Лго, N]~^r^ ^ р!^ —» 0, min (Ад, N\)p^ —*
5
О, —* Л <= (0,оо), то
= к) -* и е-А, Л = 0,1,...
При доказательстве этой теоремы используется следующее утверждение, относящееся к обычной полиномиальной схеме размещения и представляющее самостоятельный интерес.
Теорема 1.5. При любых целых 1.т > I, I + т < Лго, справедливы неравенства
.I _L /, _ „(i)VV" Л ! V*
7+тЛГ1 ( Р- ) { N0- m) - ЕщЕ/н
v, (* Р*'))
< C!H„N^ (р™)'- (1.10)
(l -pil))
D частности, если l,rn > 1 фиксированы, а min ^Yq, ^ —* 0,
то
Е щ+т = o(EfxiEfMrrl).
Наконец, при условиях теоремы 1.4 можно найти распределение максимального заполнения ячеек.
Теорема 1.6. Если параметры двухступенчатой схемы размещения изменяются так, что min ^iVo, Л^1-^2- ^ р{^ —* 0, min (Ад, Ari)p*2^ —* 0, Е//|2^ —> А £ (0, ос), то
P(max{j : plp > 0} = г) —> 1 - е_А, P(max{j : /^2) > 0} = г - 1) —» е~А.
Сравним результаты, полученные в теоремах 1.4 и 1.6, с классической схемой. В случае полиномиальной схемы размещения в [3] установлена следующая иуассоновская предельная теорема (1, с. 118). Пусть рп i = 1,..., N - вероятность попадания в г-ю ячейку в одноэтапной схеме.
Теорема 2. Ecjiu г > 1 - константа, а п, N —► ос так, что
N
пmaxpi —> 0,Е//.Г —* А,
г—1
то
РOv(n,JV) = fc)1-е-\ * = 0,1,...
б
Для максимального заполнения ячейки в случае равновероятного распределения выполнена теорема из [3] (1, с. 89):
Теорема 3. Если в равновероятной схоліє размещения г > 1 - константа, а п, N —> оо ток. что
^^гт«'Л/А,-ЛЄ(0,оо),
то
Р(тах{<7 : > 0} = г) —» 1 — е_л, Р(шах{^ : р^ > 0} = г — 1) —> е-л.
Таким образом, теорема 1.4 аналогична теореме 2, а теорема 1.6 - теореме 3 с учетом того, что мы доказываем ее в полиномиальной схеме размещения.
Отметим также тезис [1], в котором автор рассматривает аналогичную пашей схем)' размещения.
Пусть ячейки первого уровня размещаются по ячейкам второго уровня в соответствии с равномерным распределением; обозначим через Ар событие \j-si ячейка 1-го слоя попала в 1-ю ячейку 2-го слоя]. После этого частицы распределяются по ячейкам второго уровня в соответствии со случайным вектором вероятностей тг таким, что тгі = здесь Х(А) -
индикатор события А. Полученное таким образом размещение аналогично равновероятной на обоих этапах двухэтапной схеме размещения.
Для различных целых неотрицательных чисел г1}...,г5 обозначим г = (п, ...,гч), и пусть х = (я ь а хк = я}"1 Введем производящую
функцию
Д 7 М і .уМ>'
Флг,г(х, у, г) = ^ дГ ' хУ1 Ч’Р (//г, =ки-, Иг. = <=»).
к>0,т,н>0 *
В |1] автор показывает, что
Фм,г(х.т/, г) = е-Ч£
? = 1
гГг -г—V уттг
Г*! ^ т\ т> О
Лг
Мы пользуемся аналогичными соображениями при доказательстве леммы 1.8.
Вторая глава диссертации состоит из двух параграфов. Она посвящена доказательству центральной предельной теоремы в двухэтапиой схеме
7
- Київ+380960830922