Конформно-дифференциальная геометрия гиперполосы

4
Общая характеристика диссертации
1. Постановка вопроса и актуальность темы. Евклидово n-мерное пространство, дополненное одной бесконечно удаленной точкой, в котором действует группа конформных преобразований, называется конформным пространством Сп. Конформно-дифференциальная геометрия изучает локальные свойства многообразий геометрических образов пространства Ся, остающиеся неизменными при конформных преобразованиях этого пространства.
Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства начала развиваться в рамках классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров. В начале двадцатого века в работах Фосса, Роте, Огура, Фубини строятся конформно-дифференциальные инварианты поверхности и конформно-инвариантные квадратичные формы. Полисферическая система координат для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей введена в рассмотрение впервые в работе Томсена[73], опубликованной в 1924 г. Вессио[75] изучает конформную геометрию двумерной поверхности V2 в пространстве С3, пользуясь пентасферическимн координатами.
Теория связностей занимает в дифференциальной геометрии существенное место и восходит к работам Т.Леви-Чивита, Г.Вейля, Э.Картана, Ш.Эресмана, В.В.Вагнера, А.П.Нордсна, Г.Ф.Лаптева, П.К.Рашевского,
А.М.Васильева, Ю.Г.Лумисте, Л.Е.Евтушика и многих других геометров. Специальное место в общей теории занимает теория связностей в однородных расслоениях; в рамках этой теории линейные связности чаще всего находят приложение при изучении геометрии оснащенных подмногообразий.
Следует отмстить, что аффинные и проективные связности изучались в работах многих геометров. Понятие n-мерного пространства конформной
5
связности появилось в работах Э. Картана (см. [22]) в 1923 г., в которых он рассматривает ш-мсрную поверхность в пространстве конформной связности, также конформные связности, индуцируемые на этой поверхности связностью объемлющего пространства, вопросы конформного отображения и наложимости таких поверхностей. В работах С.Сасаки [68],[69] в 1939-40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.
Б.А. Розснфсльд |45],[46] применяет к изучению конформной геометрии общую теорию образов симметрии в однородных пространствах. Исследования P.M. Гсйдельмана [17]-[19] посвящены изучению фокальных
свойств конгруэнции m-мерных сфер 5” пространства Сп. Работы В.И.Ведерникова [12]-[16] посвящены теории кошруэнцни гиперсфер в пространстве Сп и конформному изгибанию нормализованных поверхностей.
При построении теории многомерных поверхностей в аффинном, проективном и конформном пространствах встречается ряд трудностей. Эти трудности связаны с тех«, что на поверхностях в этих пространствах не удается определить инвариантные связности, пользуясь их первыми дифференциальными окрестностями. Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А.П.Норден разработал метод нормализации [37]-[40|; в указанных работах, а также в совместной с Г.В.Бушмановой работе [10] им получены существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий.
Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью.
6
был развит Г.Ф.Лаптевым[23]. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Метод Г.Ф. Лаптева был применен М.А.Акивисом [1],[2],[62] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, т-мериых поверхностей п-мерного конформного и псевдоконформного пространств. В его работах в третьей дифференциальной окрестности построено инвариантное полное оснащение т-мерной поверхности и гиперповерхности п-мерного конформного пространства, то есть каждой точке поверхности внутренним образом
присоединены т-мерная касательная сфера 5” и нормальная (п-ш>сфера
Зп~™. С помощью инвариантного оснащения на поверхностях строятся конформная связность и связность Вейля, внутренним образом присоединенные к этой поверхности, а также система конформно-инвариантных тензоров, определяющих поверхность Vт конформного пространства с
точностью до конформных преобразований. В своих исследованиях М.А.Акивис изучает также поверхности, несущие сеть линий кривизны.
Подробный обзор работ по конформно-дифференциальной геометрии, выполненных до 1963 года, сделан в работе М.А.Акивиса 13]. Остановимся на исследованиях геометров, выполненных после 1964 года.
Н.В.Шульга[59] вводит понятие пары Г т-мерных поверхностей п-мерного конформного пространства Сп и пары 0 двумерных поверхностей псевдоконформного пространства 2С4, изучает их геометрию, используя интерпретации Дарбу и Плюккера. Следует отметить, что интерпретации Дарбу п-мерного конформного пространства в (п+1)-мерное про-екгивное пространство в последние десятилетия зарубежными геометрами уделяется большое внимание[70]-[7Щ74],[76]-[79].
7
Р.Ф.Бронштейн[7]-[9] строит конформную теорию распределений т-мсрных линейных элементов; исследует гиперраспределения, распределения т-мерных линейных элементов, а также распределения конформного пространства Ся, определяемые нуль-системами проективною пространства Р)|+,. При этом распределение т-мерных линейных элементов не выделяется как основной подобъекг, используется и его дополнение, относящееся в данном случае к ортогональному распределению.
В докторской диссертации Харта Погана [64] рассмотрены некоторые вопросы геометрии поверхностных полос и однопарамстрических семейств гиперсфер (М-крнвых) конформного пространства.
Л.Ф.Филоиенко в своих работах [53],[54]. исходя из геометрии квадратичной гиперполосы в п-мерном проективном пространстве Ри, рассматривает распределение т-мерных линейных элементов в (п-1>мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Значительное внимание уделяется возникающим при этом связностям, как вейлевой связности во всем пространстве, так и разного рода касательным и нормальным связностям распределения.
Исследования Д.В.Столярова [51],[52] посвящены изучению геометрии оснащенных взаимно-ортогональных распределений т-мерных и (п-т)-мсрных линейных элементов, аффинных и конформных связностей, индуцируемых оснащениями этих распределений.
В работе Е.Н.Новиковой[36] выводятся дифференциальные уравнения гиперполосного распределения, погруженного в собственно конформное
пространство Сп.
Объектом исследования настоящей работы является гиперполоса Нт, погруженная в собственно конформное пространство Сп (т<п-1).
в
Теория регулярной гиперполосы Нт, вложенной в п-мерное (т<п-1)
ценгроаффинное, аффинное и проективное пространства и в пространство проективной связности, получила достаточное развитие (например, в работах В.В.Вагнсра, А.В.Чакмазяна, Ю.И.Попова, А.В.Столярова, В.И.Шуликовскопо и др.). В.В.Вагнер[11] посвятил свои исследования локальным гиперполосам центроаффинного пространства. Ю.И.Попов (42],(43] изучает внутреннюю геометрию регулярной гиперполосы, строит теорию вырожденных гиперполос и их обобщений в проективном и аффинном пространствах. Исследования А.В.Столярова[48],(50] посвящены изучению двойственной геометрии гиперполосы (голоиомной и неголо-
номной), погруженной в проективное пространство Рп или пространство проективной связности Р„ „. П.А.Фисунов[56],[57] изучает нормальные связности на оснащенной регулярной гиперполосе Нт проективного пространства Р;/.
Следует отметить, что изучение конформно-дифференциальной геометрии гиперполосы Нт в Сп до настоящего времени оставалось в стороне.
Изучение геометрии полос и, в частности, гиперполос в пространствах с различными фундаментальными группами представляет большой научный интерес и является актуальным в связи с многочисленными приложениями се в математике, механике и физике. Например, В.В. Вагнер[11] рассматривает различные приложения теории поля локальных регулярных гиперлолос в дифференциально-геометрическом пространстве Хп, а именно:
а) к задаче вариационного исчисления на безусловный экстремум;
б) к вариационной задаче Лагранжа;
9
в) к неголономной геометрии V™ в Xп;
г) к динамике склерономных механических систем с нелинейными неголо-номными связями.
2.Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования
является инвариантное построение основ теории гипсрполосы IIт, погруженной в собственно конформное пространство Сп \ эта теория включает в себя решение следующих ключевых задач:
1) осуществить подход к изучению геометрии гиперполосы Нт в собственно конформном пространстве С„ с общих позиций, а
именно, от геометрии неголономной гнперполосы (то есть гипер-нолосного распределения) с использованием подобъектов ее фундаментальных объектов порядка я= 1,2,3 перейти к геометрии голо-
номной гиперполосы Нп\ доказать теоремы существования как неголономной, так и голономной гинерполос, погруженных в собственно конформное пространство Сп;
2) путем построения и изучения полей фундаментальных и охваченных геометрических объектов различного порядка на гиперполосе я. инвариантным образом провести исследование ее внутренней геометрии, а именно:
а) в разных дифференциальных окрестностях построить различные инвариантные внутренним образом определяемые нормальные и касательные оснащения гиперполосы;
б) доказать основную теорему в теории гиперполосы Н т в Сп, то
есть найти ее полный внутренний фундаментальный объект;
3) исследовать дифференциачьно-геометрические структуры на ги-
псрполосс Нт в С„, индуцируемые полями ее фундаментальных
10
и оснащаюших объектов, а именно, изучить некоторые вопросы геометрии линейных связностей (аффинных, нормальных и конформных) на нормально или касательно оснащенном подмногообразии н т.
3.Мстоды исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева[23] и метод внешних дифференциальных форм Э. Картана[55]; это позволило получить дифференциально-геометрические факты, связанные с окрестностями до третьего порядка включительно.
Все результаты получены в минимально специализированном репере, благодаря чему они сформулированы в инвариантной форме. Следует отметить также, что результаты по теории линейных связностей (глава III) получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым (23],[24].
4.На\чная новизна. Результаты, полученные в работе в ходе решения поставленных задач(см. цель работы), являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что изучением дифференциальной геометрии гипер-нолосы в конформном пространстве до настоящего времени никто не занимался. Изучение геометрии гиперполосы Нт в Сп через исследование дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями ее фундаментальных и оснащающих объектов, позволило вскрыть новые аспекты темы; основные положения их заключаются в следующем:
1.Голономная гипсрполоса определена полями фундаментальных подобъ-ектов иеголоиомной гиисрнолосы; доказаны теоремы существования нс-голономной и голономной гнперполос (глава I).
И
2. В разных дифференциальных окрестностях построены инвариантные оснащения гиперполосы полями нормальных (п-ш)-сфер и касательных ш-сфср (глава II).
3. Найден полный внутренний фундаментальный объект гиперполосы (глава II).
4. Изучаются линейные связности, индуцируемые на нормально или касательно оснащенной гиперполосе (глава III).
5. Найдено приложение аффинных связностей, индуцируемых нормальным оснащением гипсрнолосы Нт, к изучению геометрии ортогональных сетей на Нт (глава III).
В диссертационной работе приведены доказательства всех основных выводов; эти выводы сформулированы в виде теорем.
5.Теоретическая н практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение, полученные в ней результаты дополняют исследования по изучению подмногообразий конформного пространства. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях по изучению подмногообразий, вложенных в псевдоконформные пространства, при изучении дифференцируемых подмногообразии в пространствах с конформной структурой.
Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.
6.Лпообация. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-
исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета имс-