Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 5
Глава I. Нелокальные начально-краевые задачи для дифференциально-разностного уравнения диффузии с распределенным запаздыванием и дробной производной 23
§ 1. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения дробной диффузии с распределенным запаздыванием.................................. 23
1.1. Постановка задачи. Единственность решения. . . 23
1.2. Задача Коши для обыкновенного дифференциаль-
ного уравнения дробного порядка с распределенным запаздыванием............................ 26
1.3. Существование решения задачи 1.1............... 37
§ 2. Задача Коши для дифференциально-разностного уравнения переноса с дробной производной по времени и распределены ым запаздыванием................................. 44
§ 3. Начально-краевая задача для уравнения переноса с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени на полуоси...................................... 56
Глава II. Начально-краевые нелокальные задачи для диффузионно-волнового уравнения с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием 60
- 3 -
§ 4. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным запаздыванием и вырождением на отрезке.................................... 60
§ 5. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием и вырожднием на прямой...................... 74
5.1. Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным запаздыванием и функциональное соотношение..................................... 75
5.2. Задача Коши для волнового уравнения с сосредоточенным запаздыванием и функциональное соотношение............................................. 78
5.3. Существование и единственность решения задачи 2.2.............................................. 87
§ 6. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием и вырождением на полупрямой................. 89
Глава III. Аналоги нелокальных начально-краевых задач Геллерстсдта для диффузионно-волновых уравнений дробного порядка по времени с распределенным и сосредоточенным отклонением аргументов. 94
§ 7. Аналог задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени, с опережаюше-запаздываюшим отклонением пространственной переменной................... 94
7.1. Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным и сосредоточенным запаздыванием. Функциональное соотношение.................... 96
- 4 -
7.2. Задача Коши для волнового уравнения с сосредоточенным отклонением аргумента опережающе-запаздывающего типа. Функциональное соотношение................................................. 98
7.3. Существование и единственность решении задачи 3.1............................................... 103
§ 8. Аналог задачи Геллерстедта для дробного
дифференциально-разностною диффузионно-волнового уравнения с распределенным запаздыванием,
оиережаклце-запаздывающими аргументами и отражением............................................... 105
8.1. Задача Коши для уравнения дробной диффузии с распределенным и сосредоточенным запаздыванием по временной и пространственной переменным. Функциональное соотношение............... 106
8.2. Задача Коши для волнового уравнения с опережающим аргументом и отражением.................... 111
8.3. Существование и единственность решения задачи 3.4............................................... 122
ЛИТЕРАТУРА
125
5
ВВЕДЕНИЕ.
Актуальность темы.
Многие задачи трансзвуковой газовой динамики, гидродинамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, моделирования процессов излучения лазера, теории плазмы и другие важные проблемы естествознания моделируются при помощи уравнений смешанного типа. К этому классу уравнений принадлежит впервые рассматриваемое в диссертации уравнение смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием по обеим переменным, опережением и отражением вида
о о
иХх{х,у) - uvv(x,y) -/ЗгЯ(х - т)д(х - т,у)--72Я([х| - т)и{х- rsgnx,2/)-
- h)u(-x,y + h), y< 0.
В уравнении (0.1) D$yu(x,t) оператор дробного интегродиффе-ренцирования (в смысле Римана-Лиувилля), 0 < т, h = const, Д, т 0i, Si = const, (i = 1,2), Я(£) - функция Хевисайда, Я,(<), /?3(£,£) -ограниченные функции (г = 1,2), и(х,у) - неизвестная функция.
Теория уравнений смешанного типа берет начало от фундаментальных исследований Ф. Трикоми [103]. Наряду с трудами Ф. Три-коми, базу теории заложили работы С. Геллерстепта [119] и Ф. И. Франкля [104], поставившие и изучившие краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Дальнейшее развитие теории уравнений сметанного типа связано с именами К.И. Бабенко [17], И. Н. Векуа (24], А. В. Впцадзе [21]. Их работы дали основополагающие результаты
нхг(х, у) - + 0\Н{у - h)u(x -т,у- h)+
о
о
Т
h
(0.1)
- б -
при решении задам трансзвуковой газовой динамики, гидродинамики, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака.
В работах В.Ф. Волкодавова [26], В.М. Жегалова [35]-[37], Т.Ш. Кальменова [52], Е.И. Моисеева [59]-[61], А.М. Нахушева [68], С.М. Пономарева [74]—[75] С.П. Пулькина [79]—[81], JI.C. Пулькиной [82]—[83], O.A. Репина [86]—[89], К.Б. Сабитова [90], М.М. Смирнова [96]—[98], А.П. Солдатова [99]—[100], и других математиков теория уравнений смешанного типа развивалась в различных направлениях.
Самостоятельный интерес представляют процессы, будущее развитие которых зависит не только от настоящего, но и существенно определяется всей предысторией развития. Математическое описание указанных процессов может быть осуществлено при помощи дифференциальных уравнений смешанного типа с отклонениями различных видов, называемыми также уравнениями с отклоняющимся аргументом или функционально-дифференциальными уравнениями, к которым относится рассматриваемое в диссертации уравнение (0.1).
Основополагающий вклад в развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнепий с отклоняющимся аргументом, внесли
Н. В. Азбелев [1], H. Н. Красовский [55], А. Д. Мышкис [65]—
[66], С. Б. Норкин [71], Л. Е. Эльсгольц [10б]~[107], Э. Пинни [73], R. Bellman, К. L. Cooke [20], J. К. Hale [105], [115], K. Gopalsamy [113], Y. Kuang [118], J. Wu [129] и многие другие математики.
Нелокальные начально-краевые задачи для дифференциально-разностных эллиптических, параболических и гиперболических уравнений исследовали A.A. Андреев [12]—[14], А.Б. Антоневнч [15], И.М. Гуль [32], А. Б. Муравник [62]-[64], А.Б. Нсрсесян [70], A.B. Разгулин [84], A. JI. Скубачевский [23], [94]—[95].
Теория нелокальных задач для дифференциально-разностных урав-
- 7 -
нений смешанного типа впервые рассматривалась в работах А.Н. Зарубина [38]—[48]. Так, в монографии ’47] изучаются краевые задачи для уравнений имеющих некарлемаяовский сдвиг аргумента. В статье [44] исследуется краевая задача для уравнения с распределенным запаздыванием, описывающего вероятностные и кумулятивные эффекты в модели, которая в противном случае была бы детерминированной.
В работах А. А. Андреева [12]—[14] и его учеников [72], [92]—[93] исследовались краевые задачи для уравнений смешанного типа с ин-волютивным (карлемановекпм) отклонением.
В настоящее время внимание исследователей обращено к развитию методов решения краевых задач для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка, которые, являясь обобщением уравнений целочисленного порядка, помимо огромного теоретического значения имеют довольно широкое практическое применение
[67], [122], [91].
В работах А.Н. Кочубея [56]—[57] было найдено решение задачи Коши для уравнения диффузии дробного порядка с регуляризованной дробной производной.
Применение уравнении фрактальной диффузии к теории электролитов и в описании автоколебательных процессов исследовалось Я. JI. Ко-бслевым [53]—[54].
В монографии А.М. Нахушева [67] были рассмотрены свойства операторов дробного интегро-дифференцирования и их применение к задачам математической биологии и физики, а также при математическом моделировании различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой. Им же в 1972 г. был впервые получен принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования порядка а < 1.
Теория применения преобразования Лапласа для решения урав-
- 8 -
нений с дробной производной была развита словацким математиком
I. Podlubny [123]. Им же в работе 124] была дана физическая интерпретация начальных условий для уравнений с дробной производной.
В монографии A.B. Псху [78] рассмотрены краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка. Получены решения краевых задач для уравнений с частными производными ниже первого порядка. Для диффузионного и волнового уравнений дробного порядка найдены функции Грина основных краевых задач. Получены условия типа Тихонова для диффузионно-волнового уравнения дробного порядка и для уравнения с частными производными ниже первого порядка.
В работах С.Х. Геккиевой [27]-[29] исследованы краевые задачи для уравнений смешанного типа с оператором дробной диффузии [28] [29] в одной из частей смешанной области, доказаны теоремы существования и единственности решений аналогов задачи Трикоми в канонических областях.
О. А. Репиным [86]—[89] рассматривались задачи для уравнений смешанного типа с дробными производными и интегралами в начальных условиях.
Полученные результаты находят приложения в моделировании процессов автоматического регулирования [125], в механике [120], различных технологических процессах [108], теории вязкоупругости [110], [128], биологии [69], [31], [109], [129], медицине [127], химии [122], математической психологии [111]: [112] и в других отраслях знаний.
Тем не менее, следует отметить, что, несмотря на достаточно большое количество работ, посвященных изучению как уравнений с отклоняющимся аргументом, так и уравнений с дробными производными, теория уравнений смешанного типа с Д1х>бными производными и от-
9
клоняющимся аргументом находится в начале своего развития.
Наиболее близкими в этом направлении являются работы А. Н. Зарубина [45]—[46, и Е. А. Зарубина [49]—[51], где были впервые рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного типа с дробной производной и сосредоточенным запаздыванием.
Центральным моментом настоящей работы является рассмотрение ранее не исследовавшихся уравнений смешанного типа с дробной производной. распределенным и сосредоточенным отклонением аргументов опережающе-запаздывающего вида.
Отсутствие исследований по начально-краевым задачам для уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием по обоим аргументам, отклонением опережающе-запаздывающего типа и отражением, а также важные прикладные возможности этих уравнений при математическом моделировании процессов экономики [121], математематической биологии [31], [109], нелинейной оптики [85], подтверждает актуальность темы диссертации.
Цель работы - исследование разрешимости новых нелокальных начально-краевых задач для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием, рассматриваемых в неограниченных областях, содержащих внутри себя линию изменения типа.
Для обоснования корректности впервые поставленных задач необходимо доказательство теорем существования и единственности классических решений, что определяет структуру работы и содержание глав.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории интегральных уравнений Вольтерра, аппарат специальных
10 -
функций, дифференциальных и дифферепциальпо-разностных уравнений, как обыкновенных, так и в частных нроизводных, интегральные преобразования, метод вспомогательных функций (метод паЬс”). метод Фурье разделения переменных.
Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми в актуальной проблеме теории дифференциально-разностных уравнений в частных производных проблеме решения нелокальных задач для уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием, а также впервые рассмотренного в данной работе уравнения с отражением по пространственной и опережением по временной переменным.
Основные результаты, выносимые на защиту:
1. Решение начально-краевых задач для уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в неограниченных областях. Доказательство теорем существования и единственности решения.
2. Доказательство теорем существования и единственности решения аналога задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа с дробной производной и распределенным запаздыванием по времени, с опережающе-запаздывающим отклонением пространственной переменной в неограниченной области.
3. Решение аналога задачи Геллерстедта для дробного дифференциально-разностного диффузионно-волнового уравнения с распределенным запаздыванием, опережающе-заиаздываюшими аргументами и отражением. Доказательство теорем существования и единственности.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит тс-
11
оретнческий характер. Полученные результаты могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории нелокальных задач для дифференциально-разностных уравнений и систем дифференциально-разностных уравнений смешанного типа с дробной производной, распределенным и сосредоточенным запаздыванием в областях изменения типа уравнений.
Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных результатов к исследованию различных физических и биологических смешанных процессов, в частности, в теории диффузии в пористых материалах, в нелинейной оптике, в изучении колебания кристаллической решетки, в теории популяций и др.
Апробация работы
Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на:
- ежегодных Всероссийских конференциях ’’Математическое моделирование и краевые задачи” (2006 2007гг.) СамГТУ, г. Самара.
- второй Всероссийской конференции ’’СамДифф” (2007г.) СГУ, г. Самара.
- научном семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений в 2003-2007 гг. Орел, ОГУ. (руководитель д. ф-м. н., профессор Зарубин А. Н.)
- Третьей международной конференции ’’Нелокальные задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики” (2006 г.), г. Нальчик.
- Двенадцатой международной конференции ’’Mathematical Modelling and Analysis” (2007 г.), Литва, Тракай.
- Международной конференции ’’Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения” (2007 г.) НГУ, г. Новосибирск.
- 12
По материалам диссертации опубликовано 10 научных статей и тезисов докладов [2]-[11].
Содержание диссертации по главам.
Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка.
В первой главе исследуются начально-краевые задачи для дифференциально-разностного уравнения (0.1) при у > 0 (& = 0, 71 = 1, вх = 0,6у= 0)
А
vu{x,t) - ихх{х,у) = J R(Ov(x,y-t)dt (0.2)
О
4-00
В § 1 в области D = \J £>*,
fc=0
Dk = {(*,!/) : 0 < х < r\kh < у < (k + l)h),
где (0 < Л,т = const), рассматривается
Задача 1.1. Найти в области D решение и(х,у) уравнения (0.2) из класса D^lu(x,t) € C(D), D^u{x,t), игх(х,у) € C(D), удовлетворяющее начально-краевым условиям
lim Dfy'1u(x,i) — ш{х), 0 < х < т,
ц(х,у) = 0, (х,у) € £>(-1),
и(0, у) = и(т, у) = 0, 0 < у < +00,
где а>(х) - заданная непрерывная, достаточно гладкая функция, причем м(0) = и>(т) = 0.
Доказаны ______
+30
Теорема 1.1. Однородная задача 1.1. имеет в области D = |J Dk
k=о
тривиальное решение.