Почти ∆-расслоения

Оглавление
Введение 2
1 Расслоения с многозначными автоморфизмами и инвариантные связности 18
§ 1. Почти А—структуры на главных расслоениях........... 18
1.1. Инвариантные покрытия......................... ]8
1.2. Определение почти Д-структур в терминах
функций перехода............................. 21
1.3. Морфизмы...................................... 22
1.4. Категория почти А-расслосний.................. 25
§ 2. Многозначные действия группы А на пространстве
главного расслоения................................ 27
2.1. Псевдодействие группы А....................... 27
2.2. Многозначные автоморфизмы..................... 28
2.3. Псевдодействия и морфизмы..................... 28
§ 3. (7-связности....................................... 31
2 Построение инвариантов и классификация почти Д-расслоений 42
§ 1. Характеристические классы.......................... 42
§ 2. Расслоения с плоскими связностями и гомоморфизмы
голономии.......................................... 49
1
\
§ 3. Инварианты почти Д-расслоений с плоскими связностями .................................................. 52
§ 4. Классы эквивалентности почти Д-расслоений с плоскими связностями........................................ 53
§ 5. Классификация почти Д-расслоений................... 58
3 Инвариантные расслоения в категории почти Д-расслоений 60
§ 1. Д-расслоения....................................... 60
§ 2. Характеристические классы Д-расслоений в категории К,(В, Тк) Д, К)..................................... 62
§ 3. Инварианты Д-расслоений с плоскими связностями . 71
§ 4. Классы эквивалентности Д-расслоений в категории
/С(£,Т*,Д,Я) ...................................... 73
4 Расслоения с группой многозначных автоморфизмов и гироскопические системы с симметриями. Примеры. 75
§ 1. Связь почти Д-расслоений с гироскопическими системами ................................................... 75
§ 2. Почти Д-расслоения над двумерными базами........... 79
§ 3. Трехмерные почти Д-расслоения...................... 81
Заключение 92
Литература
94
Введение
Пусть В - гладкое многообразие, g - риманова или псевдоримано-ва метрика, F - замкнутая 2-форма на В и и : В —У Е - гладкая функция. Тогда четверку Г = (В, g, F, и) называют гироскопической системой. Как показано С.П. Новиковым [13], анализ ряда задач математической физики приводит к рассмотрению гироскопических систем с многозначным функционалом действия. Если индекс иррациональности формы гироскопических сил F такой системы конечен, то преодолеть некоторые из возникающих трудностей удается с помощью главного расслоения £, для которого базой является конфигурационное многообразие Б, а структурной группой - тор Тк. Тесная связь таких главных расслоений и гироскопических систем описана в работах М.П. Харламова [23], Я.Л. Шапиро, В.А. Игошина, Е.И. Яковлева [10], [30] - [34], С.В. Болотина [4], подобные конструкции рассматривались Б.Н. Шапуковым[29].
Предположим, что интересующая нас гироскопическая система обладает конечной группой симметрий Д, то есть инвариантна относительно некоторого действия R : В X Д —> В. Настоящая работа посвящена построению и исследованию категории расслоений, ассоциированных с такими системами. Мы называем такие расслоения почти Д-расслосниями. Показано, что в этом случае группа Д оказывается группой многозначных автоморфизмов для расслоения, т.е. действие Я поднимается на тотальное пространство многозначным образом. Таким образом, рассматриваемая задача связана с вопросом о поднятии действия группы с базы расслоения на его пространство, - см., например, работу Т.Е. Stewart [39].
Характеристическим свойством расслоений с многозначными автоморфизмами является то, что они обладают инвариантными связностями. Исследованием инвариантных св513ностей относительно
3
однозначных автоморфизмов занимались, например, Н.С. Wang [40], K. Nomizu [11].
В диссертации почти Д-расслоения исследованы вплоть до классификации. В связи с этим отметим, что классификация главных расслоений со структурной группой Т1 была получена Sh. Kobayashi [35]. Ассоциированные с ними комплексные векторные расслоения исследовались в работе K. Kodaira. D.S. Spenser [36](см. также [25]).
В [34] Е.И. Яковлевым с несколько иной точки зрения рассматривались почти Д-расслоения, для которых действие группы Д на базе В свободно. В этой ситуации пространство орбит В/Д является гладким многообразием, а фактор-отображение и : В —> В/Д - регулярным накрытием. Если р : Е —» В - проекция расслоения £, то V о р : Е —у В/А - проекция локально-тривиального расслоения со стандартным слоем Д х Тк и многозначными функциями перехода со значениями в той же группе Д х Тк. Такие расслоения названы в [34] почти главными.
В данной работе действие группы Д на В предполагается произвольным, что существенно расширяет множество объектов изучаемой категории. Кроме того, инварианты почти Д-расслоений здесь строятся в терминах гомологий базы В, а не пространства орбит В/А как в [34].
Целыо работы является решение следующих задач:
1) построение категории /С(В, Тк, Д, R) главных расслоений с базой В) абелевой структурной группой Тк\ ассоциированных с гироскопическими системами, обладающими конечной группой преобразований (Д,Л), а также содержательных примеров таких расслоений;
2) нахождение инвариантов объектов категории /С(В,Тк, А, 11);
3) классификация почти Д-расслоений с заданными базой В, структурной группой Тк и действием R конечной группы Д на В\
4
4) поиск условий, при выполнении которых класс эквивалентности почти Д-расслоений содержит обычное Д-расслоение.
Методы исследования. Использованы методы дифференциальной геометрии, топологии многообразий, алгебраической топологии и теории компактных групп преобразований.
Научная новизна.
1. Построена категория почти Д-расслоений, т.с. главных расслоений со структурной группой Т*, обладающих конечной группой Д многозначных автоморфизмов. Показано, что инвариантность гироскопической системы Г = (В, д, Е, и) относительно конечной группы преобразований Д равносильна существованию почти Д-структуры на ассоциированном с Г главном расслоении и инвариантности соответствующей Г римановой метрики на тотальном пространстве Е относительно многозначного действия группы Д. Построены содержательные примеры почти Д-расслоений.
2. Получена классификация почти Д-расслоений с фиксированной базой В, структурной группой Тк и заданным действием Я группы Д на В, т.с. найдены инварианты в терминах некоторых групп гомологий и когомологий базы В, с их помощью вычислена группа В(В, Тк, Д, Я) классов эквивалентности.
3. Выяснено, при каких условиях на инварианты почти Д-расслоение эквивалентно в данной категории обычному Д-расслоению. В результате найдена подгруппа ВВ(В,Тк, Д, Я) группы Б(В,Тк, Д, Я), каждый элемент которой содержит Д-расслоение. Па конкретных примерах показано, что в общей ситуации £#(£?, Тк, Д, Я) - собственная подгруппа группы В(В, Тк, Д, Я).
Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях расслоений, для изучения систем с гироскопическими силами, а также в учебном процессе.
Апробация. Описанные результаты были обнародованы на международной конференции "Колмогоров и современная математика" (2003г.), на международной молодежной наз'чной школе-конференции "Лобачевские чтения" (2002г., 2003г.), на научном семинаре кафедры теории относительности и гравитации КГУ (рук. А.В.Аминова), на международной летней школе-семинаре по теоретической и математической физике "Волга"(2001г., 2002г.), на семинаре кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук.
Н.И.Жукова и 15.И.Яковлев), на семинаре кафедры геометрии КГУ (рук. Б.Н.Шапуков), на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ (рук. А.Т.Фоменко).
Публикации и вклад автора. Результаты диссертации опубликованы в работах [42]-[49]. В совместных статьях [42],|44],[47], [49) научному руководителю Е.И.Яковлеву принадлежит постановка задачи, идеи некоторых конструкций и общее руководство работой. Все теоремы и их доказательства получены автором диссертации.
Краткое содержание работы.
Во введении обосновываются актуальность темы диссертации и ее научная новизна, определяются цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации.
В первой главе определяются почти Д-расслоения и их морфизмы, строятся многозначные автоморфизмы, иссле;очотся инвариантные связности. В частности, доказывается, что существование инвариантных связностей является их характеристическим свойством.
Пусть £ - гладкое главное расслоение с проекцией р : Е В и структурной группой Тк = (Ш/%)к. Рассмотрим конечную группу Д и правое действие Я : В х Д —у В.
Определение 1. Допустим, что открытое покрытие £7 обладает свойствами:
б
(1) существует ассоциированный с Ы атлас А(1А) расслоения £;
(2) 11б{и) = и для всех и € К и 8 € А.
Тогда Ы мы будем называть (£, А)-покрытием.
Выберем карты £и,£у £ А(М), для которых У Г\1/ ф 0 и функцию перехода : У П С/ —> Тк от & к £у. Определим отображение т^и : и ПУ —> Тк формулой
Тви — &и ° Кб - £уи- (1)
Определение 2. Пусть с!.тУи = 0 для всех Н, V £ Ы и 5 £ Д. Тогда А(Ц) будет называться почти А-атласом. Два таких атласа эквивалентны, если их объединение тоже является почти Д-атласом. Если А - класс эквивалентности почти Д-атласа А(Ы), то пару Р = (£ > Л) назовем почти А-расслоением.
Рассмотрим главные расслоения £ и £' с проекциями р : Е —> В и р' : Е' —> В и структурной группой Тк, а также гладкое отображение / : Е Е' со свойствами: р = р' о / и /(и • £) = /(и) • £ для всех V € Е и £ 6 Т*. Тогда /:£—>■ £' морфизм над 27 Допустим, что расслоения £ и £'' обладают почти Д-структурами Л и Л'. Выберем атласы Д(7/) £ Д, Д'(7/) £ Д' и множества И, У £ 22, У П С/ Ф 0. Имеется функция перехода Суц : РПС/ —► 2* от карты к карте при морфизме /. Определим гладкое отображение : У 011 -> Т*, полагая
= (уи ° Ез - Ск(7» (2)
Определение 3. Если с/сг)7^ = 0 для всех £ А(Ы), £ А’(1А)
и 8 £ Д, то / назовем морфизмом почти А-расслоений р — (£, Д) и
Далее мы будем считать фиксированными многообразие В, группы 7*, Д и действие Я: В х А —> В, а также полагать (? = Д х Д.
Совокупность почти Д-расслоений над 2? со структурной группой
Т^* и их морфизмов образует категорию /С(5, Т;:, Д, Л). Множество
7