Оглавление
Введение 4
0.1. Временные средние точки и меры.......................................... 4
0/2. Динамические системы с комплексным временем............................. б
1. Временные средние: пример Боуэна 9
1.1. Введение. Пример Боуэна и БИВ-меры...................................... 9
1.1.1. Описание примера Боуэна.......................................... 9
1.1.2. Постановка задачи .............................................. 10
1.1.3. Связь с ЭЛВ-мерами.............................................. 11
1.2. Формулировка теоремы об отсутствии предела............................. 11
1.3. Обозначения, определения и вспомогательные утверждения................. 12
1.4. Формулировки основных результатов ..................................... 15
1.5. Доказательства основных утверждений ................................... 16
1.6. Доказательства вспомогательных утверждений............................. 18
2. Пример отсутствия временных средних коразмерности 2 — 0 23
2.1. Коразмерность динамической системы..................................... 23
2/2. Описание потока Черри.................................................. 24
2.2.1. Поток Черри - пример нетривиачьного квазиминимального множества 24
2.2.2. Двойной поток Черри: различные фазовые портреты ................ 26
2.3. Формулировка результатов .............................................. 32
2.4. Доказательство основных утверждений ................................... 33
2.4.1. Параметризация.................................................. 33
2.4.2. Основная идея................................................... 40
2.4.3. Доказательство отсутствия временных средних точек............... 42
I
I
2
3
2.4.4. Доказательство отсутствия временных средних меры................. 44
3. Аналитические слоения 50
3.1. Резюме.................................................................. 50
3.2. Введение ............................................................... 50
3.3. Бесконечность числа цилиндрических слоев для типичного аналитического слоения в С2................................................................. 52
3.3.1. Формулировка результата.......................................... 52
3.3.2. Построение плотного множества с сепаратрисной связкой и вспомогательные леммы......................................................... 53
3.3.3. Существование счетного числа гомологически независимых предельных циклов.............................................................. 54
3.3.4. Группа монодромии седловой связки слоения ....................... 54
3.4. Минимальность и эргодичность типичного аналитического слоения С2 . . 57
3.4.1. Формулировка результата.......................................... 57
3.4.2. План доказательства: идея конструкции............................ 57
3.4.3. Обозначения и определения........................................ 58
3.4.4. Вспомогательная конструкция (“черный ящик”) ..................... 60
3.4.5. Устойчивая минимальность в компактной области при наличии верного ящика” ............................................................ 61
3.4.6. Открытое и плотное множество слоений с ^черным ящиком” .... 62
3.4.7. Построение искомого остаточного множества........................ 65
3.4.8. Доказательства технических лемм ................................. 66
Введение
Настоящая диссертация посвящена исследованию предельного поведения динамических систем с вещественным и комплексным временем.
Главы 1 и 2 посвящены изучению предельного поведения динамических систем с вещественным непрерывным временем, а именно, вопросу существования временных средних для типичной точки и для типичной меры.
Глава 3 посвящена изучению предельного поведения динамических систем с комплексным временем, а именно,типичным свойствам аналитических векторных полей с комплексным временем и заданных ими слоений.
0.1. Временные средние точки и меры.
Первыми из утверждений, описывающих временные средние индивидуальных точек и мер, вероятно, следует считать теорему Биркгофа-Хинчина, утверждающую, что предел временных средних для почти любой точки по эргодической инвариантной мере совпадает с этой мерой, и теорему Крылова-Боголюбова, которая гласит, что любая предельная точка временных средних любой меры является инвариантной мерой. В случае наличия абсолютно непрерывной инвариантной меры (скажем, в случае гамильтоновой динамики или для растягивающего отображения) эти же утверждения описывают и пределы временных средних типичных в смысле меры Лебега точек и временных средних абсолютно непрерывных мер.
Однако, часто динамическая система априори не обладает инвариантной мерой, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега. Тем не менее, из физических соображений для таких систем естественным является именно постановка вопроса про асимптотическое поведение типичной в смысле меры Лебега точки.
Исследования этого вопроса были начаты Я. Г. Синаем [35], Д. Рюэллсм [34] и Р. Бо-
4
5
узном [52], и положили начало понятию вЯВ-меры. Грубо говоря, 8И.В-меры — это инвариантные меры, наблюдаемые в продолжающемся долгое время реальном физическом эксперименте.
Существует несколько различных (и не эквивалентных!) определений ЭКВ-меры, из которых мы упомянем два. Естественной называется мера, к которой сходятся временные средние .побои абсолютно непрерывной (относительно лебеговой) меры. Наблюдаемой называется мера, в соответствии с которой распределены траектории почти всех (в смысле меры Лебега) точек. Точные определения могут быть найдены, к примеру, в обзоре [4] (см. также работы [25, 13, 48]). Там же показано, что наблюдаемая мера одновременно оказывается и естественной, однако обратное, вообше говоря, неверно (см. [26], [20]).
Пример Боуэна был приведен в [10] как первый пример динамической системы, для которой отсутствуют временные средние индивидуальных точек — иными словами, как пример отсутствия наблюдаемой ЗКВ-меры. Однако отсюда, как уже было сказано выше, не следует, что не сходится последовательность временных средних меры Лебега, иными словами, что отсутствуют естественные ЙВВ-меры. Глава 1 настоящей работы как раз и доказывает это последнее утверждение: в примере Боуэна естественной меры также нет.
Этот результат, как и результат следующей главы, является продвижением в направлении обозначенном противоположными по духу гипотезами Д. Рюэлля и Ж. Палиса:
Гипотеза 0.1.1 (Д. Рюэлль). Существует открытая область в пространстве, гладких динамических систем, для. типичной системы из которой для почти всех, точек не существует временных средних.
Гипотеза 0.1.2 (Ж. Палис). Для типичной гладкой системы существуют временные средние почти всех (в смысле меры Лебега) начальных точек.
(Впрочем, следует отметить, что эти две гипотезы не являются формаяьно противоречащими друг другу из-за различных использованных определений типичности: Д. Рюэлль опирается на топологическую — принадлежность остаточному' множеству,— а Ж. Палис на метрическую — множество параметров пашой меры.)
Пример Боуэна имеет коразмерность 2 в пространстве векторных полей: для него
6
требуется наличие двух сепаратрисных связок, поэтому в типичном двупараметрическом семействе ему соответствуют изолированные значения параметров.
Исследуя векторные поля на торе, автор) установил, что можно слегка уменьшить коразмерность такого примера.
Для этого в главе 2 мы переходим к рассмотрению потоков Черри. Поток Черри был введён Т. Черри в работе [43] (см. также [42]) как пример потока на двумерной поверхности с квазиминимальным множеством канторового типа. А. Пуанкаре в работе [32] поставил вопрос о том, может ли гладкое векторное поле на двумерной поверхности иметь минимальное множество канторового типа, и отрицательный ответ на этот вопрос был получен А. Данжуа в его работе [12]. Соответственно, потоки Черри остаются наилучшим приближением к тому, что интересовало Пуанкаре.
Исследование потоков на двумерных поверхностях затем было продолжено многими авторами, и к настоящему моменту эта область хорошо исследована. Обзор известных результатов о классификации таких потоков приведен в обзоре С. X. Арансона и В. 3. Гринеса [1].
В главе 2, рассматривая потоки Черри с двумя ячейками, мы строим пример коразмерности 2-0 систем с отсутствием временных средних типичных точек и мер. ‘‘Коразмерность 2 - 0” здесь означает, что в типичном двупараметрическом семействе этому примеру соответствует Канторово множество параметров, увы, нулевой Хаусдорфовой размерности.
0.2. Динамические системы с комплексным временем
Глава 3 посвяшена изучению динамических систем с комплексным временем на комплексной плоскости С2. В этой главе мы рассматриваем векторные поля:
{
* = 5(Х'У) (0.2.1) У = У),
где /, д € О (С2), и функции / и д не имеют обшей гиперповерхности нулей. Они задают слоение с особенностями комплексной плоскости на аналитические кривые.
Исследование полиномиальных векторных полей с комплексным временем фиксированной степени восходит к 16-ой проблеме Гильберта и было начато в 1950-70-ых годах в
- Київ+380960830922