Производные категории эквивариантных когерентных пучков и когерентных пучков на стеках

Оглавление
1 Введение 4
1.1 Краткое содержание диссертации................................. 7
1.2 Основные результаты диссертации............................... 10
1 Производные категории эквивариантных пучков 26
2 Косимплициальные категории и комонады 27
2.1 Косимплициальные конструкции.................................. 27
2.2 Комонады и комодули........................................... 33
2.3 Два способа задания данных спуска............................. 40
2.4 Ограничение на подкатегории................................... 42
3 Производная теория спуска 45
3.1 Допустимые подкатегории, полуортогональпые разложения,
исключительные наборы.......................................... 45
3.2 Когерентные пучки на схемах и стеках, их производные категории 48
3.3 Производная теория спуска для стеков ......................... 51
3.4 Морфизмы, обладающие свойством SCDT........................... 56
4 Скрученные эквивариантные пучки 63
4.1 Эквивариантные пучки.......................................... 63
4.2 Функтор коиндукции для эквивариантных пучков.................. 69
4.3 Скрученные эквивариантные пучки для конечных групп............ 71
4.4 Скрученные эквивариантные пучки для алгебраических групп ... 75
2
II Строение эквивариантных производных категорий
89
5 Явное построение нолуортогональных разложений 90
5.1 Случай конечных групп......................................... 91
5.2 Случай исключительного набора из эквивариантных пучков .... 94
5.3 Случай исключительного набора из инвариантных пучков.......... 97
5.4 Случай исключительною набора из инвариантных блоков..........102
6 Спуск для полуортогональных разложений 106
6.1 Полуортогональпые разложения для категории комонад ............106
6.2 Спуск для нолуортогональных разложений: накрытие схем..........108
6.3 Инвариантность разложения относительно действия группы .... 111
6.4 Спуск для полуортогональных разложений: эквивариантпые категории...........................................................115
7 Явное описание компонент 118
7.1 Полуортогоиальные разложения для многообразий, обладающих инвариантным исключительным набором.................................118
7.2 Полуортошнальпые разложения для расслоений на проективные пространства........................................................124
7.3 Полуортогоиальные разложения для раздутий......................126
8 Примеры 128
8.1 Проективные пространства......................................128
8/2 Квадрики.......................................................130
8.3 Поверхности дель Псццо.........................................132
8.4 Многообразия Грассмана.........................................136
А Доказательство предложения 2.1.10 139
В Доказательство предложения 2.3.2 145
С Публикации по теме диссертации 152
3
Глава 1
Введение
Работа посвящена исследованию производных категорий эквивариантных когерентных пучков на алгебраическом многообразии с действием группы.
Всякое алгебраическое многообразие (или, вообще говоря, схема) X снабжено пучком колец Ох. Среди всех пучков (^-модулей когерентные пучки -наименьший класс, содержащий векторные расслоения и замкнутый относительно взятия ядер и коядер. На абелевых категориях когерентных пучков определены функторы, такие как прямой и обратный образ при морфизме р, дуализация, внутренний 'Нот, тензорное умножение. Все эти функторы, вообще говоря, не точны. Контролировать их точность можно с помощью соответствующих производных функторов Rlp4l1LiP*JSxttJToi'i. Удобный способ говорить о неточных функторах на абелевой категории и производных от них функторов дают введённые А. Гротендиком понятия производной категории от абелевой категории и производного функтора от функтора между абелевыми категориями. В производных категориях уже нельзя говорить о точных последовательностях, ядрах и коядрах. Однако они обладают не менее замечательной структурой - структурой триангулированной категории, определённой Вердье. В отличие от абелевой ситуации, производные функторы Rp^, Lp*,£xt, Тог, определённые на производной категории, точные, т.е. согласованы с триангулированной структурой.
Производная категория когерентных пучков - важный инвариант алгебраического многообразия, отражающий его когомологические свойства. Описание этих категорий - одна из задач, составляющих суть изучения
4
ал гебраи1 iecKi ix многообразий.
Хороший способ свести описание триангулированной категории к описанию некоторых её более просто устроенных подкатегорий даёт понятие полуортогонального разложения, введённое А.И.Бондалом [б]. Это понятие - категорный аналог понятия разложения векторного пространства с несимметричной билинейной формой в прямую сумму полуортогональных подпространств: так, всякое полуортогопальиое разложение триангулированной категории Т индуцирует полуортогональное (относительно формы Эйлера) разложение векторного пространства К$(Т) ® Q. Наиболее “сильный" случай полуортогонального разложения - разложение, порождённое полным исключительным набором - набором объектов в триангулированной категории, удовлетворяющим некоторым соотношениям па морфизмы между объектами. В случае существования полного исключительного набора триангулированная категория может быть описана как производная категория модулей над некоторой явно вычислимой алгеброй, связанной с набором, см. loc. cit..
Первый пример полного исключительного набора был построен А.А.Бейлинсоном[3], это набор из линейных расслоений О, (9(1),..., 0(п) на F71. Теми же методами М.М.Капрановым были построены полные исключительные наборы на многообразиях Грассмаиа и квадриках [13], [14], [15]. Известны примеры полных исключительных наборов на некоторых многомерных многообразиях Фано [19], [28], [31].
Примеры полуортогональных разложений с более сложными компонентами были построены Д.О.Орловым [29]. Так, если X - ироективизация векторного расслоения на базе 5, то производная категория пучков на X обладает полуортогональиым разложением на компоненты, эквивалентные производным категориям пучков па S> в количестве, равном рангу расслоения. Это разложение естественно считать относительной версией исключительного набора на Рп, построенного Бейлинсоном. Другой пример - производная категория раздутия неособого многообразия X в неособом подмногообразии Z коразмерности г. Она обладает полуортогональиым разложением на-компоненты, одна из которых эквивалентна производной категории X, а остальные 7* — 1 - производным
5
категориям Это полуортогональное разложение позволяет строить полные исключительные наборы на поверхностях дель Пеццо. Полуортогональные разложения пересечения квадрик были подробно изучены А.Г.Кузнецовым [21].
В случае, если на многообразии действует алгебраическая группа, можно рассматривать эквивариантные векторные расслоения (они иногда также называются однородными), т.е. расслоения с заданным действием группы на их сечениях. Так же, как векторные расслоения порождают категорию когерентных пучков, эквивариантные векторные расслоения порождают категорию эквивариантных когерентных пучков. В случае свободною действия она эквивалентна категории когерентных пучков па фактормногообразии, в случае тривиального действия на точке - категории представлений группы.
Производные категории эквивариантных когерентных пучков естественно возникают в разных конструкциях и при решении различных задач. Так, они позволяют строить примеры некоммутативного разрешения особенностей. На многообразии с факторособеиностями можно рассмотреть т.н. орбифолдную структуру, и пучки на соответствующем орбифолде будут образовывать категорию, являющуюся “разрешением особенностей” категории пучков на особом многообразии. При этом категория пучков на орбифолде склеивается из подходящих категорий эквивариантных пучков, отвечающих картам атласа. Скажем также в этой связи о производной версии соответствия Маккея. Для X - фактора С2 но действию конечной подгруппы (7 в 5Ьо(С) - имеются два эквивалентных категориых разрешения особенностей. Это производная категория (^-эквивариантных пучков на С2 и производная категория минимального разрешения особенности X —» X. Представляют интерес возможные обобщения такого соответствия на случай больших размерностей [10].
Производные категории эквивариантных когерентных пучков относительно мало изучены. Диссертация призвана внести вклад в дело их исследования.
6
1.1 Краткое содержание диссертации
Диссертация посвящена изучению производной категории эквивариантных когерентных пучков на многообразии с действием группы. Основное направление исследования - построение полуортогональных разложений такой категории.
В диссертации описаны новые способы получения полуортогональных разложений эквивариантной производной категории исходя из полуортогональных разложений производной категории самого многообразия. В таком виде задача естественно обобщается следующим образом: исследовать связь между производными категориями базы и накрывающего её многообразия. В ситуации производной категории эквивариантных пучков на многообразии А" относительно действия группы (7 роль накрывающего пространства играет АТ, а роль базы - стек Х//С, факторстек АТ по действию группы (7. Отсюда возникает необходимость работать в категории стеков, а не схем.
Для морфизма стеков р: X —» 5 имеется стандартный способ восстанавливать категорию пучков на Б в терминах категории пучков на АТ. А именно, при условиях строгой плоскости морфизма р задание пучка на 5 эквивалентно заданию пучка Р на X с данными склейки, имеющими вид изоморфизма р\Р —>р%Р на А' х<? АТ, удовлетворяющего условию коцикла. В работе исследован вопрос о том, когда аналогичным способом можно восстановить производную категорию базы по производной категории накрывающего стека. Ответ получен в теореме 3.3.3, критерием является отщепимость пучка 0$ прямым слагаемым при естественном морфизме (Э$—>Яр*Ох- Тем самым, при выполнении указанного условия производная категория базы 5 эквивалентна категории спуска, связанной с морфизмом р: X —> 5. Это позволяет использовать методы теории спуска при изучении связи полуортогональных разложений базы и накрывающего пространства. Для сравнения эквивариантной и обычной производных категорий полученный критерий сводится к требованию линейной редуктивноети группы, т.с., вполне приводимости её линейных представлений.
С морфизмом р: X —> 5 связаны две категории спуска. Первая, классическая категория спуска Т>(X)/р, образована парами, состоящими из объекта Р € 'Р(Х) и изоморфизма р\Р —> р^Р, подчинённого условию коцикла. Вторая категория
спуска - это категория Т>(Х)т., комодулей над комонадой Тр = на категории Т>(Х), связанной с парой сопряжённых функторов р* и рх. В диссертации показано, что эти категории эквивалентны для плоского морфизма р (предложение 2.3.2). Это даёт возможность использовать более удобный язык теории комоиад. С его помощью проводится доказательство теоремы 3.3.3, основанное на классической теореме Бека. Также в терминах комодулей над комонадой получено предложение 6.1.2, в котором построено полуортогональное разложение для категории спуска при условии существования Iюлуортогональыого разложения исходной категории, в соответствующем смысле совместимого с функтором Тр.
На предложении 6.1.2 основаны основные результаты о связи производных категорий базы и накрывающего пространства - теорема 6.2.2 для накрытия схем и теорема 6.4.2 об эквивариантной производной категории. Последняя теорема в условиях существования полуортогональиого разложения Т>(Х) -производной категории пучков на схеме X, сохраняемого действием линейно редуктивной группы С, позволяет строить полуортогональное разложение Vе(X) - производной категории (2-эквивариантных пучков на X - на компоненты, описываемые в терминах категории спуска. В диссертации рассмотрены приложения теоремы 6.4.2 к ситуациям действия группы на ироективизации эквивариантного векторного расслоения и действия группы на раздутии неособого подмногообразия. В этих случаях теорема 6.4.2 применяется к полуортогональны.м разложениям указанных многообразий, построенным Д. О. Орловым, при этом строится явное описание компонент разложения как подходящих эквивариаитных производных категорий.
Ещё одно, не менее важное применение теоремы 6.4.2, - случай действия линейно редуктивной группы, сохраняющего полный исключительный набор на многообразии, т.е. случай простейшего инвариантного относительно действия группы полуортогональиого разложения. В этом случае также удаётся явно описать (теорема 7.1.6) компоненты разложения, доставляемого теоремой 6.4.2. В работе использовано следующее понятие исключительного объекта, сохраняемого действием группы: объект Е производной категории пучков на X инвариантен,
8
если для подходящего линейного расслоения С на группе <7 имеется изоморфизм РІС 0 рїЕ —> а*Е на <7 х X (где обозначает проекции, а а - действие). Инвариантный исключительный пучок не обязательно обладает структурой эквивариантного пучка, препятствием является коцикл группы <7, определённый! изоморфизмом р\С 0 р\Е —> а¥Е. В параграфе 4.4 введено и изучено соответствующее понятие коцикла: коциклом на группе Є называется пара (Д а), состоящая из линейного расслоения С на (7 и ассоциативного изоморфизма р\С 0 р\С —> /х*Д где р: (7 х (7 —> (7 - умножение. Там же определены представления группы и эквивариантные пучки, скрученные на заданный коцикл. С каждым инвариантным исключительным объектом Е в 'Е(Х) связаны исключительный объект 8 производной категории пучков на X, скрученных на коцикл (Да), соответствующий Е, и подкатегория в Vа(X), эквивалентная производной категории скрученных на коцикл (Да*)“1 представлений <7. Эти подкатегории, построенные по объектам инвариантного исключительного набора, и являются компонентами ортогонального разложения, полученного при помощи теоремы 6.4.2. Отметим, что категории скрученных представлений линейно редуктивной группы полупросты, и что фактически теорема 7.1.6 позволяет строить полные исключительные наборы в эквивариантной производной категории.
Также в диссертации изложен другой подход к построению полуортогонального разложения эквивариантной производной категории на многообразии с инвариантным исключительным набором, не использующий результатов теории спуска, см. главу 5. Этот подход не предполшает линейной редуктивности группы, но применим только в случае исключительного набора из пучков. Основной результат, полученный в рамках этого подхода - теорема 5.4.1. В ней строится полуортогональное разложение категории Т>(,(Х) в предположении, что в категории Т>(Х) существует полный исключительный набор из пучков, имеющий блочный вид, при этом группа сохраняет пучки в пределах блока. Компоненты этого разложения эквивалентны производным категориям скрученных представлений подгрупп в (7, стабилизирующих отдельные пучки блока.
9
Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть применены для построения ортогональных разложений и полных исключительных наборов на многих многообразиях, к числу которых относятся проективные пространства, квадрики, поверхности дель Пеццо и многообразия Грассмана.
1.2 Основные результаты диссертации
Диссертация состоит из введения и двух частей, включающих в себя семь глав.
Глава 1 - введение, в ней обсуждаются история вопроса и мотивировки, даётся общий обзор работы и формулируются основные результаты диссертации.
Б первой части изложены необходимые сведения о производных категориях эквивариантных когерентных пучков. Основные её результаты - утверждения о спуске для производных эквивариантных категорий (теорема 4.1.6) и факты о скрученных эквивариантных пучках (параграфы 4.3 и 4.4).
Глава 2 носит, в основном, вспомогательный характер. В ней описаны технические средства, составляющие основу теории спуска, с их помощью во второй части будут строиться полуортогональиые разложения эквивариантных производных категорий.
В параграфе 2.1 определены и обсуждаются косимплициальные категории и связанные с ними категории спуска. Пусть
С. = [С0,СъС2,-..,Р:]
- косимплицнальная категория. Т.е., заданы категории С,-, г = 0,1,2,...
и функторы Рг: Ст —» Сп для каждого неубывающего отображения {0, —> {0,..., гг}, так что для функторов выполнены естественные
условия согласованности. С С. связана категория спуска, обозначаемая Кегп(С#). Пусть Р* и Р£ обозначают функторы Со —соответствующие отображениям Ц,/2* {0} “* {ОД} таким, что /ДО) = 0Д2(0) = 1. Аналогично, А*2 з А*з и Р-22 обозначают функторы С\ —> Со, соответствующие отображениям г1*2,г1з и г23: {0,1} —* {0,1,2} таким, что
*12(0) = о, *м(1) = 1;*13(0) =0,г1з(1) = 2; г23(0) = Мг :з(1) = 2.
10
Определение 1.2.1 (определение 2.1.4). Объекты Кегп(С.) - это пары (Р, 0), где Р € ОЬСо, а 0 - изоморфизм Р^Р —* Р^Р-, подчиняющийся условию коцикла:
Морфизмы в Кегп(С.) из (Рь^) в (Рг,02) - это морфизмы / е Нот^Р^Р») такие, что Р2*/ о 01 = в? о Р*/.
С помощью категории спуска, связанной с косимплициальной категорией [соЬ(Х),соЬ(С х уУ),соЬ(^ х А" х X),...], удобно описывать категорию С-эквиварпантных пучков на X.
В параграфе 2.2 изложены, следуя Барру-Уэллсу и Маклейну, классические факты про комонады и комодули над ними. Язык комонад также используется в теории спуска. Он не так естествен, как язык косимплициальных категорий, но позволяет получить критерии, описывающие, когда функтор сравнения является эквивалентностью. Также на языке комонад в диссертации доказано предложение 6.1.2 - основное утверждение о связи полуортогональных разложений исходной категории и категории спуска.
В параграфе 2.2 в качестве следствий из классической теоремы Бека получены необходимые (следствие 2.2.10,2) и достаточные (следствие 2.2.11) условия того, что функтор сравнения является эквивалентностью для комонады на триангулированной категории. Эти условия использованы при доказательстве теоремы 3.3.3 о спуске для производных категорий пучков на стеках.
Параграф 2.3 объединяет два подхода к заданию данных спуска: с помощью косимплициальной категории и с помощью комонады. А именно, пусть для аугментированной косимплициальной категории
[С-ьСсьСь • • •»^•1
у всякого функтора существует правый сопряжённый функтор Р/*. Тогда определены две категории спуска: категория Кегп( [Со, Си..., Р*\) и категория С.т комодулей над комопадой Т на категории Со, определённой парой сопряжённых функторов Р* и Р*. Определение последней категории в данном случае имеет следующий вид (здесь Р*: С-1 —» Со обозначает функтор, связанный с отображением 0 —» {0}, а е и 77 - канонические морфизмы сопряжения).
11
Определение 1.2.2 (определение 2.3.1). Объекты С.т - это пары (Т7*,/г.), где
Л £р
Р € ОЬСо, а к: Р—>Р4Р*Р - морфизм, дли которого композиция Р —> Р*Р+.Р —► F тождественна, а диаграмма
Р-----------^—-р*р,р
Л |я*Рл
р*р,р р'пр-е - р*р.р*р,р
коммутативна. Морфизмы из (2*1, Д1) в (2*2,/&г) в категории С.т - это морфизмы /: ^ —► Р2 в Со такие, что )г2 о / = Р4Р*/ о Н\.
Предположим, что естественные морфизмы функторов в [С_ 1, С0,..., Р4], играющие роль морфизмов замены базы, суть изоморфизмы.
Предложение 1.2.3 (предложение 2.3.2). Категории Кегп([Со,С1,... , Р.*]) и
С.т эквивалентны.
Этот факт позволяет использовать результаты теории комонад для изучения “привычных” данных спуска, в частности, при работе с эквивариантными пучками.
В параграфах 3.1 и 3.2 главы 3 для удобства читателя размещены предварительные сведения. Параграф 3.1 содержит необходимые факты о триангулированных категориях, полуортогональных разложениях, допустимых подкатегориях, исключительных наборах, компактных объектах, системах объектов, порождающих категории. В параграфе 3.2 изложены сведения о производных категориях пучков на схемах и стеках, категориях совершенных комплексов.
Параграф 3.3 - центральный в главе 3. В нём исследуется вопрос о том, когда для накрытия стеков р: X —» £ производная категория £ восстанавливается по производной категории X методами теории спуска. Рассмотрим косимплициальную категорию с аугментацией
[©(5),ЩХ),Ъ(Х х51),Р(1хДхД),.,ЬрЦ
образованную неограниченными производными категориями квазикогерентных пучков и функторами обратного образа между ними, и соответствующую
12
категорию спуска
V{X)/p = Kern[D(X),V(X xs X),V(X ><s X xs X),...,Lpl].
В силу предложения 2.3.2 категория Kern['D(X),...] эквивалентна категории комодулей над комонадой на Т>(Х), определённой парой сопряжённых функторов (Lp*,Rp*). При помощи следствий 2.2.10 и 2.2.11 доказан следующий результат:
Теорема 1.2.4 (теорема 3.3.3). Неограниченная производная категория 'D(S) эквивалентна категории спуска V{X)/p в том и только том случае, когда естественный морфием Os —► Rp+Ox отщепляется прямым слагаемым. В случае выполнения этих условий имеются эквивалентности для ограниченных производных категорий когерентных пучков £>6(coh(S)) = T>b(coh(X))/p и категорий совершенных комплексов X>5>erf(5) = Т>р (Х)/р.
В го же время, из наличия эквивалентности в теории спуска для ограниченных производных категорий не следует расщепимость морфизма Os —» Rp*Ox и эквивалентность для неограниченных производных категорий. Контрпример - покрытие аффинной прямой двумя нетривиальными открытыми подмножествами, см. пример 3.4.9.
Свойство морфизма Os Rp*Ox быть отщепимым названо свойством SCDT (strictly cohomological descent type). Как показывает теорема 3.3.3, это свойство морфизма схем или стеков р: X —» S является важным, и заслуживает' отдельного изучения. В параграфе 3.4 формулируются простейшие свойства морфизмов, им обладающих. Свойство SCDT эквивалентно строгости функтора обратного образа Ьр* на неограниченной производной категории. Морфизмы, обладающие свойством SCDT, замкнуты относительно композиции и замены базы, они отражаются при SCDT-замене базы. Показано, что конечные плоские морфизмы, а также морфизмы, обладающие плоским квазисечением, обладают этим свойством.
В главе 4 обсуждаются скрученные эквивариантные пучки и устанавливается описание объектов производной категории эквивариантных пучков на схеме в терминах теории спуска.
13