- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
В в е д е н и е с. 4
Глава I. Теория двумерных поверхностей Хр в бипланарном пространстве Бд
§ 1.1 Основные понятия бипланарного пространства Б* . • с. 22 § 1.2 Нормализация поверхности Хр с помощью инволюции с. 2.5
§1.3 Инвариантные связности .............................. с. 35
§ 1.4 Теория двумерных аналитических поверхностей Хр в
бипланарном пространстве Б^ ..................... с. 42
§ 1.5 Поверхности Хр , принадлежащие нормализующей
гиперпрямой Рд ................................... с. 51
Глава II. Отображение аналитических кривых комплексного центроаффинного пространства Ад на двумерные поверхности Хр бипланарного пространства Б^ .
§ 2.1 Теория пространственных кривых в центроаффинном
пространстве Ад ................................... с. 53
§ 2.2. Отображение аналитических кривых комплексного центроаффинного пространства Ад на двумерные поверхности
Хр бипланарного пространства Б^ ....................с. 68
§ 2.3 Плоские аналитические кривые комплексного центроаффинного пространства Ад и их отображение на двумерные поверхности Хр бипланарного пространства Б^.с.87 Глава III. Соответствие между конгруенциями точек комплексного центроаффинного пространства Ад и двумерными поверхностями Хр бипланарного пространства Бд .
§ 3.1 Основные свойства соответствия между конгруенциями точек комплексного центроаффинного пространства Ад и двумерными поверхностями Хр в бипланарном пространстве Б^ ............................................. с. 101
- 3 -
§3.2 Алгебраические конгруенции и алгебраические поверхности Хр ............................................. с.III
§ 3.3 Характеристический признак двумерной аналитической
поверхности Хр в пространстве .......... с. 119
§3.4 Д - точки алгебраических поверхностей Хр в бип-
ланарном пространстве .......................... с.134
Список основной использованной л и т е р а т у р ы ................................. с. 148
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ .
Теории биаксиальных пространств и их обобщений посвящено большое количество работ. Обзор этих работ был дан в статье [93 А.П.Нордена.
В работе [б] А.П •Нордена "Пространство линейной конгруенции", в частности, рассматривалась связь биаксиальной геометрии с геометрией комплексной центроаффинной плоскости и с теорией функций одной комплексной переменной. Было показано, что поверхности, на которых индуцируется евклидова связность, могут быть отображены на аналитические кривые комплексной центроаффинной плоскости.
Это отображение было подробно изучено в работах И.В.Зуева, который обратил особое внимание на алгебраические поверхности Х£ биаксиального пространства Бд и соответствующие им кривые комплексной плоскости.
В работе [13] А.П.Широкова "Геометрия обобщённых биаксиальных пространств" сделано обобщение основных результатов А.П.Нордена для трёхмерного биаксиального пространства на случай пространств высшего числа измерений. Рассматривается проективное пространство нечётного числа измерений (2/1+) ), в котором задан инвариантный образ в виде линейной конгруенции прямых, построенной на двух инвариантных !Ъ -мерных директрисах. Указанное пространство в рабо-те [13] названо сокращённо бипланарным. При /2=7 бипланарное пространство совпадает с биаксиальным пространством.
Однако, пространства такого типа уже использовались в работе [Ю] Б. А .Розенфельда как вещественная реализация комплексного или двойного проективного пространства, хотя подробному изучению и не подвергались. В работе [13] А.П.Широкова разработана теория гиперповерхностей в собственно бипланарных пространствах эллиптического типа ( для которых П -мерные директрисы инвариантной -линейной конгруенции являются комплексно-сопряжёнными плоскостями).
- 5 -
Бьши получены также деривационные уравнения гиперповерхностей произвольного бипланарного пространства.
Теория поверхностей произвольной размерности в бипланарных пространствах была рассмотрена в работе В.Д.Третьякова.
Им были построены инвариантные нормализации поверхностей бипланарного пространства с помощью абсолютной инволюции этого про -странства.
Настоящая работа по своему содержанию непосредственно связана с работами И.В.Зуева и В.Д.Третьякова. Целью её является исследование отображения аналитических кривых комплексного центроаффинного пространства Ад на двумерные поверхности ^ бипланарного пространства эллиптического типа. Используя результаты, полученные И.В.Зуевым в его работах для случая отобра?кения аналитических кривых комплексной центроаффинной плоскости А£ на двумерные поверхности Х£ биаксиального пространства Бд , автор делает обобщения на случай пространств большего числа измерений.
Вся работа состоит из трёх глав.
Первая глава диссертации посвящена изучению класса двумерных поверхностей Хг> бипланарного пространства эллиптического типа, нормализуемых особыми многообразиями.
§ 1.1 носит общий характер и не содержит результатов автора.
Здесь даётся определение бипланарного пространства Б^ как такого пространства, геометрия которого подчинена геометрии пятимерного проективного пространства , а фундаментальная группа является группой инвариантности аффинора Г , удовлетворяющего условию
Гг =и/Е ( иг=а, о ).
Биплаиарные пространства классифицируются в зависимости от значений и/ : гиперболические ( и/ - -/ ), эллиптические (иг=-~1)
и параболические ( И/ = О ).
- 6 -
Абсолютные плоскости бипланарного пространства определяются как неподвижные плоскости абсолютной инволюции. В пространстве эллиптического типа абсолютные плоскости есть две двумерные комплексно-сопряжённые плоскости.
Сопряжённость точек X, X ( гиперплоскостей £ у £ ) определяется
через их соответствие в абсолютной инволюции :
1Ш&$
Г*
В эллиптического типа имеет место равенство а-
Особое многообразие Рт в Б- определяется как такое, которое
вместе с каждой своей точкой содержит и сопряжённую ей точку.
В § 1.2 изучается класс двумерных поверхностей Хд бипланарного пространства Б^ эллиптического типа, нормализованных особыми многообразиями. Особая гиперпрямая Рд , принадлежащая одной из касательных гиперплоскостей , инцидентной касательной
плоскости Р^ поверхности Х2 , называется нормализующей ги-
перпрямой. Рассматриваются два случая :
а) поверхность Хд принадлежит нормализующей гиперпрямой Рд
б) гиперпрямая Рд пересекает касательную плоскость Р^ по особой прямой ?■£ , которая принимается за нормаль 11-го рода поверхности Х£ .
Этим последним условием мы определяем класс двумерных поверхностей Х2 в бипланарном пространстве эллиптического типа.
Этот класс поверхностей можно назвать особым.
Выбрав В Рд особую прямую Р^ ( гипонормаль ), отличную ОТ Р£ и не пересекающуюся с ней, определим нормаль 1-го рода прямой и прямом XX . Принимая Ху X, /?,, /1г за вершины нормали 1-го рода поверхности Хр и точки за опор-
ные точки нормали 11-го рода этой же поверхности, используя результаты В.Д.Третьякова, автор находит деривационные
уравнения этого класса поверхностей, имеющие следующий вид :
Все коэффициенты деривационных уравнений, кроме нормализатора
1/ , инвариантны относительно перенормирования, а в силу инва-
риантности абсолютной инволюции на коэффициенты уравнений поверхности налагаются следующие алгебраические условия :
Составляя условия интегрируемости, находим, что связность на двумерных поверхностях Хд бипланарного пространства вейлева .
Здесь же двойственным образом строится теория двумерных поверх -ностей относительно репера II-го рода.
§1.3 посвящён инвариантным связностям двумерных поверхностей Х£* В а) рассматривается изменение нормализующей гиперпрямой Рд , формулы преобразования которой имеют вид
Находятся условия , при которых нормализующая гиперпрямая Рд будет определена инвариантно.
- 8 -
В б) рассматривается преобразование гипонормали Р£ в нормализующей гиперпрямой, когда последняя не меняется. Формулы преобразования вершин новой гипонормали и нормали 11-го рода поверхности Х2 имеют вид
\ii-lli
Находятся условия, при которых нормализация поверхности в
бипланарном пространстве Бд будет инвариантной.
В этом же параграфе доказывается теорема существования.
Теорема. Заданием внешней и внутренней связностей и тензоров и , удовлетворяющих условиям интегрируе-
мости и соотношениям (*3, а также соотношениям $ $ = у
= ч поверхность Х2 определяется однозначно с точ-
ностью до движения в пространстве , если в канонической системе координат выполняется хотя бы одно из условий
ж+& ^ о, а, -к ф о
§ 1.4 посвящён теории двумерных аналитических поверхностезй Х2 в бипланарном пространстве .
Поверхность X = X(и[и ) в пространстве Б^ называется аналити-ческой, если координаты X для
X =Хс1к+1Х^Н Ск=и,з; ОСкЧ+2(к-0)
можно пронормировать так, чтобы выполнялись условия Коши-Римана
дх** НУх***1 даг * Ы1 ~ ди1
Найдены необходимые и достаточные условия аналитичности поверхности Х2 в бипланарном пространстве Б^ .
Доказываются теоремы
- 9 -
Теорема I. Если двумерная поверхность Хд бипланарно-го пространства Бд , заданная уравнением Х^Х(И\ И*), аналитическая, то особая прямая принадлежит касательной плоскости Рд и координаты можно пронормировать так, чтобы нормализатор II поверхности стал равен нулю.
Теорема 2. Если при нормализации поверхности Хд в бипланарном пространстве , заданной уравнением Х-Х[и\ И1), особой гиперпрямой нормаль П-го рода особая прямая и нормализатор поверхности равен нулю, то поверхность Х£ аналити-
ческая.
Здесь же показано, что внутренняя связность 1-го рода на двумерной аналитической поверхности Хд бипланарного пространства Бд является евклидовой.
В § 1.5 рассматривается случай, когда поверхность Хд принадлежит нормализующей гиперпрямой Рд . Находятся деривационные уравнения поверхности Хд для этого случая, условия их интегрируемости. Показано, что внутренняя связность на этих поверхностях квазиевклидова.
Во второй главе рассматривается отображение аналитических кривых.комплексного центроаффинного пространства Ад на двумерные поверхности Х? бипланарного пространства Бд .
В § 2.1 приводятся основные факты из теории пространственных кривых в центроаффинном пространстве Ад .
В § 2.2 рассматривается отображение аналитических кривых комплексного центроаффинного пространства Ад на двумерные поверхности Хд бипланарного пространства Бд . При этом используются все основные факты из теории пространственных кривых в действительном центро аффинном пространстве, которые выра?каются аналитическими соотношениями и которые, следовательно, могут быть продолжены в комплексную область.
- 10 -
Доказываются теоремы*
Теорема I* Неособой касательной прямой к аналитиче -ской кривой в комплексном центроаффинном пространстве Ад соответствует в бипланарном пространстве Бд касательная плоскость к соответствующей поверхности Хд в соответствующей точке.
Теорема 2. Аналитическому параметру кривой комплексного центроаффинного пространства Ад соответствует изотермическая сеть на поверхности Хд бипланарного пространства Вд , отвечающей этой кривой.
Тем самым показано, что полученные результаты отображения имеют место не только для аналитических кривых комплексной центроаффинной плоскости Ад ( [I/] ), но и для аналитических кривых комп -лексного центроаффинного пространства Ад .
Здесь же показано, что сети, отвечающие центроаффинному и экви -центроаффинному параметрам кривой комплексного центроаффинного пространства Ад , на соответствующей поверхности Хд в бипла -нарном пространстве В$ декартовы.
Доказываются свойства:
1. Эквицентроаффинному параметру VI/ 11-го рода кривой в комплексном центроаффинном пространстве Ад соответствует декартова сеть в геометрии П-го рода поверхности Хд бипланарного пространства Бд , отвечающей этой кривой.
2. Эквицентроаффинное кручение кривой комплексного центроаффинного пространства Ад равно кубу производной той аналитической функции, которая конформно отображает геометрию 1-го рода поверхности Хд бипланарного пространства Бд , отвечающей этой кривой , на геометрию П-го рода той же поверхности.
3. Коэффициент растяжения при конформном отображении геометрии 1-го рода на геометрию П-го рода поверхности Хд , отвечающей аналитической кривой комплексного центроаффинного
- МІ -
2
пространства Ад , равен /Т/ '* •
4. Одна треть аргумента эквицентроаффинного кручения кривой комплексного центроаффинного пространства Ад равна углу между полями направлений , параллельных соответственно в геометриях 1-го и П-го рода поверхности Х^ , отвечающей этой кривой в бипланарном'пространстве .
5* Эквицентроаффинная кривизна кривой комплексного центроаффинного пространства Ад равна кубу производной той аналитиче -ской функции, которая конформно отображает геометрию 1-го рода поверхности Хд бипланарного пространства , отвечающей эк-вицентроаффинному параметру кривой, на геометрию Г -го рода этой же поверхности, отвечающей центроаффинному параметру той же кривой.
6. Коэффициент растяжения при конформном отображении геометрии 1-го рода поверхности Хд бипланарного пространства Б^ , отвечающей кривой эквицентроаффинного пространства , на геометрию 1-го рода той же поверхности, отвечающей кривой центроаффинного пространства, равен 1к/г^ .
7. Одна треть аргумента эквицентроаффинной кривизны кривой в комплексном центроаффинном пространстве Ад равна углу между полями направлений к соответствующим координатным линиям декартовых систем координат , отвечающих центроаффинному и эквицентроаф-финному параметрам кривой в геометриях 1-го рода поверхности Х2 бипланарного пространства Б^ .
Здесь же доказано следующее предложение:
Аффинному параметру кривой соответствует на поверхности Х^ бипланарного пространства Б^ , отвечающей этой кривой в про -странстве Ад , изотермическая сеть , касательные направления которой к линиям одного семейства делят пополам угол между изотермическими сетями, соответствующими эквицентроаффинному и центро-
- 12 -
аффинному параметрам кривой.
В § 2.2 построены так же инварианты поверхности Хр бипланарного пространства Бд , выраженные через инварианты соответствующей аналитической кривой комплексного центроаффинного пространства Ад § 2.3 посЕящён теории плоских аналитических кривых комплексного центроаффинного пространства Ад и их отображению на двумерные поверхности Хд бипланарного пространства Бд . Это отображение проводится по аналогии с отображением пространственных кривых комплексного центроаффинного пространства Ад на двумерные поверхности Хд бипланарного пространства Бд .
Здесь же формулируются свойства 1-6 двумерной поверхности Хр , аналогичные свойствам 1-7 поверхности Хр , на которую отображается пространственная кривая комплексного центроаффинного пространства Ад .
И, наконец, в главе III рассматривается соответствие между конгруенцияш точек и алгебраическими кривыми комплексного центроаффинного пространства Ад , с одной стороны, и двумерными поверхностями Хр пятимерного бипланарного пространства Б^ эллиптического типа, с другой стороны.
В § 3.1 даётся определение конгруенции то^ек ( в смысле Кулиджа [45] ) в комплексном пространстве Ад как такого множества
точек, координаты которых являются функциями двух действительных переменных :
Х'=Х'(и',иг)у Хг = ХгСи'иг), Х3=Х3(и',иг),
Х'-Х'Си\иг), Хг=Хг(и',Чг), Х3=Х3(а[чг), (
йг=иг
Исключив параметры II к II , конгруенцию точек в комплексном пространстве Ад можно задать системой уравнений
- Київ+380960830922