Метод редукции: инвариантные поляризации и би-пуассоновы структуры на пространствах инвариантных функций

Оглавление
Введение 5
1 Кэлеровы структуры на кокасательных расслоениях симметрических пространств 34
1 £-инвариантные кэлеровы структуры на Т(С/К) .... 34
1.1 Поляризации.................................... 34
1.2 С -инвариантные комплексные структуры.......... 35
2 С -инвариантные кэлеровы структуры на касательных расслоениях римановых симметрических пространств............... 40
2.1 С -инвариантные комплексные структуры на касательных расслоениях симметрических пространств 40
2.2 Потенциальные функции............................ 44
3 Кэлеровы структуры на областях касательных расслоений симметрических пространств, инвариантные относительно нормализованного геодезического потока...................... 47
3.1 Алгебраическое уравнение......................... 47
4 (7-инвариантные метрически согласованные комплексные
структуры на Т(й/К) ................................... 56
4.1 Основная лемма. ................................ 56
4.2 Адаптированные комплексные структуры наТ(б?/К). 59
5 Инвариантные кэлеровы структуры и тензор кривизны симметрического пространства................................... 63
5.1 Кэлеровы структуры и локальные диффеоморфизмы 63
5.2 Каноническая кэлерова структура и локальные диффеоморфизмы ............................................ 65
5.3 Тензор кривизны проективной плоскости Кэли ... 67
6 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях касательных расслоений симметрических пространств
ранга один............................................. 75
6.1 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариант-
ных областях В в касательных расслоениях пространств
50(п + 1)/50(п) и 5О0(1,п)/5О(п) (п > 2) . . . 77
2
з
6.2 К -эквивариантные отображения................... 80
6.3 Нормирование.................................... 84
6.4 Основная лемма.................................. 87
6.5 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях £> 88
7 Редукция ............................................. 91
7.1 Редукция и поляризации.......................... 91
7.2 Редуцированные кэлеровы структуры на ТСРП и
ТЕРп............................................... 93
7.3 Редукция и адаптированные структуры................. 98
Инвариантные гиперкэлеровы структуры на кокасатель-
ных расслоениях эрмитовых симметрических пространств 99
1 Антиком мутирующие комплексные структуры.................. 99
2 Инвариантные кэлеровы структуры на эрмитовых симметрических пространствах .................................... 102
2.1 (2 -инвариантные кэлеровы структуры («/(Р), £2) . . 102
2.2 Гиперкомплексные структуры на касательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств . 104
2.3 Гиперкэлеровы структуры на касательных расслоениях эрмитовых симме'грических пространств ... 106
3 Гиперкэлеровы структуры на неприводимых эрмитовых симметрических пространствах...................................110
3.1 Системы корней эрмитовых симметрических пространств ..............................................111
3.2 Инвариантные отображения и корневые системы эрмитовых симметрических пространств.....................113
3.3 Основная теорема....................................122
3 Инвариантные поляризации и частичные плоские связ-
ности 136
1 Продолжение частичных плоских связностей..............136
1.1 Предварительные сведения...........................136
1.2 Дифференцирования..................................137
1.3 Плоские частичные связности и их продолжения. . 141
2 Структура гильбертова пространства на пространстве обобщенных сечений 149
2.1 Строю допустимые поляризации.......................149
2.2 Структура гильбертова пространства.................153
2.3 Гильбертово пространство...........................161
і
4
3 Гамильтоновы системы осцилляторного типа: инвариантные поляризации и их применение в геометрическом квантовании .....................................................163
3.1 Обобщенный п -мерный осциллятор: инвариантные поляризации и структуры Коши-Римана.............163
3.2 Многомерная система Кеплера: инвариантная поляризация и ее применение в геометрическом квантовании .................................................175
3.3 Система МЮ-Кеплера: инвариантная поляризация
и ее применение в геометрическом квантовании . . 187
4 Пуассоновы алгебры G-инвариантных функций
на T"(G/K) 200
1 Каноническая структура Пуассона на T*(G/K): структура алгебры G-инвариантных функций и действие подгрупп Бореля на однородном пространстве СР/К^.................'. . 200
1.1 Отображение момента и гамильтоново действие . . 200
1.2 Пары редуктивных алгебр Ли........................204
1.3 Пары редуктивных алгебраических алгебр Ли ... 215
1.4 Канони ческая пуассонова структура и по чти-сфери ческие
однородные пространства...........................217
1.5 Действия подгрупп Бореля на однородных пространствах редуктивных алгебраических групп Ли .... 219
1.6 Почти сферические подалгебры простых алгебр Ли 225
2 Инвариантные би-пуассоновы структуры uaT*{G/K), пространство G-инвариантных функций и редукция .................231
2.1 Основные обозначение и определения................232
2.2 Би-пуассоновы структуры {//(а)} на Т*М 234
3 Редукция.................................................240
3.1 Би-пуассонова структура {т?(шо)} в явных формулах240
3.2 Би-пуассоновы структуры {77* (ujo)} ■ максимальные
инволютивные семейства функций....................246
3.3 Би-пуассонова структура {т)1(шо)}: редукция. . . . 252
3.4 Интегрируемые геодезические потоки................253
Литература 256
Введение
Основным объектом исследования в работе являются комплексные й-инвариантные поляризации ^ на кокасательных расслоениях Т*{С/К) редуктивных однородных пространств С/К редуктивных групп Ли С и пуассоновы алгебры С-инвариантных функций на ТЯ(С1/К). Среди поляризаций мы особо выделяем два типа:
(1) положительно определенные поляризации, т.е. кэлеровы структуры;
(2) поляризации, содержащие некоторую структуру Коши-Римана коразмерности два.
Основные применения в данной работе эти структуры имеют в теории геометрического квантования Костанта-Сурио. Основным методом, который используется в работе, есть метод редукции. С его помощью и ввиду инвариантности решение уравнений в частных производных, описывающих эти поляризации, сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений и к решению задач теории полупростых групп и алгебр Ли. Развитые в работе методы применены также к описанию инвариантных гиперкэлеровых структур на областях касательных расслоений эрмитовых симметрических пространств.
Группы симметрии и их свойства лежат в основе и квантовой и классической механики. Метод редукции первоначально возник как метод классической механики, позволяющий свести исходную (гамильтонову) динамическую систему на фазовом пространстве (X, , при наличии у
нее коммутирующего семейства интегралов, к системе с меньшим числом степеней свободы. Позже этот метод (гамильтоновой редукции) был обобщен В.И. Арнольдом, Дж. Марсденом и А. Вейнстейном (см. [Арн79] и [М\\'74] ) на случай, когда динамическая система допускает и неком-
5
мутативную группу симметрий 5 (метод симилектической редукции). Было введено понятие отображения момента J : X —► в* со значениями в дуальном пространстве алгебры Ли группы Ли 5. Основное свойство этого отображения, используемое нами, - это эквивариантность относительно действия группы Ли 5, приводящая к каноничности отображения момента Л как отображения пуассоновых многообразий. В данной работе мы остановимся на обобщениях метода симплектической редукции, связанных со структурами геометрического квантования (поляризациями и кэлеровыми структурами, линейными расслоениями со связностями и частичными плоскими связностями) и с би-пуассоновыми структурами. Метод редукции был применен к кэлеровым структурам на кокасательных расслоениях В. Гийемином и С. Стернбергом [0382] в связи с задачами геометрического квантования, потом обобщен на более широкие классы кэлеровых (комплексных) многообразий (см., например, П. Хайнцнер, А. Хаклберри и Ф. Лоос [ННЬ94]). Метод редукции был применен в теории геометрического квантования и к вещественным поляризациям, к металинейным и к метаплектическим структурам, связанных с соответствующими расслоениями реперов М. Готе [Got86], А. Снятицким [БшвО, Бш83], М. Путой [Р1й84, Р^93], Дж. Раунсли и П. Робинсоном [Ш189]. Н. Хитчин и др. применили метод редукции к ги-перкэлеровым структурам [Н^87] (см. также Н. Хитчин [НШ)1], Р. Беляв-ски [В1е97, В1е99], С. Дональдсон роп88], О. Бикар |В’щ9б)) как в конечномерном так и в бесконечномерном случае. Эффективное применение отображения момента к действиям алгебраических групп на неприводимых алгебраических многообразиях было найдено Ф. Кирван [К1г84], а потом использовано и другими в этой же области: М. Брионом [Вп87Ь] для задач сферических (торических) вложений алгебраических многообразий, Ф. Кноппом |Кпо90| для введения понятия группы Вейля действия алгебраической группы на неприводимом алгебраическом многообразии X и эквивариантной теории компактификации X. Идеи этих алгебраических применений мы используем эффективно в четвертой главе диссертации.
7
Таким образом мы можем с уверенностью сказать, что метод редукции является одним из наиболее широко используемых методов построения геометрических и алгебраических структур, исходя из таких же структур на более простых многообразиях X. Факт усложнения описания этих структур на редуцированном многообразии \х е 5*,
С 5 неоспорим. Поэтому естественно описывать такие структуры не на редуцированном многообразии, а на многообразии С А, где
их описание намного проще как из-за простоты геометрии пространства так и из-за простоты описания структуры на Л_1(ц). Таким образом получается метод исследования, обратный методу редукции:
исходя из изучаемых структур на многообразии
как исходном многообразии, найти соответствующую группу
•Г1
симметрий S и многообразие X и изучать соответствующие -инвариантные структуры на многообразии Л_1(д).
Полезность метода (*) состоит еще и в том, что на многообразии Л_1(м) зачастую существуют глобальные структуры, которые не проектируются на 3~l(fi)/S^ так как не являются -инвариантными, но могут быть использованы для исследования других, проектируемых структур. Этот метод мы повсюдно применяем в диссертационной работе. Он был хорошо известен и ранее. М.А. Олыианецкий и А.М. Переломов [ОП76] с помощью этого метода в гамильтоновой механике исследовали динамику движения гамильтоновых систем, Д. Каждан, Б. Костант, С. Стернберг [KKS78] исследовали динамику движения частиц: на прямой - под действием обратного квадратного потенциала, на окружности - под действием потенциала sin-2.
В работе исследуются геометрические структуры, возникающие в теории геометрического квантования Костанта-Сурио. Наибольшее внимание уделяется исследованию и построению комплексных поляризаций, инвариантных относительно потока гамильтоновой динамической системы на фазовом пространстве (A, ft). С вычислительной точки зрения (для геометрического квантования) наиболее предпочтительным является случай, когда такая комплексная поляризация F оказывается поло-
8
жительно-определенной, т.е. определяет кэлерову структуру на (Х,П) с кэлеровой формой £2. Тогда, в частности, Р П Р = О, т.е. Р - комплексная структура на X. Очевидно, что если динамическая система допускает группу симметрий (7, то естественно требовать такого же свойства инвариантности и от поляризации Р. Существование таких кэлеро-вых поляризаций накладывает различные геометрические ограничения на характер движений динамической системы, так как соответствующий поток порождает однопараметрическую группу би-голоморфных преобразований. коммутирующую с С. Таковым является, например, нормализованный геодезический поток стандартной би-инвариантной метрики на компактных симметрических пространствах ранга один; все траектории этой динамической системы замкнуты и имеют постоянный период. Доказательство этих фактов имеет длинную историю, начавшуюся в 70-х годах. Остановимся на них более подробно.
Пусть М = О/К - симметрическое пространство с полупростой группой Ли С и компактной подгруппой К. Стандартная О-инвариантная риманова метрика gм на С/К определяет геодезический поток с гамильтонианом Н на касательном расслоении X = Т(С/К), рассматриваемом как симилектическое многообразие с симплектической 2-формой П (индуцированной канонической симплектической структурой на ко-касательном расслоении после отождествления этих двух расслоений с помощью метрики).
Комплексные структуры, определенные на выколотом касательном расслоении Т°(С/К) = Т(<2/К) — {нулевое сечение}, естественно возникают как результат геометрических конструкций метода геометрического квантования. Такую структуру J$ для сферы Б* = 50(71 + 1)/50(п) обнаружил Дж. Сурио в работе [8ои74]. Позже Дж. Раунсли (11а\у77а| заметил, что функция длины у/Н является строго плюрисубгармонич-ной относительно упомянутой выше комплексной структуры Js и, таким образом, определяет кэлерову метрику на Т°8П с Г2 как кэлеровой формой. Он также заметил, что Js инвариантна относительно гамильтонова потока Xфункции длины у/Н (нормализованного геодезического потока) и использовал кэлерову структуру (П) для геометрического
9
квантования нормализованного геодезического потока (11а\у77а, Ид\у79Ь).
Впоследствии К. Фурутани и Р. Танака [РТ941 определили кэлеро-ву структуру (75,П) с аналогичными свойствами на выколотых касательных расслоениях комплексного и кватернионного проективных пространств СРп, ИРп, а позже К. Фурутани и С. Йошизава [РУ95] использовали ее для геометрического квантования на Т°(СРп). Только недавно в работе [Риг02] К. Фурутани применил метод геометрического квантования к этой положительно-определенной поляризации на выколотом касательном расслоении к проективному кватернионному пространству Т°(НРП). В работе [1М99] К. Ии и Т. Морикава описали эту структуру на выколотых касательных расслоениях классических компактных симметрических пространств ранга один в терминах геометрических структур, ассоциированных с метрикой gм на М = С/К” (связности Леви-Чевита, ассоциированной с метрикой). В работе [8гб99] Р. Шоке исследовал связь между Js и так называемой адаптированной комплексной структурой 7л на соответствующем касательном расслоении Т(0/К). Он показал, что для всех компактных симметрических пространств ранга один семейство комплексных структур, являющихся образами адаптированной комплексной структуры относительно подходящего семейства диффеоморфизмов, имеет границу и эта граничная комплексная структура совпадает с 75. В работе [БгбЭЭ], кроме всего прочего, Р. Шоке построил структуру (7$, £2) на выколотом касательном расслоении проективной плоскости Кэли СаР2 = F4/Spгn(9). Эту же структуру в других терминах описал К. Фурутани в работе [Риг04], которая вскоре должна выйти из печати; его подход основан на описании Фрейденталя проективной плоскости Кэли.
В диссертационной работе (глава 1) мы, используя методы теории алгебр Ли, описываем все (7-инвариантные кэлеровы структуры (Р, О) (с Ф как кэлеровой формой) на выколотых касательных расслоениях Т°(С/К) римановых симметрических пространств С/К, которые инвариантны относительно нормализованного геодезического потока . Мы показываем, что такие кэлеровы структуры (.Г, £2) существуют только на выколотых касательных расслоениях компактных симметрических
10
пространств ранга один. Они параметризуются одним функциональным параметром - комплекснозначной функцией Л : R* —* С с положительной вещественной частью, причем найденная ранее структура Js соответствует параметру (функции) A(t) = t.
Но, как хорошо известно, T(G/K) = J_1(0)/К, где J : TG —> V -отображение момента, ассоциированное с правым действием группы К на симплектическом многообразии T'G — TG = G х д. Тут д и f -алгебры Ли групп Ли G и К соответственно, д = т0£. Примененный нами метод (*) к многообразию уровня J-1(0) = G х m позволяет нам в главе 1 сделать большее:
(2) описать все G-инвариантные кэлеровы структуры (F, П) на областях симплектических многообразий T(G/K), где G/K - риманово симметрическое пространство ранга один размерности > 3 с полу-простой группой Ли G (необязательно компактной);
(3) показать, что этот класс {(F, П)} кэлеровых структур инвариантен относительно процедуры кэлеровой редукции Гийемина-Стерн-6epra[GS82);
(4) найти Л и-алгебраический метод описания G-инвариантных кэлеровых структур (F,H) на касательных расслоениях симметрических пространств G/K - в терминах гомоморфизмов из алгебры Ли группы Ли С в конечномерную алгебру Ли комплексных векторных полей на J_1(0) = Gxm.
Этот Ли-алгебраический метод оказался эффективным и применительно к другой задаче: описания гиперкэлеровых структур специального вида на T*(G/K), где G/K - эрмитово симметрическое пространство компактного типа полупростой группы Ли G, которое, в частности, является орбитой присоединенного представления G в алгебре Ли g. Касательное пространство T(G/K) ~ T*[G/K) G -эквивариантно диффео-морфно комплексному фактор-многообразию Gc/Kc, благодаря диффеоморфизму Мостова [Mos55b, Mos55a], причем это верно для произвольной компактной подгруппы Ли К С G. Поэтому решенная нами задача является частью более общей задачи - описания гиперкэлеро-
11
вых структур на орбитах присоединенного представления комплексной полупростой группы Ли (3е, инвариантных относительно компактной формы G С Gc.
Напомним, что гиперкэлеровость многообразия X означает наличие на X трех попарно антикоммутирующих комплексных структур Ji, J2, J3 = J1J2 и римановой метрики g, которая является кэлеровой относительно этих трех комплексных структур одновременно. П. Кронхеймер в работе [Кго90а] доказал, что регулярные орбиты Gc = Gc/Kc присоединенного представления полупростой комплексной группы Ли G'c являются гиперкэлеровыми многообразиями, причем
1) эти структуры параметризуются ’’регулярной“ тройкой элементов (ть 72, тз) подалгебры Картана I) компактной алгебры Ли д в том смысле, что этой тройке векторов соответствуют три класса когомологий трех фундаментальных (кэлеровых) форм;
2) если комплексный вектор Т2-ИТ3 регулярен в f)c, то орбита 0е (как вещественное многообразие), снабженная комплексной структурой J\, изоморфна комплексной орбите Ос со стандартной комплексной структурой.
Основная идея доказательства П. Кронхеймера состоит в отождествлении точек орбит присоединенного представления с некоторыми ограниченными решениями уравнений Нама (Nahm’s equations). А.Г. Ковалев [Kov96] обобщил этот результат П. Кронхеймера на все полупростые орбиты полупростых комплексных групп Ли. П. Кронхеймер в следующей своей работе [Кго90Ь| доказал гиперкэлеровость нильпотентных орбит присоединенного представления полупростых комплексных групп Ли. О. Бигар [Biq96] и А.Г. Ковалев в работе [Kov96], упомянутой нами выше, одновременно доказали существование гиперкэлеровых структур на всех орбитах, используя для доказательства подход, связанный с уравнениями Нама. Но как мы уже отмечали выше, полупростые орбиты Gc/Kc диффеоморфны касательному расслоению T(G/K), причем однородное компактное пространство G/К является эрмитовым однородным пространством, т.е. его касательное расслоение наследует
12
некоторую комплексную структуру из Є/К, а, значит, на комплексной орбите Ос уже существуют две существенно различные комплексные структуры: относительно первой, естественной, нулевое сечение Є/К С Т(С/К) является тотально вещественным подмногообразием в Ос ~ Т(Є/К)1 относительно второй многообразие Є/К комплексно. Причем кокасательное (касательное) расслоение Т*(Є/К) является относительно второй структуры голоморфным симплектическим многообразием.
Ситуация, описанная выше, не оставалась незамеченной и рассматривалась разными математиками в более общем случае. Так Ф. Фейх [РеіОІ] доказано, что в некоторой окрестности нулевого сечения М кокасатель-ного расслоения Т*М вещественно-аналитического кэлерова многообразия М существует гиперкэлерова структура, согласованная с каноничной голоморфно-симплектической структурой на Т*М. Этот же результат содержит и более ранняя работа (препринт) Д. Каледина [Ка197].
Но из этих работ нельзя получить явного описания ни тройки комплексных структур І2) ІЗ: ни гиперкэлеровой метрики g. Такое описание для отдельных структур из найденных П. Кронхеймером, А. Ковалевым и О. Бигаром пока что известно только для тех полупростых орбит, которые являются (комплексными) симметрическими пространствами или же для орбит, которые можно приблизить такими ’’симметрическими“ орбитами [ВС98]. Нужно отметить, что все эти структуры глобальны, т.е. определены на всем (ко)касательном расслоении. Мы в главе 2 обобщаем эти результаты, рассматривая не только глобальные О-инвариантные гииеркэлеровы структуры. Чтобы перейти к описанию этих структур, конкретизируем задачу.
Пусть Є/К - неприводимое эрмитово симметрическое пространство компактного типа с однородной метрикой gм. Так как Є/К - однородное комплексное многообразие, то его кокасательное расслоение Т*(С/К) имеет естественную комплексную структуру. Используя метрику gм мы можем отождествить кокасательное и касательное расслоения и таким образом получим комплексную структуру на Т(С/К), относительно которой нулевое сечение Є/К С Т(Є/К) комплексно. Эта комплексная
13
структура J~, как нетрудно проверить, отлична от стандартной комплексной структуры J+ на T(G/K), индуцированной исходной комплексной структурой на G/К. С другой стороны, кокасательное расслоение T*(G/K) cz T(G/K) является симплектическим многообразием с канонической симплектической формой Q. В главе 2 явно описаны все G-инвариантные кэлеровы структуры (J, Q) (с кэлеровой формой Q) на G-инвариантных областях D С T(G/K) антикоммутирующие с комплексной структурой J~ . Фактически каждая полученная гиперком-плексная структура вместе с соответствующей метрикой g определяет гиперкэлерову структуру на D.
Если область D содержит нулевое сечение М = G/К, то ограничение гиперкэлеровой метрики g на М есть данная однородная метрика gM с точностью до постоянного множителя (можно сделать этот множитель равным 1, используя для отождествления T*(G/K) и T(G/K) однородную метрику на G/К пропорциональную к gM )* Такие глобальные гиперкэлеровы структуры были построены: в работе [Виг86], используя твистор-метод и шаг за шагом классификацию симметрических пространств; в работе [Biq96], используя уравнения Нама, и в [DS97] (для пространств классических групп), используя деформацию так называемой адаптированной комплексной структуры на T(G/K). В работе [BG96] О. Бигар и П. Гадюшон нашли явную формулу для этих гиперкэлеровых метрик в терминах некоторых оператор-функций Р : m —> End(m) на пространстве m ~ T0(G/K), о = {К} . Там же они доказали, что для метрики Киллинга gM на G/К существует единственная гиперкэлерова метрика g на всем T(G/K), совпадающая с gM на G/К с T(G/K) и такая, что J\ = J~, а фундаментальная (кэлерова) форма кэлеровой структуры (J-2,g) совпадает с канонической 2-формой Q. Эти гиперкэлеровы структуры являются глобальными. Наши дополнительные гиперкэлеровы структуры не определены на нулевом сечении М = G/К. Так что мы не можем говорить об ограничении соответствующих гиперкэлеровых метрик на нулевое сечение G/К как в работе [BG96]. Тем не менее, полученные нами в главе 2 выражения для Р и потенциальных функций, обобщают соответствующие формулы ра-
14
бот [ВС96, Вв98].
Отметим также, что все цитированные выше авторы [0897, ЕЮ96, ВС98| для доказательств используют один и тот же стандартный геометрический прием: работают на многообразии Т(С/К) с разложением векторного расслоения Т(Т(С/К)) в суму горизонтальной и вертикальной составляющих, индуцированным связностью Леви-Чивита на С/К. Мы же существенно упрощаем все вычисления, решая уравнения в частных производных, работая на тривиальном векторном расслоении Схт. которое является поверхностью уровня Л_1(0) отображения момента 3, и используя естественное однородное разложение векторного расслоения Т(£ хт)~Схдхтхт, обычное для теории алгебр Ли. Как приложение, в главе 2 получено новое простое доказательство хорошо известной теоремы Хариш-Чандры-Мура об ограниченных системах корней эрмитовых симметрических пространств, а также описание этих корневых систем в терминах, адекватных поставленной задаче о ги-перкэлеровых структурах. Отметим, что теорема Хариш-Чандры-Мура достаточно груба, чтобы быть использованной для решения этой задачи в случае локальных гиперкэлеровых структур, в то время как для описания глобальных структур она являлась основным инструментом в доказательстве О. Вигара и П. Гадюшона [ВС96].
В последние три десятилетия использование дифференциально-геометрических методов в математической физике постоянно возрастало. Возможно наиболее интенсивно развивались геометрические теории связанные с симплектической (или пуассоновой) формулировкой классической механики и с проблемами квантования. Так как основатели квантовой теории, к сожалению, не дали формального определения квантования, то параллельно возникло много геометрических, функционально-геометричеких и алгебраических теорий квантования. Среди них следует упомянуть геометрическое квантование (Дж. Сурио [8ои70], Б. Ко-стант [Коз70]), деформационное квантование (см. [Bat89, В-878, Рес19б]), асимптотическое квантование (М. Карасев, В. Маслов [КМ84]). Теория геометрического кван тования стремительно развивалась до конца девяностых годов и наиболее значительные приложения она нашла в постро-
15
ении геометрических реализаций неприводимых унитарных представлений групп, встречающихся в физике. Нужно отметить, что эта сторона теории тесно примыкает к методу орбит Кириллова [Кир74]. В главе 3 работы рассмотрен мегод геометрического квантования Костанта-Сурио применительно к динамическим системам классической механики. Предгильбертово пространство И', конструируемое с помощью этого метода, состоит из F-горизонтальных сечений некоторого линейного расслоения; т.е. сечений, которые ковариантно постоянны вдоль векторных полей комплексной поляризации .Р. Причем, чтобы нроквантовать заданную гамильтонову систему, необходимо, чтобы ее гамильтоново векторное поле сохраняло эту поляризацию. В противном случае квантовый оператор, действующий в пространстве всех сечений, не сохраняет подпространство V!. Чтобы обойти это препятствие, было построено множество модификаций теории геометрического квантования. Среди них укажем только две модификации, наиболее употребляемые в статьях: Чижа-Гесса [Сгу77, Нез811 (вообще не использующей понятие поляризации) и использующую метаплектические структуры (см. Гийемин-Стернберг [ГС81], Робинсон-Раунсли [Ш189]). В главе 3 мы предлагаем метод, который позволяет находить инвариантные поляризации относительно гамильтонова потока X/ с функцией Гамильтона / на сим-плектическом многообразии (X, П). Метод состоит в следующем: мы рассматриваем поверхности уровня Ха = {х £ X : /(х) = о} гамильтониана / и ищем согласованные вложения многообразий Ха в модельное симплектическое многообразие Т*5£дг такие, что орбитам (траекториям) потока Х/|Ха соответствуют в <^°(Ха) орбиты гамильтонова потока некоторого гармонического осциллятора на Т*КЛ (здесь 2Ы > сНтХ). Так как гамильтонов поток гармонического осциллятора допускает существование инвариантной комплексной структуры, то последняя определяет стандартным образом, при ограничении на подмногообразие </?а(Х°) С , структуру Коши-Римана, а, значит, и
структуру Коши-Римана <2“, С)а С) С}а = 0 на Ха. Необходимо, чтобы полученное таким образом одно параметрическое семейство (Xя, <2°) вместе с гамильтоновым векторным полем X/ порождало поляризацию
16
Т7, на (X, П). Ее инвариантность относительно потока X/ следует из конструкции. Хотя, казалось бы, условие орбитного изоморфизма с однопараметрическим семейством гармонических осцилляторов довольно жестко, но это условие выполнено для некоторых гамильтоновых систем. для которых инвариантная поляризация другим методом не была построена. Таковыми гамильтоновыми системами, как показано в главе 3 работы, являются многомерная проблема Кеплера и проблема МЮ-Кеплера. Сразу заметим, что для последней системы конструкция применяется не на прямую: она применяется к системе, которая редуцируется посредством гамильтоновой редукции к проблеме МЮ-Кеплера. Тут также уместно отметить, что найденные поляризации и метод (*) позволяют нам эффективно исследовать все производные структуры геометрического квантования этих систем (голоморфные линейные комплексные расслоения, расслоения полу-форм), что как показывает практика, случается очень редко при использовании других методов.
Эти две гамильтоновы системы рассматривались разными авторами. Гамильтонова система, описывающая трехмерную проблему Кеплера, была проквантована Д. Симмсом ([Э1т72]), который применил теорию геометрического квантования Костанта-Сурио к комплексному многообразию Б2 х Б2 орбит этой динамической системы, принадлежащих поверхности уровня гамильтониана. Он вычислил кратности собственных значений квантового оператора с помощью теоремы Римана-Роха -Хирцебруха для комплексных поверхностей. В ([М1а85]) И. Младенов применил модифицированную схему геометрического квантования Чижа [Сгу77] и Гесса [Нез81] к многомерной проблеме Кеплера. Проблеме квантования системы МЮ-Кеплера посвящены работы И. Младено-ва [М1а87, М1а89а, М1а89Ь|, в которых он применил модифицированную схему Чижа-Гесса к расширенному фазовому пространству этой системы. Бейтс ([ЕЫ89]) проквантовал эту систему используя алгебраическое представление системы, Одзиевич и др. ([0896]), используя отображение когерентных состояний ((06288], [0(1292]); т.е. отображение из классического фазового пространства в комплексное проективное гильбертово пространство (квантовое фазовое пространство). Ни в одной из этих ра-
17
бот не была применена процедура геометрического квантования из-за отсутствия инвариантной поляризации.
Вторая проблема, возникающая в теории геометрического квантования, состоит в том, что может не существовать глобальных F-горизонтальных сечений линейного расслоения из-за препятствий топологического характера, связанных с поляризацией, а, значит, стандартная процедура геометрического квантования становится невозможной. Мы в главе 3 работы решаем эту проблему для широкого класса поляризаций: вводим структуру гильбертова пространства на пространстве обобщенных сечений таким образом, что произвольная вещественная функция с полным гамильтоновым векторным полем, касающимся некоторого распределения в X (в большинстве случаев оно совпадает с распределением Е, где Ес = F-^-F) порождает однопараметрическую группу унитарных операторов. Это обобщает конструкцию Гавендски [Са\у76| для гладких сечений.
Пусть X - симплектическое многообразие. Гамильтонову систему на X называют вполне интегрируемой, если она допускает максимальное число независимых интегралов в инволюции (6хшХ/2 функций коммутирующих относительно скобки Пуассона на X). Обозначим через б? вещественную связную редуктивную группу Ли, которая действует на X гамильтоновым образом, через К замкнутую связную редуктивную подгруппу в С. Пусть Л : X —» д*, где д - алгебра Ли группы Ли (?, соответствующее отображение момента. Функции вида к о Л, к : д* —> Е, называются коллектпивтялт. Эти функции являются интегралами для произвольного гамильтонова потока на X с £-инвариантным гамильтонианом Н. Возникает вопрос:
для каких симплектических многообразий X все 67-инвариантные гамильтоновы системы на X вполне интегрируемы в классе вещественно-аналитических интегралов, порожденных группой симметрий 67.
Многообразие X обладает этим свойством тогда и только тогда, когда на X существует вполне интегрируемая система, состоящая из вещественно-
18
аналитических функций типа НоЗ (так называемая коллективно вполне интегрируемая система [С884а]). Все симметрические пространства полупростых групп Ли й/К допускают существование коллективно вполне интегрируемых систем на фазовом пространстве Т*{С/К) (см. [Т1ш81, Мищ82, Мик83, С884а] и [1\\г84]). Более тот, если группы Ли С? и К компактны, то следующие условия эквивалентны [Мищ82, С884а, Мик86]:
(1) на фазовом пространстве Т*(С/К) существует коллективно вполне интегрируемая система;
(2) коразмерность д(Сс1Кс) орбиты максимальной размерности подгруппы Бореля В С Сс в комплексном аффинном алгебраическом многообразии Сс/Кс равна 0;
(3) подгруппа Кс группы Ли Сс сферична, т.е. квазирегулярное представление группы Ли (7е в пространстве регулярных функций на аффинном алгебраическом многообразии Сс/Кс имеет простой спектр;
(4) алгебра С-инвариантных функций на симплектическом многообразии Т*(С/К) коммутативна.
Некоторые обобщения свойств (1)~(4) на случай вещественных некомпактных групп Ли были получены М. Чумаком [Чум86]. Многие другие аспекты данной проблематики отражены в обзоре [Вин01]. Классификация сферических подгрупп полупростых комплексных (связных) групп Ли была получена в работах [Кга79, Мик86, Вп87а]. Так как пуассонова структура на симплектическом многообразии X невырождена, то в случае существования коллективной вполне интегрируемой системы на X, произвольная гамильтонова система с (^-инвариантным гамильтонианом Н локально имеет вид /гоЛ; т.е. для интегрирования мы не используем эффективно сам гамильтониан Н. Этот факт был замечен в нашей работе [М800] и использован для получения новых классов однородных пространств С/К, для которых каждая С?-инвариантная гамильтонова система на Т*(й/К) интегрируема в классе вещественно-аналитических интегралов. Перейдем к более точным формулировкам.
19
Пусть Nmax(X) - максимальное число независимых вещественно-аналитических функций в инволюции на X вида h о J. Если Nmax(X) — (dim Х/2) - 1 мы будем называть соответствующую систему функций почти-коллективно вполне интегрируемой системой, а, если, дополнительно, X = T*[G/K), где G,K - редуктивны, мы будем называть пространство G/К почти сферическими пространством [MS00]. В главе 4 мы изучаем эти пространства как с точки зрения пуассоновой геометрии, так и с чисто алгебраической точки зрения, перечисляем их в случае, когда группа G простая. Мы доказываем, что компактное пространство G/К является почти сферическим тогда и только тогда, когда комплексное аффинное алгебраическое многообразие Gc/Kc имеет сложность один, т.е. £(GC, Кс) = 1. Тут нужно отметить, что комплексные аффинные пространства G^/Kc как сложности 1 так и произвольной сложности алебраическими методами изучал Д. Панюшев в работе [Рап90], в следующей своей работе [Рап92] он получил список всех редуктивных пространств (7С/К‘С сложности 1, когда группа Ли Gc простая. Мы в главе 4, используя иной подход, основанный на изучении алгебры G-инвариантных функций на T*(G/K) как пуассоновой алгебры, получаем этот же список несколько другим методом. Недавно в работе [АЧ03| И. Аржанцев и О. Чувашова перечислили все аффинные пространства Gc/Kc сложности 1 с полупростой группой Ли G*0. Принципиальная возможность такой классификации была отмечена раньше Э.Б. Винбергом в работе [Вин01].
Как мы отметили выше, для редуктивного пространства G/К можно определить неотрицательное целое число e(G,K) положив e(G, К) = dim(G/K)—Nmax(T*(G/K)). В главе 4 мы доказываем, что <5(GC, Кс) = e(G, К), т.е., что так определенное число s(G, К) равно сложности пространства Gc/Kc.
Таким образом редуктивные пространства Gc/Kc сложности 0 или 1 - это примеры пространств, для которых все G-инвариантные гамильтоновы потоки на кокасательном расслоении T*{G/K) — T{G/K) интегрируемы в классе вещественно-аналитических интегралов. Но на каждом однородном пространстве G/К с редуктивными G и К есть
20
потоки, вещественно-аналитическая интегрируемость которых вызывает постоянный интерес. Это гамильтоновы потоки на T*(G/K), определенные G-инвариантными (псевдо)римановыми метриками на G/K. Такие вполне интегрируемые потоки существуют на следующих однородных пространствах
• компактных группах Ли (A.C. Мищенко, А.Т. Фоменко [МФ78]);
• сферических пространствах [Мик86], включающих симметрические пространства (А. Тимм [Tim81], A.C. Мищенко [Мшд82. Мищ83], A.B. Браилов (Бра83а, Бра86Ь|);
• пространствах сложности 1 [MykOlbJ, включающих многообразия Штифеля SO(n)/SO{n-2) (А. Тимм [Tim81]), SU{3)/(U{l)xU(l)) (Г. Патернайн, Р. Спатцер [PS94]);
• многообразиях Штифеля SO(n)/SO(k), G/T, где Т-максимальный тор компактной группы Ли G (А. Болсинов, Б. Йованович [БЙ01]);
• орбитах присоединенного представления классических полупростых групп Ли. а также SO(n)/(SO(ki)xSO(k2)), U(n)/(U(l)klxU(k2)x, U(kz)), U(n)/SO(k), SOin^xSO^/diagiSOityxSOik)), U(nx)x U{пг)/diag(U(к) х U{k)) (А. Болсинов, Б. Йованович (BJ04)).
В работе (БЙ01| А. Болсинов и Б. Йованович для произвольных однородных пространств компактной группы Ли G доказали так называемую некоммутативную интегрируемость [МФ78а| геодезического потока би-инвариантной метрики на G/К в классе вещественно-аналитических интегралов. В следующей работе [BJ03] они для этих же однородных пространств и для этих же потоков доказали их вполне интегрируемость, но уже в классе гладких интегралов. Тут нужно отметить, что в общем случае из гладкой интегрируемости геодезического потока не следует его вещественно-аналитическая интегрируемость из-за препятствий топологического характера (см., например, [Тай94]). В главе 4 мы устанавливаем вещественно-аналитическую интегрируемость для широкого класса однородных пространств, содержащего пространства не представленные в приведенном списке. Перейдем к более точным формулировкам.
Пусть G/К ~ полупростая орбита присоединенного представления полупростой вещественной связной группы Ли С, т.е. G/K = Ad(G) •
21
а, где а - иолупростой элемент алгебры Ли д группы Ли Є. Обозначим через К\ произвольную замкнутую подгруппу в К, содержащую коммутант К' компоненты единицы группы Ли К. В главе 4 мы доказываем, что геодезический поток на симплектическом многообразии Т*(С/К\), соответствующий Є-инвариантной (псевдо)римановой метрике на С/Кі, индуцированной би-инвариантной (псевдо)римановой метрикой на группе Ли С, является вполне интегрируемым в классе вещественно-аналитических интегралов. Если группа Ли <2 компактна, то эта метрика риманова. Более того, в главе 4 мы, кроме упомянутых би-инвариантных метрик на (2/К, рассматриваем С-инвариантные метрики, построенные с помощью секционных операторов (ра,ь,и Мищенка-Фоменка [МФ78|, и доказываем вполне интегрируемость соответствующего геодезического потока с помощью того же набора интегралов. Некоторые из этих метрик являются римановыми даже тогда, когда группа Ли Є некомпактна; соответствующий пример завершает главу 4. Здесь уместно сказать несколько слов об тех дополнительных є((2, К\) интегралах к интегралам вида /і о Л, которые мы находим. Это (2-иивариантныефункции на Т(С/К\) »однозначноопределяемые инвариантными функциями /х(х) = /(х + \а) на Шх =Т0{С/К\), где / - Ас1((2)-инвариантный полином на алгебре Ли д. Эти же функции использовались в качестве дополнительных интегралов в работе [ВЛ04].
Структура и содержание диссертации.
Диссертация состоит из введения и четырех глав. Номера всех утверждений (теорем, лемм,..) и (формул состоят из двух чисел, первое из которых - это номер параграфа текущей главы. Исключение составляют следствия: так как большинство из них не являются самостоятельными утверждениями, то их номер состоит из номера утверждения, к которому они относятся, и номера самого следствия. При ссылке на утвеждения из другой главы мы впереди их номера ставим еще и номер главы.
В главе 1 рассмотрены инвариантные кэлеровы структуры на касательных расслоениях римановых симметрических пространств. Глава 1 состоит из семи параграфов.
22
Пусть М = й/К - риманово симметрическое пространство с полу-простой группой Ли С и (компактной) подгруппой К. Стандартная С-инвариантная метрика gм на С/К определяет геодезический поток с гамильтонианом Я на касательном расслоении Т(С/К), рассматриваемом как симплектическое многообразие с симплектической 2-формой П (индуцированной канонической симплектической структурой на ко-касательном расслоении после отождествления этих двух расслоений с помощью метрики). Обозначим через д и £ алгебры Ли групп Ли С и К. Тогда д = I ф пх. Метрика gм определяется ограничением на ш некоторой инвариантной невырожденной билинейной формы (,) на алгебре Ли д.
Мы отождествляем почти-комплексную структуру J с ее распределением Я = Я(</) (0,1)-векторов, а почти-кэлерову структуру обозначаем парой (*/, П) или (Я, П), где П - ее фундаментальная 2-форма. В §§1 и 2 показано, что существует взаимнооднозначное соответствие между С-инвариантными почти-кэлеровыми структурами (ЯП) на областях Я с Т(С/Я) и Я-эквивариантными отображениями
Я : \Л? —> Епс1(тс), ги н-► Яад, \У С т,
(АсЦоЯш о АсЦ-1 = Рмк{ю), гу £ IV, к £ К) для которых каждый эндоморфизм Я^гс £ IV симметричен, а его вещественная часть положительно определена. При этом распределение Я = Я(Я) инволютив-но тогда и только тогда, когда отображение Я определяет некоторый гомоморфизм из алгебры Ли д в алгебру комплексных векторных полей на С х \У (предложение 1.2.3). В §2 найдено условие, при котором функция от Н является потенциальной функцией кэлеровой структуры (Я, П) (предложение 1.2.5).
В §3 рассматриваются кэлеровы структуры, которые, дополнительно, инвариантны относительно гамильтонова векторного поля X^ функции УЯ. Показано, что тогда отображение Я удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению, которое решается явным образом. Решение существует только тогда, когда ранг симметрического пространства
23
С/К равен 1 и оно компактно. Каждое такое решение имеет вид
Р„К) = >/^4(0 + ^А(И)» (И = л/М). ^€т
и задает положительно-определенную поляризацию РЛ на выколотом касательном расслоении Г°(С/АГ), которая параметризуется комплекснозначной функцией Л : -> С с положительной вещественной частью
(теорема 1.3.4).
Определение 1.4.1. Мы будем говорить, что комплексная структура К на области И С Т(С/К) метрически согласована, если для произвольной геодезической 7 в (М = С/К, gм) отображение 7 : С -> Т(С/К), (х + гу) »-» у'у(х) голоморфно на открытом множестве .
Если область О содержит нулевое сечение С/К с Т(С/К), то такая комплексная структура называется адаптированной [0897].
Адаптированные комплексные структуры изучались многими авторами [03191, Э2698, БгбЭб, 0397]. Если такая структура существует, то она единственна. В параграфе 4 мы доказываем критерий адаптированости комплексной структуры Р на области И С Т(С/К) (лемма 1.4.2) и приводим пример комплексной структуры, которая является метрически согласованной, но не является адаптированной (предложение 1.4.3), т.е. исключение из определения адаптированной комплексной структуры одного условия регулярности в окрестности нулевого сечения приводит к потере единственности. Далее мы описываем адаптированные структуры на Т(С/А) для компактных пространств С/К в терминах оператор-функции Р. Параграф 5 носит вспомогательный характер. В нем рассмотрено действие группы диффеоморфизмов на множестве кэлеровых структур (Р, П) и получена формула для тензора кривизны проективной плоскости Кэли Р4/5ргп(9) в терминах 16-мерного спинориого представления группы 5ргп(9).
Параграф б содержит один из основных результатов этой главы. В нем описаны все О -инвариантные кэлеровы структуры на областях Э С Т(С/К) для римановых симметрических пространств й/К ранга один с полупростой группой Ли С (теорема 1.6.15) (как компактного так и
•24
некомпактного типов). Здесь под описанием мы понимаем нахождение всех решений уравнений в частных производных на неизвестное отображение Р, которое задает кэлерову структуру. Эти решения параметризуются одним функциональным параметром и одним комплексным параметром из С. Из-за большой группы симметрий эти уравнения в частных производных редуцируются к обыкновенному дифференциальному уравнению Риккати, зависящему от одного функционального параметра \{t). Это уравнение Риккати разрешимо, поскольку частным его решением являются кэлеровы структуры Fx, найденные в §3. В §7 доказано, что все найденные в §6 кэлеровы структуры для комплексного проективного пространства СРп и для кватернионного проективного пространства ШРп могут быть получены с помощью кэлеровой редукции Гийемина-Стернберга [GS82] из аналогичных структур на касательном расслоении сферы STO, где т = 2n + 1 в первом случае и т = 4п + 3 во втором (теоремы 1.7.4 и 1.7.5).
Основные результаты главы 1 опубликованы в работах [Мик01а], [Myk02b], [Myk03d].
Риманово 4п-мерное многообразие (X, g) называется гиперкэлеро-вым, если его группа голономий содержится в группе Sp(n). Риманово многообразие (X,g) является гиперкэлеровым тогда и только тогда, когда на X существуют две антикоммутирующие комплексные структуры J\,J? {J1J2 — —J2J1) такие, что обе они параллельны (т.е. g есть кэлерова метрика относительно каждой из них) [Бес90]. Отметим, что произведение J3 = J1J2 также является параллельной комплексной структурой на X. Вообще на X существует целая сфера {x\J\ + + (яьЕ2>яз) € S2 параллельных (кэлеровых) структур. В
силу теоремы Берже гиперкэлерово многообразие риччи-плоско, а, значит, является многообразием Эйнштейна. Обозначим через {w*}jj.=1 Фундаментальные (кэлеровы) 2-формы, соответствующие {(^fc,g)}fc=ii т-е-wife (К, Z) d= g(-JkY,Z). Комплексная 2-форма и>2 + параллельна и J\ -голоморфна, т.е. является комплексно симплектической структурой на комплексном многообразии (X, J\).