Бирациональная жесткость, факториальность и расслоения на эллиптические кривые

Содержание
Введение. 2
Часть 1. Бирациональная жесткость. 9
1.1. Локальные неравенства. 9
1.2. Гиперповерхности малых степеней. 15
1.3. Пересечение квадрики и квартики. 16
1.4. Двойные и тройные накрытия. 18
1.5. Модальная пятимерная секстика. 20
1.6. Циклические тройные пространства 21
Часть 2. Факториальность. 28
2.1. Двойные пространства. 28
2.2. Гиперповерхности. 43
2.3. Полные пересечения. 46
Часть 3. Взвешенные гиперповерхности. 51
3.1. Конструкции эллиптических структур. 51
3.2. Случай единственной эллиптической структуры. 62
3.3. Классификация эллиптических структур. 117
3.4. Бирациональные автоморфизмы. 140
Часть 4. Вспомогательный материал. 149
Приложение А. Подвижные лог-пары. 149
Приложение В. Неравенства Нетера-Фано-Исковских. 155
Приложение С. Лог-присоединение и связность. 157
Приложение D. Расслоения на кубические поверхности. 171
Приложение Е. Многообразия Рида-Флетчера. 178
Список литературы 181
Введение.
Настоящая работа посвящена следующим тесно связанным между собой темам:
• бирациональная жесткость многообразий Фано1 степени о, 6, 7 и 8;
• новый метод доказательства Q-факториальности2 трехмерных многообразий;
• бирацпональная геометрия взвешенных гиперповерхностей.
Бирациональная жестхость.
Проблема рациональности3 алгебраических многообразий является одной из наиболее глубоких и интересных проблем алгебраической геометрии. Глобальные голоморфные дифференциальные формы являются естественными бирациональными инвариантами неособого многообразия, которые полностью решают проблему рациональности алгебраических кривых и поверхностей. В трехмерном случае существуют нерациональные многообразия, которые очень близки к рациональным, и имеющихся дискретных инвариантов не хватает дчя доказательства нерациональности. В работе [16| был доказан следующий результат.
Теорема 0.1. Пусть V — неособая трехмерная квартана в F1. Тогда Bir(V) = Aut(V').
Значит, неособые квартики n F1 нерациональны4, откуда следует отрицательное решение проблемы Люрота5 в размерности 3. Например, можно показать, что квартика
х4 + xw6 + у4 - 6yV + z4 4-14 + t3w = О С Proj (С[х,у, г, t, ад]) 2 Р4
унирациопальна, неособа и нерациональна по теореме 0.1. Любая унирациональная алгебраическая кривая или поверхность является рациональной.
Известно четыре способа доказательства нерациональности рационально связных много-образий15 (см. [93], [65], [36], [125|, [14]), но только метод работы [16] применим для доказательства нерациональности конкретного рационально связного многообразия размерности больше трех. Отметим, что для доказательства нерациональности конкретного многообразия размерности три помимо метода работы [16] применим также методы промежуточного якобиана (см. [93], [36]) и группы Брауэра (см. [65], ]94|, [139]). Однако, за единственным исключением двойного накрытия Р3 с ветвлением в кпартике (см. [37], [38], [39], [40]), метод промежуточного якобиана применим только в случае существования на трехмерном многообразии структуры расслоения на коники, а метод группы Брауэра может быть эффективно применим только к трехмерным мно1-ообразиям, представимым в виде расслоения на коники с несвязным дивизором ветвления. С другой стороны, применение метода вырождения часто дает очень эффективный способ доказательства нерациональности общего многообразия в заданном семействе (см. [36], [68], [125], [128], [56] и приложение D).
Как стало видно из методов работы [16], бирациональная геометрия неособой трехмерной квартики напоминает геометрию многообразий общего типа7. Позднее оказалось, что нсособая трехмерная квартика является далеко не единственным многообразием, которое обладает подобными свойствами. Теперь такие многообразия стало принятым называть би-рп.ц\мтои\ъпо жесткими многообразиями.
Рассматриваемые многообразия считаются проективными, нормальными и определенными над С. Многообразия с обильным аитиканоническим дивизором называются многообразиями Фако.
■^Многообразие принято называть Q-факториальным если некоторая ненулевая кратность каждого дивизора Вейля на нем является дивюором Картье.
•^Многообразие V рационально, если поле его рациональных функций изоморфно полю С(х15... ,хп), что эквивалентно существованию бирациональиого отображения р : ?” — ♦ V.
'’В условиях и обозначениях теоремы 0.1, линейная система |CV*(l)|v| инвариантна относительно действия группы AutfV7), поскольку -Kv Следовательно, группа Aut(V) состоит из проективных
автоморфизмов, откуда следует ее конечность (см. (131), (140)). Таким образом, группа Bir(V') конечна, откуда следуег, что квартика V нерациональна, поскольку группа Bir(PJ), очевидно, бесконечна.
5Проблема Люрота в размерности л состоит в следующем: верно ли, что существуют существуют нерациональные, но унирациональные многообразия размерности п? Напомним, что многообразие V у ни рационально. если существует доминантное рациональное отображение р : Pn --»V.
Многообразие называется рационально связным, если через любые две точки на нем проходит рациональная кривая (см. (129), |126)). Например, унирациональиое многообразие рационально связно.
' Многообразие X есть многообразие общего типа, если |{Х)) = dim(X) для п;» 0.
2
Определение 0.2. Пусть X — многообразие Фапо, имеющее терминальные и О-фактори-альные особенности, такое что гкРм(ЛГ) = 1. Тогда X называется бирационально жестким, если выполнены следующие условия:
• многообразие X не может быть бирационально перестроено в многообразие У, такое что существует расслоение т : У - где <Шп(У) > сНт(£) ф 0, а общий слой расслоения г имеет размерность Кодаиры равную -оо;
• многообразие X не бирационально многообразию Фало с '{^-факториал ьиыми тер-минальными особенностями и группой Пикара ранга 1, которое неизоморфно X.
Таким образом, трехмерное неособое многообразие Фано с группой Пикара Ъ является бирационально жестким в том и только в том случае, когда оно не может быть бирационально перестроено в расслоения на рациональные кризые или поверхности, а также ни в какое трехмерное многообразие Фано с терминальными '^'-факториальными особенностями, чья группа Пикара имеет ранг 1. Бирационально жесткие многообразия Фано нерациональны8.
Определение 0.3. Бирационально жесткое многообразие Фано X, имеющее терминальные и ф-факториальные особенностями, такое что гкРю(Х) = 1, называется бирационально свсрхжсстким, если Вй-(Х) = Ащ(Х)
Из работы [16] следует, что неособая трехмерная квартика является бирационально сверхжестким многообразием Фано. Более того, оказалось, что методы работы [16] могут быть применены для доказательства биращюнальной жесткости или бирационэльной сверхжест-кости многомерных многообразий Фано, имеющих небольшую степень9, но даже при небольшом увеличении степени сложность соответствующего доказательства диспропорционально увеличивается. Например, в работе [141] получен следующий результат.
Теорема 0.4. Неособая четырехмерная квинтика в Р"5 бирациопальую сверхжестка.
Все известные способы доказательства биращюнальной жесткости или бирациоиальной сверх жесткости многообразий Фано являются комбинациями применения определенных локальных неравенств и глобальной проективной техники. Причем, чем слабее используемое при доказательстве биращюнальной жесткости локальное неравенство, тем сильнее должна быть соответствующая проективная техника*0. Например, глубокие свойства проективной геометрии трехмерной особой квартики были использованы в работе [26) для доказательства следующего естественного обобщения теоремы 0.1.
Теорема 0.5. Пусть X — достаточно общая трехмерная квартика в Т4, имеющая одну обыкновенмро двойную особую точку. Тогда X бщшциона.хьно жестко.
С другой стороны, в работе [96] было найдено новое локальное неравенство, связывающее канонические пороги трехмерных подвижных лог-пар в окрестности обыкновенной двойной ТОЧКИ и кратности соответствующих ПОДВИЖНЫХ линейных систем, С ПОМОЩЬЮ К0Т01ЮГ0 в работе [132] было дано очень простое доказательство следующего обобщения теоремы 0.5.
Теорема 0.6. Пусть X — нодальная11 трехмерная квартика в 1Р4, имеющая Т^-факторгх-альные особенности,2. Тогда X является бирационально жесткой.
8Вирацнональную жесткость можно определить для многообразий Фано, определенных над произвольным нолем. Можно показать, что существуют бирационально жесткие поверхности дель Пеццо над алгебраически незамкнутым полем (см. [Я], (13))- А именно, в работах (19) и (20) доказана бирациональная жесткость неособых поверхностей дель Пеццо с группой Пикара 2, имеющих степень 1, 2 и 3, которые определены над произвольным алгебраически незамкнутым совершенным полем. В частности, минимальные гладкие кубические поверхности бирационально эквивалентны тогда и только тогда когда они проактивно эквивалентны.
’’Степенью хоюгообразня Фано V называется число {~Ку)п, где и = 11ип(У). Из классификации неособых трехмерных многообразий Фано следует, что нессобое трехмерное многообразие Фано степени больше чем 24 рационально (см. (114)), а проективное пространство Р3 имеет наибольшую степень среди неособых трехмерных мно1-собразий Фано.
^При доказательстве теоремы 0.4 в работе [141] использовано то же локальное неравенство (см. теорему 4.45), что и в [10] при доказательстве теоремы 0-1, но первое доказательство сложнее чем последнее.
11 Многообразие нодально, если ею особенности суть обыкновенные двойные точки.
*2Можно показать, что трехмерная нодальная квартика. имеющая не более 8 обыкновенных двойных точек, всегда имеет 0-с|>акториальные особенности (см. замечание 2.47).
3
Без условия О-факториалыюсти утверждение теоремы 0.6 не верно, поскольку общая детерминантальная трехмерная квартика нодальна и рациональна. Аналогичные примеры комбинации локальных и глобальных методов для доказательства бирациональной жесткости многообразий Фано можно привести в любой размерности. Однако, при при увеличении размерности и использовании слабых локальных неравенств от рассматриваемого многообразия Фано часто требуется удовлетворения определенных условий общности для успешного применения глобальных проективных методов, что не позволяет строить конкретные примеры бирационачлыю жестких и нерациопальных многообразий Фапо. Например, в работе (142] использована глобальная техника гиперкасательных линейных систем и локальное неравенство, использованное в работе [16] при доказательстве теоремы 0.1, для доказательства бирациональной сверхжесткости достаточно общей гиперповерхности в Р* степени п ^ 6. При этом, не существует ни одного явного примера бирационально жесткой гиперповерхности в Р,п степени п при п > 13.
На текущий момент бирациональная жесткость и сверхжесткость доказана для многих неособых и особых многообразий Фано (см. [11|, [115], (15], (53|). Здесь также следует отме-тить работы [33|, [34], |2б|, |3], [27], |28], (98]. |144|, |31|, [35], |32], |108|, [5], [7], [97], [132].
Факториальность.
Трехмерные нодальные многообразия возникают естественным образом при рассмотрении многих вопросов алгебраической геометрии (см. приложение О). Из утверждения теоремы 0.6 следует, что естественно рассмотреть вопрос о том, как количество особых точек трехмерной нодальной гиперповерхности влияет па условие 'ф-факториальности.
Пусть V — нодальная гиперповерхность в Р4 степени п. Тогда V' является ^-факториаль-ной если и только если С1(У) порождена гиперплоским сечением13. Имеет место следующий результат (см. предложение 3.3 в [103] или теорему 2 в [99]).
Предложение 0.7. Гиперповерхность V является ^-факториальной в том и только в том случае, когда ее особые точки накладывают независимые, линейные условия па гиперповерхности степени 2п - 5 в Р4.
В частности, особенности V являются О-факториальнымн при |8н^(У)] ^ 2п - 4.
Пример 0.8. Пусть гиперповерхность V задана уравнением
хя{х, У> С + У К*, У, С ад) = 0 С Р4 ^ Рго) (С[я, у, 2, *, ад]),
где д и / — общие многочлены степени п - 1. Тогда особенности гиперповерхности V не являются ф-факториальными. Более того, выполнено равенство 8т§(У)| = (71 - I)2.
В работе [90] показано, что каждая неособая поверхность на гиперповерхности V является дивизором Картье при выполнении неравенства |8й^(У)| < (п-1)2. Таким образом, можно высказать следующее предположение, которое доказано в работах [81] и [89] в случае гг ^ 7.
Гипотеза 0.9. Особенности гиперповерхности V явмются О1-факториолъньши при выполнении неравенства 1Бн^(У)| < (п — I)2.
Пусть 7Г : X —» Р3 — двойное накрытие, разветвленное над поверхностью 5 степени 2г, такой что особенности поверхности 5 состоят из изолированных обыкновенных двойных точек, то есть поверхность 5 нодальна. Тогда (£-факториал ьность многообразия X эквивалентна глобальному топологическому условию гк Нь{Х,Ъ) — 1. Можно также показать, что особенности многообразия X являются (^-факториальными в том и только в том случае, когда группа С1(Х) порождена классом х*(Н), где Я — гиперплоскость в Р3.
Пример 0.10. Пусть г = 3, а $ — секстика Барта, (см. [69|), которая задана уравнением
4(А2 - у2)(тУ - г2)(Л2-я2) = £2(1 4*2г)(х2 + у2 + *2 - *2)2 С РгоДС)*, */,*,(]),
где г — ^2^- Тогда X нодально и |8пц5(Х)| = 65, но никакая нодальная секстина в Р3 не может иметь более 65 особых точек (см. [2], [117], [157]). Существует детерминантальная
13Можно показать, что V является Ц-факториальной если и только если гк НфУ.Х) ~ 1 (см. (133)).
4
нодальная квартика У С Р3, имеющая ровно 42 особые точки, такая что диаграмма
У'
р4
Р\
У
13
V
X
Р3
коммутативна (см. [107], [138], пример 2.23), где 7 — проекция из обыкновенной двойной точки квартнки У, а р — бирациональное отображение. Многообразие X рационально, поскольку детерминаитальные квартики рациональны (см. [138]). Трехмерное нодальное многообразие X не является О-факториальным, а » работе [107] показано, что гк Н.\{Х, 2) = 14.
Из теоремы 2.24 следует, что многообразие X нерационально при г = 3, если выполнено равенство гк Н\{Х, 2) = 1. Таким образом, условие О-факториальности накладывает сильное ограничение на бирационапьпую геометрию многообразия X при г — 3. Последнее верно и в общем случае. Например, многообразие X имеет ровно 2|Я,пв^)1 малых разрешений особенностей, которые бирационально перестраиваются друг в друга посредством стандартных флопов (см. [123]), но в ^-факториальном случае все малые разрешения особенностей многообразия X непроективны. Вполне естественно рассмотреть вопрос о том, как количество особых точек многообразия X влияет на выполнение условия ф-факториальности.
Пример 0.11. Предположим, что Б задала уравнением
где ф, Ы и — достаточно общие многочлены степени г. Тогда 5 — нодальная поверхностью степени 2г, многообразие X не является (^-факториальным, но |8пщ(Х}| = (2г - 1)г.
По аналогии с гипотезой 0.9 в работе [79] высказано следующее предположение. Гипотеза 0.13. Пусть |8ш^(Х)| < (2г - 1)г. Тогда X является ^-факториальным.
В работе (113[ было высказано следующее предположение, доказанное там же при г = 3.
Гипотеза 0.14. Пусть |31п§(ЛГ)| ^ (2?' - 1)г+ 1. Тогда X является ^-фактгщтальным в там и только в том случае, когда. 6’ не может быть задано уравнением 0.12 в Р3.
Интересно, что существуют не до конца осознанные связи между вопросом (О-факториальности трехмерных нодальных многообразий и таким классическим результатом проективной геометрии как теорема Кэли-Бахараша (см. [105]). А именно, известно следующее:
• примеры 0.8 и 0.11 могут быть объяснены с помощью теоремы Кэли-Бахараша;
• для доказательства О-факториальности нодальных многообразий в диссертации с помощью теоремы Шокурова об обращении в нуль (см. теорему 4.35) доказывается вспомогательный результат (см. лемму 2.3), из которого следует О-факториаль-ность в некоторых важных случаях (см. предложения 2.4 и 2.40) и который, как оказалось, также является следствием обобщения теоремы Кэли-Бахараша для го-ренштейневых нульмерных подсхем проективных пространств (см. |101 ]);
• утверждения гипотез 0.9 и 0.13 вытекают из следующего хорошо известного гипотетического14 обобщения теоремы Кэли-Бахараша (см. гипотезу 12 в работе [105]).
Гипотеза 0.15. Пусть Г — нульмерная подсхема в Р”; являющаяся подсхемой полного пересечения гиперповерхностей степеней ^ ••• ^ с1п. Предположим, что Г накладывает зависимые линейные условия на гиперповерхности в Р” степени т, что эквивалентно неравенству А1 (2р & 0?п(т)) 0, где Т\- — пучок идеалов подсхемы Г. Тогда
«
г»
ск^(Г) > (т + 2 - (ф - 1)) П Ф
где з € М, такое что - 1) < т + 1 < ££=*-1 (Ф - 1).
14Гипотеза 0.15 доказана только в частных случаях, например, при </; = • ■ • = = 2 и п < 7 (см. (105)).
5
Взвешенные гиперповерхности.
С бирациональной жесткостью связано много интересных задач, одна из которых — классификация бирациональных перестроек бирационалыю жестких многообразий Фаио в расслоения на эллиптические кривые. Во многих случаях последняя задача тесно связана с вопросом нахождения образующих соответствующих групп бирациональных автоморфизмов, что является частью проблемы бирациональной жесткости многообразий Фано. Исторически вопрос нахождения всех бирациональных перестроек в расслоения на эллиптические кривые восходит к работе 18], где было доказано, что любой эллиптический пучок на плоскости может быть бирацпоналыго перестроен в так называемый пучок Альфана, однако для бирационально жестких многообразий Фано часто может быть получен более конкретный результат. Например, следующая теорема доказана в работе |78].
Теорема 0.16. Пусть X — неособая трехмерная квартика в Р1. Предположим, что существует рациональное отображение р : X Р2, такое что нормализация общего слоя расслоения р является эллиптической кривой. Тогда р = а о \}>, где ф — проекция из некоторой прямой в Р4, содержащейся в коартике X, и о € Вйг(Р2).
Пусть X — общая квазигладкая гиперповерхность в Р(1, ах, аг, аз, «4) степени (I — £,=1 а», где «1 < «2 ^ аз < а особенности X терминальны. Тогда X является {^-факториальным многообразием Фано и гкРю(Х) = 1 (см. теорему 3.13 главы XI в [110], [104|, (7б|), а для пятерки (фа1,а2»<*з»л4) имеется 95 возможностей, полученные в |И6) путем компьютерных вычислений. Полнота полученного в работе [116] списка доказана в [118].
Имеет место следующий результат, который был получен в работе [98] и является естественным обобщением теоремы 0.1 и аналогичного результата о поверхностях дель Пеццо, определенных над алгебраически незамкнутым полем, который был доказан в (19].
Теорема 0.17. Риперповсрзтностъ X бирационально жестка.
Пусть п — порядковый номер X в обозначениях приложения Б. Для каждого возможного значения п в работе [98] были явно построены бирациональные инволюции Т\,..., многообразия X, такие что последовательность групп
1 -► Г -> В1г(Х) -* АЩ.(Х) -> 1 точна, где Г — группа, порожденная инволюциями т\,... ,т^. Причем, имеются следующие возможности:
• кп = 5 при п = 7;
• кп = 3 при п е {4.9,17,20,27};
• кп = 2 при п € {5,6,12,13,15,23,25,30,31,33,36,38,40,41,42,44,58,61,68,76};
• Агп = 1 при п € {2,8,16,18,24,26,32,43, 45,46,47,48,54,56,60,65,69,74,79};
• кп = 0 в оставшихся бирационально сверхжестких случаях.
Замечание 0.18. Предположим, что кп > 0 и п {2,7,20,36,60}. Тогда а2 < аз и для каждого бирационалыюго автоморфизма а € Ви(Х) существует коммутативная диаграмма
X----------' > X
I I
4>| I ^
у г
Р(1>аьа2) х- - >Р(1>аьа2),
где х — бирациональное отображение, а у) — естественная проекция. Причем, нормализация общего слоя отображения ф является эллиптической кривой, на которой бирациональные инволюции Т1,..., Ткп действуют отражениями.
Вирациональная геометрия и арифметика алгебраических многообразий тесно связаны между собой (см. [22]). В частности, классификация всех возможных бирациональных перестроек гиперповерхности X в расслоения на эллиптические кривые тесно связана с вопросом потенциальной плотности15 рациональных точек на гиперповерхности X в случае когда
1 Национальные точки многообразия V, определенного над числовым полем Г, потенциально плотны, если существует конечное расширение Г С К полей, такое что ОС-точки многообразия V плотны по Зарискому.
6
гиперповерхность X определена над числовым полем. Последняя задача была рассмотрена для многообразий Фано в работах (71), (72], (111], где был получен следующий результат.
Теорема 0.19. Рациональные, точки -потенциально плотны на гладких трехмерных многообразиях Фано кроме, быть может, двойного накрытия Р3 с ветвлением в секстике.
Возможное исключение в теореме 0.19 возникло из-за того, что двойное накрытие Р3 с ветвлением в гладкой секстике не удалось бирационально перестроить в эллиптическое расслоение. В то же время, в работе [78] было показано, что двойное накрытие Р3 с ветвлением в неособой секстике невозможно бирационально перестроить ни в какое эллиптическое расслоение. Из классификации (см. [114]) следует, что двойное накрытие Р3 с ветвлением в неособой секстике является единственным неособым трехмерным многообразием Фано, которое бирационально не эквивален тно эллиптическому расслоению16.
Полученные результаты.
В настоящей работе получены следующие результаты:
• найдены локальные неравенства, которые позволяют, в частпости, получить общее доказательство бирациональной сверхжесткости следующих многообразий Фано:
- пеособой гиперповерхности степени п в Р" при п € {5,6.7,8};
- нсособого пересечения квадрики и квартики в Р6, не содержащее плоскостей;
- неособого многообразия, которое является двойным накрытием неособой квартики вРс ветвлением в дивизоре степени 8 п - 32, где п. ^ 8;
- многообразия, которое является циклическим тройным накрытием неособой квадрики в ?п с ветвлением в нодалыюм дивизоре степени 3п - 6, где п ^ 9;
- нодальной гиперповерхности в Р6 степени 6;
• получен новый метод доказательства <£-факториальности трехмерных нодальных многообразий, с. помощью которого, в частности, доказывается О-факториальиость следующих трехмерных нодальных многообразий:
- многообразия, полученного как двойное накрытие Р3 с ветвлением в нодальной поверхности степени 2г, имеющей менее (2г - 1)г особых точек17, что доказывает утверждение гипотезы 0.13;
- нодальной гиперповерхности в Р4 степени п, количество особых точек которой не превышает 2(п — 1)2/3;
• для достаточно общей квазигладкой гиперповерхности X с Р(1, а1,а2,аз,а4) степени <1 = Хп-х аг< имеющей терминальные особенности, решены следующие задачи:
- классифицированы все бирациональные перестройки гиперповерхности X в эллиптические расслоения и, в частности, доказана гипотеза 2.5.13 работы [53];
- доказано, что группа Г является свободным произведением бирациональных инволюций 7*1,..., 7>п при кп -ф 3 или п = 20, а в оставшихся случаях Г является фактор-группой свободного произведения инволюций Г1,Т2,тз по единственному соотношению Г10т2от3 = Т30Т2ОТ1, что является непосредственным обобщением аналогичного результата о кубических поверхностях (см. [21], |17|).
Результаты опубликованы в [43], [44], [45], [46], [47], [49], [50], [51], [78], [79], [85].
16В случаях когда гиперповерхность X нельзя бирационально перестроить в расслоение на эллиптическое расслоение (см. теорему 3-3) бирациональная геометрия и арифметика гиперповерхности А' определяется бирациональными перестройками в расслоения на поверхности типа Л'З. Из работы (87) следует, что взвешенная гиперповерхность X всегда может быть бирационально перестроена в расслоение на поверхности типа КЗ. Таким образом, для более глубокого понимания геометрии гиперповерхности X важно рассмотреть вопрос классификации всех возможных бирациональных перестроек гиперповерхности X в расслоения на поверхности типа КЗ. Однако решение последней задачи технически очень сложно и практически возможно только после получения полной классификации бирациональных перестроек в расслоения на эллиптические кривые. Естественно предположить, что во многих случаях гиперповерхность X может быть бирационально перестроена в расслоения на эллиптические кривые и расслоения на поверхности тина КЗ единственным способом (см. предложение 3.4), что должно быть связано с вопросами производных категорий и зеркальной симметрии поверхностей тина КЗ и взвешенных гиперповерхностей (см. (137), (74), (23), (18), (66), (67)).
17Используемые в работе методы позволяют также доказать гипотезу 0.14, однако доказательство гипотезы 0.14 не будет приведено в настоящей работе — с ним можно ознакомится в работе (86).
7
Кроме основных, в диссертации доказан ряд дополнительных достаточно важных результатов. А именно, в диссертации также получены следующие результаты:
• получена точная оценка снизу для лог-канонических порогов лог-пар на неособых гиперповерхностях и получена полная классификация лог-пар неособых гиперповерхностях, имеющих минимально возможный лог-канонический порог;
• доказана бирациональная сверхжесткость и нерациональность (^факториального двойного пространства с ветвлением в модальной секстине для которого также классифицированы все бнрациональные перестройки в эллиптические расслоения;
• найдено чисто геометрическое доказательство теоретико-группового результата работы [17], который отвечает на вопрос, поставленный в книге [21], о характеризации конечных подгрупп группы бирациональных автоморфизмов минимальной кубической поверхности, определенной над совершенным полем;
• классифицированы все бнрациональные перестройки в многообразия Фано с каноническими особенностями достаточно общей трехмерной квартики, имеющей одну двойную точку, которая является обыкновенной двойной точкой;
• доказана бирациональная сверхжесткость нодальных тройных пространств, являющихся многообразиями Фано индекса один, размерности больше трех;
• доказана (З-факториальность нодального полного пересечения в Р5 неособой гиперповерхности степени к и гиперповерхности степени п ^ к, которая имеет не более чем {п + к — 2)(п - 1)/5 особых точек;
• доказана О-факториальность двойного накрытия неособой гиперповерхности в Р4 степени п ^ 2 с ветвлением в нодалыюй поверхности, которая высекается гиперповерхностью степени 2г > п и имеет не более чем (2г + п - 2)г/4 особых точек;
• получен исчерпывающий ответ на вопрос рациональности неособых трехмерных многообразий ранга Пикара два, расслоенных на кубические поверхности, а именно доказана нерациональность общего дивизора V в линейной системе [ЗА/+пЦ на рационально линейчатом многообразии Рго^ф^Ор^ф)), такого что V является неособым многообразием и гк Р1с(Р) = 2, кроме единственного рационального случая <1\ = (1-2 — = (1\ — 0 и п — 1, где п и ф - целые числа, Л/ — тавтологическое
расслоение, а Ь — слой проекции на Р1.
8
Часть 1. Бирациональная жесткость.
1.1. Локальные неравенства.
Пусть X — многообразие, такое что X имеет терминальные и О-факториальные особенности, а О — точка многообразия X, которая является изолированной обыкновенной особой точкой многообразия X, X — линейная система на многообразии А', не имеющая неподвижных компонент, а А — неотрицательное рациональное число, такое что О является центром канонических особенностей подвижной лог-пары18 (А, АХ), а особенности подвижной лог-пары (А, АХ) являются каноническими вне точки О. Пусть а : V —* X — раздутие пучка идеалов точки О, Е — исключительный дивизор морфизма а, а В — собственный прообраз линейной системы X на многообразии V. Тогда выполнено соотношение
В <т*(Х) — тЕ,
где т — положительное рациональное число, которое можно отождествить с кратностью линейной системы X в точке О. Несложно видеть, что т ^ 1/А, если точка О неособа на многообразии X. Более того, можно показать, что из теоремы 4.39 и доказательства следствия 3.5 работы [96] следует следующее утверждение.
Предложение 1.1. Предположим, что сНт(А') = 4, точка О неособа па X, но выполнено неравенство т < 3. Тогда имеет место одно из следующего:
• существует поверхность 5 С Е, такая что 5 € ПХ$(К ХВ + (тА - 2)Е);
• существует прямая Ь С Е = Р3, такая что Ь € ЬС5(1/, А В + (тА - 2 )Е).
Утверждение предложения 1.1 можно уточнить следующим образом.
Предложение 1.2. В предположениях предложения 1.1 предположим, что множество центров лог-канонических особенностей 1Х§(У, ХВ -I- (тА - 2)Е) не содержит поверхностей, которы й содержаться в а - исключительном дивизоре Е, но содержит некоторую прямую Ь С Е._ Пусть 13 : —* V — раздутие прямой Ь, Е — исключительный дивизор
раздутия (3, а Е и Н — собственные прообразы на многообразии IV дивизора Е и линейной системы X соответственно. Тогда выполнено соотношение
И (о-о/?)*(Х) - тЁ — (т + т)Я,
где т — положительное рациональное число, которое можно отождествить с кратностью линейной системы В в достаточно общей точке кривой Ь. Более того, существует неприводимое подмногообразие X С Б, такое что /?(£) — Ь и <Шп(£) ^ 2, но
г € КХ8(и/ АП + (тА - 2)Ё + (тА + тА - 3)^).
Доказательство. Несложно видеть, что требуемое утверждение локально по А, поэтому везде далее можно считать, что X = С4. Рассмотрим общее гиперплоское сечение Я многообразия X, содержащее точку О, такое что кривая В содержится в собственном прообразе дивизора Я на многообразии V. Пусть Т и 5 — собственные прообразы дивизора Я на многообразиях V и IV соответственно. Тогда выполнено соотношение
К\у + ХП + (тА - 2)Ё + (тА + тА - 3)Я (а о 0)* (Кх + АХ + Я), откуда следует, что
Е е 1X8(И' АЯ + (тА - 2)Ё + (тА + тА - 3)Я) <*=> т + т > 4/А.
Итак, для завершения доказательства можно считать, что т + т < 4/А. Требуется доказать существование поверхности 2 С Е, принадлежащей множеству центров лог-канонических особенностей 1Х8(ТУ, АН + (тА - 2)Ё + (тА + тА - 3)Р) и доминирующей Ь.
Пусть Я - достаточно общее гиперплоское сечение многообразия А, которое содержит точку О, а Т и 5 — собственные прообразы дивизора Я на многообразиях V и XV соответственно. Тогда из следствия 4.41 следует, что точка О является центром лог-канонических особенностей подвижной лог-пары (Я, АХ|#), но выполнено соотношение
Ку, + АЯ + (тА - 2)Ё + (тА + тА - 4)Я + § (а о (3)*{КХ + ХМ V Я),
1 ^Свойства лог-пар содержатся и приложениях А и С.
откуда следует, что L€S(5, (\Н 4- (тА - 2)Е 4- (тА 4- тА - 4)/г)|^) ^ 0. Теперь, применяя теорему 4.39 к морфизму о о мы видим, что выполнено одно из следующего
• множество 1X8(5, (АЯ + (тА - 2)Ё 4- (тА + тА - 4)F)|s) состоит из точки, которая содержится в слое морфизма 0\р над точкой Т Г) L;
• множество 1X8(5, (АН 4- (тА - 2)Ё 4- (тА 4- тА - 4)F)|s) содержит кривую, которая содержится в слое морфизма 0\р над точкой Т П L.
Таким образом, из общности выбора дивизора Я следует, что либо множе<ггво центров лог-канонических особенностей LCS(W, АН 4- (тА - 2)Ё 4- (тА 4- тА - 4)F) содержит поверхность, содержащуюся в F и доминирующую кривую L, либо единственным центром лог-канонических особенностей лог-пары (И/ АН 4* (тА - 2)Ё 4- (тА 4- тА - 4)F), который содержится в F и доминирует L, является сечение Р2-расслоения 0\р. Очевидно, что
LCS(PF, АН 4- (тА - 2)F + (тА + тПА - 4)F) С LCS(W, АН 4- (тА - 2)Ё + (тА + тА - 3)F),
откуда немедленно следует, что для завершения доказательства предложения 1.2 мы можем считать, что дивизор F содержит кривую С, обладающую следующими свойствами:
• кривая С является сечением Р^-расслоения 0\р : F —> L;
• кривая С — единственный элемент в LCS( W, АН 4- (гпА - 2)Е 4- (тА 4- тА - 3)F), который содержится в дивизоре F и доминирует кривую L; _
• кривая С — единственный элемент в LCS(W, АН 4- (тА — 2)Е + (тА 4- тА — 4)F), который содержится в дивизоре F и доминирует кривую L.
Из следствия 4.41 следует, что точка О является центром лог-канонических особенностей подвижной лог-пары (Я, АХ|я). С другой стороны, множество центров лог-канонических особенностей LCS(5, (АН 4- (шА - 2)Ё 4- (тА + тА - 3)F|s) не пусто. Теперь из применения теоремы 4.39 к лог-паре (5, (АН 4- (тА - Т)Е 4- (тА + тА - 3)F)|s) и бирациональному морфизму а о /3|s следует, что выполнено одно из следующего:
• множество LCS(5, (АН 4- (тА - 2)Ё 4- (тА 4- тА - 3)F)|s) состоит из одной точки;
• множество LCS(5, (АН -f (mA - 2)Ё 4- (тА 4- тА - 3)F)|s) содержит кривую С. Показано, что либо С С S, либо S П С состоит из одной точки.
По построению L = С = Р1 и F = Proj(Oi(-l) © Op(l) © Ol{ 1)), а также выполнено соотношение 5|ir В 4- D, где В — тавтологическое линейное расслоение на рационально линейчатом многообразии F, а Г) — слой проекции р\р : F —» L = Р1. Более того, легко видеть, что пересечение дивизора -0*(Е) - F с каждой кривой, содержащейся в исключительном дивизоре É. неотрицательно. С другой стороны, выполнено соотношение
(-/T(F)-F)|f~B4-D,
откуда следует, что дивизор -40е (Е) - 4F является численно эффективным и объемным относительно морфизма а о 0, но выполнено соотношение
Kw - 40*(Е) - 4F ~ S - F,
откуда сразу следует, что Hl(Ow(S - F)) = 0 по теореме Каваматы- Фивега об обращении в нуль (см. [321]). Таким образом, естественное отображение ограничения
ii°(ow(s)) - я°(оиад)
сюрьективно, но линейная система |5|fI свободна, откуда следует, что кривая С не содержится в дивизоре S. Таким образом, пересечение S П С состоит из одной точки, откуда следует, что выполнено равенство В • С = 0.
Пусть 1с — пучок идеалов кривой С на F. Тогда R1 г,(Я ® 1с) = 0, где т = 0\р, откуда следует, что сечение С расслоения 0\р индуцирует сюрьсктявное отображение
*:0L(-l)Q0L(l)®0L{l)->0Lj
которое задается матрицей (ах + Ьу, 0,0), где а и h — комплексные числа, ai и у суть однородные координаты на L. Таким образом, отображение л не сюрьективно над точкой кривой L, где линейная форма ах + Ьу обращается в нуль. Противоречие. □
Из предложения 1.2 несложно следует следующий результат.
ю
Теорема 1.3. Предположим, что выполнено неравенство <1іт(Х) ^ 4, а т-очка О неособо на многообразии X. Тогда существует линейное подпространство Ь С Е, имеющее коразмерность 2, такое что выполнено неравенство
(1.4) тиКо(81-82-Н) > 8/Л2,
где 3\ и $2 — достаточно общие дивизоры в линейной системе М, а Я — эффективный дивизор па многообразии X, такой что многообразие Ь содержится в собственном прообразе дивизора Н на многообразии V, дивизор Н пеособ в точке О и не содержит подмногообразий многообразий X, имеющих коразмерности 2, которые содержатся в базисном множестве линейной системы М.
Доказательство. Пусть сИт(Х) = 4. Рассмотрим эффективный дивизор Я на мншхюбра-зии X, содержащий точку О, такой что Н нсособ в точке О и не содержит поверхностей, которые содержатся в базисном множестве линейной системы М. Пусть Т — собственный прообраз дивизора Я на многообразии V. Тогда точка О является центром лог-канонических особенностей подвижной лог-иары (Я, АЛ4|я) по следствию 4.41.
В случае т ^ 3/А доказательство неравенства 1.4 элементарно. Значит, можно считать, что выполнено неравенство т < 3/А, откуда следует существование некоторого собственного подмногообразия Е £ ЕГ)Т, которое является центром лог-канонических особенностей лог-пары (Г, ХВ + (тА - 2)Е\г)■
Предположим, что многообразие 5 является кривой. Пусть 51 и 5’і — собственные прообразы дивизоров 5і и .$2 на многообразии V соответственно. Тогда выполнено неравенства
тиІ(о(5і • 52 ■ Я) ^ т2 + гайки (5і • $2 • Т)у а. из теоремы 4.43 следует, что
тикові • £>2 • Щ ^ т2 + 4(3/А2 - т/А) ^ 8/А2.
Итак, для доказательства неравенство 1.4 мы можем считать, что многообразие 5 является точкой. Из предложения 1.1 следует существование прямой Ь С Е 3 Р3, такой что
Ь є 1Х8(У, А В + (тА -2 )я),
а точка Н является точкой пересечения кривой Ь и дивизора Т. Причем, прямая Ь зависит только от свойств подвижной лог-пары (X, ХМ) и не зависит от выбора дивизора Я.
Допустим, что первоначально дивизор Я был выбран таким образом, что кривая Ь содержится в дивизоре Т. В этом случае, мы можем дословно повторить все предыдущие шаги доказательства. Более того, сделанное предположение раскрывает геометрический смысл предложения 1.2, который состоит в следующем: из условия Ь С Т следует, что
Ь € Е.С§(т, АВІГ + (тА - 2) Е|т),
если множество 1ЬС8(Г, ХВ\т + (тА - 2)Е\т) не содержит других кривых, которые содержатся в пересечении Е ПТ. Теперь, можно дословно повторить предыдущие аргументы в применении к дивизору Я, такому что Ь С Т, и получить неравенство 1.4.
Таким образом, дня завершения доказательства можно считать, что выполнено неравенство <ііш(Х) ^ 5. Мы приведем доказательство неравенства 1.4 только в случае, когда выполнено равенство <ііт(Х) — 5, поскольку в случае сПт(Х) > 5 доказательство неравенства 1.4 абсолютно аналогичное. Итак, пусть <ііт(Х) = 5.
Пусть Я], ІІ2, Яз — достаточно общие гиперплоские сечения многообразия X, проходящие через точку О. Положим У — П?=1Я,. Тогда У — поверхность, точка О неособа на поверхности У и является центром лог-канонических особенностей лог-пары (У, ХМ'у) по следствию 4.41, откуда следует, что множество ЬС5(У,АЯ 4- (тА - 2)Е) содержит подмногообразие Z С Е, такое что <ііш(Е) > 2. Более того, из используемых ранее аргументов, следует, что шиІіо(5’і • • Я) ^ 8/А2, если <1іпі(£) > 3, где Я — эффективный дивизор
на многообразии X, такой что дивизор Я неособ в точке О, дивизор Я не содержит никакого подмногообразия многообразия X коразмерности 2, которое содержится в базисном множестве линейной системы М.
и
Предположим, что dim(Z) = 2. В этом случае, из теоремы 4.39 несложно следует, что поверхность Z является плоскостью в Е. Пусть Д — достаточно общее гиперплоское сечение многообразия X, проходящее через точку О, а Н — произвольный эффективный дивизор на многообразии X, такой что Я неособ в точке О, собственный прообраз дивизора И на многообразии V содержит поверхность Z, дивизор Я не содержит никаких подмногообразий многообразия X, имеющих коразмерности 2, которые содержатся в базисном множестве линейной системы М. Тогда
nmlt0(S, ■ Si Н) > 8/А2 <=* multo(SiU • &|а ' й|й) > 8/А2
в сил\' общности выбора дивизора Д. С другой стороны, из доказанного ранее следует, что выполнено неравенство multo(Si|£ • 5а|д • Я|д) > 8/А2, что и требовалось показать. □
Предположим теперь, что О — изолированная обыкновенная двойная точка многообразия X, но выполнено неравенство dim(X) ^ 5. В этом случае из теоремы 4.46 следует, что выполнено неравенство тп ^ 1/А. Пусть S\ и S2 — достаточно общие дивизоры в линейной системе М, а т' — рациональное число, определяемое равенством
т' = 2m2 -f ^ nmltp(5'i • 62),
Ре д
где §1 и Л — собственные прообразы дивизоров S\ и S2 на V соответственно, а Д — конечное множество, состоящее из точек пересечения Supp(5i • So), дивизора Е и собственного прообраза на многообразии V пересечения dim(X) - 2 общих гиперплоских сечений много-образия X, проходящих через точку О.
Теорема 1.5. Выполнено неравенство т' ^ 6/А2.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай dirn(X) = 6. Тогда Е можно отождествлять с неособой квадрикой в Р6. Более того, можно считать, что т < 2/А, поскольку в противном случае выполнены неравенства т! ^ 8/А2 > 6/А2.
Пусть Н\, IE, Яз — достаточно общие гиперплоские сечения многообразия X, проходящие через точку О. Положим Y = П?в1Я,-. Тогда О — обыкновенная двойная точка на многообразии Y, а из теоремы 7.5 работы [127) следует, что особая точка О является центром лог-канонических особенностей подвижной лог-пары (К, АЛ4|у).
Пусть и — собственный прообраз многообразия Y на многообразии V. Тогда
Ки 4- ХВ\и + (mA — 1)Е|у ~q. (а|у)* (Ку 4- АЛ4|у),
но выполнено соотношение
Kv -4 ХВ 4- (тА - 1)£ 4 Тх+ Т2 + Т3 ~Q, cZ{Kx + ХМ + Я, + Я2 + Я3),
где Г, — собственный прообраз Я, на V. Таким образом, существуют неприводимые подмногообразия П^ЕиЕСПпС/, которые являются центрами лог-канонических особенностей лог-нар (V, ХВ 4- (тА - 1)Е) и (Я, ХВ\ц 4- (тА - 1)Е|ц) соответственно. Можно считать, что мног ообразия П и Е имеют наибольшую размерность из всех многообразий с аналогичными свойствами.
Пусть dirn(E) = 0. Применяя теорему 4.39 к лог-паре {U,XB\u + (mA - 1 )Е\и) и бира-циональному морфизму а\ц, мы видим, что Е = П П U. Значит, многообразие П является линейным подпространством в Р° размерности 3, которое содержится в Е. Противоречие.
Итак, показано, что dim(E) ^ 1, откуда следует, что dim(O) = 4. Теперь из применения теоремы 4.43 к лог-паре (V, А В -f (mA - 1 )Е) в общей точке П следует, что
т’ ^ 2т2 + multp(5’i • 52) ^ 4(2/А2 - т/Х) ^ 6/А2,
что и требовалось показать.
При dim(X) > 6 доказательство требуемого утверждения аналогично приведенному доказательству в случае dim(X) = 6. Можно считать, что dim(X) = 5. Тогда Е можно отождествлять с неособой квадрикой в IP5. Более того, можно считать, что т < 2/Х, поскольку в противном случае неравенство т! > 6/Х2 очевидно.
Пусть Н\ и Я2 — достаточно общие гиперплоские сечения многообразия X, проходящие через точку О. Положим X = Я)ПЯ2 и М — М\%. Тогда О является обыкновенной двойной
12
точкой на Л', а особенности подвижной лог-пары {X. \М) не являются лог-каноническими в точке О по теореме 7.5 работы [127]. Пусть к : V -» X — раздутие точки О, а Ё — исключительный дивизор раздутия 7г. Тогда V можно отождествить с собственным прообразом многообразия X на V. Пусть В — собственный прообраз М на V. Тогда В = В\р и
XV + ХВ + (тпХ - 1 )Е + Н1+ Н2 **(Кх + ХМ + Н: + Я2),
но Ку + ХЁ -4 (тиНо(Л4)/п - 1 )Ё тг*{К$ + АЛЛ). Значит, существуют неприводимые подмногообразия П £ £ и П С Ё такие что й СПП V, а также выполнено следующее:
• лог-пара (V, ХВ + (тЛ - 1 )Е) не лог-канонична в П;
• лог-пары (V. ХВ -4 (тА — 1 )Е) не лог-каноничпа в Й.
Можно считать, что П и П имеют наибольшую размерность среди подмногообразий, об-ладаюпщх аналогичными свойствами. Из используемых ранее аргументов сразу следует требуемое неравенство в случае выполнения неравенства сИт(Й) ^ 1. Таким образом, можно считать, что сНт(П) = 0. Применяя теорему 4.39 к лог-паре {У,ХВ 4 (тА - 1)Ё) и
морфизму тг, мы видим что П — плоскость в Р3. Покажем, что последнее невозможно.
V
Пусть X — достаточно общее гиперплоское сечение многообразия А’, проходящее через точку О, которое локально может быть задано уравнением
ху + хЬ = 0 с С5 = 8рес(С[х,у, Мл*])
в окрестности точки О, которая задана как х^у = г — 1 = и = 0. Тогда особенности многообразия X не являются изолированными, однако мы можем дословно применить все предыдущие аргументы к многообразию А. А именно, пусть V — собственный прообраз многообразия А на многообразии V, а # : V -* X — индуцированный бирациональный морфизм. Тогда
Кр + АЯ + (тА -2)Ё~ъ Г (К# -4 АМ)#),
где & = В\р, а Ё — исключительный дивизор морфизма тт. Причем, дивизор Ё можно отождествить с конусом над поверхностью Р1 х Р1.
Пусть 5* и 5У — эффективные дивизоры Вейля на многообразии А, которые задаются уравнениями я = £ = 0и$/ = £ = 0 соответственно. Тогда дивизоры 5Х и не являются дивизорами 'О1-картье. С другой стороны, дивизор 6Х -4 5У является дивизором Картье и задается уравнением I = 0. Волее того, выполнена эквивалентность
+ А$ -4 (тА - 1)Ё + Нх + Ну Г(К% -4 АА% -4 $х + 8’у),
где Ях и Ну — собственные прообразы дивизоров 5Х и 5У на V соответственно. Тогда
ЬС$(у,\б + (тХ-1)Ё\ =й,
где П = П|^, поскольку ввиду общности выбора многообразия А мы можем дословно применить все предыдущие аргументы к лог-паре (А, ХМ\х + 5Х + 5у). Отметим, что П можно отождествить с прямой на квадратичном конусе Е сР*.
Существует несколько способов разрешить особенности многообразий А и С естественным образом. А именно, рассмотрим коммутативную диаграмму
где мы используем следующие обозначения:
V
• ф — раздутие пучка идеалов кривой х = у = г = 1 = 0;
13
• ах и йу — раздутие пучка идеалов многообразий $х и $у соответственно;
V
• Рх — раздутие исключительной поверхности морфизма ах]
• Д, — раздутие исключительной поверхности морфизма ау\
V V у
• £> Рх, Ру — раздутие слоев морфизмов 0, <*1, Оу над точкой О соответственно;
• ^ — раздутие нучка идеалов собственного прообраза кривой х = у = 2 = £ = 0;
• 7х и 7У — раздутие пучка идеалов многообразий Нх и Ну соответственно;
• 6х — раздутие исключительной поверхности морфизма 7а:;
• Д — раздутие исключительной поверхности морфизма Ту.
Многообразия \¥, 1¥х, 1&у, Й, Йх, йу неособы по построению. Более того, бирациональные
V V V/
морфизмы ах, &у, 7а;, \ являкугся малыми, а также выполнено соотношение т о -ф = фо£. Пусть Р — исключительный дивизор морфизма £. Тогда
^^Р(0Р1хР1 ф С7Р1хР1(1)),
где 0Р1 хрг (1) — пучок, соответствующий гиперплоскому сечению квадрики Р1 хР1 при естественном шюженин в Р3. Индуцированный морфизм является естественной проекцией наР1 хр1, морфизмы г)хо6х\р и являются проекциями на Р1, индуцированные мор-
физмы 5х\р и 5;/\р являются стягиваниями исключительного сечения многообразия Р на кривые, а ф\р является стягиванием исключительного сечения многообразия Р в вершину конуса Ё, где Ё = ф{Р).
Подмногообразие Г> является прямой на конусе Ё С Р4 которая не проходит через вершину конуса Ь\ но (Йх -I- Йу) ■ & = 1. Можно считать, что Йх • & = 0 и Йу • Й = 1.
V V V V V V
Пусть От и /)у — собственные прообразы Нх и Ну на Ру соответственно, а Г — собственный прообраз многообразия О на 0у. Тогда Ё)х • Г = 0 и Ьу - Г = 1. Имеем
К0у 4- XV 4- (гаА - 1)£ 4- Пх 4- Ьу (тг о 7У)* (% 4- \М\% 4- 8Х 4- Д,),
где V и О — собственные прообразы В и Ё на Йу соответствен!!«. Морфизм г)у стягивает дивизор С, а морфизм является Р2-расслоением.
Пусть У — достаточно общий слой морфизма Цу\^. Тогда У П Ёх является прямой на поверхности У = Р2, пересечение Г Г) У является точкой и У П £>у = 0. Таким образом, в окрестности V множество лог-канонических особенностей
ЬС8 (Йу, XV 4- (тпХ - 1)С 4- Дг 4- Д,)
СОСТОИТ ИЗ Г и Ёх> ЧТО противоречит утверждению теоремы 4.39, ПОСКОЛЬКУ ГП Дг = 0. □
Отметим, что из предложения 60 работы [50) и доказательства теоремы 1.5 следует, что неравенство га' > 6/Л2 выполнено в предположении, что <Шп(Х) > 7, но в окрестности точки О многообразие X локально изоморфно гиперповерхности
У3 = 52 х? с Са,т('у)+1 ^ 8рес(С1х1,.. .,хбтХ),у]).
«=1
14
1.2. Гиперповерхности малых степеней.
Пусть X — неособая гиперповерхность в ?к степени к ^ 4. Тогда X — неособое многообразие Фано. группа р1с(Х) порождсиа дивизором 1<х и -1<х ~ <9|*(1)|х-
Теорема 1.6. Пусть к € {5,6,7.8}. Тогда X бирационалъно сверхжестт.
Доказательство. Предположим, что гиперповерхность X С Р* не является бирациональ-но сверхжесткой. Тогда из теоремы 4.23 следует, что существует линейная система М на гиперповерхности X, не имеющая неподвижных компонент, такая что СЗ(Х. ХМ) ф 0, для некоторого положительного рационального числа Л < 1 /гг, где « — натуральное число, такое что выполнено соотношение М — -п1<х-
Пусть Г С X — центр канонических особенностей лог-пары (X, ХМ). Тогда выполнено неравенство тиК/>(Л4) > п, а из предложения 4.15 следует, что Р — точка.
Пусть 7г : V —* X — раздутие точки Р, Е — исключительный дивизор бирационального морфизма 7Г, а и 5г — общие дивизоры в М. Тогда из теоремы 1.3 следует существование линейного подпространства ЬС Е = Р*-2, которое имеет коразмерность 2, такого что
гаи\Ьр($1 • $2 • Я) > 8п2,
где II — гиперплоское сечение гиперповерхности X, такое что Ь содержится в собственном прообразе дивизора Я на многообразии V, дивизор Я неособ в точке О и не содержит подмногообразий многообразий А' коразмерности 2. которые содержатся в базисном множестве линейной системы М.
Рассмотрим линейную систему V, состоящую из таких гиперплоских сечений Н гиперповерхности X, что Ь содержится в собственном ирообразе гиперплоского сечения II на многообразии V. Базисное множестве) линейной системы V состоит из пересечения гиперповерхности X с некоторым линейным подпространством П С коразмерности 3. В частности, если П пе содержится в гиперповерхности X, то выполнены неравенства
8п2 кп2 = 5, • 52 • Я • Нх Я*_4 ^ тиИрф • 52 ■ Я) > 8;г2,
где Я, — достаточно общее гиперплоское сечение гиперповерхности X, проходящее через точку Р. С другой стороны, в случае к 5 гиперповерхность X не может содержать П.
Итак, показано, что X — неособая квинтика в Р5, которая содержит плоскость П, а многообразие Ь является прямой в исключительном дивизоре Е. Пусть У — общее гиперплоское сечение квинтики А, проходящее через точку Р. такое что Ь содержится в собственном прообразе многообразия У на многообразии V. Тогда У — квинтика в 1Р4 с изолированными особенности, которая неособа в точке Р. По построению М\у = В + с*П, где В — линейная система на многообразии У, не имеющая неподвижных компонент, а а — кратность общего дивизора из М в общей точке плоскости П.
Пусть £ : и —* У — раздутие точки Р, Я — исключительный дивизор бирационального морфизма £, а V и Л — собственные прообразы линейной системы В и плоскости Г1 на многообразии Я соответственно. Тогда £ С Л и выполнено соотношение
Кц + ХР + аХА С (Ху + ХВ + оАП) + (2 - АтиНр(Я) - а А )Р,
а многообразие V можно отождествлять с собственным прообразом многообразия У на многообразии V. Из доказательства теоремы 1.3 легко следует, что кривая I принадлежит множеству ИХ$(Я, XV + аАЛ + (АтиИ./>(5 - оА - 2)Я), а из теоремы 4.43 следует, что
ши11р(Я1 • В2) > (тиИ;р(#) — п 4- а)2 4- 8(п - о), где В] и В2 ~ достаточно общие дивизоры в лилейной системе В. С другой стороны, имеем 5п2 - 2па — З«2 — В\ ■ В-2 ■ X ^ тик.р(В1 • В2), где X — общее гиперплоское сечение квинтики У, содержащее точку Р. Показано, что 5п2 - 2по. — За2 > (гпик.р(В) — п + а)2 + 8(п - о), но, как несложно видеть, последнее неравенство противоречиво. □
Отметим, что в случае к = 5 утверждение теоремы 1.6 получено в работе [141].
15