Представления вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразий

ОГЛАВЛЕНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ. ... стр. 5.
I ГЛАВА. Неархимедовы группы диффеоморфизмов и обёрток....стр. 21.
§1. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравно-мерных пространств. ... стр. 21.
§1.1. Введение. ... стр. 21.
§1.2. Обозначения и предварительные сведения. ... стр. 21.
§1.3. Полиэдральные разложения. ... стр. 32.
§1.4. Абсолютные полиэдральные разложения и их применения. ... стр. 36.
§2. Вложения неархимедовых банаховых многообразий в неар-химедовы банаховы пространства. ... стр. 37.
§3. Неархимедовы группы диффеоморфизмов. ... стр. 38.
§3.1. Введение, стр. ... 38.
§3.2. Топологии неархимедовых групп диффеоморфизмов. ...
стр. 38.
§3.3. Структура групп диффеоморфизмов. ... стр. 49.
§4. Неархимедовы группы обёрток. ... стр. 67.
§4.1. Введение. ... стр. 67.
§4.2. Моноиды обёрток. ... стр. 67.
§4.3. Группы обёрток. ... стр. 82.
§5. Проконечные и конечные группы ассоциированные с неархимедовыми группами диффеоморфизмов и обёрток. ... стр. 84. §5.1. Введение. ... стр. 84.
§5.2. р-адическис компактификации групп диффеоморфизмов. ... стр. 84.
§5.3. р-адические компактификации групп обёрток. ... стр. 90.
II ГЛАВА. Квазиинвариантные меры на неархимедовых банаховых пространствах. ... стр. 98.
§1. Действительнозначные квазиинвариантные меры. ... стр.
98.
§2. Квазиинвариантные и псевдодифференцируемые меры
2
со значениями в неархимедовых полях на неархимедовых банаховых пространствах. ... стр. 123.
§2.1. Введение. ... стр. 123.
§2.2. Слабые распределения и семейства мер. ... стр. 125.
§2.3. Квазиинвариантные меры. ... стр. 132.
§2.4. Псевдодифференцируемые меры. ... стр. 143.
§3. Неархимедовы стохастические процессы на неархимедовых банаховых пространствах. ... стр. 146.
III. ГЛАВА. Квазиинвариантные меры на группах диффеоморфизмов и обёрток неархимедовых многообразий. ... стр. 151.
§1. Квазиинвариантные и псевдодифференцируемые меры на группах обёрток. ... стр. 151.
§1.1. Введение. ... стр. 151.
§1.2. Меры на полугруппах и группах обёрток. ... стр. 152.
§2. Меры на группах диффеоморфизмов неархимедовых многообразий. ... стр. 162.
§2.1. Введение. ... стр. 162.
§2.2. Специфические изоморфизмы пространств. ... стр. 162.
§2.3. Квазиинвариантные и псевдодифференцируемые меры на группах диффеоморфизмов неархимедовых многообразий. ... стр. 167.
§3. Стохастические процессы на вполне несвязных группах.
... стр. 174.
IV. ГЛАВА. Представления групп с помощью ква-зиинвариантных мер. Непрерывность и измеримость представлений. ... стр. 175.
§1. Унитарные представления групп с помощью квазиинва-риантных мер. ... стр. 175.
§1.1. Введение. ... стр. 175.
§1.2. Регулярные унитарные предс тавления групп с помощью к ваз и инвариантных мер. ... стр. 175.
§2. Представления с помощью мер на многообразиях. ... стр.
188.
§2.1. Представления неархимедовых групп диффеоморфизмов. ... стр. 188.
§2.2. Представления групп диффеоморфизмов действительных банаховых многообразий. ... сгр. 199.
§3. Представления с помощью пуассоновых мер на конфигурационных пространствах. ... стр. 206.
§3.1. Введение. ... стр. 206.
§3.2. Пуассоновы меры. ... стр. 207.
§3.3. Унитарные представления ассоциированные с нуассо-новыми мерами. ... стр. 216.
§4. Индуцированные представления с подгрупп и разложения представлений. ... стр. 234.
§5. Непрерывность представлений топологических групп.
... сгр. 242.
§6. Измеримость представлений топологических групп.
... стр. 256.
§6.1. Локально компактные группы. ... сгр. 257.
§6.2. Абелевы группы. ... стр. 271.
§6.3. Группы петель и их обобщения. ... стр. 271.
§6.4. Группы Банаха-Л и и ядерные группы Ли. ... сгр. 273.
§7. Измеримость автоморфизмов топологических групп.
... стр. 275.
V ГЛАВА. Алгебры порожденные квазиинвариант-иыми мерами. ... стр. 287.
ЛИТЕРАТУРА. ... стр. 299.
ПРИЛОЖЕНИЕ. ... стр. 315.
К ГЛАВЕ I. ... стр. 315.
К ГЛАВЕ II. ... стр. 329.
К ГЛАВЕ III. ... стр. 344.
К ГЛАВЕ IV. ... сгр. 346.
4
ВВЕДЕНИЕ. Общая характеристика работы
Актуальность темы
Одним из важнейших разделов современной алгебры является топологическая алгебра, которая берёт своё начало с работ С. Ли о топологических группах 1 и работ о неархимедовых нолях, например, р-адических чисел впервые введённых К. Гензелем 2. Всевозможные локальные ноля возникающие из поля рациональных чисел с помощью пополнений по мультипликативным нормам были описаны А. Островским 3.
Данная работа посвящена построению новых классов вполне несвязных нелокально компактных групп преобразований над бесконечными полями с неархимедовыми нетривиальными мультипликативными нормами. В ней исследуется их структура и изучаются их представления. Для этого используется и развивается вспомогательный аппарат теории квазиинвариантных мер. Более того, выяснены специфические особенности таких объектов и исследуются новые классы некоммутативных неассоциативных алгебр на последовательностях таких вложенных подгрупп. Исследуемые группы относятся к классу групп Ли, так как они имеют структуру многообразий, а групповые операции в них непрерывны или дифференцируемы в зависимости от различных классов гладкости.
Часть топологической алгебры, посвященная структуре, и представлениям локально компактных групп хорошо разработана. Этим вопросам были посвящены многочисленные статьи и книги. При этом активно использовались (неотрицательные) меры Хаара на локально компактных группах, которые инвариантны при левых или правых сдвигах, порожденных элементами группы. Это послужило основой для теории С*~ алгебр или вполне регулярных коммутативных колец, которые использовались в теории унитарных представлений. При изучении представлений локально компактных групп С*-алге6ры возникают как алгебры операторов ассоциированные с унитарными представлениями. Также широко используются банаховы *-алгебры или банаховы симметричные коль-
!S. Li«, Math. Ann. 16 (1880), 441-628.
2K. Hcnscl, Jahresber. Deutsch. Math. Ver. 6: 1 (1899), 83-88
3A. Ostrowski, Math. Zeit. 39 (1935), 269-104.
ца как алгебры функций Ь1(0,ц, С) со значениями в поле комплексных чисел С относительно свёртки на локально компактной группе С с нетривиальной (неотрицательной) мерой Хаара д или С*-алгебры на пространстве £2(£,/х, С) для локально компактной абелевой группы или компактной группы [72, 28].
Однако, согласно теореме А. Вейля [120|, существование нетривиальной неотрицательной меры, лево (или право) квазиинвариаптной относительно всей топологической группы, влечет ее локальную компактность. Это означает, что на топологической не являющейся локально компактной группе С мера может быть лево (или право) квазиинвариаптной лини, относительно собственной подгруппы С, С Ф О. Это препятствует применению традиционных банаховых *-алгебр пли б7*-алгебр для исследования представлений групп, так как алгебры, ассоциированные с квазиинвариантными мерами топологических не являющихся локально компактными групп, обладают гораздо более бедной структурой: они некоммутативны и неассоциативны. Таким образом, для топологических не являющихся локально компактными групп эта область была менее разработанной.
Имеются существенные различия в теории представлений локально компактных групп и не локально компактных топологических групп. Далее рассматриваются Хаусдорфовы топологические группы, что не является сильным ограничением, так как аксиома отделимости То для топологической группы влечёт выполнение аксиомы Т3.5 в силу примера 8.1.17 и теоремы 8.1.20 [46|. Так каждое сильно непрерывное неприводимое унитарное представление компактной группы конечномерно и, следовательно, сильно непрерывно. При этом групповой гомоморфизм Т : О и(Н) называется унитарным представлением, то есть, Т,;/ = ТдТ/ для любых д, / € С, Тй-\ = Т* - эрмитово сопряженный унитарный оператор, Тк = / - единичный оператор на Н для единичного элемента е € С, где и(Н) - унитарная группа, а Н - гильбертово пространство над полем комплексных чисел С.
Определение. Представление Т топологической группы С в унитарную группу и(Н) называется непрерывным (сильно непрерывным), если
0
Т непрерывен относительно топологии в U(H) индуцированной операторной нормой (сильной операторной топологией соответственно).
Для локально компактных абелевых (то есть, коммутативных) групп непрерывное унитарное представление всегда одномерно, то есть является характером. Тогда как для нелокально компактных абелевых групп могут быть бесконечномерные топологически неприводимые сильно непрерывные унитарные представления [13, 51]. Для некоммутативных локально компактных групп сильно непрерывные топологически неприводимые унитарные представления могут быть бесконечномерными.
Для классических некомпактных локально компактных групп Ли бесконечномерные унитарные представления были построены в работах И.М. Гельфанда и М.А. Наймарка, например, для группы аффинных преобразований прямой, SL(n, R), SL(n, С), 50(гс, С) при п > 2, SU(n,m), SO(n>m) при пт > 2 л. Они использовали в своих работах лево или правоинвариантные меры Хаара на этих группах. Конечномерные группы Ли обладают тем преимуществом, что они ещё удовлетворяют, по крайней мере локально, формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа, устанавливающей биективное соответствие между локальной группой и отвечающей ей алгеброй Ли. В случае бесконечномерных групп Ли формула Кэмпбелла-Хаусдорфа не обязана выполняться даже локально.
Еще в шестидесятых годах прошлого века один из основоположников теории представлений локально компактных групп И.М. Гельфанд сформулировал проблему о построении унитарных представлений топологических (не являющихся локально компактными) групп с помощью квазиинвариантных мер на них или соответствующих конфигурационных пространствах. Возможные подходы к решению этой проблемы построения унитарных представлений с помощью квазииивариантных мер обсуждали A.A. Кириллов и У. Макки хотя У. Макки занимался главным образом индуцированными представлениями локально компактных групп. Частные случаи над полем вещественных чисел рассматривали
•’М.А. Наймарк, "Нормированныекольца"(Москва: Наука, 1968); И.М. Гельфанд, М.А. Наймарк, Труды МИАН им. Стсклона, 36 (1950).
5А.А. Кириллов, Усн. Матсм. Наук, 22: 5 (19G7), 07-80; G.W. Makkey, Ани. of Math., 58: 2 (1953), 193-221.
7
также P.C. Исмагилов для группы диффеоморфизмов локально компактных римановых многообразий, например, Евклидова пространства. Rn, единичной окружности S1. Эти частные случаи изучали также Ю.А. Неретин и A.B. Косяк. Но над неархимедовыми полями никто это ранее диссертанта не исследовал.
Различным топологизациям групп диффеоморфизмов и их связностям классов гладкости бесконечно дифференцируемых отображений С°° и по Соболеву локально компактных римановых многообразий был посвящён ряд работ Д.Дж. Эбин, Дж. Марсден, X. Омори 6. Представления групп диффеоморфизмов локально компактных римановых многообразий с помощью квазиинвариантных пуассоновых мер исследовались в 7. При этом случаи групп для многообразий над неархимедовыми полями ранее не рассматривались.
Интерес к топологическим (в особенности, не являющимся локально компактными) группам объясняется как развитием самой математики, так и естественно возникающими потребностями в них теоретической и математической физики, например, квантовой механики на многообразиях, теории суперструп, квантовой гравитации, калибровочной теории и даже в такой традиционной области как гидродинамике [6, 62, 43, 86, 72, 11, 27, 50). При этом большую роль в квантовой механике и калибровочной теории приобретают стохастические процессы. Среди них наиболее важны группы диффеоморфизмов и геометрические группы обёрток многообразий (как семейств эквивалентности отображений f : М —* N одного многообразия М в другое /V, сохраняющих отмеченные точки г>о € М и уо G N, f(so) = уо).
С другой стороны, значительная часть топологической алгебры посвящена топологическим полям, теории чисел и неархимедову анализу. Более того, теория топологических полей исторически послужила отправной точкой развития топологической алгебры. В отличии от классического анализа (то есть над нолями R вещественных чисел и С комплексных чисел) неархимедов анализ сравнительно молод, многие из его
°D.G. Ebin, J. Marsden, Ann. of Moth. 92 (1970), 102-163; II. Omori, J. Mat. Sot*. Japan, 24: 1
(1972), 00-88; II. Omori, Trans. Aincr. Math. Sot. 179 (1973), 85-121.
7A.M. Вершик, И.М. Гсльфанд, И.М. Грас», Успехи Матсм. Наук, 30 : 5 (1975), 3-50.
8
разделов разработаны недостаточно.
Имеются принципиальные различия между классическим и неархимедовым анализами. Многообразия над неархимедовыми полями вполне несвязны. Нормированное пространство X над неархимедовым полем можно представить в виде дизъюнктного объединения шаров, и каждая пара шаров в X либо не пересекается, либо один их них содержится в другом. При этом замкнутый шар положительного радиуса в X также открыт, то есть открыто-замкнут в X. В классическом случае большую роль играют гильбертовы пространства над R или С, но в неархимедовом случае билинейная форма на линейном пространстве над Qp не может дать нормы.
Для неархимедовых метрических пространств (X, d) вместо неравенства треугольника выполиятсся более сильное ультрамстричсское неравенство:
d(x,z) < max(d(x,y),d.(y, z)) для любых x}y,z G X, где d - ультра-метрика на X. Равномерное пространство становится ульраравиомерным с соответствующим ультра неравенством в терминах окружений диагонали. Для равномерных пространств X. Фрейденталь, Дж. Р. Исбелл и И. М. Козловский 8 развили теорию их полиэдральных разложений в виде пределов обратных спектров, где полиэдры брались в банаховых или нормированных пространствах над иолом вещественных чисел R, но оставалась проблема содержательных разложений для ультраравномер-ных пространств. В диссертации также представлено решение этой проблемы с полиэдрами в банаховых или нормированных пространствах над неархимедовыми локально компак тными полями. Это послужило также для изучения структур групп преобразований пеарх и медовых многообразий и самих многообразий в качество равномерных пространств.
В классическом случае при определённых условиях бесконечномерное многообразие над R можно вложить в соответствующее линейное пространство над R в качестве открытого подмножества п. В диссертации
8Н. Freudenthal, Compositio Mathem. 4: 2 (1937), 145-234; J.R. Isbell, ïndag. Mathem., Ser A, 23: 2 (10G1), 242-248; .T.R. Isbell, Amer. Mat. Soc. Surv. 12 (19G4); И.М. Козловским, Труды Моск. Мате.м. Общ., 40 (1979), 83-119.
9D.W. Henderson, Topology, 9 (1970), 25-35.
9
был доказан специфический неархимедов вариант о вложении вполне несвязного бесконечномерного многообразия над неархимедовым полем К при определённых условиях в качестве открыто-замкнутого подмножества в бесконечномерное линейное пространство над К.
Пространства непрерывных функций на вполне несвязных компактах со значениями в неархимедовых полях полных как равномерные пространства имеют локальные разложения в ряды но базисным многочленам 10. Аналитические функции на поле р-адических чисел Qp даже при г 6 Qp, где г2 = —1, имеют отличные свойства от комплексных голоморфных функций. Теорема. Лиувилля о комплексно голоморфных функциях для них не выполняется, так как существуют аналитические функции / : Q,> —» Qp ограниченные и отличные от постоянных 11.
До работ В.Х. Шикова главным образом использовались пространства аналитических функций р-адических чисел, что полезно в теории жёсткой геометрии, теории гомологий и когомологий неархимедовых аналитических многообразий и математической физике, но является довольно ограничительным 12. Несколькими годами позже В.Х. Шиков исследовал неархимедовы функции классов гладкости Сп типа Гельдера 13. Для их корректного определения он использовал не только операторы дифференцирования, но также операторы разделённых разностей для функций и непрерывные продолжения этих операторов, когда они существуют. При этом получается, что пространство С,|г~1(£/, Qp) вкладывается компактным оператором в Cn(U, Qp) аналогично классическому случаю над нолем действительных чисел, тогда как при использовании одного лишь дифференцирования над Qp получается обратное включение, где U - компактное открыто-замкнутое подмножество в QjJ, п € N. Он работал с конечномерными линейными пространствами над нсархимедовыми полями. Эти поля могут быть локально компактными или не локально
10Y. Amice, Bull. Soc. Math. Franco, 92 (1964), 117-180.
11 W.U. Schikhof, " Ultrametric calculus" (Cambridge: Cambrdge Univ. Press, 1984).
12J. 'late, "Rigid analytic spaces"(Bures, France: IHKS, 1962); J. Fresnel, M. van der Put. "Geometric analytique rigide et applications"(Boston: Birkhiiuser, 1981); B.C. Владимиров, И.В. Волонич, В.И. Зслсиоп, "р-адичсский анализ и математическая физика"(Москва: Наука, 1994).
UW.H. Schikliof, "Non-Archimedean calculus", Report 7812 (Nijmegen, The Netherlands: Math. Inst., Kath. Univ., 1978)
10
компактными.
Напомним, что иод локальным нолем понимается коммутативное недискретное локально компактное поле. В дальнейшем рассматриваются ноля пулевой характеристики, если не оговорено иное.
Для исследования нелокально компактных групп преобразований многообразий над неархимедовыми полями в диссертации потребовалось развить эту теорию на случай пространств функций на бесконечномерных линейных пространствах над неархимедовыми полями и, затем, развить с помощью таких пространств над неархимедовыми полями нежесткую геометрию, изучить многообразия и их топологические группы преобразований. Это было также необходимо для построения стохастических процесов и квазиинвариантных мер на многообразиях и топологических группах.
13 неархимедовом анализе для функций из поля р-адических чисел в ноле действительных чисел R используется понятие псевдодифференцируемости, которое было перенесено с классического случая на неархимедов в 14. Это связано с тем, что кроме локально постоянных функций не существует дифференцируемых функций из открытого подмножества в Qp в R. Это послужило мотивацией для исследования в диссертации наряду с квазиинвариантностью также псевдодифференцирусмости мер на неархимедовых банаховых пространствах X со значеимяи в R или локальном поле отличном от неархимедова поля над которым задано X.
Другое отличие имеется в теории меры: так теоремы Лебега о сходимости интегралов и Радона-Никодима для интегралов и мер со значениями в неархимедовых полях не выполняются. Вместо них имеются весьма специфические неархимедовы аналоги. При этом пространства интегрируемых функций также имеют особые свойства.
Основы теории мер и интегрирования со значениями в неархимедовых полях заложили преимущественно А.П. Монна, Т.А. Спрингер, А.С.М. ван Роой и В.Х. Шиков 15. Неархимедовыми аналогами вероятностей
14B.C. Владимиров, Успехи Матем. Наук. 43: 5 (1989), 17-53.
15А.Р. Моппа, Т.А. Springer, Indag. Math. 25: 4 (1963), 634-653; A.C.M. van Kooj, W.H. Schikhof, Inflag. Math., Ser. A, 31 (1969), 190-199; W.H. Schikhof, Indag. Math., Scr. A, 33: 1 (1971), 78-85.
11
занимался также А.Ю. Хренников 16 Но ни они, ни другие авторы не изучали в достаточной степени квазиинвариантные меры со значениями в иоле действительных чисел или неархимедовом на бесконечномерных банаховых пространствах или многообразиях над неархимедовыми полями. Так, например, не было теорем о квазиинвариантности или псевдодифференцируемости мер на бесконечномерных банаховых пространствах над неархимедовым полем относительно линейных и нелинейных операторов, удовлетворяющих определенным условиям. Поэтому стояла проблема развития такой теории к вази инвариантных мер на бесконечномерных банаховых пространствах и многообразиях над неархимедовыми полями. Это было необходимо для построения квазиинвариантиых мер и стохастических процессов на нелокально компактных группах преобразований.
В неархимедовом случае теория операторных алгебр также весьма специфична. Под (7*-алгебрами над неархимедовыми полями имеются в виду другие объекты по сравнению с операторными алгебрами над нолем комплексных чисел, а теорема Гельфанда-Мазура для неархимедовых алгебр не выполняется в общем случае 17.
В частности, не были изучены группы обёрток и группы диффеоморфизмов неархимедовых многообразий, а также квазиинвариантные меры даже на иеархимедовых банаховых пространствах. Для классических многообразий группы петель были исследованы лишь для римаио-вых многообразий и только для М, являющейся единичной окружностью 51. Эти группы не удовлетворяют даже локально формуле Кэмибелла-Хаусдорфа. Для многообразий отличных от окружности или сферы истлевая интерпретация теряется, поэтому они названы группами оберток. Известны группы, называемые также группы петель, но под ними имеют в виду группы Сп-отображений многообразия М в локально компактную группу Ли с поточечной операцией умножения, поэтому эти группы удовлетворяют локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. Структуре и представлениям таких бесконечномерных групп был посвящён ряд ра-
1СЛ. Khrennikov, "Interpretations of probability"(Utrecht: VSP, 1999).
irA.C.M. van Rooij, "Non-Archiinedean functional analysis"(New York: Marcel Dckker Inc., 1978).
12
бот 18, поэтому они не являются главным объектом изучения данной диссертации.
Впервые группы петель для отображений из окружности в локально компактные римаиовы многообразия были введены С. Лефшецем 19 Для многообразий над неархимедовыми полями они ранее не изучались. Для общих многообразий отличных от окружности и сферы петлевая интерпретация уже теряется, поэтому их обобщения также названы группами обёрток. Необходимо отметить, что для многообразий над неархимедовыми полями их конструкция и топологизация в диссертации существенно отличны от случая римановых многообразий.
Несмотря па то, что группы диффеоморфизмов и обёрток могут быть сами снабжены структурой гладкого многообразия с дифференцируемыми групповыми операциями, они не удовлетворяют пи в какой окрестности единичного элемента (локально) формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. Поэтому их исследование существенно отличается от групп Ли, локально удовлетворяющих формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа.
Проблема об исследовании стохастических процессов и квазиинвари-аитных переходных мер на топологических, возможно, не являющихся локально компактными, группах Ли, не удовлетворяющих локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа и об отыскании для группы G сс плотной подгруппы G\ относительно которой мера квазиинвариантна обсуждалась и ставилась Макки, Кирилловым, Гельфандом в их статьях и Далецким в главе 6 книги [55]. В неархимедовом случае эта проблема практически не рассматривалась ранее.
Для построения представлений вполне несвязных групп преобразований многообразий над неархимедовыми полями стояла ассоциированная проблема в построении квазиинвариантных мер с помощью теории стохастических процессов на неархимедовых банаховых пространствах и многообразиях. Поскольку данный предмет не является главным в диссертации, то это описывается лишь кратко и подробно дано в опублико-
1вА.М. Вершик, И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Успехи Матем. Наук, 28: 5 (1973), 83-128; Э. П]>ессли, Г. Сигал, "Группы нетель"(Моекап: Мир, 1990); Ю.А. Перегни, "Категории симметрий и Оескоием-померпые группы "(Москва: Эднториал У РОС, 1999) и ссылки в них
,9S. Lefschetz, "Introduction to topology "(New Jersey: Princeton, 1949); P. Cajer, in: "Advances in Geometry", J.-L. Brylinski ed., Progr. Math. 172 (1999), 195-235 (Boston: Birkhaiiser, 1999).
13
ванных статьях автора, приведенных в списке литературы. Эта задача имела специфические особенности: необходимо было исследовать стохастические процессы на пространствах функций (непрерывных или интегрируемых) из линейного пространства X над локальным иолом К в линейное пространство У над К и распространить затем эту теорию на случай соответствующих равномерных пространств отображений из многообразия М в многообразие N над К и далее на вполне несвязные группы, которые могут быть нелокально компактными. Эта проблема ранее не рассматривалась, хотя имелись некоторые работы о стохастических процессах на пространствах функций со значениями в ноле комплексных чисел С, а также для стохастических процессов с переходными действительнозначными мерами с компактными носителями 20, которые нельзя было использовать для построения квазиинвариантных мер на вполне несвязных группах, которые могут быть нелокально компактными. Необходимо отметить, что ранее рассматривались стохастические нсевдодифференциальные уравнения, использующие операторы Владимирова. В то время как для стохастических процессов на вполне несвязных многообразиях и группах нужно было исследовать неархимедовы алгебраические стохастические антидифференциальные уравнения, основанные на операторах антидифференцирования по Шикову, что обнаружилось в процессе изучения данной проблемы. Неархимедовы алгебраические стохастические процессы не являются главным предметом данной диссертации, поэтому они лишь кратко описаны в 'тексте диссертации, а. подробно они даются в цитируемых статьях и книгах, в том числе автора диссертации.
Развитие'теории представлений нелокально компактных вполне несвязных групп потребовало от автора исследования квазиинвариантных мер, но теория меры не является главным предметом диссертации. С другой стороны, полученные результаты тоже представляют значительный интерес. В частности, был сформулирован и доказан неархимедов аналог
20А.Х. Бикулов, И.В. Волович, Иэв. РАН Сер. Матем. 61: 3 (1997), 75-90; S.N. Evans, Ргос. London Math. Soc. (3) 56: 2 (1988), 380-416; S.N. Evans, .1. Theorot. Probab. 6: 4 (1993), 817 850; A.N. Kochubei, "Pseudo-differential equations and stochastics over non-Archimedean fields"(New York: Marcel-Dekker, 2001).
14
теоремы Колмогорова о продолжении цилиндрического распределения со значениями в неархимедовом ноле до меры. Эта проблема была сформулирована A.C.М. ван Роой около двенадцати лет тому назад [146, 144|. Практически в диссертации была решена более общая проблема для проективной системы пространств с мерами, включающей в себя также впервые сформулированный и доказанный нерахимедов аналог теоремы Прохорова, откуда, в частности, был выведен нсархимедов аналог теоремы Колмогорова 21.
При изучении унитарных представлений как правило используются непрерывные или дифференцируемые представления. Изучение дифференцируемости представлений важно, так как позволяет, например, с помощью представлений групп Ли строить представления соответствующих алгебр Ли. Поэтому вопрос дифференцируемости представлений тоже рассматривался в диссертации.
Реже изучаются разрывные представления. Впервые для локально компактных групп Бихтелер 22 доказал существование разрывных представлений. Однако вопрос о существовании неизмеримых представлений топологических групп является более тонким и ранее не исследовался.
К этому вопросу тесно примыкает также другая проблема о восстановлении унитарного представления группы по ее ограничениям на подгруппу. Хорошо известна теория Фробениуса-Макки об индуцированных представлениях для локально компактных групп. В ней используется мера Хаара. Для топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп теория индуцированных представлений с помощью квазиинвариантных мер была практически неразработанной. С другой стороны, важно знать имеет ли данная подгруппа нетривиальные унитарные представления. Топологическая группа, не имеющая непрерывных нетривиальных унитарных представлений, называется экзотической. Такие группы почти не были исследованы и впервые были введены в 1975 году 23 В статьях автора диссертации эта тема была также продолжена для подгрупп топологических (возможно, не являющихся
2,С.В. ЛюдкопскнП, Фундам. и Прикл. Матем. 7: 4 (2001), 1001-1105.
22К. Bichteler, Invent. Math., 6 (1968), 159-162.
23W. Herer, J. Christensen, Math. Anna!. 213: 3 (1975), 203-210.
15
локально компактными) групп, таких как группы петель.
Эта тема исследований обсуждалась диссертантом также с академиком, доктором физико-математических наук Гельфаидом Израилем Моисеевичем лотом 1996 года на математическом отделении международного института теоретической физики (1СТР) в г. Триесте в Италии. Гельфанд И.М. отметил, что это направление исследований интересно, актуально, является новым и важным как для теории представлений, так и для неархимедова анализа. Более того, Гельфанд И.М. предложил развить его теорию, опубликованную совместно с Вершиком и Граевым в Успехах математических наук в 1975 год}', о иуассоновых мерах на конфигурационных пространствах и унитарных представлениях групп диффеоморфизмов римановых многообразий на новый случай групп диффеоморфизмов неархимедовых многообразий.
Таким образом, данная область топологической алгебры является актуальной, как для развития математики, так и для развития теоретической и математической физики.
Целью работы является:
1) Определение и исследование топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп преобразований неархимедовых многообразий, в частности, групп диффеоморфизмов и групп обёрток.
2) Изучение групповой и топологической структуры топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп преобразований многообразий.
3) Развитие в неархимедовом случае вспомогательного инструмента теории квазиинвариантных мер. Построение и исследование квазиинвари-антных мер на топологических (возможно, не являющихся локально компактными) группах преобразований неархимедовых многообразий и на ассоциированных конфигурационных пространствах.
4) Исследование ассоциированных с квазиинвариантными мерами алгебр и унитарных представлений, также их измеримости, непрерывности, восстановлению их но ограничению на подгруппу, исследование индуцированных представлений, изучение существования экзотических и неэкзо-
Ш
тических подгрупп топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп.
Научная новизна Основные результаты диссертации следующие:
1) Определены группы диффеоморфизмов и группы обёрток многообразий на банаховых пространствах над неархимедовыми полями. При этом для этих групп рассмотрены как конечномерные, так и бесконечномерные многообразия над соответствующими полями. Для групп диффеоморфизмов и групп обёрток исследована их групповая и также топологическая структура. Доказано, что эти группы вполне несвязны и не удовлетворяют локально формуле Кэмпбелла-Хауедорфа, В неархимедовом случае по сравнению с классическим найдены принципиальные отличия в их строении.
2) Построены квазиинвариантные меры на этих группах относительно плотных подгрупп. В неархимедовом случае это потребовало развития теории к вази инвариантных и псевдодифференцируемых мер на неархимедовых банаховых пространствах. При этом 15 иеархимедовом случае построены как аналоги гауссовых мер, так и более широкие классы мер.
3) С помощью предыдущих результатов диссертации также построены вспомогательные квазиинвариантные меры пуассонова типа на соответствующих конфигурационных пространствах.
4) Построены регулярные сильно непрерывные унитарные представления плотных подгрупп вполне несвязных групп, в частности, групп диффеоморфизмов и групп обёрток, ассоциированные с квазииивариантны-ми мерами как на группах, так и на соответствующих конфигурационных пространствах. Исследованы условия, накладываемые на меры и группы, при которых такие унитарные представления топологически неприводимы.
5) С использованием квазиинвариантных мер построены неассоциативные некоммутативные гильбертовы алгебры, для них доказан аналог теоремы Гельфанда-Мазура. Показано, что, в частности, для локально компактных групп эти алгебры сводятся к С*-алгебрам, но в общем случае топологических групп, не являющихся локально компактными, структура этих неассоциативных некоммутативных гильбертовых алгебр иная.
17
6) Исследованы индуцированные представления топологических групп с помощью квазиинвариантных мер на топологических группах. Рассмотрен вопрос о существовании экзотических и неэкзотических подгрупп топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп.
7) Доказано существование неизмеримых представлений и автоморфизмов топологических групп, а также соответствующее исследование проведено для общих локально компактных групп.
Все основные результаты глав 1-5 получены автором диссертации и являются новыми. Тем самым в пунктах (1 — 5) решена проблема И.М. Гельфанда об унитарных представлениях не локально компактных групп, в пунктах (1,3) решена проблема Макки-Кириллова-Гельфанда о мерах на не локально компактных группах, в пункте (2) решена проблема A.C.М. ван Роой о неархимедовых мерах на банаховых пространствах, в пункте (б) решена проблема об индуцированных представлениях топологических, возможно, не являющихся локально компактными, групп (как развитие по сравнению со случаем локально компактных групп соответствующей теории Макки), в пункте (7) решена обобщенная проблема Бихтелера о существовании неизмеримых унитарных представлений.
Общие методы исследования В диссертации используются методы топологической алгебры, а именно, методы неархимедова анализа, метод алгебр проекционных операторов в теории представлений групп, метод квазиинвариантных мер на группах и ассоциированных конфигурационных пространствах, С*-алгебры и также неассоциативные алгебры.
Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в топологической алгебре, в частности, в неархимедовом анализе, теории представлений нелокально компактных групп, алгебрах мер и алгебрах функций, стохастическом анализе на топологических (возможно, не являющихся локально компактными) группах, а также в теоретической и математической физике, в частности, в калибровочной теории, теории суперструн, квантовой гравитации, гидродинамике и т.д.
Апробация работы Результаты диссертации докладывались на между н а роді і ых кон ферен ци ях:
18
1) "Groups’97"B университете г. Бат (Англия) в августе 1997 г.;
2) "Italian-Spanish conference on general topology and applications "в университете г. Триест (Италия) в 1999 г.;
3) "Workshop on measure theory and real analysis"в университете г. Гори-ция (Италия) в 1999 г.;
4) "p-Adic analysis "в университете г. Векшё (Швеция) в 2001 г.; на семинарах:
5) теоретического отдела института Общей физики РАН в 1997 г.;
G) отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН в 1998 и 2010 г.г.;
7) лаборатории чистой математики университета г. Клермон-Ферран (Франция) в 1999 г.;
8) математического отделения университета г. Триеста (Италия) в 1999 г.;
9) математического отделения университета г. Сиена (Италия) в 2000 г.;
10) факультета прикладной математики университета г. Эльче (Испания) в 2000 г. и в 2001 г.;
11) математического отделения Фламандского университета ULB г. Брюсселя (Бельгия) в 2004 г.;
12) кафедры дифференциальной геометрии математического факультета Валлонского университета VUB г. Брюсселя (Бельгия) в 2004 г.;
13) математического отделения университета г. Антверпена (Бельгия) в 2004 г.;
14) математического отделения университета г. Падова (Италия) в 2004
г.;
15) математического отделения университета г. Милана (Италия) в 2005 г.;
16) математического факультета университета г. Дармштадта (Германия) в 2006 г.;
17) кафедры высшей математики Московской государственной академии приборостроения и информатики в 2005 г.;
18) кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета в 2009 г.;
19
19) конференции и заседании кафедры прикладной математики Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета) МИРЭА в 2006 г. и 2009;
на семинарах Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова:
20) П.С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии в 1997-2002 годах;
21) кафедры высшей алгебры в 2000, 2001, 2003, 2004, 2007 и 2009 годах;
22) кафедры высшей геометрии и топологии в 1998-2000 и 2004 годах;
23) кафедры теории функций и функционального анализа в 2002. 2003 и 2007 годах.
Публикации Результаты по теме диссертации опубликованы в работах автора [121] - [172], при этом основные результаты опубликованы в работах [121]-[170]. Все результаты диссертации опубликованы в журнальных статьях.
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 5 глав и 19 параграфов. Полный объем диссертации - 314 страниц (в том числе оглавление и введение - 19 страниц), приложение занимает 57 страниц. Библиография включает 173 наименования и занимает 16 страниц.
20
I ГЛАВА. Неархимедовы группы диффеоморфизмов и обёрток.
§1. Неархимедовы полиэдральные разложения ультраравно-мерных пространств.
1. Введение. Разложению топологических и равномерных пространств в виде пределов обратных спектров был посвящен ряд работ [75, 65, 81, 82. 83, 84, 85, 23, 31, 39]. При этом важны неприводимые полиэдральные спектральные разложения над полем И. Они особенно важны для локально связных пространств, но для наследственно несвязных пространств и, в частности, ультраравномерных пространств полиэдры над К теряют свое значение и не учитывают специфики наследственно несвязных пространств.
Данный параграф посвящен исследованию вопроса о спектральной разложимости ультраравномерных пространств с полиэдрами над неархимедовыми локально компактными полями. Это важно для последующего изложения, так как группы Ли неархимедовых многообразий, в частности группы диффеоморфизмов и груипы обёрток, вполне несвязны.
Данный параграф представляет интерес с точки зрения общей структуры ультраравномерных пространств, но данная диссертация в основном посвящена группам и квазиинвариантным мерам на них, поэтому многие вспомогательные сведения и доказательства вынесены в приложение.
2. Обозначения и предварительные сведения.
2.1. Как известно ультраметрическим пространством (А, р) с ультра-метрикой р называется множество X с метрикой р, удовлетворяющей неравенству
р{х,у) < тах{р(х,г);р(г,?/)} для любых точек х,у и г £ X.
Для множества X подмножество А декартова произведения X хХ задает отношение на множестве X. Через — Л обозначим отношение —А :=
{(а;, т/) : (у, х) £ А}. Композицию отношений Ли В обозначим Л-гВ, где А 4- В := {(гг, г) : существует у £ X такое, что (х,у) £ А п {у, г) £ В}. Тогда композиция отношений ассоциативна А + (В + С) = (А + В) + С,
21
но в общем не коммутативна А+В В-\-А. Для А С X х X и натурального числа п £ N отношение пА определяется по индукции формулой пА = (п — 1)А + А. Диагональ произведения определяется как множество А := {(х,х) : х £ X}. Множество V С X х X такое, что V = — V и А С V называется окружением диагонали. Множество всех окружений диагонали обозначим через Vx- Если V £ Т>х и для точек х, у 6 X выполняется включение (гг, у) 6 V, то говорят, что расстояние между точками х и у меньше, чем V и пишут \х — у\ < V, а в противном случае пишут \х — у\ > V. Если А С X и V £ Vx, и \х — у\ < V для любых точек х, у Е А, то говорят, что диаметр множества А меньше, чем V и пишут 5(A) < V. Тогда для любых x,y,z £ X и любых V, Vi, V2 Е Vx выполнены следующие условия:
(1) |аг — а?| < V;
(2) |х - у\ < V тогда и только тогда, когда |у - х\ < V;
(3) если |х - у\ < V\ и \у — z\ < V2, то |х — z\ < Vi •+■ V2.
Если z Е X и V 6 Т>х, то множество B(z, V) := {х £ X : |х — z\ < К} называется шаром с центром в точке z радиуса V или просто V-шаром с центром z. Для множества А С X и окружения диагонали V £ Vx под V-шаром вокруг А подразумевается множество В(А, V) := \JZ елЩ*,П
Подсемейство U в Vx называется равномерностью на множестве X, если выполнены следующие условия (U1 — 4):
((71) Если V £ U и V с W Е Vx, то TV £ U.
((/2) Если Vi, V2 £ U, то Vi П V2 £ U.
(С/3) Для любого V £ U существует такое W £ U, что 21V С V.
(С/4) Пкеи ^ = А.
Семейство В С U называется базой равномерности U, если для любого V £ U существует W £ В такое, что W С V. Наименьший кардинал card(В) среди всех баз равномерности U называется весом равномерности U и обозначается w(U).
Любая база В равномерности U удовлетворяет следующим условиям (BU\ — 3):
(BU1) Для всех Ц, У2 £ В существует такое V £ В, что V С V\ П V2.
(BU2) Для любого V £ В существует такое W £ В, что 2W с V.
22
(BU3) 1>6в V = A.
Равномерным пространством называется пара (X, U), состоящая из множества X и равномерности U на нем. Вес равномерного пространства (.X, U) определяется как вес его равномерности U.
Каждое окружение диагонали V € Т>х задает покрытие C(V) \— {13(х, V) : х € X} множества X. Если в некоторое покрытие S множества X можно вписать покрытие вида C(V) для некоторого V € U, то такое покрытие S называется равномерным относительно U. Тогда, каждая равномерность U на множестве X порождает некоторую топологию О на X, то есть определяет топологическое пространство (X, О).
Ультраравномерным называется равномерное пространство (X, U) с ультраравномерностью U, удовлетворяющей условию |ж — zj < V', если |у — z\ < V' и \у — х| < V, где V С V7 6 U, а х,г/ и z £ X. Если на множестве X задано семейство псевдоультраметрик Р, удовлетворяющее условиям (UP1,UP2):
(UPI) если р\,р2 € Р, то max(pi,i2) 6 Р;
(UP2) для любой пары различных точек х,у е X существует псевдоультраметрика р € Р такая, что р(х,у) > 0, то семейство Р дает ультраравномсриость U в силу предложения 8.1.18 [46|.
Пусть L - это некоторое поле с мультипликативной нормой |т|ь =: \х\ на нем, то есть выполнены условия (N1 — 3):
(N1) |л| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
(N2) \х + у\ < \х\ 4- |з/|;
(Аг3) \ху\ = \х\\у\ для любых ж,у £ L.
Если мультипликативная норма |гс| удовлетворяет более сильному нсар-химедову неравенству
(N4) \х 4- у\ <тах(|я|,|у|), то такая норма называется неархимедовой мултипликативной нормой. Будем рассматривать нетривиальные нормы на бесконечных полях, то есть, относительно которых L - это недискретное нормированное пространство.
Пусть L - иоле с неархимедовой мультипликативной нормой или коротко неархимедово ноле, а X является L-тихоновским пространством,
23
то есть, по определению принятому здесь X есть ^-пространство и для любого Е=РсХсх£Р существует непрерывная функция / : X —> В(Ь, 0,1) такая, что /(х) = О, /(Т) = {1}, где
В(Х,у,г) := {г € X : р(г,у) < г}
для г > 0.
Топологическое пространство У называется То-нространством, если для любой пары различных точек х,у £ У существует открытое множество А, содержащее ровно одну точку из них. Топологическое пространство У называется ^-пространством, если для каждой пары различных точек х, у € У существует открытое подмножество и такое, что х € и и у £ и. Топологическое пространство У называется хаусдорфовым или ТЬ-пространством, если для любой пары различных точек существуют открытые множества С/, V в У такие, что х € и и у е V, и С/ П V = 0. Топологическое пространство У называется Тз-нроетранством или регулярным пространством, если У является Т^-пространством и для любой точки ж £ У и каждого замкнутого подмножества Л в У существуют открытые подмножества I/ и V в У такие, что х £ и и А С V, и иП V = 0.
Топологическое пространство У называется Тз.з-пространством или тихоновским пространством, или вполне регулярным пространством, если У есть ^-пространство и для любой точки ж € У и для любого замкнутого подмножества Л в У существует непрерывная функция / : У —► [0,1] С К такая, что /(х) = 0 и }(у) = 1 для любой точки 2/6 Л.
Топологическое пространство У называется Т\-пространством или нормальным пространством, если У является 7У пространством и для любых двух непересекающихся замкнутых подмножеств А и В в У существуют открытые подмножества II и V в У такие, что Аси и В С У, и й П V = 0.
Топологическое пространство У называется нульмерным, если У -это непустое Т\-пространство, обладающее базой из открыто-замкнутых множеств. Из нульмерности ноля Ь следует нульмерность Ь-тихоиовского пространства X (смотри параграф 6.2 в [46|), то есть малая индуктивная размерность т(1(Х) = 0 (смотри главу 7 в [46]), однако большая индук-
24
тивная размерность 1пс!(Х) может принимать значения от 0 до оо. Поскольку норма |*| : Ь —> Г(Ь) непрерывна, то Л" является также тихоновским пространством, где Г(Ь) := {\х\ : х Е Ь} с (0, оо). Обратно, если X - тихоновское нульмерное пространство, то оно также Ь-тихоиовское, так как существует открыто-замкнутая окрестность IV Э х с IV П Р = 0 и в качестве / можно взять локально постоянную функцию с /(х) = О и /(X \ IV) = {1}. Рассмотрим пространства С(Х,Ь) := {/ : X —> Ь| / непрерывны} и С* {/ Е С(Х, £) : \/(Х)\ъ ограничено в К}, тогда для любого конечного семейства {/ь...,/»«} С С (или С'1“) определена, исевдоультрамери ка:
Ри ■/»(*.!/) := шах{|/^(х) — />(г/)| : .? =
Семейства Р (или Р*) таких индуцируют ультраравномерности
С (или С* соответственно) и исходную топологию на X. Если {У(з) : j = 0,1,...} С II, так что У(0) = X хХ, рУС? 4-1) С 1^0) при 3 = 1,2,где р - простое число, то существует псевдоультраметрика р{х:у) := 0 при (х,у) Е Г^=0 ^0); ЯОМУ) при (ж, 2/) е 1/0‘)\^(7 + 1), удовлетворя-
ющая условию: У(г) С {(#,2/) • р(я»у) < Р-*} С У {г — 1). Действительно, из (х, у) Е V (г) \ У (г -1-1) и (у, г) е V (7) \ У( ^ 4-1) при 3 > г следует, что (х, 2) € 1^(г) и р(х, г) < р-г = р(х,р). Таким образом, ультраравномер-ные пространства можно эквивалентно характеризовать посредством II или Р (смотри параграфы 8.1.11 и 8.1.14 в |4б|).
Далее рассматриваются локально компактные бесконечные недискретные поля Ь с с1гаг(Ь) > 0. При с/гаг(Ь) — 0 согласно [ 119] для каждого такого Ь существует простое число р такое, что Ь является конечным алгебраическим расширением поля р-адических чисел <^р. Если Ышг(Ь) = р > 0, то Ь изоморфно полю Гр(0) с элементами 2 = где ^ Е Гр, к(г) Е Ъ, \г\ь = р~ад, р - простое число, Гр - конечное поле состоящее из р элементов. Для (вполне упорядоченного) множества А мощности т = саг<1(А) через со(Ь, т) (или со(Ь,Л)) обозначается банахово пространство с векторами х = (ха Е Ь : а Е А) и нормой ||х|| := 811р{|хд| : а Е Л}, причем для любого Ь > 0 множество {а : |ха| > 6} конечно, ортонормированиым базисом в нем является {е(з) : (6^а : а Е А)\з Е А}, где 5^а - символ Кронекера |106].
25
Технические пункты 2.2-2.4 вынесены в приложение.
I. Определение. Банахово пространство В(Х,у, К) называется свободным банаховым пространством с отмеченной точкой, если выполнены следующие условия (ЯЯ1 — 3):
(ЯЯ1) существует изометричнос вложение V : X —> В(Х,у, К);
(ЯВ2) К-линейная оболочка для X, ярапкХ, всюду плотна в Я(Х, у, К);
(ЯЯЗ) для банахова пространства Я над К и любого отображения / :
X —» Я такого, что \\/(х) — ф(г)\\ < д(х, г) для всех х,г £ X с /(?/) = О существует К-линейный оператор В : Я(Х, у, К) —» Я такой, что ||Я|[ <
1 и с ограничением на гг(Х): Я(*)|и(х) = Отображения / в
условии (ЕВЗ) называются нерастягивающими.
II. Определение. Банахово пространство £(Х, К) называется свободным банаховым пространством, если оно удовлетворяет условиям (БВ 1,2), а также
(ЯЯ4) для любого банахова пространства Я над К и нерастягиваю-щего отображения / : X —► Я с |/(г/)| < 1, где у - это отмеченная точка в X, существует К-линейиый оператор Я : Я(Х, К) —► Я такой, что ||Я|| < 1 и с ограничением на г?(Х): Я(а:)|г,(х) = /(у~1(х)) для любой точки .т £ X.
Воспользуемся далее теоремой 5 из [147). Она утверждает следующее.
III. Теорема. Для данного улътраметрического пространства (X, д), то есть множества X с ультраметрикой д, отмеченной точки у £ X и полного относительно своей нормы поля К с неархимедовой мультипликативной нормой существует и единственное с точностью до изометрического изоморфизма свободное банахово пространство В(Х, К), а свободное банахово пространство Я(Х, у, К) с отмеченной точкой у изоморфно {У — и(у)), где У - это замкнутое 'К.-липейное подмногообразие с коразмерностью единица в В(Х, К) над К. г> обозначает вложение X в Я(Х, К). При этом Я(Х, К) изометричпо К -линейно изоморфно с Я(Х, К), где X обознашет пополнение X, а В(Х,у, К) изометричпо К.-линейно изоморфно с В(Х,у, К). Если дополнительно X является нормированным пространством, то существует банахово подпространство N(X) в В(Х, К), так что X изоморфно Я(Х, К)/АГ(Х)
20
как локально К-выпуклое пространство.
IV. Определения. Семейство подмножеств {Бп : п € Т} множества X называется сжимающимся, если для любых А;, п £ Т существует т € Т такое, что С 5* П Зпу где Т - некоторое множество. Ультра-метрическое пространство (X, в) называется сферически полным, если любая сжимающаяся последовательность {Вп.: п 6 14} шаров в X имеет непустое пересечение. Сферическим пополнением < Е,Т > нормированного К-векторного пространства Е называется пара < Е, Т >, состоящая из сферически полного пространства Е и К-линейной изометрии Т : Е —> Е, так что Г не имеет сферически полного собственного линейного подпространства содержащего Т(Е). Сферическое пополнение часто также обозначается просто Е вместо < Е, Т >.
Для нормированного К-линейного пространства Е два вектора х.у £
Е называются ортогональными, если \\ах + Ьу\\ = тах(||ал;||, ||6т/||) для любых а, Ь £ К. Для действительного числа 0 < А < 1 конечная или бесконечная последовательность элементов £ Е называется ^-ортогональной, если ЦаьТ! + .... + атхгп -I- ---И > ^ тах(||а1Ж11|,||атх-т||,...) для любых ах, ...,ат,... € К с а\Х\ + ... + птхт -1-... € Е.
Мы скажем, что банахово пространство Е над нолем К полным относительно своей неархимедовой мультипликативной нормы имеет счетный тип, если Е является замкнутой К-линейной оболочкой некоторого своего счетного подмножества векторов.
Если Z -это К-линейное подпространство нормированного пространства Е над К, то Е называется немедленным расширением если О является единственным элементом в Е ортогональным подпространству
г.
Пусть и) - это непустое множество, и задана функция 5 : со —> (0, оо). Для функции / : и —> К положим
11/11* == зир{|/(я?)|л(лг)
Множество всех функций / : и) —> К, для которых норма ||/||5 конечна образуют К-векториое пространство обозначаемое которое
является банаховым относительно нормы || * ||я.
Через со(К, в) мы обозначим замкнутое подпространство в /°°(К, о/; 5),
27
состоящее из функций /, удовлетворяющих дополнительному условию: для любого Ь > 0 множество {.т Є и : |/(:г)|5(:г) > 6} конечно. Если функция 5 принимает лишь одно фиксированное значение, например, единицу, то мы опустим 6- из обозначения банаховых пространств.
Далее также понадобятся следующие две теоремы 5.13 и 5.16 из [106|.
V. Теорема. Для любого банахова пространства Е над полем К полным относительно своей мультипликативной неархимедовой нормы следующие условия эквивалентны:
(о). Каждая максимальная ортогональная система элементов из Е является базисом.
(/?). Каждое замкнутое линейное подпространство в Е имеет ортогональное дополнение.
(7). Каждое замкнутое К -линейное подпространство в Е счетного типа имеет ортогональное дополнение.
(6). Е не является немедленным расширением никакого своего собственного замкнутого К.-линсйного подпространства, в Е.
(е). Каждая счетная ортогональная система элементов в Е может быть расширена до ортогонального базиса в Е.
VI. Теорема. Для бесконечномерного банахова пространства Е над полем К полным относительно своей пеархимедовой мультипликативной нормы условия (а — б) из теоремы V эквивалентны любому из следующих условий (£ — і):
(С). Каждое замкнутое К -линейное подпространство в Е сферически полно.
(г/). Е имеет ортогональний базис и сферически полно.
(0). Каждая строго убывающая последовательность значений функции нормы па Е сходится к пулю.
(*.). Группы нормирований поля К дискретна. Для тт Є К такого, что 0 < 17Г | < 1 и |тг| является генератором группы нормирований Гк поля К, существует множество со и функция в : <и —> (|7г|, 1] такая, что Е изометрически К -линейно изоморфно со(К,бі/;а), где множество значений функции 5 вполне упорядочено.
Если Е бесконечномерно и счетного типа над К, то условия (а — и)
28
эквивалентны сферической полноте банахова пространства Е. Вспомогательные пункты 2.5,6 вынесены в приложение.
2.7. Замечание. Симплексы s из Rn можно задать с помощью линейных функционалов {e(j) : j = 0,.... п}, где e(j) = (0,..., 0,1,0,..., 0) с 1 на j-м месте при j > 0, а е(0) = е(1) 4- ... -f e(n), s = {х £ Rn : e(j)x £ [0,1] при j = 0,В случае co(L, Л), если взять шар i9(L,0,1) вместо отрезка [0,1], то условия Xj — e(j)x £ B(L,0,1) при j £ А влекут, что e(0)a; = T,jejXj £ B(L,0,1) для любого конечного подмножества J в А в силу ул ьтраметрического неравенства (B(c0(L, /1), 0,1) - аддитивная группа), то есть,
s = B(co(L, Л), 0,1).
При этом топологическая граница Fr(s) = 0 и Ind[Fr(s)} = — 1. Необходимо отмстить, что для локально компактного поля L мультипликативная группа F(L) \ {0} дискретна в (0, оо), через тгь обозначим элемент из L такой, что В(L.0,1“) := {а; £ L : |.т| < 1} = ttl/?(L,0, 1) и |тгь| sup{6 £ Г(Ь) : 0 < 6 < 1} =: bL < 1.
2.8. Определения. (1). Полиэдром Р в Co(L, п) назовем дизъюнктное объединение симплексов Sj, Р = UjeFSjy F - множество,
Sj = #(co(L, т),.т,г) = ж + 7г£/?(со(Ь, m),0,1)
- открыто-замкнутые шары в co(L,m), где m < п, г = ^, а € Z. Для каждого L зафиксируем яд и такие аффинные преобразования. Полиэдр называется равномерным, если
(г) sup{cftam(sj : г £ F)} < оо,
(гг) inf{dist(si, $j) : г ф j} > О,
где dist(s,q) inf{р(х,у) : х £ s>y € q}. Вершинами симплекса s = Б(со(Ь, Л), 0,1) назовем {х = (xj) € со : Xj = 0 или 1 для любого j £ Л}, card(A) = m, dim^s) := m. Для любого Е С Л с Е Л и вершины е гранью симплекса s назовем подмножество е 4- 5(ce(L,/?)), 0,1) С 5. Для произвольного симплекса грани н вершины определяются с помощью аффинного преобразования как образы граней и вершин единичного симплекса B(cq(L, m)> 0,1).
2!)
Тогда по аналогии с классическим случаем естественно определено понятие симплициального комплекса К и его пространство \К\) а также подкомплексы и симплициальные отображения (то есть аффинные отображения над полем Е при ограничении на каждый симплекс полиэдра, переводящие вершины в вершины).
Вместо барицентрического подразделения в классическом случае введем
^-подразделение симплексов (полиэдров) для j € ]М, то есть разбиение каждого симплекса Я(со(Ь, т), х, г) в дизъюнктное объединение симплексов с радиусами равными тр~3. Симплексы 5 с (1ггп\,{з) = т можно рассматривать также в со(Ь, п) (или со(Ь, В)), где п > т (или В с А), так как существует изометричное вложение со(Ь, т) <—» со(Ь, п) (или со(Ь,Л) с—> со(Ь, В) соответственно) и проекция 7г : со(Ь,п) —> Со(Ь, т). Размерностью полиэдра Р назовем сИть(Р) := вир{г/гг^(5) • в С Р, в - симплексы }. Полиэдр Р над Ь называется локально конечномерным, если все симплексы 5 в Р конечномерны над Ь, то есть <йть(з) € N. Для симплекса 5 = В(со(Ь, т),х,г) Ь-границей дв назовем объединение всех его граней г/ коразмерности 1 над Ь в с*о(Ь, гг») = X, то есть, ц — е -Ь В\ где В' - шар в со(Ь, Е) =: У, саг(1{А) = т, /\ \ Е - одноэлементное множество, Е С Л, X © У = Ь, У С X. Для полиэдра Р = \JjeH где Я -множество, I» - границей назовем дР := \JjefjdSj-
(2). Непрерывное отображение / множества М С со(Ь, т) в полиэдр Р назовем существенным, если не существует непрерывного д : М —> Р для которого выполнены следующие условия:
(?) д(М) не содержит в себе Р;
(гг) имеется М0 С М, М0 ф М с /(М) П ЗР = /(М0) = <;(%) С дР
» Л«,, = як;
(т) если / линейно на [х.у] := {£х Н- (1 — £)?/|£ € Р(Ь,0,1)} С М, то д тоже линейно на [х,у], если /(х) ^ /(?/), то </(х) ф д{у).
(3). Функция / из (2) несущественна, если существует такое д.
(4). Пусть / : М —> N - непрерывное отображение, со(Ь, п) Э N Э Р, Р - полиэдр, тогда Р называется существенно (или несущественно) покрытым N при отображении /, если /|/-цр) существенно (или несуще-
го
ственно соответственно).
(5). Пусть /:М—+Рид:М—>Р‘ непрерывные отображения, где М - множество, а Р - полиэдр, тогда д называется допустимой модификацией /, если выполнены условия:
(г) из а е М и /(а) € 5 следует, что д(а) е в, где 5 - симплекс из Р;
(гг) если х, у € М, [:х, у] С М и / : [х, у] —> Р линейно, то д : [ж, у] —* Р тоже линейно; если Дж) ф /(*/), то д{х) ф д(у);
(ш) ДШ) = д(дМ).
(6). Отображение / : М —> Р называется приводимым (неприводимым), когда оно может (не может соответственно) иметь допустимую модификацию д такую, что ДМ) не содержится в д(М).
(7). Отображение / : Р —► (3 для полиэдров Р и <2 называется нормальным, если
(О Рс}(Кх)Лу)) < рр(х>у) Для любых III у е Р, то есть / - нерастягивающее отображение;
(гг) существует /^-подразделение С}' полиэдра <5 такое, что / : Р —► (3'
- симилициалыюе отображение (то есть аффпнно на каждом симплексе 5 С Р и Дз) - симплексы ИЗ <3').
(8). Пусть X = 1пп{Х^/рЕ} - разложение X в предел обратного спектра полиэдров X,- над Ь. Оно называется
(а) неприводимым, если для любого открытого V С X существует конфинальное подмножество Е(У) С Е такое, что {Х*, /], Е(У)}
- неприводимое полиэдральное представление пространства У, то есть Д : Хг —» X) - неприводимы и сюръективны при любых г > д Е Е{У). Полиэдральный спектр (представление) {Х^/^Е} называется
(б) п-мерным, если (Итъ(Х{) < п для любого г е Е и 5ир{с/ггаь(Х*) : г € Е) = п.
Вспомогательные пункты 2.9-14 вынесены в приложение.
VII. Лемма. Пусть (X, (Г) - это улътраметрическое простраистпо, группа нормирований поля К дискретна, У - это подпространство в X, / : У —> К - перастягивающая функция, тогда существует перетягивающее продолэюение / : X —> К.
Тогда из леммы VII и представления функции в виде / = {/*: г € Р},
31
/ : Е —> Le(i), где {e(i) : і Є F} - ортоиормированный базис в с0(L, F) , a inf{dist(f~l(si), f ](Sj)) : SiDSj = 0, s,- - симплексы из Р} > 0, следует утверждение леммы 2.14.
2.15. Определение. Ультрараниомерное пространство (X, Р) называется
LP-пространством, если каждая равномерно непрерывная функция / :
У —> L имеет равномерно непрерывное продолжение на вес X, где У С X.
2.16. Теорема. Ультраметрическое пространство X является LE-пространстоом тогда и только тогда, когда X = lim{Xm,f™>E}, где Хт -топкие (fine) простра.нст.ва, а связующие отображения /"* : —> Хп равномерно непрерывны для любых т>п Є Е.
Доказательство. Рассмотрим XQ. = B(co(L, m), 0,1) при m > N() (или Ln), которые не являются тонкими, так как на Ха существуют непрерывные / : XQ —> L не являющиеся равномерно непрерывными. Тогда для вложения не тонкого пространства Ха t—» cq(L, m) не существует компактного И с Ха С Я С Q)(L, m). Поэтому в Ха имеется сметное замкнутое подмножество изолированных точек У = (х(г) : г Є N} и непрерывная функция / : У —> L с | f(x(j)) - f(x(i))\/\x(j) - х(г)| > с(г) > О при j > г и lim,_.oc с(г) = оо имеет непрерывное продолжение g на Ха. Это объясняется тем, что существует открыто-замкнутая окрестность W, являющаяся 6-раздутием (6 > 0) относительно ультраметрики ра на Ха, непрерывная ретракция г : W —* У, g(x) = const Є L на Ха \ W, д(х) — f{r(x)) на W, д\у = /. Таким образом, д непрерывна и не равномерно непрерывна на Ха.
3. Полиэдральные разложения.
3.1. Теорема. Каждое полное ультраравномерное пространство (У, Р) является пределом обратного спектра абсолютных окрестгюстных равномерных ретрактов Yj, где Yj вложены, в полные локально Y-выпуклые пространства.
Доказательство этой теоремы и пункты 3.2-17 вынесены в приложение.
3.18. Теорема. Пусть (X, Р) - полное ультраравномерное простран-
32
стпво и L - локально компактное поле. Тогда существует неприводимое нормальное разложение (X, Р) в предел обратного спектра S = {Рп,/£,£?} равномерных полиэдров Рп над L, причем lim S равномерно изоморфен (X, Р); в частности, для ультраметрического (X, р) спектр S является обратной последовательностью.
Доказательство. Из следствия 2.5 и теоремы 3.1 следует существование разложения (X, Р) в равномерно изоморфный предел обратного спектра R = {У}, //, F} абсолютных окрестностных равномерных ретрактов о Yj с нерастягивающими //, где Yj - полные ультраметриче-ские пространства. Каждое Yj замкнуто в конечных произведениях пространств Co(L, rrik). Из лемм 3.2-3.17 вытекает существование неприводимого нормального равномерного полиэдральною разложения для каждого Yj) причем используя допустимые модификации gf для // и те же леммы можно добиться того, чтобы спектр для всего пространства (Х,Р) обладал теми же свойствами.
Каждому равномерному покрытию V пространства X соответствует нерв покрытия над L (смотри далее). Если рассматривать равномерные покрытия V, соответствующие равномерным полиэдрам Р = \j{W : W Є И}, то в силу теоремы 2.11 они являются абсолютными окрест-ностными равномерными ретрактами. Далее рассматриваются такие V. Пусть р - псевдоультраметрика на X и р(Х,Х) С Г(Ь). Если V задано с помощью выбранной псевдоультраметрики р, то с V можно ассоциировать рк-нерв (где к Е Z), то есть абстрактный симплициальный комплекс Nk, вершинами которого являются элементы из V, симплексы s над L натянуты на вершины Wj, удовлетворяющие условию p(Wj, W^ < pkb, где
b = s\ip{diam(W) : W є V} < оо,
каждое ребро [Wj, Wj] из s имеет длину не меньше
t = inf{p(Wh Wi) : Wi ф Wj eV}>0.
Тогда из Nie co(L, w(N^)) следует, что каждый s равномерно изоморфен некоторому J5(cü(L, m), 0,1), где m < w(Nk). С каждым покрытием V связано отношение эквивалентности: xRy означает, что существует W € V с х и у Є W, тогда определено факторное отображение
33
f : X —> X/R (смотри также предложения 2.4.3 и 2.4.9 в [46]). С каждым локально конечным функционально открытым покрытием V ассоциируется разбиение единицы {fw ' W Є V}, fw : X —> B(L, 0,1), fw(x) = 1 при x Є W и fw{x) = 0 при х £ 1У, {fw} подчинено V (смотри также §5.1 в [46]). Имеются канонические нерастягивающие отображения Fk : X —* JV*. Если X компактно, то X/R - конечное дискретное пространство и dimi,{Nk) = п Є N. В каждое V можно вписать дизъюнктное открыто-замкнутое равномерное покрытие К с
sup{diam(W) : W Є К} < Ъ/р*,
где j € N, то есть, V имеет равномерное строгое ужатие. В общем случае существуют абстрактные симплициальные комплексы Ny с dim^Ny > dim(X) > 0, если V - произвольное функционально открытое покрытие порядка не меньше dim(X).
Можно рассмотреть последовательность таких ужатий: Vm+{ с Vm с Ьщ = Ьр~т, где тп Є N. С каждым Vm ассоциирован р^'^-нерв пусть к(гп) > —m, к(т + 1) < к(т) дня любого т и
lim к(т) — —ос.
Ш—» оо 4 7
Если а: - изолированная точка в X, то существует п с
max(6n,pfc(n)6n) < inf{p(x,p) : у Є X \ {х}}.
Тогда симплекс s С JVfc(m) са:б5ит>п является нульмерным над L, то есть s = {т}.
По построению Nk Для любого симплекса $т+\ С N^m+1) существует $т С ХЛ(т) с /£+1(sm+1) С 5т, где // - связующие отображения обратной последовательности S = {JVjfe(w),/"*, N}. Каждое /"l+1 является нерастягивающим, так как уменьшает расстояние по крайней мере в р раз {bm/bm+i > Р)• Если х Ф у, то существует п с тах(&„, &„Р*(п)) < р{х,у), следовательно, для любого т > п существуют непересекающиеся симплексы s и s' С с х Є 5 и у Є s'. Таким образом, существует равно-
мерно непрерывное д : X —> lim5, где р(ж) = lim{sm, //"}, а .sm э гс для любого т Є N. Поэтому определены равномерно непрерывные проекции fm : X —► Nk(m)» так как для любого 6 > 0 существует г Є N такое, что
34
^(т+г)-А(т) < ь и /т(Ту) = /т+го/т+г(И/)> |фнчем Лвт(/т(^)) < 6,
где И7 € Рт+Г, /т+г(М/) принадлежит открыто-замкнутой звезде соответствующей вершины ?; € Л^(т+г)- Далее как и в лемме ТУ.ЗЗ в [85| проверяется, что д(Х) = Ига 5 и д - равномерный изоморфизм, так как 9т (6'т) = {я} Для семейства {$те : га} соответствующего {ж}.
Поскольку имеется некоторая возможность в выборе различных последовательностей (А;(га)}, то (Итпь(А^(т)) могут быть от 0 (при к(т) = —га) до га(Х). При к(т) > —тп в обратной последовательности 5 отображения /™+1 могут отображать симплексы я из А^(т+1) в симплексы д из Л^.(т) меньшей размерности над Ь, например, при \Ут+\ с И7т, \Ут Е Ут, \¥т+1 Е Ут+1у = Б(со(Ь,;),т,г), \Ут+1В(с0(1,,п)> х\г/р)> п > саг(1(Х/Пт) > с/гть(Л^А.-(т)) > 3* Так как ^ть(Хк(т+\)) > 71 ПРИ к(т + 1) > (—т — 1). Это объясняется тем, что В(Ь,(), 1) и В(Ь, 0,1)**° гомеоморфны, где Б = {0,1} - дискретное двухточечное пространство
146).
Для полного ультраравномерного пространства (Х,Р) при этом рассматривается база равномерных покрытий {V7” : п Е Г*1, р € Р}, где каждое V" задается относительно данной д, 5 = {Хрцту ^ х ^},
каждому V”1 соответствует АР' < Р, если ^(т, ?у) < р(х,у) для любых х и у Е X, а (р\т') < (р, га), если р' < р и гп! < га. Если ассоциировать Ху с порядками произвольных функционально открытых покрытий V пространства X, то существует спектр 5 размерности равной (Лт(Х).
Для ультраравномерного пространства (X, Р) строятся симплициаль-ные комплексы Ху с сИт^Ху > с1гт(Х) > 0, если V - функционально открытое покрытие X порядка не меньше, чем (1гт(Х). По такой второй процедуре, если [У/] : j Е Ащ} - подсемейство в V, так что попарно различны и Г^еЛн/ ^ Ф то это задает симплекс 5 в с0(Ь, Лщ), где Wj - абстрактные вершины абстрактного симплекса .9, сНт(Х) - топологическая размерность X в смысле покрытий. Тогда существует обратный спектр функционально открытых покрытий Уп такой, что *Ут < Vй для любых т < п Е Еу то есть Ут звёздно вписано в Vй, следовательно, существует обратный спектр с полиэдрами Р1и так что (Ит^Рп > сИтп(Х)
35