Содержание
Введение 4
1 Гладкие инварианты в случае двух степеней свободы 19
1.1 Фокусные особенности интегрируемых систем с двумя степенями свободы................................................ 19
1.1.1 Нормальная форма.................................. 19
1.1.2 Локальная топология слоения........................21
1.1.3 Единственность канонических интегралов и группа
локальных автоморфизмов.............................21
1.1.4 Топология особого слоя и полулокальиая топологическая классификация ......................................25
1.1.5 Точность симплектической формы в окрестности
особого слоя .......................................26
1.1.6 Совпадение функций /2 для всех особых точек на
слое................................................28
1.1.7 Согласование знаков канонических интегралов ... 29
1.2 Гладкая классификация в случае двух степеней свободы . . 30
1.2.1 Гладкие особенности типа фокус-фокус...............30
1.2.2 Случай одной особой точки на слое..................32
1.2.3 Случай двух особых точек на слое...................30
1.2.4 Полный С1-инвариант фокусной особенности сложности два..................................................44
1.2.5 Теорема реализации.................................50
1.2.6 Случай нескольких особых точек на слое.............52
2 Топологическая классификация в многомерном случае 55
2.1 Дальнейшие свойст ва фокусных особенностей с двумя степенями свободы ................................................55
2.1.1 Описание группы автоморфизмов......................55
2.1.2 Всякая фокусная особенность Лл£-эквивариантно
послойно гомеоморфиа модельной......................58
2.1.3 Сингулярная переменная «угол» на фокусной особенности ............................................■ . . 59
2.2 Топологическая классификация нерасщенляемых многомерных фокусных особенностей...................................61
2.2.1 Правильные кубические разбиения тора...............61
2.2.2 Классификация фокусных особенностей................64
2.2.3 Модель почти прямого произведения..................69
2.2.4 Подсчет числа особенностей.........................69
2
2.2.5 Особенности сложности два в случае четырех степеней свободы............................................. 72
2.2.6 Классификация почти торических особенностей ... 72
2.3 Расщепляемые особенности...................................73
2.3.1 Действие тора...................................... 73
2.3.2 Конструкция........................................ 75
2.3.3 Особенности ненулевого ранга ......................78
3 Топологические свойства многомерных фокусных особенностей 81
3.1 Мон одром и я..............................................81
3.1.1 Матрица разложения базисных циклов..................81
3.1.2 Монодромия..........................................81
3.2 Устойчивость...................................................................85
3.2.1 1-тип ............................................. 85
3.2.2 Неприводимые особенности........................... 86
3.2.3 Устойчивость неприводимых особенностей..............88
4 Гладкие инварианты многомерных особенностей 89
4.1 Гладкая эквивалентность неприводимых особенностей ... 89
4.2 Препятствие к разложению в гладкое почти прямое произведение 90
4.3 С1-классификация...........................................93
3
Введение
Напомним, что гладкое многообразие М2п называется симплектическим, если на нем задана замкнутая невырожденная 2-форма и — симнлек-тическая структура. Пусть Я — гладкая функция на симплектическом многообразии М2п. Векторное поле
sgrad Я = ц/-1бЯ
называется косым градиентом функции Н. Соответствующая динамическая система называется гамильтоновой, Я — ее гамильтонианом. Число п называется числом степеней свободы гамильтоновой системы.
Симплектическая форма определяет еще одну структуру на М — скобку Пуассона, бинарную операцию на пространстве гладких функций, задаваемую формулой
{/, 9} = w(sgrad /, sgrad д).
Утверждение 1.
1. Скобка Пуассона задает на С00(Л/) структуру алгебры Ли.
2. Отобраоїсспие sgrad : С°°(М) —> Vect(M) является гомоморфизмом алгебр Ли, что означает, что
sgrad {f,g} = [sgrad/,sgradg).
Доказательство см., например, в [1, 4|.
Далее, имеет место очевидная формула
і
где d/dt — производная вдоль векторного поля sgrad Я. Таким образом, / является интегралом sgrad Я тогда и только тогда, когда скобка Пуассона / и Я равна нулю (в таком случае говорят, что / и Я коммутируют, или находятся в инволюции). В частности, гамильтониан Я всегда является интегралом sgrad Я — «закон сохранения энергии».
Болес подробное обсуждение понятий симнлектичсского многообразия, гамильтоновой системы и скобки Пуассона можно найти в книгах
|1. 4|.
Определение 1. Предположим, что гамильтонова система sgrad Я на симплектическом многообразии М2п обладает п интегралами /і ,
причем
4
1. {/п /у} — 0, то есть интегралы находятся в инволюции.
2. /]>•..* /п функционально независимы почти всюду.
3. Векторные поля ь^гас! /, полны, что означает, что их траектории могут быть продолжены на неограниченное время.
В этом случае говорят, что система вполне интегрируема по Лиувиллю (или просто интегрируема). Кроме того,
1. Слоение М2" на связные компоненты множеств вида {/] = ^1» • • • > /п = Сп} называется слоением Лиувилля.
2. Отображение Р: М2п —> Мп, заданное формулой Р(х) — (/1(2)1... /п(х)) называется отображением момента.
3. Слой лиувиллева слоения называется неособым, если на нем нет ни одной особой точки отображения момента. Остальные слои называются особыми.
4. Действие К” на М2гг, порожденное фазовыми потоками sgrad/г, называется пуассоиовым действием. Это действие определено корректно, поскольку [и&ТИ(1 /1,8£Г<Х(1 /_,■] = эйга(1 {/,•, /у} = 0.
Теорема 1 (Арнольд-Лиувилль, см. [1, 4|). Предположим, что гамильтонова система эдгас! Н интегрируема. Тогда
1. Каждый слой слоения Лиувилля есть интегральная поверхность системы.
2. Каждый неособый слой есть подмногообразие вида ТгхБп“г. Ограничение симплектической формы на каждое такое подмногообразие равно пулю (в таком случае говорят, что подмногообразие является лагранжевым).
3. Все компактные неособые слои являются торами. Слоение Лиувилля в окрсстуюсти такого тора тривиально.
В дальнейшем мы будем предполагать, что все слои слоения Лиувилля компактны (если не оговорено противное).
Таким образом, фазовое пространство интегрируемой гамильтоновой системы расслоено на инвариантные поверхности, почти все из которых являются торами. Если мы хотим понять качественную картину динамики системы, нужно изучить топологию этого слоения. Поскольку в окрестности неособого слоя все слоения Лиувилля устроены одинаково
о
(тривиальное слоение на торы), топология определяется, главным образом, особенностями. Именно особенности и являются предметом настоящей работы.
На рисунке 1 изображено слоение Лиувилля системы с одной степенью свободы на торе. Гамильтонианом служит функция высоты. Видно, что именно особые слои, не являющиеся торами (то есть, в данном случае, окружностями), определяют глобальную структуру слоения.
Теория качественного исследования интегрируемых гамильтоновых систем на основе исследования множества их особенностей была создана в работах
A.Т. Фоменко [14, 15,16, 17|, М. П. Харламова [18|, а также Л. М. Лермаиа и Я. Л. Уманского [23, 7]. Значительный вклад в развитие этой теории внесли (в алфавитном порядке) А. В. Волсипов (см. [2, 19, 3]),
B. С. Матвеев (см. [8]), С. В. Матвеев (см. [2|), Нгуен Тьен Зунг (см. [27, 26, 29)), А. А. Ошемков (см.
[9, 10, 11]), X. Цишаиг (см. [17|).
Слоения Лиувилля можно изучать:
1. Локально, то есть в окрестности особой точки.
Рис. 1: Слоение л _
я 2. Полулокально, то есть в окрестности особого
Лиувилля на торе ’ 1
слоя.
3. На инвариантном подмногообразии, например, на поверхности постоянной энергии.
4. Глобально.
Если мы ставим себе задачу классификации слоений Лиувилля (в одном из указанных выше смыслов), то нужно также зафиксировать отношение эквивалентности. В зависимости от этого отношения классификация бывает:
1. Топологическая, или лиувиллева — классификация с точностью до послойного гомеоморфизма.
2. Гладкая — классификация с точностью до послойного диффеоморфизма.
3. Симплектическая — классификация с точностью до послойного симнлсктоморфизма.
6
Настоящая работа, в основном, посвящена задаче полулокальной топологической и гладкой классификации, а также описанию топологии слоения в окрестности особого слоя.
Понятно, что описать всевозможные особенности слоений Лиувилля в разумных терминах нельзя, как нельзя описать всевозможные особенности гладких функций. Следовательно, нужно ограничиться некоторым классом наиболее простых особенностей. Сейчас мы этот класс определим.
Пусть х — особая точка отображения момента ранга г. Пусть Ь С ТхМ2п — касательное пространство к орбите пуассонова действия, проходящей через точку :с. Поскольку Ь порождается векторами в^гас! /п ограничение симплектической формы о; на Ь равно нулю. Следовательно, можно рассмотреть и на пространстве ^/Ь, где Ь1 — косоортого-налыюе дополнение к Легко видеть, что эта форма невырождена.
Заметим теперь, что стабилизатор точки х при пуассоновом действии естественно симплекти чески действует на Т ХЫ. Поскольку это действие сохраняет Ь, определен гомоморфизм
Образом соответствующего гомоморфизма касательных алгебр является некоторая коммутативная подалгебра в зр(Ь±/С) ~др(2(п — г),К).
Определение 2. Будем называть особую точку х невырожденной, если описанная подалгебра в 5р(2(п — 7-),Е) является подалгеброй Картана.
Определим теперь, что такое тип невырожденной особой точки. Пусть х — невырожденная особая точка ранга к, а Ь — соответствующая подалгебра Картана в лр(2(п — г),Е). Рассмотрим регулярный элемент яе(). Поскольку а € 5р, спектр этого оператора имеет вид:
1. ке пар вида ±иг, где V — ненулевое вещественное число.
2. А/, пар вида ±А, где А — ненулевое вещественное число.
3. к/ четверок вида ±А±^г, где А, V — ненулевые вещественные числа.
При этом кс + А/, + 2А/ = п — г.
Как легко видеть, числа кС} А/,, к/ не зависят от выбора регулярного элемента а € {).
Определение 3 (см. [33]). Определенная описанным выше образом тройка (АС,А/,,А/) называется типом особой точки.
7
- Київ+380960830922